网络SIS流行病的博弈论疫苗接种及其影响

设xt为社会状态，xt为未受保护节点的数量，其中t度最大的所有节点均不受保护，t度严格大于t的所有节点均接种疫苗，即xt，U：={md，md，…，mt，0，…，0}。（18） 对于指数为β的幂律分布，在该社会状态下，一个随机选择的邻居在末态受到影响的概率用vβ（xt）表示；vβ（xt）满意度1=tXi=dimihdi（δ+ivβ（xt））=κhditXi=diβ-2（δ+Ⅳβ（xt））。（19） 我们首先获得以下界限。引理2：考虑具有指数β幂律分布的网络∈ [2，3]。让阈值t足够大，使vβ（xt）>0。那么，t- dBt公司- d≤tvβ（xt）δ+tvβ（xt），（20），其中B=exp（δhdiκ）。此外，如果β=3且d>1，则tv（xt）δ+tv（xt）≤t型- （d）- 1） 英国电信- d+1。（21）通过使用适当的积分来限定（19）中的总和，从而得出结果。证明见附录B。现在，我们应用上述边界来说明均衡阈值是如何作为疫苗接种成本c的函数的。命题5：考虑指数为β的幂律度分布网络上的疫苗接种博弈∈ [2，3]。设dw（c）表示接种成本为c且权重函数为w时的均衡阈值。然后，dw（c）≤ 最小值D、 1+D+D（B- 1） 1个- w-1（c）.证明：让xw（c）表示PNE社会状态。假设DW（c）≥ d+1；否则，结果就微不足道了。重新调用（18），即所有节点都达到degreedw（c）的社会状态- 1不受保护，用xdw（c）表示-根据gLemma 1，我们有v（xw（c））>v（xdw（c）-1） 。

从引理2中PNE和（20）的定义，我们得到了≥ w（dw（c）- 1） v（xdw（c）-1） δ+（dw（c）- 1） v（xdw（c）-（1）==> w-1（c）≥dw（c）- 1.- dBdw（c）- 1.- d==> 1.- w-1（c）≤ 1.-dw（c）- 1.- dBdw（c）- 1.- d=d（B- 1） dw（c）- 1.- d==> dw（c）- 1.- d≤d（B- 1） 1个- w-1（c）。结果成立，因为最大阶数为D。请注意，上面得到的上边界不依赖于幂律指数β，只要β∈ [2，3]。此外，当接种成本c增加到1时，均衡接种阈值的界限增加，并且与1成反比- w-1（c）。特别是，作为c→ 1、高概率低估影响w-1（c）>c。因此，1- c>1- w-1（c），阈值上的界在概率加权下更高，这与命题4的观察结果一致。在指数β=3的特殊情况下，以下结果得到了非线性和真实概率感知下平衡阈值比率的严格界限。命题6：考虑指数β=3且d>1的幂律分布网络。对于疫苗成本c，将真实和感知期望最小值下的均衡阈值表示为dt（c）和dw（c）。那么，dw（c）dt（c）=Θ1.- c1类- w-1（c）.证明：首先，我们考虑真实期望极小下的PNE。按照命题5，我们有dt（c）- 1.- d≤d（B- 1） 1个- c、 在引理2的第二部分之后，我们现在得到了dt（c）的下界。设xt（c）为具有真期望极小值的Pnew处的社会状态。由于在社会状态xdt（c）下，所有具有degreeat most dt（c）的节点都未受保护，因此我们有xt（c） xdt（c），和下面的引理1，v（xt（c））≤v（xdt（c））。

从PNE的定义出发，结合引理2中的（21），我们得到了C≤dt（c）v（xdt（c））δ+dt（c）v（xdt（c））≤dt（c）- （d）- 1） Bdt（c）- d+1==> 1.- c≥ 1.-dt（c）- （d）- 1） Bdt（c）- d+1=（d- 1） （B）- 1） dt（c）+1- d==> dt（c）+1- d≥（d）- 1） （B）- 1） 1个- c、 根据上述计算，我们得到dt（c）=Θ（（1-c）-1） 。根据非线性概率加权（16）下PNE的定义，并重复上述论点，我们得到了dw（c）=Θ（（1- w-1（c））-1） 。证据到此结束。因此，引理2中（21）中的upp e r界使我们能够在指数tβ=3的特殊情况下得出更明确的结果。回想假设1，w′（1-）→ ∞as→ 因此，作为c→ 1.1.-c1类-w-1（c）→ ∞. 因此，在指数为3的幂律度分布网络中，概率加权下的阈值明显高于真实经验最小值下的阈值→ 换言之，当疫苗接种成本接近感染成本时，概率过低会导致即使是高度节点也无法接种疫苗。因此，网络很容易受到流行病传播的影响。我们的研究结果强调了将决策者的行为偏差纳入其中的重要性；否则，我们可能会严重低估人群中的流行病风险。六、 PNE的社会优化和低效为了描述PNE的低效性，我们考虑中央当局决定接种哪些疫苗（即社会状态）以最小化社会成本的情况。我们首先表明，社会最优疫苗接种政策也具有与PNE类似的阈值属性。我们将社会状态x下的社会成本定义为ψ（x）：=Xd∈DXa公司∈Axd，aJd（a，x）=Xd∈Dxd，Udv（x）δ+dv（x）+（md- xd，U）c= c+Xd∈Dxd，Udv（x）δ+dv（x）- c, （22）sincePd∈Dmd=1。

从上述第二个等式中注意到，社会成本由两项组成；第一个是在第十四种状态下感染的淋巴结的预期比例，第二个是疫苗接种的标准化成本。此外，社会成本是所有人群的总真实预期成本，即中央当局没有行为偏差。以下结果表明，社会最优疫苗接种政策遵循阈值行为。提议7：让y*∈ argminx∈Xψ（X）。假设存在一个度d′，使得y*d′，U<md.然后，y*d、 对于每个d>d′，U=0。证明：注意ψ（x）在x中是连续的；当v（x）为Nonzer o时，它在（5）之后的x中是连续的。因此，y*存在。相反，假设存在度d和d，d<d，如y*d、 U<M和y*d、 U>0。我们现在以较小的社会成本构建一个社会国家。Le t0<<最小值（y*d、 美国马里兰州- y*d、 U）。我们定义了yd，U=y*d、 如果d=dy，则为U+*d、 U型- 如果d=d，y*d、 U其他方面。（23）换句话说，在y中，与y相比，接种degreedare的节点的fr作用更小，接种degreedare的节点的fr作用更大*.在比较y的社会成本之前*并且，我们首先确定v（\'y）<v（y*). 假设不是，而是V（\'y）≥ v（y*). 从（5）中，我们得到hdi=Xd∈Ddy公司*d、 Uδ+dv（y*)=Xd公司∈Dd'yd，Uδ+dv（'y）≤Xd公司∈Dd'yd，Uδ+dv（y*)==>Xd公司∈Dd（y*d、 U型- (R)yd，U）δ+dv（y*)≤ 0个==>-dδ+dv（y*)+dδ+dv（y*)≤ 0，从（23）==> d（δ+dv（y*)) ≤ d（δ+dv（y*))==> δ（d- d） +ddv（y*)（d）- d）≤ 0，这是一个矛盾，因为d>d，左手边是严格正的。因此，我们有v（(R)y）<v（y*).现在我们计算差值ψ（(R)y）- ψ（y*) asXd公司∈D？yd，Udv（\'y）δ+dv（\'y）- c-Xd公司∈Dy公司*d、 U型dv（y*)δ+dv（y*)- c<Xd公司∈D（(R)yd，U- y*d、 U）dv（y*)δ+dv（y*)= dv（y*)δ+dv（y*)-dv（y*)δ+dv（y*)< 0，其中第一个不等式是v（(R)y）<v（y）的结果*)andPd∈D？yd，U=Pd∈Dy公司*d、 U（在（23）之后）。第二个不等式成立，因为d>d。

这正好相反*是社会最优的社会状态。上述结果表明，中央当局也会选择对高度节点进行接种，并使高度节点不受保护。此外，处于社会最优状态的未受保护节点的种群状态具有与（10）相似的结构。尽管在结构上与命题2有这种相似性，但我们表明，在真实期望极小值下，与命题2相比，在更大比例的节点上，接种疫苗的节点处于一个特定的最优状态，并且当≥ w（c）。根据命题2和命题7，我们可以表示PNE和soc上未受保护节点的数量*U： ={m，m，…，xdx，0，…，0}，y*U： ={m，m，…，ydy，0，…，0}，其中xdx∈ （0，mdx）和ydy∈ （0，mdy）。我们在x之间有以下关系*U和y*U、 命题8：让参与者是真期望最小值或接种成本和非线性概率加权函数满足c≥ w（c）。让社会状态处于最佳状态，社会最优状态为x*和y*. 然后，y* x个*,或等效地，dy<dx或dy=dx和ydy≤ xdx。证明：我们证明了TrueExpection极小化下平衡的结果。非线性概率加权的结果来自命题4。为了更好的可读性，我们在校样中去掉了上标。相反，假设x y、 在引理1之后，我们有v（y）>v（x）；回想一下，v（x）是指随机选择的n e ighbor感染的概率。L et公司y：=yU-xU>0（不均匀性为成分方面）表示在社会最优y未受保护，但在PNE接种的节点的数量。

我们计算了PNE的社会成本差异和社会最优值ψ（x）- ψ（y），asXd∈Dxd，Udv（x）δ+dv（x）- c-Xd公司∈Dyd，Udv（y）δ+dv（y）- c=Xd公司∈Dxd，Udv（x）δ+dv（x）-dv（y）δ+dv（y）-Xd公司∈Dyd，Udv（y）δ+dv（y）- c< -Xd公司∈Dyd，Udv（y）δ+dv（y）- c. （24）仍需证明（24）中的右侧为负数，这将与y的最优性相矛盾。我们考虑以下三种详尽的情况。情况1：dy=dx，ydy>xdx。在这种情况下，我们必须有xdx<mdx。然后，根据PNE（7）和（8）的定义，我们得到c=dxv（x）δ+dxv（x）<dxv（y）δ+dxv（y）。此外y={0，…，0，ydy-xdx，0，本例中为0}。因此，（24）中的表达式为负数。情况2：dy>dx，xdx=mdx。此处，在PNE（即c）处，没有一个degreestrictly大于dx的节点保持不受保护≤d′v（x）δ+d′v（x）<d′v（y）δ+d′v（y），对于每个d′>dx。此外，在这种情况下，y={0，…，0，mdx+1，…，ydy，0，…，0}。因此，在这种情况下，（24）中的表达式也是负数。情况3：dy>dx，xdx<mdx。根据前两种情况的类似原因，我们可以得出以下结论：c<d′v（y）δ+d′v（y）代表每个d′≥ dx。相应地，（24）中的表达式是否定的。因此，我们有了想要的矛盾。因此，上述结果表明，在分散决策（即节点展示搭便车行为）下，无需再进行重复评估。相关文献（如[19,22,38]）也表明，PNE在各自的网络安全游戏设置中是不够的。我们在命题8中的结果与这些结果类似。此外，当疫苗接种成本足够高时，即使在行为概率加权下，Pr-Position8也成立。

虽然比较一般网络和概率权重函数中分散决策和集中决策下的社会成本是一个挑战，但我们证明了真期望极小化的社会成本差的上界。命题9：让规划者成为真正的期望最小化者。让PNE的社会状态和社会运行时间为x*和y*, 分别地那么，ψ（x*) - ψ（y*) ≤hdiδ。证据：我们去掉了上标* 从社会状态来看，具有更好的可读性。从位置8，我们知道y x、 那么，我们有v（y）≤ 引理1之后的v（x）。允许x：=xU-于≥ 0（各成分的不平等性）表示在社会最优状态接种疫苗的节点数量，但在PNE状态下不接种。我们现在计算ψ（x）- ψ（y）=Xd∈D（yd，U+xd，U）dv（x）δ+dv（x）- c-Xd公司∈Dyd，Udv（y）δ+dv（y）- c=Xd公司∈Dyd，Udv（x）δ+dv（x）-yd，Udv（y）δ+dv（y）+xd，Udv（x）δ+dv（x）- c≤Xd公司∈Dyd，Udv（x）δ+dv（x）-dv（y）δ+dv（y）（25）≤Xd公司∈Dδyd，Ud（v（x）- v（y））（δ+dv（y））≤Xd公司∈Dmddδ=hdiδ，（26），其中（25）来自PNE（7）的定义，以及（26）中的自v（y）起保持的特性≤ v（x），v（x）≤ 1，v（y）≥0和yd，U≤ 医学博士，d∈ D、 虽然上界不一定很紧，但它提供了一个重要的见解：分散和集中决策下的社会成本差异的增长速度并不超过网络的平均程度。七、数值说明我们现在通过数值示例说明一些理论发现。我们考虑指数为3且D={1，2，…，100}的幂律度分布网络。我们选择固化速率δ=2。我们利用阈值性质和候选社会状态的特征来计算PNEand和social最优社会状态。所有计算均在MATLAB中进行。我们首先比较预照明参数α（方程式（1））不同值的PNE阈值。

重新调用注意xd，U>0，仅当d阶节点中的非零部分仍不受保护时。对于此类节点，流行状态下的感染概率必须最多为疫苗接种成本c。α=1对应于真实期望极小值，α值越小，则意味着低概率和高概率的过度和低估程度越高。图2a显示，对于高达0.5的疫苗接种成本，真实和行为概率感知下的PNEthresholds几乎相同。当c增加到1时，非线性概率加权下的阈值比真实期望最小值下的阈值高得多，这证实了我们在概率s 4和6中的发现。尽管PNE阈值在接种成本高达0.5的情况下基本相同，但对于不同的α值，无保护节点的数量有很大不同。如命题4所示，对于c<e，在行为概率权重下接种的节点比例大于真实期望最小值，反之亦然。这可以在图2b中观察到，图2b显示了PNE中感染节点的预期比例（即数量∈当c<e时，对于较小的α值，Dxd，Udv（x）δ+dv（x））较小，反之亦然。此外，作为c→ 1，PNE的预期感染nodessaturates分数。这是因为度数大于10的节点的总比例可以忽略不计（0.003），超过这一水平的疫苗接种率增加对疫情传播的影响有限。另一方面，在社会最优条件下，预期的感染节点比例可以忽略不计，并且随着疫苗接种成本的增加，只会略有增加。我们观察到，与PNE相比，在特定时期，整个c范围内的接种阈值为1（接种1度节点的比例不容忽视）。

最后，图2c比较了各自的社会成本。没有证据表明，在社会最优状态下，社会成本主要由疫苗接种成本决定，而在均衡状态下，ψ主要由受感染节点的预期感染率决定。八、结论我们调查了人类决策者在凋亡博弈中针对网络化SI s流行病的分散接种决策。我们首先建立了阈值平衡的存在性和唯一性，这里只有度数大于接种阈值的节点，度数小于阈值的节点仍然不受保护。然后，我们证明，如果接种成本大于依赖于概率权重函数的数量，那么行为偏差会导致接种节点数量减少，反之亦然。此外，无论网络拓扑如何，这个结果都成立。然后，我们得到了一类度分布服从幂律的网络在概率的非线性真实感知下的接种率的紧界。最后，我们分析了社会最优疫苗接种政策。当节点将概率视为其真实值时，我们表明，与社会最优接种政策相比，无des接种ata PNE的数量更少，并且社会成本的差异由网络平均程度的数量比例上界。

我们的nu MERICALLILLINTERATION提供了在分散和人工决策模式下对疫苗接种决策和网络安全级别的更多见解。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1接种成本（c）接种阈值=1=0.85=0.7（a）纯纳什均衡下接种阈值的比较。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1疫苗接种成本（c）0.10.20.30.40.5感染分数NE，=1 NE，=0.85NE，=0.7社会最优（b）感染节点预期分数的比较。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1疫苗接种成本（c）0.10.20.30.40.50.6NE，=1NE，=0.85NE，=0.7社会最优（c）社会成本比较。图2：在指数为3的幂律度分布网络中，受感染节点的概率阈值、预期分数以及对感染概率的真实感知和行为感知的社会成本（带有预加权函数）。参考文献【1】T.Alpcan和T.Bas,ar，《网络安全：决策和博弈论方法》。剑桥大学出版社，2010年。[2] R.Pastor Satorras、C.Castellano、P.Van Mieghem和A.Vespignani，《复杂网络中的流行病过程》，《现代物理学评论》，第87卷，第3期，第9252015页。[3] A.R.Hota和S.Sundaram，“行为概率加权下网络上的相互依存安全游戏”，IEEE Transactionson Control of Network Systems，vol.5，no.1，pp.262–2732018。[4] K.Drakopoulos、A.Ozdaglar和J.N.Tsitiklis，“什么时候很难消除网络恐惧症？”运筹学数学，第42卷，第1期，第1-14页，2016年。[5] A.R.Hota，“博弈论和行为决策对共享系统和网络的鲁棒性和安全性的影响”，普渡大学博士论文，2017年。[6] F.Vanderhagen，“迈向更高的系统弹性：基于网络物理和人类系统中人的可靠性不协调控制的新挑战”，《控制年鉴》，第44卷，pp。