最小阶闭子格与期权生成

对于的子集Wl∞ 十、 在中表示其顺序闭包l∞在X中，分别用wo1和Wo2表示。类似地，对于各个uo闭包。根据引理2.6，在l∞和元素e∈ l∞使e∈Yuo1\\Yo1，其中Y=Lu，v。我们声称∈Yuo2\\Yo2。自从l∞是常规的，每个uo空网络l∞根据[13，定理3.2]，uo在X中为null，这意味着e∈Yuo1 Yuo2。如果e∈ 那么y中存在一个网络（yα），使得yαo-→ 通过传递到尾部，我们可以假设（yα）同序，因此范数，在X下。然后它是范数，因此顺序，在l∞. 通过[13，花冠y 2.12]，我们得到了that yαo-→ e英寸l∞, 与我们选择的e 6相矛盾∈Yo1。这证明了（7）=>（1） 。下一个主要结果（定理2.9）是定理2.7的“本地化”版本。在许多情况下，Italso还可以生成期权空间的顺序闭包信息。首先回顾一下，Ba-nach晶格X的顺序连续部分Xa是X中所有向量X的集合，因此[0，| X |]中的每个不相交序列都是范数null。它是X的最大范数闭理想，其本身是阶连续的。对于概率空间上定义的Banach函数空间X(Ohm, ∑，P），众所周知，很容易看出，1∈ Xai ffx包含常量函数，一个ndlimP（a）→0k1Ak=0。()引理2.8。设X是上的Banach函数空间(Ohm, ∑，P）使得1∈ Xa和f∈ X+。让g∈ X+是一个有界函数，它是序列inOf的a.s-极限。对于任何ε>0，存在h，h∈ X+和a集a∈ ∑s uch该P(Ohm\\A） <ε，补充h A、 补充h Ohm\\A、 k（克- h） 1Ak公司∞< ε、 khk<ε和h+h∈ 属于证据假设0≤ g级≤ 1、设ε>0。根据(), 存在δ∈ （0，ε）使得k1Ak<ε∈ ∑和P（A）<δ。

由于g是一个序列的a.s-极限，根据Egoroff定理，存在h∈ Ofand A∈ ∑这样k（g- h） 1Ak公司∞< ε、 和P(Ohm\\A） <δ。因为OFI是包含1的子晶格，所以用h替换h+∧ 1，我们可以假设0≤ h类≤ 1、设置h=H1A和h=h1Ohm\\A、 显然，我们有P(Ohm\\A） <ε，最小阶闭子格和选项跨越9supp h A、 补充h Ohm\\A、 k（克- h） 1Ak公司∞< ε和h+h∈ 属于此外，| h |≤ 1.Ohm\\A因此khk≤ k1Ohm\\Ak<ε自P(Ohm\\A） <δ。定理2.9。设X是σ-阶完备Banach格，且设0<X∈ Xa。然后，每y关闭一个订单≥ 特别是，如果X是一个Banach函数(Ohm, ∑，P）使得1∈ Xa，Thenofis订单每f关闭一次≥ 0.证明。我们首先证明特殊情况。假设1∈ Xa。根据定理2.2，必须证明fo=of，或等价地，of Ofo，因为反向归纳很清楚。取任意g∈Ofuo公司。在不丧失一般性的情况下，假设g≥ 根据备注2.3（1），g是序列的a.s.-极限。对于每个n∈ N、 letgn=g∧ 很明显，每个GNI都是X+中的有界函数，并且是的序列的a.s.-极限。通过引理2.8，我们找到hn，hn∈ X+和a集∈ ∑这样P(Ohm\\An）≤n、 支持hn An，补充hn Ohm\\An，k（gn- hn）1银行∞<n、 （1）khnkX<nand hn=hn+hn∈ 属于设Bn={g≤ n} T型(∩∞m=nAm）。然后乘以（1），k（g- hn）10亿∞≤ k（gn- hn）1银行∞= k（gn- hn）1银行∞≤n、 （2）自Bn以来↑ 和P（十亿）→ 1，从（2）可以看出，hna。s--→ g、 自supp hn起 安，我们有0≤ hn公司≤ g+1∈ X乘以（1）。因为h：=pnhn在X中收敛，所以0≤ hn公司≤ g+1+h∈ X表示所有n，因此（hn）在X中有阶界。因此，hno→ g和g∈Ofo。这证明了特殊情况。对于一般情况，假设0<x∈ XA和y>0。设B和I分别是x生成的bandand范数闭理想。自从我 Xa，I是有序连续Banach格。

因此，我们可以将I视为某个概率空间上的理想(Ohm, ∑，P），x对应于1（[18，定理1.b.14]）。显然，L（∑）是I的泛完备，由于I在B中是阶密的，我们可以看到B是L（∑）的阶密子格（[3，定理23.2 1]）。利用B的σ-序完备性和L的可数sup性质，直接证明B是序完备性，因而是L的理想（[3，定理2.2]）。因此，B是上的Banach函数空间(Ohm, ∑，P），a nd1=x∈ 文学学士。现在假设z∈Lx，yoo。在不丧失一般性的情况下，假设z≥ 设Pbe是从X到B的B和d投影。由于P是格同态，P（Lx，y）=LP X，P y=Lx，P y=L1，P y=OP y。此外，由于P是顺序连续的，因此P z∈P（Lx，y）o′o′=OP-yo′o′=OP-yo′，10 N.GAO和D.Leung，其中o′表示在B中进行顺序闭包，最后一个等式遵循前一种情况。请注意，B具有可数sup属性，因此我们可以在OP Y中找到一个正序（wn），例如wno-→ B中的P z。我们可以写w=P un，其中0≤ 联合国∈ 很明显，（P un）是有序的，比如P un≤ A对于所有n≥ 1和一些a∈ X+。然后从| P（un∧ nx）- P z |≤ |P un- P z |+| P un- P（un∧ nx）|=| P un- P z |+| P un- （P un）∧ （nx）|=| P un- P z |+（P un- nx）+≤|P un- P z |+（a- nx）+thatP（un∧ nx）o-→ X中的P z。注意I- P也是格同态和（I- P）x=0。因此，（I）- P）u∈ 跨度（I-P）y表示任何u∈ Lx，y.如下（I- P）z∈ 跨度（I-P）是的，比如说- P）z=λ（I- P）y.现在放置zn=un∧ nx+λ（y- y∧ nx）∈ Lx，y.自y起∧ nx公司↑ y、 P氧化锌-→ P z.显然，（I- P）zn=λ（I- P）y=（I- P）z.因此，zno-→ z在X中，所以z∈Lx，yo。这证明Lx、YO的订单已关闭。

Orlicz空间在数学金融和经济学中被用作模型空间的一般框架；例如，参见[5、7、11、12、15]。在此设置中，我们陈述定理2.9。关于Orlicz函数和空间的定义，请参考[8，第2章]。推论2.10。期权空间的序闭包≥ 在概率s空间上的Orl i cz空间LΦ中为0。证据如果Φ是有限值，那么众所周知，1∈ （LΦ）a，因此定理2.9适用。如果Φ不是有限值，则LΦ=L∞. 如果一个序列（gn）在Ofconvergesa中。s、 给一些g，然后 （gn）∧ M1）∨ (-M1）o-→ g英寸L∞, 其中M=kgk∞. 示例2.11。存在一个Banach函数空间X，对于该函数空间X，对于某些f，它的非序闭≥ 的确，取任意非序连续的Banach函数空间X′。然后根据定理2.7，我们可以发现x，y>0，使得Lx，yo不是阶闭合的。用x+y替换y，我们可以假设0<x<y。通过限制y，我们可以假设y>0 a.s。然后x：={fy:f∈ 范数为kfykX的X′}：=kf kX′是Banach函数空间，1，X/y∈ 十、 andOx/Yo在X中不是有序闭的。我们的下一个结果是，当Y是正则的时，Yo是o-闭的。以下lemmais是众所周知的，并且在[19]中也观察到了。最小阶闭子格和选项跨越11引理2.12。设X是序完备向量格，Y是X的子格。那么Y在X-if上是顺序闭的，在ly-if上，对于Y+的任何子集A，它的上界X，无论何时存在，都属于Y。定理2.13。设X是向量格，Y是X的正则子格，然后yuo=Yo，两者都是有序的。此外，如果0<x∈ 那么在y+中存在一个et（yα），使得yα↑ x在x.Proof中。首先假设X和Y都是顺序完成的。对于任何0≤ x个∈Yo，取y中的（yα）+这样的yαo-→ x中的x。我们可以假设（yα）在x+中是有序的。那么x=supαinfβ≥αyβ，其中inf和sup取X。

请注意，（yβ）β的上限≥α根据Y的阶完备性存在于Y中，并且等于（Yβ）β的上限≥α在X中，通过Y的正则性。放置zα=infβ≥αyβ。然后（zα） Y+，sup zα=x(o)在X中取上确界。现在选择（Yo）+的任何子集A，其在X中有一个上确界X。对于任何A∈ A、 我们可以通过(o), a在Y+中设置Aa，这样sup Aa=X中的a。很明显，sup∪一∈AAa=x中的x。为∪一∈AAa，我们得到了一个Y+中的网络，它增加了x中的t o x，其中x∈哟。这证明了YO在X中的阶由引理2.12闭合。通常，根据【13，定理2.10】，Y的序完备Yδ是X的序完备Xδ的正则子格。因此，在前一种情况下，Xδ中的序完备Yδ是Xδ中的序闭子格。我们声称yδo∩ X=Yo。对于任何x∈y中存在一个网络（yα），使得yαo-→ x中的x。根据[13，推论2.9]，我们有yαo-→ x在xδ中，因此x∈Yδo。它接着是Yo Yδo∩ 十、 相反，选择X∈ Yδo∩ 十、 假设不丧失一般性≥ 0。由(o), 我们可以找到子集a （Yδ）+使得x=xδ中的sup A。根据Y在Yδ中的顺序密度，对于每个a∈ A、 我们可以找到Aa Y+使得a=sup Aain Yδ，因此，在Xδ中，通过Yδ在Xδ中的规律性。因此∪一∈AAais是Y+的子集，其上确界等于xδ中的x，因此，在x中∪一∈Aayields a net in Y+在x中增加到x；因此，x∈ 哟。这证明了这一说法。最后，让（yα）是yo和x中的一个网∈ Xsuch that yαo-→ x在x中，然后（yα） Yδoby根据权利要求，Yαo-→ x在xδ中，它来自于x的yδ的阶闭度∈ Yδo。因此，x∈ 哟，按索赔人的说法。这证明您的订单已关闭。12 N.GAO和D.Leung 3。可测性在[19，20]，Luxemburg和de Pagter中，与向量格中的可测性相关的阶闭子格。利用它们的结果，我们可以提供另一种获得最小阶闭子晶格的方法。

我们首先回顾了[19]中的一些定义。设X为弱单位u＞0的序完备向量格。集合集合u的所有组件，即所有x∈ X使得（u- x）∧ x=0。CUI的一个子集，称为Cuif 0的完全布尔子代数∈ F、u- 一∈ F代表anya∈ F和sup C∈ F表示F的任何子集C o F。对于这样的F，向量x∈ 如果P（λu），则X相对于F是可测量的-x） +u=supn≥1（n（λu- x） +）∧ u∈ Ffor所有λ∈ R、 用L（F）表示X中相对于F可测量的所有元素的集合。对于X的子集a，用σ（a）表示CU的所有完备布尔子代数的交集，每个∈ A是可测量的；显然，它是Cu中最小的完全布尔子代数。示例3.1。给定概率空间(Ohm, ∑，P），对于∑的σ-子代数a，putF={1F:F∈ A}。然后简单应用L（∑）的可数sup性质，得到F是Cin L（∑）的完全布尔子代数。相反，ifF是Cin L（∑）的完全布尔子代数，然后是a：={f∈ ∑：1F∈ F}是∑的σ-子代数。定理3.2（【19】）。Le t X是弱单位u>0的序完备向量格，F是Cu的完备布尔子代数。那么L（F）是X的有序闭子格。下一个命题是定理3.2的更精确版本。提案3.3。设X是弱单位u＞0的序复向量格，a是X的子集。则L（σ（a））是包含a和u证明的s最小序闭子格。很明显，u∈ σ（A） L（σ（A））。因为每个a∈ A相对于σ（A）是可测量的，A也是直接的 L（σ（A））。现在，设Y是X的有序闭子格，其中包含A和u∩特写。我们首先声称，Fis是Cu的一个完全Boo-lean子代数。事实上，很明显F Cu，0∈ F，如果v∈ F然后u- v∈ F

现在如果C F，则X中C的上确界通过引理2.12归属于Y。根据[2，定理1.49]，X中C的上确界也属于Cu，因此也属于F。这证明了这一说法。接下来，我们展示σ（A） F，或等效地，每个a∈ A相对于F是可测量的。的确，对anya来说∈ A、 任意λ∈ R和任意n≥ 1，我们有n（λu- （a）+∧ u∈ Y因此，它们在X中的最大值，在所有n中∈ N、 也属于t-o-Y，引理2.12。注意，最小阶闭子格和选项跨越13这个上确界就是P（λu-a） +u；因此，我们得到P（λu-a） +u∈ Y∩ Cu=F。这证明了a可以根据需要相对于F进行测量。最后，对于anyx∈ L（σ（A）），根据[19，命题2.6]，在跨度（σ（A））中存在一个序列（xn），使得xno-→ x中x。自σ（A）起 F Y，我们有xn∈ 每个n对应Y。从Y的o阶贴近度得出x∈ Y因此，L（σ（A）） Y命题3.3和定理2.2的组合（参见备注2.3）立即给出(*) 在生产中。事实上，利用命题3.3和定理2.9，我们得到了如下期权的强大跨越能力。推论3.4。设X是概率空间s uch1上的Banach函数空间∈ Xa，设f∈ X+。那么X（σ（f））=Ofo。下面是命题3.3和定理2.13的直接结果。推论3.5。设X是弱单位u＞0的有序完备v向量格，Y是X的正则子格，其中包含u∈ L（σ（Y））i如果Y中存在净（Yα），则Yαo-→ x中的x。此外，如果x>0，则（yα）可以变为正并增加。对于Cu的完全布尔子代数F，很容易看出Span（F）是X中的正则子格，σ（Span（F））=F。

因此，推论3.5可以被视为[19，Propo position 2.6]的推广，这本质上是弗洛伊德塔尔的光谱定理。下面也是命题3.3的直接结果，并扩展了[16，引理2.2]。推论3.6。设X是一个弱单位u＞0的序完备v向量格，Y是X的一个子格，其中包含u。则Y是序闭的，当且仅当且仅当ifY=L（σ（Y））。示例3.7。设Y是Ba-nach函数空间Xover中的序闭子格(Ohm, ∑，P）。那么就存在u∈ Y+和∑的σ-子代数G，使得Y={G∈ X:g=uh，h是g-可测的}。事实上，我们知道X有一个弱单位e。根据X的可数sup性质，可以在Y+中取一个序列（gn），这样supn（gn∧ e） =supg∈Y+（g∧ e） 在X.ThenPNgnnkgnk+1中↑ u代表一些u∈ 十、 很明显，u∈ Y+，对于任何g，P（supp g\\supp u）=0∈ Y因此，通过对u的支持，我们可以假设u是X的弱子代数。根据推论3.6，我们得到Y=L（σ（Y）），其中σ（Y）是由Y在Cu中生成的完备oolean子代数。CU中的每个成员都有表格1AUF，用于某些集合A∈ ∑。将σ（Y）中的所有这些A集合在一起，形成∑的σ-子代数，我们用G表示。现在，对于每个0≤ g级∈ L（σ（Y）），根据[19,14 N.GAO和D.Leung命题2.6]，在跨度σ（Y）中存在一个序列（gn），使得0≤ gn公司↑ g英寸。当然，gn=hnu，其中hn是G上的一个简单函数，0≤ hn公司↑. Leth=林恩。那么h相对于G是可测量的，G=uh。相反的结论也可以得到类似的证明。参考文献【1】Y.Abramovich，C.D.Alipr antis，对算子理论的邀请。《数学研究》第50卷，美国数学学会，普罗维登斯，2002年。[2] C.D.Aliprantis，O.Burkinshaw，正算子。荷兰斯普林格，2006年。[3] C.D.Aliprantis，O.Burkinshaw，局部实Riesz空间。学术出版社，纽约，1978年。[4] G.Bakshi，D。

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