最小阶闭子格与期权生成

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英文标题：
《Smallest order closed sublattices and option spanning》
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作者：
Niushan Gao, Denny H. Leung
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Let $Y$ be a sublattice of a vector lattice $X$. We consider the problem of identifying the smallest order closed sublattice of $X$ containing $Y$. It is known that the analogy with topological closure fails. Let $\\overline{Y}^o$ be the order closure of $Y$ consisting of all order limits of nets of elements from $Y$. Then $\\overline{Y}^o$ need not be order closed. We show that in many cases the smallest order closed sublattice containing $Y$ is in fact the second order closure $\\overline{\\overline{Y}^o}^o$. Moreover, if $X$ is a $\\sigma$-order complete Banach lattice, then the condition that $\\overline{Y}^o$ is order closed for every sublattice $Y$ characterizes order continuity of the norm of $X$. The present paper provides a general approach to a fundamental result in financial economics concerning the spanning power of options written on a financial asset.
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中文摘要：
设$Y$是向量格$X$的子格。我们考虑了识别包含$Y$的$X$最小阶闭子格的问题。众所周知，拓扑闭包的类比是失败的。设$\\ overline{Y}^o$为$Y$的订单闭包，由$Y$中元素网络的所有订单限制组成。那么$\\第{Y}^行上的$^ o$就不需要关闭订单。我们表明，在许多情况下，包含$Y$的最小阶闭子格实际上是二阶闭包$\\ overline{\\ overline{Y}^o}^o$。此外，如果$X$是$\\ sigma$序完备Banach格，那么$\\ overline{Y}^o$对于每个子格$Y$是序闭的条件刻画了$X$范数的序连续性。本文提供了金融经济学关于金融资产期权跨越能力的基本结果的一般方法。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Functional Analysis        功能分析
分类描述：Banach spaces, function spaces, real functions, integral transforms, theory of distributions, measure theory
Banach空间，函数空间，实函数，积分变换，分布理论，测度理论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：Mathematical Quantitative distribution mathematica mathematics

最小阶闭子晶格和期权Panningniushan GAO和DENNY H.LEUNGAbstract。设Y是向量格X的子格。我们考虑了识别包含Y的X的小t阶闭子格的问题。众所周知，与拓扑闭包的类比是失败的。LetYobe是Y的序极限，包含Y元素网络的所有序极限。那么你就不需要关闭订单了。我们证明了在许多情况下，最小阶闭s子格包含Y实际上是二阶闭O。此外，如果X是σ阶完备Banach格，则每个子格Y的序闭条件刻画了X范数的序连续性。本文提供了金融经济学中关于金融资产期权跨越力的基本结果的一般方法。1、引言1.1。动机。允许Ohm 是一个有限的集合，代表终端日期静态金融市场的状态空间。市场中的金融资产由函数f表示Ohm. 在价格为k的资产f上写的看涨期权（分别为看跌期权）∈ R可以表示为（f- k1）+（分别为，（k1- f） +）。其中1表示上的常数1函数Ohm. 在开创性的论文【23】中，Ross指出，如果标的资产在最终日期将市场状态分离，那么该资产的期权将产生完整的市场，即，每一项未定权益都由该资产上的一些看涨期权和看跌期权的组合来实现。数学上的峰值，意味着对于任何内射函数f∈ ROhm,ROhm= 跨度（f）- k1）+，（k1）- f） +：k∈ R.罗斯首创的期权完全市场概念是现代金融经济学的核心（[4]），并一直在进行广泛的探索。日期：2017年3月30日。2010年数学学科分类。46A40、06F30、54F05。关键词和短语。

序闭子格、选项生成、uo闭包、o序闭包。第一作者是PIMS博士后研究员。他还感谢中国国家自然科学基金会（编号：11601443）的支持。第二作者部分得到了AcRF赠款R-14 6-000-242-114.2 N.GAO和D.LEUNGIn的支持。特别是，Ross的结果已经扩展到了具有房地产空间的金融市场。让(Ohm, ∑，P）是概率空间。对于资产f∈ Lp（∑），1≤p≤ ∞ , 其期权空间由OF定义：=跨度（f）- k1）+，（k1）- f）+：k∈ R.通过Nachman【22】、Galvani【9】、Galvani和Troitsky【10】的工作，确定了如果f是有限责任的，即f≥ 公元前0年，塞纳法。s∩ Lp（σ）=of k·kp=Lp（σ（f）），对于1≤ p<∞,Ofa。s∩ L∞（∑）=σ（L）的∞,五十） =L∞（σ（f））。这里是Ofa。s、 是几乎可以确定序列极限的所有随机变量的集合，σ（f）是由f生成的σ-代数。最近，这些结果已在[16]t中推广到Lp以外的模型空间，使用拓扑σ（X，X~n） ，其中X~X的nis阶连续对偶。具体地说，设X是L（∑）的理想（即实子空间），其中包含常数1函数，并包含严格正阶连续泛函。那么对于任何有限责任资产∈ X+，它等于A。s∩ X=σ（X，X）的~n） =X（σ（f））。(*)这里，X（σ（f））是X中所有σ（f）可测量的随机变量的集合，并被解释为所有写在资产f上的财务索赔的集合，其中期权显然是基本的。因此(*) 声称资产f上的everyclaim是f上一系列期权组合的a.s.限制。

值得一提的是，期权的这些跨越性质在[6，16，22]中的价格扩展研究中发挥了非常有用的作用。用来证明的基本事实(*) 这是一个美丽的定理，由经济学家斯伯恩和罗斯（[6，定理（1）]）提出，它断言，对于任何0≤ s≤ auniformly完备向量格X中的b，Span{（s- kb）+，（kb）- s） +：k∈ R} 是包含s、b的X的最小子格。这尤其意味着任何有限责任资产f的期权空间是子格（见下文L emma 1.1）。A请仔细查看（*) 显示中的术语(*) 正是包含的X的smallestorder闭子格。这促使我们研究包含给定子晶格的最小有序闭子晶格。我们的研究为期权的跨越能力提供了一种通用方法。本文的结构如下。在第2节中，我们证明了在许多Banach格中，包含给定子格Y的最小阶闭子格与Y的uo闭包以及Y的二阶闭包重合（定理2.2）。还表明，如果（且仅当）σ阶完备Banach格X中任何最小阶闭子格和期权跨越3个子格Y的（一阶）闭包是阶闭的，则X是同序连续的（定理2.7）。另一方面，定理2。9表明，对于一类Banach函数空间，Salready序期权空间的序闭包对于所有f≥ 同样，定理2.13表明向量格的任何正则子格的序闭包都是序闭包。这些结果表明，子晶格的顺序闭包行为可能非常微妙。在第3节中，我们遵循Luxemburg和de Pagter[1 9，20]的方法，将订单关闭与可测性联系起来。

推论3.4表明，有限责任资产上的期权通常具有强大的跨越能力，即资产上的每项债权都是一系列期权组合的顺序限制。1.2。符号和事实。我们采用[2，3]作为向量格和Banach格上未解释终结论和事实的标准参考文献。有关uoconvergence的一般情况，请读者参阅[13]及其参考文献。A净（xα）α∈向量格中的ΓX称为t阶收敛于X∈ 十、 写为Xαo-→ x、 如果存在另一个净（aγ）γ∈满足aγ的∧in X↓ 任何γ的0和fo∈ ∧存在α∈ Γ这样| xα- x |≤ aγ表示所有α≥ α；（xα）被称为无界orderconverge（简称uo converge）到x∈ 十、 写为Xαuo-→ x、 如果| xα- x |∧ 哟-→ 0对于任何y∈ X+。众所周知，对于函数空间X中的序列（fn），fno-→ 0英寸X英寸。s--→ 0且存在F∈ X使得| fn |≤ F代表所有n≥ 1和fnuo-→ 0英寸X英寸。s--→ 回想一下，如果kxαk，Banach晶格是有序连续的→ 当xαo时为0-→ 0、序连续双X~向量格的nof x是阶连续的所有线性泛函φ的集合，即φ（xα）→ 当xαo时为0-→ X中的0。如果X是Banach la t tice，则X~nis X中的a带*.概率空间上的Banach函数空间(Ohm, ∑，P）是L（∑）的理想，具有完全范数，使得kfk≤ kgk时| f |≤ |g |。每个Banachfunction空间都有一个分离阶连续对偶（[1，定理5.25]），并具有可数sup性质，即每个具有上确界的集合都允许一个具有相同上确界的可数子集（[21，引理2.6.1]）。设X为向量格。对于任意x，y∈ X+，用Lx表示，y包含X，y的最小子格。回想一下，Banach格和σ-阶完备向量格是一致完备的。因此，下面的引理适用于它们。引理1.1。

对于任意x，y≥ 均匀复杂向量晶格中的0 X，Lx，y=跨度（十）- ky）+，（ky）- x） +：k∈ R.证据注意，当我们用x+y替换y时，两边保持不变。现在用s=x和b=x+y来应用[6，定理（1）]。4 N.GAO和D.Leung 2。主要结果对于向量latt ice X的子集a，我们将其顺序clos ure（缩写为o-闭包）定义为所有X的集合∈ X使得Xαo-→ 对于A中的某些网络（xα），x中的x。如果A=Ao，我们说A在x中是阶闭的（缩写为o-闭的）。我们同样定义了给定子集的O闭包和O闭包。由于晶格操作是horder连续和uo连续的，很容易看出子晶格的o和uo闭合仍然是子晶格。然而，子晶格的顺序闭包不必是顺序闭包。这是本文的主要研究对象。引理2.1。设Y是向量格X的子格，I是X的理想~n、 ThenYo公司 Yuo公司 Yoo公司Yσ（X，I）。此外，（1）如果OIS阶闭，则它是包含Y的X的最小阶闭子格，且Yo=Yuo；（2） 如果uO是阶闭的，那么它是x包含Y的最小阶闭子格，并且Yuo=Yoo；（3） 如果在条件下，I分离X的点，那么Yσ（X，I）是一个包含Y的序闭子格。证据很明显，哟 是的。自从我 十、~n、 Yσ（X，I）在X中是顺序闭合的。特别是，YooYσ（X，I）。设（yα）是y中的一个网，使得yαuo-→ x中的x。通过分别考虑正负部分，我们可以假设（yα） Y+和x≥ 0.对于每个固定的β，它遵循| yα∧yβ-x个∧yβ|≤ |yα-x个|∧yβ，yα∧ yβo-→ yβ∧ x在x中，因此，yβ∧ x个∈哟。通过| yβ∧ x个- x |≤|yβ- x |∧ x、 因此yβ∧ xo公司-→ x在x中，因此，x∈Yoo。这证明了 Yoo。项目（1）和（2）现在已清除。假设我把X的点分开。

根据[2，定理3.50]，X在|σ|（X，I）下的拓扑对偶是精确的，因此根据马祖定理，Yσ（X，I）=Y |σ|（X，I）。(*)这意味着，根据[2，定理3.46]，yσ（X，I）是X的一个子格。请注意，【13，命题3.15】断言子晶格是o-闭的，如果它是uo-闭的，则紧跟在fr om引理2.1之后。定理2.2。设X是Banach格，Y是X的子格，I是X的阿尼尔~n分离X的点。假设X具有可数s up属性。它们都是X包含Y的最小阶闭子格。最小阶闭子格和选项跨越5Proof。根据引理2.1和(*), 必须显示y |σ|（X，I） 是的。回想一下，X的订单完成Xδ也是一个具有可计算sup属性的Ba nach latt冰。还请注意，I中的每个成员唯一地扩展到Xδ上的一个阶连续泛函（[2，定理1.65]），并且这些扩展泛函的集合是（Xδ）的理想集合~n Xδ的分离点。此外，X中的网络在X中为uo null，而在Xδ中为uo-null（参见[13，定理3.2]）。因此，绕过Xδ，可以假设X是顺序完成的。回想一下，如果0≤ φ∈ 十、~n、 其零理想和载流子分别由nφ={x定义∈ X：φ（| X |）=0}，Cφ=Ndφ。权利要求1。对于某些φ，X+中的每个序列（xn）都包含在Cφ中∈ I+。实际上，对于每个φ∈ I+，设Pφ为Cφ上的带投影。对于每个n，（Pφxn）φ是一个向上的ds定向网络，b以xn为圆心。因为，对于任何ψ∈ I+，ψ（xn- supφ∈I+Pφxn）≤ ψ（xn- Pψxn）=0，I分离X的点，xn=supφ∈I+Pφxn。由于X具有可数sup性质，因此存在一个序列（φnm）min I+，使得xn=supmPφnmxn。设φ=Pm，nφnmm+nkφnmk+1。然后0≤ φ∈一、 自Pφnmxn起∈ Cφnm 对于所有的m，n，Cφ是一个带，我们看到xn∈ Cφ表示所有n。因此，证明了该主张。权利要求2。

对于某些0，If（xn）是Cφ中的序有界序列≤ φ∈ 十、~nandPφ（| xn |）<∞, 然后（xn）阶收敛到0。设置u=infksupn≥k | xn |。由于φ是顺序连续的，φ（u）≤Pn编号≥kφ（| xn |）对于所有k。因此，φ（u）=0。此外，u∈ Cφ，因为Cφ是一个带。它允许u=0。因此，（xn）阶收敛到0，证明了该主张。假设为0≤ x个∈Y |σ|（X，I）。根据权利要求1，选择φ∈ I+这样x∈ Cφ。给定任意n∈ N、 选择ψ∈ I+使得kφ- ψk<nkxk+1，选择yn∈ Y+使得ψ（| yn- x |）<n.然后φ（| yn- x |∧ x）≤ kφ- ψkkxk+ψ（| yn）- x |）≤n、 根据权利要求2，（| yn- x |∧ x） 顺序收敛到0。现在选择φ′∈I+这样x，yn∈ 自（| yn）起所有n的Cφ′- x |∧ x） 阶收敛到0且φ′同序连续，我们可以假设φ′（| yn- x |∧ x）≤对于所有n。如上所述，对于每个n，都存在zn∈ Y+使φ′（| zn- x |∧ yn）≤n、 对于任何w∈ X+，φ′（| zn∧ yn公司- x |∧ w）≤ φ′（| zn∧ yn公司- x个∧ yn |）+φ′（| x∧ yn公司- x |）≤ φ′（| zn- x |∧ yn）+φ′（x）∧ |yn公司- x |）≤n6 N.GAO和D.Leung根据权利要求2针对所有N.，（| zn∧ yn公司- x |∧ w） 顺序收敛到0。这证明（zn∧ yn）uo-收敛于x。因此，x∈是的。显然，定理2.2适用于概率空间上的Banach函数空间。备注2.3。（1） 我们的证明得出，在定理2.2if x的假设下∈如果x仅仅是一个向量格，但在x上包含一个严格正阶连续泛函φ，则定理2.2的结论仍然成立。备注2.4。（1） 定理2.2特别暗示，当Y是子格时，Yσ（X，I）可能独立于I。这表明，当涉及到序结构时，to-polologic属性可能会显著改善。（2） 查看l∞作为的对偶空间l. 对于中的子集al∞, 用A（1）itsw表示*-顺序闭包，通过A（n+1）w*-A（n）forn的序贯闭包≥ 1、注意，对于l∞.

的确，如果anw*-→ x、 那么（an）在l∞收敛到x坐标ewise，所以-→ x英寸l∞. 相反，如果一个有序的网络收敛于x，那么通过传递到一个t轨道，我们可以假设它是bo unded的。很明显，我们可以从中提取一个序列。收敛到x坐标，因此，在w*由Lebesgue支配的收敛定理。这一观察结果与定理2（与I=(l∞)~n=l), 表示thatY（2）=Yw*对于任何子晶格Yl∞. 这与奥斯特罗夫斯基定理（参见[17，定理2.34]）形成了鲜明的对比，这意味着l∞有一个子空间W，例如t ha tW（1）$W（2）$·Ww*.它再次表明，有序结构改善了拓扑特性。问题2.5。向量la t tice X的每个子格的序是否都是闭合的？如果我们不考虑YOUIN问题2.5，而考虑YOUIN问题2.5，那么事实证明，pr问题的有效答案表征了X的顺序连续性。我们从一个引理开始。引理2.6。存在u，v>0英寸l∞这样，Lu，vo6=Lu，vuo。证据看待l∞像l∞（N×N），并写入每个元素x∈ l∞（N×N）as x=（xmn）m，N≥1，其中xmn∈ 对于所有m，n≥ 1、选择严格递增序列（cmn）∞n=1，m∈ N、 和（cm）∞m=1最小阶闭子格和选项跨越7（1）（cmn）∞n=1对于所有m，与cm重合，（2）0<cm<cm+1，对于所有m，n<1。设u=（umn）∈ l∞和v=（vmn）∈ l∞, 其中，对于所有m，n，um1=mand-um，n+1=1，vm1=cmand-vm，n+1=cmn≥ 1、对于任何k，j∈ N、 如果ckj<α<α′<ck，j+1和ck<β<β′<ck+1,1，那么直接计算表明，如果我们为元素（v- βu）+- （五）- β′u）+β- β′型-（五）- αu）+- （五）- α′u）+α- α′，则kxkjk1=1，如果2，则kxkjkn=0≤ n≤ j+1，如果m 6=k，则xkjmn=0。设yj=Pjk=1kxkj。然后是yj∈ Lu、v和（yj）以坐标系收敛到元素e∈ l∞（N×N）如果N=1，则由emn=1给出，否则为0。因此e∈Lu，vuo。我们现在显示e 6∈Lu，vo。

否则，我们可以在Lu，v中找到一个顺序，因此没有r m，有界序列（z（N）），对于任何m，N，limNz（N）mn=emn≥ 1、对于任何m≥ 2，我们可以选择N个足够大的ge，使得| z（N）m1- 1 |<，因此t z（N）m1>。观察limnz（N）mn=mz（N）m1，因为这适用于u和v，因此适用于Lu，v中的每个向量。因此，kz（N）k∞≥m、 通过m的任意性，这与（z（N））的有界性相矛盾。因此，e 6∈所以Lu，vo6=Lu，vuo。回想一下，向量晶格X的子晶格Y被称为正则的，如果任何在Y中减小到0的网络Y在X中也减小到0。定理2.7。设X是σ-阶comp l ete Banach格。以下是等效的。（1） X是顺序连续的。（2） Yo=Yσ（X，X~n） 对于X.（3）的每个子晶格Y，对于X.（4）的每个子晶格Y，Yo=yuof或X.（5）Lx，Yo=Lx，Yσ（X，X~n） 对于所有x，y∈ X+。（6） Lx，yois订单全部x，y关闭∈ X+。（7） Lx，yo=Lx，yuofor all x，y∈ X+。证据假设（1）成立。那么，每阶收敛网络都不是r-m收敛的。还要注意，每个范数收敛序列都允许一个子序列序收敛到相同的极限（参见[14，引理3.11]）。因此，任何集合的阶闭包都与其范数闭包一致。此外，σ（X，X~n） 现在是weak8 n.GAO和D.LEUNGtopology，因此是σ（X，X~n） -闭合与弱闭合重合。因此，（2）马祖定理成立。含义（2）=>（3） 是立即的，因为σ（X，X~n） -任何集合的闭包都是顺序闭包。含义（3）=>（4） 遵循引理2.1。同样，我们得到（1）=>（5）=>（6）=>（7） 。显然，（4）意味着（7）。有待证明的是（7）=>（1） 。假设X不是顺序连续的。那么X有一个晶格同构副本l∞. [2，定理4.51]的证明表明l∞可以选择在X中为正则。