金融网络的社会动力学

在下文中，我们首先推导了一般情况下Q（NP）和K（NP）的函数形式。然后，我们将把注意力限制在ρ（a）=1（即均匀分布）和u（ai，aj）=（aiaj）α的情况下，以解释与正文中相同规范之间的经验超线性关系。包括孤立节点在内的网络的平均度，k（NP）给定所有节点的属性a=（a，a，…，aNP），节点i具有度kiisg（ki | a）=Xci“Yj6=iu（ai，aj）cij（1）的可能性- u（ai，aj））1-cij#×δXj6=Icj，ki！，【S4】其中CIJ∈ {0，1}是邻接矩阵的（i，j）-元素，ci=（c1i，c2i，…，cNPi）>是第列向量。函数δ（x，y）表示Kroneckerδ。让我们在公式（S4）asfj（cij；ai，aj）的方括号中重新定义产品术语≡ u（ai，aj）cij（1- u（ai，aj））1-cij。[S5]Sinceg（ki | a）是{fj（cij；ai，aj）}j的卷积，其生成函数^gi（z | a）≡Xkizkig（ki | a）[S6]分解为^gi（z | a）=Yj6=i^fj（z；ai，aj），[S7]，其中^fjis是由^fj（z；ai，aj）给出的fj（cij；ai，aj）的生成函数≡Xaijzaijfj（aij；ai，aj）。【S8】pkinp节点i具有度ki，并且与g（ki | a）相关，因此p（ki；NP）=Zg（ki | a）ρ（a）da，【S9】其中我们定义ρ（a）≡Qiρ（ai）和Da≡奇戴。因此，^gi（z | a）相对于z的差异可提高平均度k（NP）：k（NP）=Xkikip（ki；NP）=XkikiZg（ki | a）ρ（a）da=ddzZ^gi（z | a）ρ（a）daz=1=ddzZρ（ai）daiYj6=iZ^fj（z；ai，aj）ρ（aj）dajz=1=zρ（ai）daiddzZ^f（Z；ai，h）ρ（h）dhNP-1.z=1=（NP- 1） Zρ（ai）daiZdaρ（a）^f（z；ai，a）NP-2×Zdaρ（a）ddz^f（z；ai，a）z=1。【S10】来自等式。（S5）和（S8），我们有^f（z；ai，a）=Pcijzcijf（cij；ai，a）=（z- 1） u（ai，a）+1。因此zdaρ（a）^f（z；ai，a）=（z- 1） Zdaρ（a）u（ai，a）+1，[S11]Zdaρ（a）ddz^f（z；ai，a）=Zdaρ（a）u（ai，a）。【S12】将其代入等式（S10）中，导致tok（NP）=（NP- 1） Z Zdadaρ（a）ρ（a）u（a，a）。【S13】应注意的是，等式（S13）等同于Ref的等式（21）。

[4] 。节点隔离概率，q（NP）来自等式（S9），节点被隔离的概率，q（NP）≡ p（ki=0；NP），由q（NP）=Zg（ki=0 | a）ρ（a）da=Zdaiρ（ai）给出1.-Zu（ai，a）ρ（a）daNP-1.【S14】特例：ρ（a）=1和u（a，a）=（aa）α将ρ（a）=1和u（a，a）=（aa）α替换为等式（S13）给定sk（NP）=α+1（NP- 1） 。【S15】类似地，将相同条件代入等式（S14）givesq（NP）=Zdai1.-α+1aαiNP-1.【S16】通过将被积函数重写为x=1-α+1aαi，我们有q（NP）=α（α+1）αZ1-α+1（1- x） α-1xNP-1dx=α（α+1）αhBNP，α- B1级-α+1NP，αi、 【S17】x，y≡Rtx公司-1.- 泰-1dtBz（x，y）≡Rztx-1（1- t） y型-1dt（0<Re（z）≤1） 是不完整的beta函数。将这些结果与公式（S3）相结合，我们得出（N=NPh1-α（α+1）αBNP，α- B1级-α+1NP，αi、 M级=α+1NP（NP-1） 。[S18]NPqNP\'N\'NPandM\'（1/α+1）N（N-（1）/∝ N、 因此，在没有有限尺寸影响的情况下，该解决方案与之前的研究一致[–]。S3、权重动力学理论观察在我们在正文中讨论的边缘动力学之上，边缘权重的动力学也表现出特定的模式。让我们将边缘的权重wij，t定义为从bankitojon dayt转移的资金总额。我们定义了边缘权重的增长率asrij，t≡ 银行对（i，j）的日志（wij，t+1/wij，t），使wij，t+1wij，t>0[]。RIJ、t的分布在所有对和allt上聚集，呈现不对称三角形，在0处有明显的峰值（图S2a）。分布的形状表明，很大一部分银行对在保持交易时不会改变资金金额，如果改变金额，变化率通常很小。在畜牧业设施之间的电子邮件交换[]网络、航空公司[]网络和牲畜交易网络中，形成了类似的三角形。权重动态模型为了再现边权重的动态，我们在模型中添加了以下步骤。

让我们考虑一下dayt中形成的边界。如果Itojin dayt有优势- 1，则第t天的边权重由wij，t给出≡wij，t-1概率为1- q、 κνij，tpij，twith probability q，[S19]νij，tpairs，并假设遵循指数η的幂律分布，以最大化fit toP（r）（图S2）和经验权重分布（图S3 a–c）。引入正常数κ来匹配边缘权重的尺度与数据的尺度（即数百万欧元）。另一方面，如果在第t天从i到j没有边- 但是在第t天，然后是第t天≡ κνij，tpij，t.[S20]任何非相邻对（i，j）具有wij，t=0。我们将权重参数设置为（q，κ，η）=（0、、.3）到fitp（r），并将模拟的权重分布分别设置为经验分布。图S2b和S3d-f显示了经验分布。10-410-310-210-1100t/T10-210-1100K（t）/K（t）2000–20062007–20092010–2015K（t）/K（t）~ t/t-10-5 0 5 10 R10-510-410-310-210-1100P（r）2000–20062007–20092010–201510-410-310-210-1100t/T10-210-1100K（t）/K（t）NP=300NP=100K（t）/K（t）~ t/t-10-5 0 5 10r10-510-410-310-210-1100P（r）NP=300NP=100a bFig。S2，（a）数据和（b）模型的边缘权重r（在所有银行对上聚合）增长率的分布。100101102103104w10-510-410-310-210-1100CCDFweights2000-20062007-20092010-2015100101102103104sin10-510-410-310-210-1100in-strength100101102103104sout10-510-410-310-210-1100out-strength100101102104W10-510-410-310-210-1100weightsNP=300NP=100101102103104sin10-510-410-310-210-1100in-strength100101102103104sout10-510-310-1100外强度，外强度。S3.边缘重量和强度的CCDF。bankiare定义的assin的输入和输出强度，i=Pj6=iwjiandsout，i=Pj6=iwij。

（a） –（c）数据。（d） –（f）模型。1 150 30000.20.40.60.81factive20011 150 30000.20.40.60.8120021 150 30000.20.40.60.8120031 150 30000.20.40.60.8120041 150 300银行ID（固定）00.20.40.60.8120051 150 30000.20.40.60.8120061 150 300-1-0.500.51factive2001–20021 150 300-1-0.500.512002–20031 150 300-1-0.500.512003–20041 150 300-1-0.500.512004–20051 150 300银行ID（可变）-1-0.500.512005–2006abFig。S4、活跃银行年度营业额的可视化。（a） 每家银行的活动天数分数，用FACTIVE表示。银行ID按照2001年活动的排序顺序进行排序和固定。（b） 各银行连续两年间的变动情况，表示为事实证明。银行ID按以下顺序排序每个面板中的事实。（c） 模型中的模拟事实，NP=300。yi表示“yeari”，其中每个“year”由250个模拟周期组成。银行ID在y的“year”中按活动的升序进行排序和固定。（d）与模拟事实相对应的事实。银行ID按升序排序每个面板中的事实。1 150 30000.51实际11 150 30000.51y21 150 30000.51y31 150 30000.51y41 150 300银行ID（固定）00.51y51 150 30000.51y61 150 300-1-0.500.51事实1，y21 150 300-1-0.500.51y2，y31 150 300-1-0.500.51y3，y41 150 300-1-0.500.51y4，y51 150 300银行ID（变量）-1-0.500.51y5，y6cd10010110210310-510-410-310-210-1100CCDFDuration，2000–2006年数据γ=2.5610010110210310-510-410-410-410-310-310-210-1100区间，2000–20061010110210310-510-410-310-210-210-1100Duration，2007–2009年数据γ=2.63100101102103τ，τ10-510-410-310-210-1100间隔，2007–200910010110210310-510-410-310-210-1100持续时间，2010–2015年数据γ=2.9010010110210310-510-410-310-210-1100间隔，2010–2015a cbfedFig。S5.持续时间τ和间隔的CCDFτ表示每个银行对的交易，在所有银行对上聚合。

指数是使用从[10]下载的Matlab代码估计的，该代码基于[3]。10010110210310-410-310-210-1100持续时间，节点ECCDF2000–20062010–2015NP=300NP=10010110210310-410-310-210-1100间隔，节点100101102103τ，τ10-410-310-210-1100间隔，输入edge10010110210310-410-310-210-1100间隔，输出edge10010110210310-410-310-210-1100持续时间，输入edge10010110210310-410-310-210-1100持续时间，输出EDGEAFCEBDIG。S6.持续时间τ和间隔的CCDFτ为节点活动重新定义。上面板显示了τ的CCDF，由连续交易日定义，每个交易日（a）阳极处于活动状态；（b） 节点具有至少一个传入边缘；（c） 节点至少有一个传出边。下面板显示CCDFτ、 由（d）节点不活动的间隔天数定义；（e） 节点没有传入边；（f） 节点没有传出边。ABC100101102N100101102103α=310010110210010102103α=410010110210010102103α=510010110210010102103Mα=250100150200250300350NP10010110210310-510-410-410-310-210-1100持续时间100101102103τ10-510-410-310-310-210-1100CCDF10010110210310-510-410-210-110010010110210310-510-410-310-210-110010010110210310-510-510-410-310-210-1100间隔10010110210310-510-410-310-210-1100τ10-510-410-310-210-1100CCDF10010110210310-510-410-310-210-110010010210310-510-410-310-210-1100log M=-1.271+1.495对数Nabclog M=1.27+1.49对数NFig。变化参数α对标度关系的影响。在（a）–（c）中，每列说明了面板a上方注释的固定值α下的模拟结果。（a）MNNPbτcτbcperiod。

为了可视化模拟CCDF的稳定性，绘制了由独立20次运行生成的20条CCDF线，NP=300.10010110210310-510-410-310-210-1100c1=1000，c2=110010110210310-510-410-310-210-1100c1=2000，c2=110010110210310-510-410-310-210-1100c1=4000，c2=110010110210310-510-410-210-1100c1=1000，c2=21001010210310-510-210-1100c1=2000，c2=21001010210310-510-210-1100c1=2100 210-1100c1=4000，c2=21001010210310-510-410-310-210-1100c1=1000，c2=3100101102103τ10-510-410-310-210-1100CCDFc1=2000，c2=310010110210310-510-410-310-210-1100c1=4000，c2=3aihgfedcbFig。S8、改变重置概率规格H（a）对成对交易持续时间分布的影响。参数ScandCare由h（a）=c定义-1ac。蓝色圆圈表示2000-2006年期间的经验CCDF。绘制了由独立20次运行生成的20条CCDF线，NP=300.10010110210310-510-410-310-210-1100c1=1000，c2=110010110210310-510-410-310-210-1100c1=2000，c2=110010110210310-510-410-310-210-1100c1=4000，c2=110010110210310-510-410-310-210-1100c1=1000，c2=21001010110210310-510-310-210-1100c1=2000，c2=21001010210310-510-410-410-410-410-1100 C1=4000，c2=21001010110210310-410-410-310-1100c1=4000 21001010210310-510-410-310-210-1100c1=1000，c2=3100101102103τ10-510-410-310-210-1100CCDFc1=2000，c2=310010110210310-510-410-310-210-1100c1=4000，c2=3aihgfedcbFig。S9.改变重置概率h（a）规格对银行对区间分布的影响。详见图S8。100101102kin10-510-410-310-210-1100CCDFin-degree2000–20062007–20092010–2015100101102kout10-510-410-310-210-1100out-degree100101102kin10-510-410-310-210-1100in-degreeNP=300NP=100101102KOUT10-510-410-310-210-1100out-degreedacbFig。S10.内外度分布的CCDF。（a） –（b）数据。

（c） –（d）模型。科特2000-2006年soutout强度家属2000年至2006年sinin强度科特2007-2009年soutout强度家属2007-2009年sinin强度科特2010-2015年soutout强度家属sinin strength，2010–2015年AFEDCBACBDEFFIG。S11、经验数据中强度与程度的散点图。浅灰色正方形表示给定程度的平均强度。80%的标记是随机删除的，因为大多数标记是重叠的。强度定义见图S3。100101102kout10-210-1100101102103104soutout-STRENCE，NP=300100101102kin10-210-1100101102103104sinin-STRENCE，NP=300100101102kout10-210-1100101102103104soutout-STRENCE，NP=100101102KIN10-210-1100101102103104sinin-STRENCE，NP=100adcbFig。S12.如图S11所示。强度定义见图S3。对数M=1.27+1.49对数NFig。S13用不同NP值生成的网络（N，M）散点图（色条）。模型网络为给定的NNP生成500次。实线是与图2a所示的经验回归线相同的经验回归线。插图：NP=200的联合条件概率函数f（N，M | NP）（色条）。AIHGFEDCB1001011010101102103C1=1000，c2=1100200300NP100101102100101102103c1=2000，c2=1100101102100101102103c1=4000，c2=1100101102100101102103c1=1000，c2=210010102100101102103C1=2000，c2=210010102100101102103C1=4000，c2=210010102100101102103C1=1000，c2=3100101102N100101102103Mc1=2000，c2=310010110210010110210010102103C1=4000，c2=3对数M=-1.271+1.495对数Nadcbge fihlog M=1.27+1.49对数NFig。S14、改变重置概率规格H（a）对nNandM之间标度关系的影响。参数ScandCare由h（a）=c定义-1ac。

对于给定的NP，模型网络生成500次。我1aia bai，tt“重置”概率H（ai）图S15。动态能力模型中的活动更新示意图。（a） 角θ离子的圆形随机游动——单位圆。AI给出的银行II的活动水平=| cosθi |。（b） 活动水平AI根据等式演变。（4） （5）重置概率h（ai）。表S1。2000-2006年2007-2009年2010-2015年数据中各银行类型的分数纯贷款人0.556 0.553 0.571 0.558纯借款人0.335 0.300 0.318 0.380Others 0.110 0.147 0.111 0.062“纯贷款人”（“纯借款人”）表示向其他银行贷款但从不向其他银行贷款的银行。1.Weibull W（1951）具有广泛适用性的统计分布。J APPL MECH-T ASME 103:293–297.2。Sornette D（2006）《自然科学中的关键现象：混沌、分形、自组织和无序：概念和工具》。（斯普林格）。3.经验数据中的缺陷。暹罗评论51:661–703.4。具有隐藏变量的dom网络。Phys Rev E 68:036112.5。Caldarelli G，Capocci A，De Los Rios P，Mu~noz MA（2002）Rev Lett 89:258702.6。De Masi G、Iori G、Caldarelli G（2006）《利他银行间货币市场的适应度模型》。Phys Rev E 74:066112.7。在平稳复杂网络中。《美国科学院学报》106:8847–8852.8。Godoy Lorite A、Guimera R、Sales Pardo M（2016）《电子邮件网络的长期演变：社会行为的统计规律、可预测性和稳定性》。PLOS ONE 11:e0146113.9。Bajardi P、Barrat A、Natale F、Savini L、Colizza V（2011）《牲畜贸易运动的动态模式》。《公共科学图书馆·综合》6:1–19.10。http://tuvalu.santafe.edu/~aaronc/powerlaws/。