分数阶Fokker-Planck方程的非解析解

那么，ω（0，s）=expG-;1.- 南非国家银行-2vΓ（2v）s· A.1.- 南非国家银行-2vΓ（2v）s,其中g（ν±；C）：=eZ±cab-2vΓ（2v，bu）ebu+ebuCdu！u=ν。将ω（0，s）等于π（s），致死率：=1- 南非国家银行-2vΓ（2v）s==> s=y+ab-2vΓ（2v），we finda（y）=πy+ab-2vΓ（2v）· 经验值(-G（0）-; y） ）。也就是说，C=A（C）=A1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt= πsebt1- sebtab公司-2v（Γ（2v，bt）- Γ（2v））·经验值-G-;1.- 南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebtC=（1）时分馏l布朗运动的概率函数-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebt）/sebt。将Cand cin代入上述解ω（即方程（4.9）），我们得到ω=expGt型-;1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt·πsebt1- sebtab公司-2v（Γ（2v，bt）- Γ（2v））·经验值-G-;1.- 南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt+经验值Gt型-;1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt·Ztf（τ）expGτ+；1.- 南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebtdτ.经过一些代数运算，我们可以得到所需的方程（4.5）。备注4.1。给定Γ（q，p）：=Z∞ptq公司-1e级-tdt公司==> Γ（2v，bt）- Γ（2v）=Z∞btx2v-1e级-xdx公司-Z∞x2v型-1e级-xdx，但自b∈R、 我们不能进一步处理上面的两个积分，因为因子bt可以是正的，也可以是负的。分数布朗运动的福克-普朗克方程的拉普拉斯变换解的一般形式我们专门在本节中对方程（4.5）的因子施加条件，因为我们现在知道方程（3.1）的任何解u（t，x）的拉普拉斯变换必须是方程（4.5）的形式。引理5.1。如果方程（4.5）表示解u（t，x）的拉普拉斯变换，则f（t）由eg给出（0；-ab公司-2vΓ（2v，bt））π-ab公司-2v（Γ（2v，bt）- Γ（2v））+Zt{f（τ）eG（τ；-ab公司-2vΓ（2v，bt））}dτ=0。分数布朗运动证明的概率函数。通过解的定义，对于固定t，u（t，x）在x=0附近是可积的。因此ω（t，s）→ 0作为s→ ∞. 请注意，即使是strongerreason，我们也有eG公司t；1.-s ab公司-2vΓ（2v，bt）ebtsebtω（t，s）→ 0as s→ ∞ 对于所有c∈R[见备注5.1中的命题5.1]。备注5.1。

我们需要检查是否可以将极限移到方程（4.5）的积分符号内。因此，我们利用支配收敛定理证明了以下命题。提议5.1。lims公司→∞Zt（f（τ）eGτ；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt)dτ=Ztlims→∞（f（τ）eGτ；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt)dτ=Zt（f（τ）eGτ；lims公司→∞1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt)dτ=Zt{f（τ）eG（τ；-ab公司-2vΓ（2v，bt））}dτ，适用于v>0的所有t和常数a、b、v。证据首先，我们要证明Lims→∞Gτ；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt= Gτ；lims公司→∞1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt.换句话说，我们试图证明Lims→∞eZ公司sebtc1+sab-2v（Γ（2v，bτ）ebτ- Γ（2v，bt）ebt）dτ=eZlims→∞sebtc1+sab-2v（Γ（2v，bτ）ebτ- Γ（2v，bt）ebt）dτ。分数布朗运动的概率函数然而，这种情况很明显适用于积分I的任意区间sebtc1+sab-2v（Γ（2v，bτ）ebτ- Γ（2v，bt）ebt）6 kbτ，k>e≈ 2.71。对于几乎每个τ∈ 一、 接下来，我们要证明t hatlims→∞Zt（f（τ）eGτ；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt)dτ=Ztlims→∞（f（τ）eGτ；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt)dτ。假设f∈ L（0，t），即Zt | f | dτ<∞.现在，我们让hs（τ）：=f（τ）eGτ；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt和leth（τ）：=lims→∞hs（τ）=f（τ）elims→∞Gτ；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt对于几乎每个τ∈ [0，t]。很容易观察到存在一个函数m：τ7→ [0，t]（即m（τ）∈[0，t]R） ，和c∈R，c>e≈ 2.71。这样的that hs（τ）=O（cm（τ））（即，“cm（τ）的大O”）。也就是说，| hs（τ）|由一些函数控制，对于lmo st everyτ，这些函数不依赖于s∈ [0，t]。因此，它遵循thatlims→∞Zt（f（τ）eGτ；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt)dτ=Ztlims→∞（f（τ）eGτ；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt)dτ，我们完成了。分数布朗运动引理的概率函数5.2。

如果f（t）对于t>0是连续的（因为这是一个必要条件，所以可以用有界性来代替该条件），那么方程（4.5）是初始值为P（x）的解u（t，x）的空间变换。该解至少在f（t）>0时保持正性。证据让我-1be拉普拉斯逆变换算子。我们有固定的t和τ，L-1（e）-Gt；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt+G0；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt·πsebt1-sebtab公司-2v（Γ（2v，bt）-Γ（2v））o> 0和1-1（e）-Gt；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebtZt（f（τ）eGτ；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt)dτ）>0，因为函数π的域是dπ=（0，∞). 换言之，方程（4.5）中的第一个因子以及正f函数的积分r-Present-Laplace变换下的因子，这些正f函数具有我们的解的所有正则性。如果P（x）不递减，则π（s）是完全单调的（即πn（s）(-1） n>0）。方程（4.5）中π（）的参数是绝对单调的（即。，n序号sebt1- sebtab公司-2v（Γ（2v，bt）- Γ（2v））> 0[见备注5.2]）。因此，因子π是完全单调的，或者根据P（x），这两个函数的差是非递减的，或者只有有界变化。两个拉普拉斯变换的乘积是原始函数的卷积（根据卷积定理）。此外，此操作保留了对我们的解施加的正则性属性。备注5.2。对于这个引理，由于函数π的域是Dπ=（0，∞), 因此0<sebt1- sebtab公司-2v（Γ（2v，bt）- Γ（2v））<∞==> 电子标签-2v（Γ（2v，bt）- Γ（2v））<s→ 0 a s s→ ∞==> 电子标签-2v（Γ（2v，bt）- Γ（2v））<0。分数l布朗运动的概率函数Now，letψ：=ebtab-2v（Γ（2v，bt）- Γ（2v））<0然后SEBT1-sebtab公司-2v（Γ（2v，bt）- Γ（2v））=sebt1- sψ。观察n∈Z> 1、，n序号sebt1-sψ=(-1） n+1n！ψn-1ebt[(-1） n（ψs）- 1） ]n+1=n！ψn-1ebt（1- ψs）n+1>0，因为ψ<0。

此外，自SEBT1起- sψ>0==>n序号sebt1-sψ> 0对于所有n=0、1、2。其中，函数的0阶导数是原始函数本身。引理5.3。如果P（x）是非递减的，则方程式（4.5）和f（t）≡ 0确定t=（2V）的非负溶液u（t，x-1xu）xx- （（bx+c）u）x，0<x<∞初始值为P（x）和z∞u（t，x）dx≡ P(∞). （5.1）（标准保留或“反射屏障”解决方案。）对于这个解决方案，我们有limx→0u（t，x）=e-G（t；-ab公司-2vΓ（2v，bt））+克（0；-ab公司-2vΓ（2v，bt））（5.2）·π-ab公司-2v（Γ（2v，bt）- Γ（2v））.证据引理5.2保证了非负解的存在。方程（5.1）等价于ω（t，0）=π（0），这与方程（4.5）的推导很相似（也适用于b=0）。为了证明方程（5.2），请注意→ ∞, π的参数趋向于有限值-1ab公司-2v（Γ（2v，bt）- 分馏l布朗运动的概率函数（由于Γ（2v，bt），Γ（2v）收敛）。给定函数P（x） 其中，其Laplacetransform由方程式（4.5）中的表达式π给出，这意味着一个单元集中在x=0处。因此，在x=0附近，解u（t，x）的行为类似于属于π因子的函数，引理如下。备注5.3。直觉上，limx→0u（t，x）=lims→∞（e）-Gt；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt+G0；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt·πsebt1-sebtab公司-2v（Γ（2v，bt）- Γ（2v））= e-G（t；-ab公司-2vΓ（2v，bt））+克（0；-ab公司-2vΓ（2v，bt））·π-ab公司-2v（Γ（2v，bt）+Γ（2v））.分数布朗运动的福克-普朗克方程的解在这一小段中，我们向读者介绍了方程（4.5）的基本解以及求解u（t，x）的方法。当我们考虑π（s）=e时，方程（4.5）的基本解出现-sξ，其中ξ>0是一个参数。

也就是说，基本解是ω（t，s；ξ）（6.1）=e-Gt；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt+G0；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt·e-sebtξ1-sebtab公司-2v（Γ（2v，bt）-Γ（2v））+e-Gt；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebtZt（f（τ）eGτ；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt)dτ，其中a、b、c、v、ξ是a>0、v>0和ξ>0的常数。分数布朗运动的概率函数此外，u（t，x；ξ）（6.2）=l-1（e）-Gt；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt+G0；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt·e-sebtξ1-sebtab公司-2v（Γ（2v，bt）-Γ（2v））+“e-Gt；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt·Zt（f（τ）eGτ；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt)dτ#），其中a、b、c、v、ξ是a>0、v>0和ξ>0的常数。然而，由于方程（6.1）的非解析性，无法使用解析方法推导拉普拉斯逆变换。相反，在这种情况下，numericalimplementations应该更适合提取数值解。Cox-Ingersoll-Ross模型的应用在本节中，我们考虑将fBm的福克-普朗克方程的导出非解析解应用于CIR模型。具体而言，我们将使用导出的方程（6.2）获得股票价格S在时间T的转移概率密度函数，其中T<T。本节与[4]密切相关。首先，在我们继续将fBm的福克-普朗克方程的导出非解析解应用于CIR模型之前，作者通常会向读者介绍此应用程序的有趣之处。这一应用之所以有趣，是因为两个奇异扩散问题的最早著名应用之一【1】是对标准CIR模型的应用（即，由布朗运动控制的CIR模型）。此外，由于CIR模型描述了股票价格（或任何利率衍生品）的演变，因此CIR模型在金融数学领域非常有用。

因此，将此应用程序作为我们的首要任务是恰当的。接下来，我们继续应用我们的结果。没有发现，由于fBm是通常布朗运动的广义形式，我们考虑由fBm控制的分数l布朗运动模型的CIR概率函数，该模型假设股票价格S遵循过程DST=u（S，t）dt+σ（S，t）dBH，（7.1），其中dBHis是带有赫斯特参数H的fBm∈ （0，1），b（S，t）=aS+h是每单位股票连续支付的股息，u=卢比- b（S，t）=rS- （aS+h），r是无风险利率，σ（S，t）=σ√S、 σ是一个正常数。那么，我们有ds=[（r- a） S- h] dt+σ√因此，转移概率密度函数P=P（ST | ST，T>T）将满足福克-普朗克方程ht2h-1.St（σSTP）-ST[（（r- a） S- h） P]=Pt、 （7.2）因此，我们让a：=Hσ>0v：=H>0x：=STξ：=Stb：=r- Hσc：=-ht：=T=（T- t） 分馏l布朗运动的概率函数p（ST | ST，t>t）=l-1.e-五、T1.-sHσ（r-Hσ）-2HΓ（2H，（r-Hσ）T）e（r-Hσ）Tse（右-Hσ）T·电动汽车0；1.-sHσ（r-Hσ）-2HΓ（2H，（r-Hσ）T）e（r-Hσ）Tse（右-Hσ）T·e-se（r-Hσ）TSt1-se（r-Hσ）THσ（r-Hσ）-2H（Γ（2H，（r-Hσ）T）-Γ（2H））+ZTf（τ）eVτ；1.-sHσ（r-Hσ）-2HΓ（2H，（r-Hσ）T）e（r-Hσ）Tse（右-Hσ）Tdτ·e-五、T1.-sHσ（r-Hσ）-2HΓ（2H，（r-Hσ）T）e（r-Hσ）Tse（右-Hσ）T（ST），其中s是拉普拉斯变量，V（u±；C）：=eZhHσ（r-Hσ）-2HΓ（2H，（r-Hσ）u）e（r-Hσ）u+e（r-Hσ）uCdu，V（ν±；C）：=eZhHσ（r-Hσ）-2HΓ（2H，（r-Hσ）u）e（r-Hσ）u+e（r-Hσ）uCdu！u=ν和f（τ）满足引理5.1，并有上述建议的适当替换，π（s）在mπ（s）=e-不锈钢。此外，请注意在进行拉普拉斯逆变换之前，T被视为变量。与T和T相关的数字在进行拉普拉斯逆变换后重新替换。这是我们结果的应用，因此，我们的部分结束了。8.

结论和进一步研究本节的目的是总结本文，并为读者提供一些值得进一步研究的相关主题或未回答的问题。分馏l布朗运动的概率函数总之，作者找到了fBm的福克-普朗克方程m的一般解的非解析解，并证明了它是fBm的福克-普朗克方程的预期解。也就是说，作者已经找到了解决方案-1xu）xx- （（bx+c）u）x，0<x<∞, （8.1）式中，u=u（t，x）和a，b，c，v ar e常数，其中a>0，v>0。溶液isu（t，x；ξ）（8.2）=L-1（e）-Gt；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt+G0；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt·e-sebtξ1-sebtab公司-2v（Γ（2v，bt）-Γ（2v））+“e-Gt；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt·Zt（f（τ）eGτ；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt)dτ#），其中ξ>0是一个常数，G（u±；C）：=eZ±cab-2vΓ（2v，bu）ebu+ebuCdu和G（ν±；C）：=eZ±cab-2vΓ（2v，bu）ebu+ebuCdu！u=ν。我们还将导出的解应用于CIR模型，其中布朗运动被fBm代替。本研究中存在一些尚未回答的问题。当然，值得研究的主要课题之一是在解中实际求解积分方程。通过求解积分方程，方程（6.1）可以解析。因此，我们将能够求解方程（6.2）。一方面，为了求解积分方程，读者可以尝试将伽玛函数（包括“上”不完全伽玛函数和通常的伽玛函数）展开为幂级数，然后求解分数布朗运动方程的积分概率函数。另一方面，读者也可以尝试使用数值方法来求解积分方程，如果分析方法没有帮助，也可以使用数值方法来求解方程（6.2）。作者非常感谢Dr。

Chatchawan Panraksa感谢他在本研究论文起草和出版过程中的持续帮助和支持。参考文献【1】W.Feller，两个奇异扩散问题，Ann。数学专业。（2） 54（1951）173–182。内政部：10.2307/1969318。URL地址http://dx.doi.org/10.2307/1969318[2] A.Swishchuk，A.Ware，H.Li，《基于模糊集理论的随机波动期权定价》，载于：北方金融协会会议论文，北方金融协会，200 8，第1-15页。[3] G.–Unal，Fokker-Planck-Kolmogorov方程f或fBm：推导和分析解，摘自：数学物理，世界科学院。出版物。，新泽西州哈肯萨克，2007年，第53-60页。[4] Y.Hsu，C.Lee，T.Lin，《固定弹性定价模型：整合和详细推导》，摘自：《定量金融和风险管理手册》，纽约州斯普林格，2010年，第471-480页。[5] J.C.Cox，J.E.Ingersoll，Jr.，S.A.Ross，《利率期限结构理论》，计量经济学53（2）（1985）385–407。内政部：10.2307/1911242。URL地址http://dx.doi.org/10.2307/1911242