分数阶Fokker-Planck方程的非解析解

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英文标题：
《Non-Analytic Solution to the Fokker-Planck Equation of Fractional
  Brownian Motion via Laplace Transforms》
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作者：
Visant Ahuja
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper derives the non-analytic solution to the Fokker-Planck equation of fractional Brownian motion using the method of Laplace transform. Sequentially, by considering the fundamental solution of the non-analytic solution, this paper obtains the transition probability density function of the random variable that is described by the It\\^o\'s stochastic ordinary differential equation of fractional Brownian motion. Furthermore, this paper applies the derived transition probability density function to the Cox-Ingersoll-Ross model governed by the fractional Brownian motion instead of the usual Brownian motion.
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中文摘要：
本文用拉普拉斯变换的方法导出分数布朗运动的福克-普朗克方程的非解析解。然后，考虑非解析解的基本解，得到了分数布朗运动的It o随机常微分方程所描述的随机变量的转移概率密度函数。此外，本文将导出的转移概率密度函数应用于受分数布朗运动控制的Cox-Ingersoll-Ross模型，而不是通常的布朗运动。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Mathematical Physics        数学物理
分类描述：Articles in this category focus on areas of research that illustrate the application of mathematics to problems in physics, develop mathematical methods for such applications, or provide mathematically rigorous formulations of existing physical theories. Submissions to math-ph should be of interest to both physically oriented mathematicians and mathematically oriented physicists; submissions which are primarily of interest to theoretical physicists or to mathematicians should probably be directed to the respective physics/math categories
这一类别的文章集中在说明数学在物理问题中的应用的研究领域，为这类应用开发数学方法，或提供现有物理理论的数学严格公式。提交的数学-PH应该对物理方向的数学家和数学方向的物理学家都感兴趣；主要对理论物理学家或数学家感兴趣的投稿可能应该指向各自的物理/数学类别
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Mathematical Physics        数学物理
分类描述：math.MP is an alias for math-ph. Articles in this category focus on areas of research that illustrate the application of mathematics to problems in physics, develop mathematical methods for such applications, or provide mathematically rigorous formulations of existing physical theories. Submissions to math-ph should be of interest to both physically oriented mathematicians and mathematically oriented physicists; submissions which are primarily of interest to theoretical physicists or to mathematicians should probably be directed to the respective physics/math categories
math.mp是math-ph的别名。这一类别的文章集中在说明数学在物理问题中的应用的研究领域，为这类应用开发数学方法，或提供现有物理理论的数学严格公式。提交的数学-PH应该对物理方向的数学家和数学方向的物理学家都感兴趣；主要对理论物理学家或数学家感兴趣的投稿可能应该指向各自的物理/数学类别
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Non-Analytic_Solution_to_the_Fokker-Planck_Equation_of_Fractional_Brownian_Motio.pdf (212.5 KB)

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关键词：Fokker Plan PLA LAN Mathematical

分数布朗运动福克-普朗克方程的拉普拉斯变换非解析解Visant AhujaMahidol大学国际学院，Mahidol大学目前地址：D.S.Tower 1 Room 18A2，98 Dangudom Soi，Sukhumvit 33 RoadKlongton，WattanaBangkok 10110，Thailandabstract本文使用拉普拉斯变换方法推导了分数布朗运动的福克-普朗克方程的非解析解。接着，考虑非解析解的基本解，得到了由It^o分数布朗运动随机常微分方程描述的随机变量的转移概率密度函数。此外，本文将导出的转移概率密度函数应用于受分数布朗运动控制的Cox-Ingersoll-Ross模型，而不是通常的布朗运动。关键词：分数布朗运动，福克-普朗克方程，拉普拉斯变换，CIR model2010 MSC:60G22，91G301。简介Feller于1951年首次撰写论文《两个奇异微分问题》，旨在研究抛物线偏微分方程ut=（axu）xx- （（bx+c）u）x，0<x<∞, （1.1）值得一提的是，本文的部分内容是在作者还是马希隆大学的学生时作为研究项目的一部分提交给马希隆大学的。电子邮件地址：visant@alumni.unc.edu（Visant Ahuja）提交给arXiv的预印本2017年4月4日分馏l布朗运动的概率函数，其中u=u（t，x）和a，b，c是a>0的常数。在他的论文中，他成功地导出了它的解析解，并证明了它的存在性和唯一性。事实证明，这个抛物线部分微分方程是扩散过程（或众所周知的布朗运动）的福克-普朗克方程的一种特殊形式。

在本文中，我们将把这种特殊形式简单地称为布朗运动的福克-普朗克方程。在统计力学中，福克-普朗克方程是一个偏微分方程，描述了受随机过程（如布朗运动）影响的粒子动力学概率密度函数的时间演化。福克-普朗克方程也称为科尔莫戈罗夫正演方程。由于布朗运动的广泛应用，毫无疑问，费勒的论文，两个奇异微分问题，已经获得了很多声誉。作者感兴趣的一个应用是它在数学金融领域开发模糊随机波动率模型中的应用（例如，见[2]），其中原始随机波动率模型中的一个方程由布朗运动的福克-普朗克方程描述。由于布朗运动是分数布朗运动[fBm]的特例，为了一般性，作者尝试将随机波动率模型扩展到用分数布朗运动的Fokker-Planck方程代替布朗运动的Fokker-Planck方程的情况。一方面，fBm的福克-普朗克方程已经由¨Unal[3]推导出来（这将在后面的章节中介绍）。另一方面，为了开发扩展随机波动率模型的“模糊”版本，有必要使用fBm的福克-普朗克方程的解。因此，我们必须先找到fBm的福克-普朗克方程的解，然后才能开发该模型的“模糊”版本，这也是作者撰写本论文的根本动机。本文概述如下。第2节建立了fBm的福克-普朗克方程的一般形式，使其具有与[1]相似的设置。

第3节在推导fBm的福克-普朗克方程的解之前，给出了必要的定义和一些准备工作。第4节将通过拉普拉斯变换导出fBm的福克·普朗克方程的非解析解的一般形式。然后，第5节将把非解析解的一般形式的条件强加给fBm的福克·普朗克方程，并证明其存在性。第6节将根据前一节中已证实的主张，提供FBM的福克-普朗克方程的基本非解析解。第7节将分数布朗运动导出解的概率函数应用于Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型，其中模型中的布朗运动被fBm代替。最后，第8节将对本文进行总结，并提供一些可能需要进一步研究的主题。分数布朗运动的福克-普朗克方程本节致力于建立fBm的福克-普朗克方程的一般形式，因为它将在下一节中主要使用。首先，我们注意到¨Unal[3]通过考虑f ormdxi=fi（x，t）dt+giα（x，t）dBHα，1 6 i 6 n的随机常微分方程，导出了向量值变量fbmf的福克-普朗克方程；1 6α6 r.然后，根据It^o的关于scala r函数h（x）的fBm公式，dh（x）=fj公司h类xj+Ht2H-1gjαgkαh类xj公司xk公司dt+gjαh类xjdBHα，（2.1）–Unal通过广泛使用期望特性，导出了fBm的福克-普朗克方程pt型+fjp公司xj公司- Ht2H型-1.gjαgkαpxj公司xk=0，（2.2），其中ox∈ Rn是一个向量，op：=p（x，t）是概率密度函数，ofj：=fj（x，t）是一个漂移向量，ogiα（x，t）是所有i=j，k的扩散矩阵，odBHα是f Bm的增量，oH∈ （0，1）是赫斯特参数。分数布朗运动的概率函数2.1。

标量变量分数布朗运动的福克-普朗克方程本文的范围是推导标量变量分数布朗运动的福克-普朗克方程的非解析解。因此，在这一小节中，我们给出了标度值变量的fBm的福克-普朗克方程。为了将方程（2.2）中的变量转换为标量值变量，以符合数学金融背景以及Hsu的替代方案[4]，并与方程（1.1）一致，我们让op（x，t）=p（x，t）=u（t，x）=u，ofj（x，t）=u（x，t）=（bx+c），ogjα=gkα=σ（Xt，t），σ（Xt，t）=ax，a∈ R> 0，且oH=v∈ （0，1）。然后，由于参数（常数）H=v不限于区间（0，1）中的任何特定实数，因此可以重写方程（2.2）at=（2v-1xu）xx- （（bx+c）u）x，0<x<∞, （2.3）其中a、b、c、v是0<v<1的常数。此外，请注意，ou=u（t，x）依赖于x和t，ox依赖于t，oa dep结束于v（但我们将a称为常数，因为v依赖于另一个x或t），并且ot依赖于参数（常数）v。现在，为了与方程（1.1）更为一致，我们重新定义了v上的有界条件，使v>0。备注2.1。当v=/2（即赫斯特指数H=/2）时，方程式（2.3）读数为asut=（at2v-1xu）xx- （（bx+c）u）x=（axu）xx- （（bx+c）u）x，其中0<x<∞, 这相当于方程（1.1）。从这一点出发，本文将关注方程（2.3）[在v>0而非0<v<1的条件下]并推导方程（2.3）的非解析解，同时证明导出的非解析解的存在性。3.

在求解分数布朗运动的福克-普朗克方程之前，我们将在本节中为读者提供一些在实际求解fBm的福克-普朗克方程之前的定义和预备知识。我们将密切关注Feller的两个单数微分问题[1]。因此，鼓励读者在阅读本节时参考费勒的作品。为了方便起见，我们将在这里再次给出本节和以下各节所用的公式。也就是说，方程式为ut=（在2V下-1xu）xx- （（bx+c）u）x，0<x<∞, （3.1）式中，u=u（t，x）和a，b，c，v是a>0和v>0的常数。注意，这个方程是一个线性抛物线方程。这可以更清楚地看到，如下所示：ut=（at2v-1xu）xx- （（bx+c）u）x=at2v-1xuxx+（2at2v-1.- bx公司- c） 用户体验- bu公司==> bu=at2v-1台ux+（2at2v-1.- bx公司- c）ux个-ut=F（t，x）ux+G（t，x）ux个-ut、 其中F（t，x）：=2V-1x，G（t，x）：=2at2v-1.- bx公司- c、 bu是u中的线性函数（其中u是x中的线性函数）。值得注意的是，t空间变换将与x相对应。首先，通常定义一个方程作为方程（3.1）的解意味着什么。定义3.1（方程（3.1）的解）。u（t，x）是方程（3.1）的解，如果x>0，它有满足方程（3.1）的连续偏导数s。此外，如果对于每个固定的s>0和t>0，函数e-sxu（t，x）和e-sxut（t，x）可积于0<x<∞, 这在0到6t的每个间隔内都是一致的∞.分数布朗运动的概率函数进一步，我们设ω（t，s）=Z∞e-sxu（t，x）dx。（3.2）ut（t，x）的拉普拉斯变换存在，可以通过形式上的微分方程（3.2）找到。

此外，请注意，ux（t，x）的Laplacetransform不一定存在，因为通常情况下，u（t，x）→ ∞ 作为x→ 0.下一步，ut∈ L（0，1），可以看到limx→0Zxutdx=limx→0Zx（at2v-1xu）xx- （（bx+c）u）xdx==> 林克斯→0{（at2v-1xu）x- （bx+c）u}=-f（t）（3.3）存在，并且自u（t，x）起在每个有限的t-区间内有界→ ∞ 作为x→ 在本文中，f（t）将被称为原点处u的flux，其原因与Feller[1]相同（即f r om方程（3.1），tZβαu（t，x）dx等于α处的flux减去β处的flux）。为了避免对基本解的特殊考虑，我们允许初始值也是间断函数[1]。现在，设P（x）是区间（0）上有界变差的函数，∞)这样的t值P（x）→ 0作为x→ 0，并假设其拉普拉斯变换π（s）=Z∞e-存在sxdP（x）（3.4）。此外，我们将有以下定义：定义3.2（u（t，x）具有初始值P（x）））。溶液u（t，x）具有初始值P（x）iflimt→0Zxu（t，x）dx=在P（x）的每个连续点处的P（x）。备注3.1。这一定义使得ω（t，s）有必要→ π（s）。同样，我们应该明确什么是根本解决方案。分数布朗运动定义3.3（基本解）的概率函数。依赖于参数ξ>0的解u（t，x；ξ）是一个基本解，如果它假定初始值当x<ξ时为0，当x>ξ时为1。也就是说，如果ω（t，x；ξ）→ e-sξ。在这种情况下，假设对我们的解施加的正则性条件由u（t，x；ξ）一致地满足ξ，u（t，x）=Z∞u（t，x；ξ）dP（ξ）假定初始值P（x）。在本节结束之前，读者应该注意到，作者在本文中使用了符号eZf来表示任何函数f的不定积分，其中忽略了积分常数o。

更具体地说，如果zf（x）dx=F（x）+C，其中C是积分常数，则nzf（x）dx=F（x）。分数布朗运动的福克-普朗克方程的拉普拉斯变换在本节中，我们将采用方程（3.1）的拉普拉斯变换。由于右侧的各个项不一定是可积的，因此在进行方程（3.1）的拉普拉斯变换时，我们必须谨慎。然而，通过假设，分数布朗运动边左手概率函数的拉普拉斯变换在s>0时收敛[1]。然后，通过将右侧视为一个单位，并使用方程（3.3），得到ωt（t，s）：=ωt=f（t）+sZ∞e-sx{at2v-1（xu）x- （bx+c）u}dx。（4.1）设L为拉普拉斯变换算子。然后，由于L{u}和L{xu}收敛于s>0的原因，L{（xu）x}也收敛于s>0。这意味着（xu）xis在x=0和limx附近是绝对可积的→0xu（t，x）=某常数k的k。κ=0是必要的，否则u（t，x）将不可积。从方程（4.1）中，我们得到ωt=f（t）+at2v-1sZ∞e-sx（xu）xdx（4.2）-bsZ公司∞e-sxxu dx-csZ公司∞e-sxu dx。Fr om方程式（4.2），自se-sxxu公司存在并且是连续的，如果我们让ω：=Z∞e-sxu dx==> ωs=-Z∞e-sxxu dx（应用莱布尼兹积分规则）==> sωs=-sZ公司∞e-sxxu dx=-Z∞e-sx（xu）xdxthen方程（4.2）可改写为ωt+s（at2v-1秒- b） ωs=-csω+f（t）。（4.3）我们需要满足条件限制的解决方案→0ω（t，s）=π（s）。依次，我们有以下引理：分数布朗运动的概率函数引理4.1。

初值问题的解法ωt+s（2V时-1秒- b） ωs=-csω+f（t）limt→0ω（t，s）=π（s）（4.4），其中a、b、c、v是a>0和v>0的常数，给出b yω（t，s）=（4.5）“e-Gt；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt+G0；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt·πsebt1-sebtab公司-2v（Γ（2v，bt）- Γ（2v））+e-Gt；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebtZt（f（τ）eGτ；1.-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebt)dτ，其中g（u±；C）：=eZ±cab-2vΓ（2v，bu）ebu+ebuCdu和G（ν±；C）：=eZ±cab-2vΓ（2v，bu）ebu+ebuCdu！u=ν。（注意函数G和G只是上述各功能积分的符号。）证据首先，我们注意到a、b、c、v是a>0和v>0的常数。在推导过程中，我们建议b 6=0以避免歧义。自v起，最终结果也适用于b=0 方程（4.4）的特征方程为dt=dss（at2v-1秒- b） =dωf（t）- csω。第一个特征方程的求解方法如下：首先，将微分方程改写为dsdt=s（at2v-1秒- b） =at2v-1秒- 英国标准。分数布朗运动的概率函数注意，这是s中的伯努利方程。所以，我们让z：=/s<==> s=/z。通过变量的这种变化，我们可以把上面的方程写成dzdt- bz=-at2v电压-1.（4.6）使用参数变化技术，我们可以如下解方程（4.6）：注意，这里的积分fa cto r是u（t）=eR-b dt=e-bt和so，dzdt- bz=-at2v电压-1个==> e-英国电信dzdt+ z滴滴涕（e-英国电信）= e-英国电信(-at2v电压-（1）==>Zd（e-btz）=Ze-英国电信(-at2v电压-1） dt公司==> z=ab-2vΓ（2v，bt）ebt+ebtC，（4.7），其中Cis为任意常数，且Γ（q，p）：=Z∞pxq-1e级-xdxis是“上”不完整gamma函数。

（请注意，当p=0时，Γ（q，p）=Γ（q，0）=Γ（q），其中Γ（q）是通常的伽马函数。）将z=/s代入方程（4.7），得到解=ab-2vΓ（2v，bt）ebt+ebtC<==> s=ab-需要2vΓ（2v，bt）ebt+ebtCas。我们进一步注意到，从上述解s中，C=1-南非国家银行-2vΓ（2v，bt）ebtsebtand，当t=0时，C=（1-南非国家银行-2vΓ（2v））/s，现在，假设s=/（ab-2vΓ（2v，bt）ebt+ebtC），我们可以求解第二个特征方程如下：分数l布朗运动的概率函数首先，我们替换s=/（ab-2vΓ（2v，bt）ebt+ebtC）转化为第二个特征方程，得到dωdt+cab-2vΓ（2v，bt）ebt+ebtCω=f（t）。（4.8）回想一下，我们将得到解ω和解ω，该常微分方程的解为ω=ω+ω。因此，我们有dωdt+cab-2vΓ（2v，bt）ebt+ebtCω=0==>Zdωω=Z-驾驶室-2vΓ（2v，bt）ebt+ebtCdt。这意味着ω=CexpeZ-驾驶室-2vΓ（2v，bt）ebt+ebtCdt！，其中Cis为常数。为方便起见，我们定义（u±；C）=eZ±cab-2vΓ（2v，bu）ebu+ebuCdu。接下来，我们将multiplyexpeZcab-2vΓ（2v，bt）ebt+ebtCdt！=exp（G（t+；C））在整个方程（4.8）[其中ω现在由于琐碎的原因与ω互换]中得到exp（G（t+；C）），dωdt+exp（G（t+；C）），d G（t+；C）dtω=exp（G（t+；C））·f（t）==> ω=Rtf（τ）exp（G（τ+；C））dτexp（G（t+；C））。分数布朗运动的概率函数因此，方程（4.8）的解为ω=ω+ω（4.9）=exp（G（t-; C） （）C+Ztf（τ）exp（G（τ+；C））dτ.按顺序，设C=A（C），其中A（y）是任意函数，并替换值C=1-南非国家银行-2vΓ（2v）s（即C=（1-南非国家银行-2vΓ（2v））/s，当t=0）和C=A（C）时，转化为上述解ω（即方程（4.9）），施加初始条件limt→0ω（t，s）=π（s）（即t=0）。