供求关系的分数阶反应扩散描述

有趣的是，结果比纯几何论证的结果要小，在纯几何论证中，最初包含在x和xT=x+IQI之间的体积是针对传入的元顺序执行的。在后一种情况下，可以写入：Q=ZIQdx Lx=> IQ=r2QL，（22）这里，我们利用了函数gα（y）的泰勒展开式，当y→ 0（见[18,15]）。对α有效≥ 1、当α<1时，最初在区间[x，xT]之外的流动性设法在该区间内移动，并满足传入的元指令，即使在快速执行限制下也是如此。这提供了对亚序的更大抵抗力，即稍微较小的影响。因此，FLOB提供了一个框架，在该框架中，凹形冲击与持续的订单流相兼容，尽管人们预计会从第一季度开始出现交叉-α/2有能力将执行“缓慢”到√Q“快速”执行的行为。元指令执行tc后的影响衰减t>t可以通过替换等式中积分的上界来计算。（18） 和（19）T。在执行率很低的情况下，很容易得到：IQ（t>t）IQ=tT1.-α/2-t型- TT1.-α/2，（23）随t的有限斜率衰减→ T+且渐近等于（1- α/2）（t/t）-α/2。在高执行率的限制下，tc的影响衰减 t型 T可以方便地计算为慢速执行限制，并读取：IQ（T T）IQ=mα/2Q（1-α） /2p2（2- α） ωLα1- α/2Γ[1- α/2]tT-α/2，（24），这与重构的低执行结果不同。对于t→ T+计算更为微妙，取决于在金属订单执行结束时，线性化订单价格附近的无来源放松（见【11】）。获得：IQ（t→ T+IQ=1-pω（t-T）αIQz*, （25）其中z*解决方案：a-z-（a）+-一-)R∞zdu gα（u/4）（u- z）/√4π=0，带±=lim→0xψ（xT±, T）。5数值模拟为了支持我们的分析结果，我们对模型进行了数值模拟。

由于分数扩散的特殊性质，这种模拟比常规反应扩散模拟更耗时。这是因为时间需要是连续的，每个物品（订单意图）都必须独立处理。每个粒子都标记为买入/卖出，最重要的是从厚尾概率分布函数中提取下一事件时间。为了加快模拟速度，我们将“慢”和“快”的定义用于HFT显著贡献的真实市场，请参见【22】。对于t tcone最终恢复了1/√Donier等人[11]在不同的极限下预测的t影响衰减。Michael Benzaquen，Jean-Philippe Bouchaud：供应和需求的部分反应差异描述5Fig。1、恒速购买元订单执行过程中潜在订单账簿的数值模拟。红色虚线对应于在t=0时开始模拟的平衡订单账簿。一种堆队列算法，用于及时高效地对即将发生的事件进行排序。下一个事件（分歧或死亡）的性质是根据分歧和取消率的偏差分布得出的。同时，粒子的aPoissonian雨落在书中，每个粒子都会根据其落在书中的那一面自然地标记为买入/卖出。为了简单起见，百思买（bid）和百思买（ask）之间的价差区域是无雨的。对于每一个潜在的价格变化事件，即每个涉及出价或风险的粒子的事件，堆被打破，从而可以更新和存储相关变量–交易量、最佳出价和出价、价差、中间价、事件时间和沉积/取消/反应率。当一个买入和一个卖出的“粒子”发现自己在同一个地点时，就会立即从书中删除（反应）。模拟是从理论平衡状态开始的。

实施反射边界条件，以确保书中（远处）边缘的弯曲坡度。元订单执行可以通过额外的购买（或出售）粒子雨来实现，这些粒子以给定的速率mt精确地落在最佳ask（或出价）下（参见图1中典型数值实验的图示）。使用这样的模拟来衡量影响并不像人们想象的那么简单。在快速执行限制中，离散化会导致价差的开盘，而价差在执行期间会艰难地重新填充。上述连续反应差异模型自然不包括这种影响。特别是，它导致了在现有的数值框架内很难再现碰撞衰减。此外，也称为优先级队列算法，堆队列算法是一个二叉树，其中每个父节点存储的值小于或等于其子节点的值，因此在我们的情况下，下一个事件始终位于根节点。新事件从底部推送到树中，并在log N time中找到它们的位置【23】。此外，执行速度慢的限制非常耗时，因为必须确保执行速度小，即T大，同时与取消时间尺度相比仍保持T小，才能保持上述结果。我们在这里使用模拟来证实本文的中心结果，即：分数差异允许协调持续的订单流和差异价格动态（市场效率）。为此，我们在小执行率限制下测量Propagator内核（参见等式19）。为此，我们将定向元订单替换为随机的IID订单流量mt=ε，并遵循相应的价格变化。离散线性传播，定义为pt=pt<tGt-然后，可以通过线性回归获得tεt[12]，并绘制在图2中。

阿松可以看到，在正常扩散情况下，α>1，我们得到了Donier等人预测的平方根衰减核。[11] 而对于分数扩散情况（α<1），我们得到了较弱的幂律衰减（指数≈ α/2）与式（19）一致。6结论我们提出了Donier等人的局部线性订货簿（LLOB）模型的分数差扩展（FLOB）。[11] 。本文提出的分数潜在订单簿（FLOB）模型的动机是，当T超过取消时间尺度时，影响在Q中变为线性。 =3. =0.6坡度=0.334( /2） 坡度=0.547( 1/2）分数扩散正常扩散 =3. =0.6坡度=0.334( /2） 坡度=0.547( 1/2）分数扩散正常扩散 =3. =0.6坡度=0.334( /2） 坡度=0.547( 1/2）分数扩散正常扩散 =3. =0.6坡度=0.334( /2） 坡度=0.547( 1/2）分数扩散正常扩散 =0.6斜率=0.33分数diusion公司( =0.6）正常diusion公司( = 3） 坡度=0.54图2：。在正常扩散情况（α=3>1）下，斜率为0.54的随机顺序流模拟的反向传播子Gτ拟合：（顶部）≈ 1/2和（底部）在分数扩散情况下（α=0.6<1），斜率0.33≈ α/2.6 Michael Benzaquen，Jean-Philippe Bouchaud：金融市场中时间尺度的供应和需求道路谱的分数反应差异描述，从几秒到几天甚至几周。这一扩展框架使我们能够将订单流的长期记忆性与市场效率（即差异价格）相协调。元秩序的影响是体积的凹函数，从Q0.75的小执行率行为转变为通常的行为√Q大执行率的行为。模拟药剂异质性的另一种可能性是保持正常的差异，同时引入广泛的消除和沉积速率。

这种方法也会产生非常有趣、互补的结果，并留给未来的交流。可以考虑其他可能的概括。一是在各个数量的买入/卖出订单中引入广泛的分布。鉴于金融业资产规模的异质性，这一点非常相关。然而，需要开发研究这种情况所需的数学仪器，即使是在标准差分情况下，因为体积曲线φ（x，t）中的波动占主导地位。引入厚尾跳跃长度（Levy flights）也很有意义。事实上，认为代理商的价格重新评估可能是巨大而突然的想法实际上是非常现实的。同样，实现这一想法并不简单，尤其需要仔细分析反应条件，因为价格路径的连续性已经丧失。总之，我们提出，金融市场中时间尺度的广泛分布可能是建模复杂流动性动态的关键因素，并允许在基于代理的风格化模型中再现真实的价格动态。我们要感谢J.Donier（参与了这项工作的第一阶段）、J.Bonart、J.De Lataillade、M.Gould、S.Gualdi、I.Mastromatteo、B.T\'oth和A.Darmon进行了富有成效的讨论。附录A：CTRWModel中的演化方程。此处给出了公式（1）的概率推导。为了简单起见，我们将重点放在没有来源的情况下。我们表示P（x，t | x，0）arandom walker在时间t处于位置x的条件概率，假设它在时间t=0的位置x。

P（x，t | x，0）的演化方程为：P（x，t | x，0）=Φ（t）δ（x-x） +Ztdτψ（τ）Zd `∧（`）P（x，t- τ| x+`，0），（26）其中，右侧的第一项表示在时间t=0时处于位置x且在间隔[0，t]期间未移动的粒子，第二项表示在时间t=0时处于位置x+`且跳到位置x的粒子- τ。给定时间t=0时随机行走者的密度φ（x，0），x位置和时间t处的粒子密度φ（x，t）为：φ（x，t）=Zdxφ（x，0）P（x，t | x，0）。（27）利用平移不变性P（x，t-τ| x+`，0）=P（x-`, t型-τ| x，0），将等式（26）乘以φ（x，0），然后在xyields上积分：φ（x，t）=Φ（t）φ（x，0）+ZtdτZd′ψ（τ）λ（l）φ（x-`, t型-τ）。（28）最后，通过`→ x个-xandτ→ tyields公式（1），无震源（s（x，t）=0）。附录B：等待时间的分布我们在这里寻求等待时间的截断幂律分布函数的拉普拉斯变换的简单分析形式。有ψ（t）~ ταe-t/t1+α，我们可以计算ψ（p）=R∞dt e-ptψ（t）=1+R∞dt（e-pt公司-1） ψ（t），其中我们使用了ψ（t）的归一化。在极限t内 tc=-1个(  p 1） ，一个得到：ψ（p）- 1.~ ταZ∞dte公司-pt公司- 1tα+1=-（τp）α，（29），其中τα：=-Γ[-α] τα（带Γ[-α] <0）。在限制内 tc=-1（p ), 一个得到：ψ（p）-1.~ ταZ∞dt（1-pt公司-1） e类-ttα+1=-Γ[1-α] ταα-1p，（30）其中Γ[1- α] >0。因此，分布ψ（p）必须满足1- ψ（p）~ t的pα t和1- ψ（p）~ p代表t tc。可以检查等式（4）中给出的分布是否为合适的候选。附录C：分数微分方程我们在这里提出了积分微分方程的分数微分问题（参见[16,18,17]）。方程（5）也可以写成：pφ（k，p）-φ（k）=-ωp（k+Д）（p+)α- αφ（k，p）+s（k，p）。

（31）在极限t内 tc，等式（31）右侧的第一项减少为：-ωp1-α（k+Д）φ（k，p）。然后进行傅里叶-拉普拉斯逆变换，得出包含死亡和来源的分数微分方程：tφ=KD1-αt(xxφ- Дφ）+s（x，t），（32），其中K是广义扩散系数，其中d-αtdenotes分数Riemann-Liouville operatorMichael Benzaquen，Jean-Philippe Bouchaud：供应和需求的分数反应差异描述7【18,16】定义为D-αtf（t）=Γ[α]-1Rtdu（t-u） α-1f（u）和D1-αt=tD公司-αt.对于t tc，即EQ右侧的第一项。（31）减少至-ω（k+Д）φ（k，p），很容易恢复正常的扩散方程，包括死亡和来源tφ=Dxxφ-νφ+s（x，t），其中D=￠ω（见[11]）。附录D：快速执行限制中的影响我们在此计算公式（21）给出的大型执行率限制中的价格影响。让xt=A√tinto公式（18），具有恒定的执行率mu=和通过u=t（1）改变变量- v） 收益率：A√t=t1-α/2LZdvm√4πωvαgαhAt1-α4ω（1-√1.-v） vαi.（33）注意到被积函数对v起主导作用→ 0–即（1-√1.- v） 五-α\'v2-α/4–设z=vtδ，其中δ=（1-α） /（2）-α） ，得到：A=LαZtδdzm√4πωzαgαAz2-α16ω. （34）让w=Az2-极限A内的α/（16ω）→ ∞ 产率：A=2mLα2- α√πZ∞图纸α【w】√w、 （35）并利用分数微分kernelRdx Gα（x，t）=1的归一化，其与式（7）一起也可写成r∞dw gα[瓦]/√w=√π、 最终，IELDS公式（21）。参考文献1。Montroll E W和Weiss G H 1965《数学物理杂志》6 167–1812。Grinold R C和Kahn R N 2000主动投资组合管理（McGraw Hill New York）3。Almgren R、Thum C、Hauptmann E和Li H 2005年风险18 58–624。T’oth B、Lemperiere Y、Deremble C、De Lataillade J、Kockelkoren J和Bouchaud J P 2011年物理评论X 15。

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