供求关系的分数阶反应扩散描述

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英文标题：
《A fractional reaction-diffusion description of supply and demand》
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作者：
Michael Benzaquen and Jean-Philippe Bouchaud
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We suggest that the broad distribution of time scales in financial markets could be a crucial ingredient to reproduce realistic price dynamics in stylised Agent-Based Models. We propose a fractional reaction-diffusion model for the dynamics of latent liquidity in financial markets, where agents are very heterogeneous in terms of their characteristic frequencies. Several features of our model are amenable to an exact analytical treatment. We find in particular that the impact is a concave function of the transacted volume (aka the \"square-root impact law\"), as in the normal diffusion limit. However, the impact kernel decays as $t^{-\\beta}$ with $\\beta=1/2$ in the diffusive case, which is inconsistent with market efficiency. In the sub-diffusive case the decay exponent $\\beta$ takes any value in $[0,1/2]$, and can be tuned to match the empirical value $\\beta \\approx 1/4$. Numerical simulations confirm our theoretical results. Several extensions of the model are suggested.
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中文摘要：
我们认为，金融市场中时间尺度的广泛分布可能是在程式化的基于代理的模型中再现现实价格动态的关键因素。我们提出了一个分数反应扩散模型，用于研究金融市场中潜在流动性的动力学，其中代理在其特征频率方面非常不均匀。我们模型的几个特征可以进行精确的分析处理。我们特别发现，与正常扩散极限一样，影响是交易量的凹函数（即“平方根影响定律”）。然而，在扩散的情况下，冲击核衰减为$t ^{-\\ beta}$，而$\\ beta=1/2$，这与市场效率不一致。在次扩散情况下，衰减指数$\\β$取$[0,1/2]$中的任何值，并且可以调整以匹配经验值$\\β\\大约1/4$。数值模拟证实了我们的理论结果。提出了该模型的若干扩展。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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PDF下载：
--> A_fractional_reaction-diffusion_description_of_supply_and_demand.pdf (1.57 MB)

2022-5-31 08:23:06 上传

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关键词：供求关系 Mathematical Quantitative distribution mathematica

供应和需求的部分反应差异描述DMichael Benzaquenand Jean-Philippe BouchaudLadhyx，UMR CNRS 7646，法国巴黎大学路23号法国资本基金管理公司Cedex Palaiseau 91128号法国理工学院，法国巴黎75007接收日期/修订版本：日期摘要。我们认为，金融市场中时间尺度的广泛分布可能是在基于代理的风格化模型中再现现实价格动态的关键因素。我们提出了金融市场中潜在流动性动态的分馏反应差异模型，其中代理人的特征频率非常异质。我们模型的几个特征可以进行精确的分析处理。我们特别发现，影响是交易量的凹函数（也称为“平方根影响定律”），与正常扩散极限一样。然而，影响因素如下：-在不同的情况下，β=1/2，这与市场效率不一致。在次效应情况下，衰减指数β取[0，1/2]中的任何值，并且可以调整以匹配经验左值β≈ 1/4。数值模拟证实了我们的理论结果。提出了该模型的若干扩展。1引言自Montroll&Weiss【1】引入连续时间随机游走（CTRW）形式来解释各种异常扩散机制以来，50多年过去了。尽管在过去几十年中取得了无数的成就，但非高斯扩散仍然是许多不同领域的热门话题，如统计物理、凝聚态物质物理或生物学，正如目前的EPJB特刊所证明的那样。

在本论文中，我们提出了分数差分的原始应用，以描述金融市场的供求动态。在过去几年中，交易量对资产价格影响的凹面性质——创造了“平方根影响定律”——已经成为现代金融中最成熟的典型事实之一[2,3,4,5,6,7]。已经多次尝试建立解释非线性市场影响的理论模型，参见[8,9]。根据T'oth等人的想法【4】，在【10,11】中引入了局部线性“潜在”订单簿模型（LLOB）的概念。后一种模型建立在潜在订单的出价方和出价方动力学的耦合连续反应扩散方程基础上【10】，并允许计算任何执行价格的价格轨迹。在执行速度较慢的限制下，LLOB模型与线性传播子模型相匹配，该模型通过幂律衰减核将过去的订单流量与价格变化联系起来。传播者模型最初是在【12】中引入的，以解决所谓的差异性之谜：当订单流高度持续时，价格大约是差异的【12,13,14】。特别是，顺序流的符号以自相关函数C（t）为特征，其衰减为幂律t-指数γ<1的γ，沿存储过程定义。通常γ为≈ 单个股票为0.5。天真地说，这些相关订单的影响应该会导致价格动态的巨大差异，赫斯特指数H=1- γ/2 > 1/2.

为了补偿订单流量相关性并恢复价格差异性，由某个内核或“传播子”描述的每个订单的影响本身必须作为时间幂律衰减，指数β=（1-γ） /2[12,14]。原始LLOB框架的一个主要问题是其内核以指数β=1/2衰减，这无法满足上述关系，因为γ必须明显为正。对于β=1/2，影响松弛太快，而LLOB模型产生的价格动态在中短期尺度上表现出显著的均值回归，这是经验数据中未观察到的特征。然而，当前版本的LLOB模型假设市场参与者是同质的，即数量分布、反应时间、定价更新等都是细尾的。例如，订单的取消被假定为具有单一取消率ν的泊松过程。事实上，从高频交易员（HFT）到大型机构投资者，金融市场中的不同参与者都具有高度的异质性，交易量和时间尺度分布非常广泛。这一观察结果表明了对LLOB的各种概括。本文中我们遵循的路径是代理人意图和重新评估的广泛时间尺度分布，这自然会导致一个分数反应差异项目2迈克尔·本萨金、让·菲利普·布沙德：供应和需求的分数反应差异描述。结论中讨论了其他可能的概括。论文概要如下。我们首先介绍了死亡和来源的一般分数差异框架。然后，我们提出了分数潜在订单簿记模型（FLOB），并在买卖订单流量平衡的情况下推导出其平衡形状。

我们发现，潜在订单簿的特征V形得以保留，从而形成了凹形冲击定律。我们还证明了相应的传播子现在可以用指数β来描述∈ [0，1/2]解决了上述分歧之谜。我们最终将这些结果转化为数值模拟。2与死亡和来源的部分差异我们在这里提出了CTRW框架，并将其应用于本文感兴趣的问题。CTRW模型描述了在恢复运动之前暂停一定时间的随机步行者。当平均等待时间不确定时，长时间、大规模描述此类步行者的集合就是标准的差异方程。当平均等待时间发散时，相应的动力学由分数扩散方程描述【15,16】。假设跳跃长度和等待时间是独立的，让ψ（t）表示等待时间分布函数，∧（x）表示跳跃长度分布函数。行走者密度在x位置和时间t的演化方程为：φ（x，t）=Φ（t）φ（x，0）+ZdxZ[0，t]dt∧（x- x） ψ（t）φ（x，t-t） +Z[0，t]dtΦ（t）s（x，t-t） ，（1）式中Φ（t）=1-Rtdtψ（t）表示通常称之为生存概率函数，其中s（x，t）是一个通用的源项，允许注入或移除烷烃（见附录a）。取式（1）的傅里叶-拉普拉斯变换（FL）得出：φ（k，p）=Φ（p）φ（k）+∧（k）ψ（p）φ（k，p）+Φ（p）s（k，p），（2）式中φ（k）：=φ（k，t=0），式中pΦ（p）=1-ψ（p）。我们假设跳跃长度的平均值为零，并且有一个有限的秒矩。此外，考虑到当其时间到来时，随机步行者可以恢复其运动或以较小的概率η消失，我们允许跳跃长度的分布为非规范化（Rdx∧（x）=1-η） 。

在扩散极限中，这是∧（k）≈ 1.- σk- η，（3），其中σ表示跳跃长度的均方根。我们假设等待时间根据尾部指数α<1且截止时间=-1，这样（见附录B）：ψ（p）≈ 1.-τα[（p+)α- α] ，（4）其中τ表示等待时间的规模。注意，对于短时间t tc（相当于p ) 一个有：ψ（p）≈ 1.- ταpα≈ 经验值[-ταpα]与分馏作用一致（见例[17]），而在很长一段时间内，t tc（相当于p ) ψ（p）≈ 1.- τp，其中τ=αα-1τα是跳跃之间的平均时间，与正常扩散一致。注入式EQ。（3） 和（4）转化为公式（2）和rearrangingterms得出：φ（k，p）=Gα，（k，p）φ（k）+s（k，p）, （5） 带：Gα，（k，p）=p+ωp（k+Д）（p+)α- α-1，（6）式中ω：=σ/τα，Д^=η/σ。方程（5）是中心方程，其傅里叶-拉普拉斯逆变换允许计算给定初始条件和源项下walkers密度φ（x，t）的演化。不幸的是，核Gα的逆傅里叶-拉普拉斯变换，在一般情况下不具有分析性。因此，在下文中，我们考虑了短时间和长时间的极限情况（有关部分微分和积分微分方程的问题介绍，请参见附录C）。对于t tc，我们可以注意到G-α，（k，p）=pα-1[pα+ω（k+Д）]-1、采用逆傅里叶-拉普拉斯变换，可以得出实空间中的核是由Mittag-Le-figuer函数的逆傅里叶变换给出的（参见[16,18]），g-α，（x，t）=F-1{Fα[ω（k+Д）tα]}。请注意，在限制范围内→ 0内核G-α，（x，t）可以方便地写成：G-α，（x，t）=√4πωtαgαx4ωtα, （^1）→ 0），（7）其中我们引入了函数gα，其形状在例如[18,15]中讨论。对于t tc，一个得到G+α，（k，p）=[p+￠ω（k+Д）]-式中，ω^=σ/τ。

采用逆Forier-Laplace变换产生正常的离散核（有死亡）：G+α，（x，t）=e-νt√4πИωtexp-x4￠ωt, （8） 对于经验丰富的读者来说，在分数差异的情况下，缩短等待时间的分布似乎不太常见，但这是描述stationaryorder图书的一个基本要素。Mittag-Le-fluer函数Eα（z）=Fα(-z） 是由以下系列定义的特殊函数：Fα（z）=P∞j=0(-z） jΓ[1+jα]。Michael Benzaquen，Jean-Philippe Bouchaud：供应和需求的分数反应差异描述3，其中ν=￠ων是单位时间内的死亡率。在这两种情况下，实空间中的一般解可以写成卷积死亡/扩散项和资源贡献的总和：φ±（x，t）=[G±α，* φ] （x，t）+（FL）-1.G±α，（k，p）s（k，p）.（9） 3部分潜在订单书模型根据Donier等人[11,19]的假设，我们假设市场参与者意图的动态是订单取消或重新评估其保留价格的结果。此类意图（通常称为潜在订单）在交易价格附近实现为显示订单。该模型是零智能的，因为代理是异质的，其保留价格是随机更新的。与Donier等人的LLOB模型的本质区别在于，我们现在假设此类事件发生在厚尾等待时间之后。假设这些等待时间的分布随幂律指数α<1而衰减，直到tc=-1（见附录B）。

请注意，虽然这样的削减确实相当现实（预计没有人会永远保持职位），但也必须确保系统进行标记，这将防止最近订单的动态静止状态。上一节中描述的分数差异方程的一个重要补充是反应机制，它对应于买卖订单之间的交易，从潜在订单账簿中删除交易量并设定交易价格。在此框架内，购买φb（x，t）和出售φs（x，t）意图在价格x和时间t下的密度在“共识”价格的参考框架内解决了耦合演化方程组，如公式（1）所示：sb（x，t）=λΘ（xt- x）- Rsb（x）（10）ss（x，t）=λΘ（x- xt）- Rsb（x），（11），其中Θ表示Heaviside阶跃函数，其中Rsb（x）描述了一种反应速率，即在买卖“粒子”相遇时立即移除它们（参见[17,20,21]）。注意，鉴于订单中显示的瞬时流动性非常弱，潜在订单意义上的意图是微观结构建模中的一个重要（且非常合理）成分。潜在订单模型可以解释重要的程式化事实，如平方根影响定律（见例[5,11]）。让我们强调一下，价格重新评估本身并不是厚尾分布的，也就是说，意图并不遵循征税权。虽然这样的扩展会很有趣，但这不是本文件的重点，而是留给未来的工作。在此，我们大大简化了[11]中的讨论，其中XT实际上遵循了一些额外的外部动态，反映了代理人对“共识价格”预期的演变。有关详细讨论，请参见[19]。部分反应扩散方面的工作）。

请注意，交易删除了完全相同的买卖订单量，这证明了上述两个等式中出现相同的Rsb（x）的事实。与λ成比例的术语对应于交易价格xt左/右的买入/卖出意向的传入流量。上述方程中反应项产生的非线性可通过定义组合ψ（x，t）=φb（x，t）来抽象- φs（x，t），精确求解。（1） 带：s（x，t）=λ符号（xt- x） ，（12），其中交易价格xt由条件固定：ψ（xt，t）=0。（13） 以x为中心的固定订单簿∞= 0可根据等式计算。（9） 和（12）作为ψeq（x）=limt→∞ψ（x，t）。利用等式。（9） ，（8）和（12），一个得到（见[11]）：ψeq（x）=-（λ/ν）符号（x）[1-经验值(-√^1| x |）]）]。在交易价格附近，静态订单簿可以表示为局部线性，其局部形状由：ψeq（x）=-Lx+O（x），（14），其中L：=λ√ν/ν=λИτ/（σ）√^1）。4市场影响在本节中，我们计算并分析了执行期为T的阿梅塔订单对交易价格的影响。继Donier等人之后，我们引入了数量Q的元订单，作为一种额外的订单流，正好落在交易价格上，因此源项变为：s（x，T）=λ符号（xt- x） +mtδ（x-xt），（15）其中mt表示（可能与时间相关的）执行率，rtdt mt=Q。我们将t=0设置为一种情况，在这种情况下，平稳顺序已建立，并将重点放在t<t tc。式（9）给出的通解，其源项为式（15），读数为：ψ（x，t）=[G-α，* ψ] （x，t）+Ztdu马克杯-α，（十）- xu，t-u） +iλπ-ZdkkZ公司∞du Fαω（k+Д）（t- u） αeik（x-xu），（16）其中-Rdenotes Cauchy的主值。在下面，我们“放大”书本的线性区域，接近交易价格。

更准确地说，我们考虑极限ν，λ→ 0，同时保持L恒定。注意，在极限T tc，one再现了Donier等人[11]4 Michael Benzaquen、Jean-Philippe Bouchaud的正态扩散结果：该极限下供需的分数反应扩散描述——从平衡书ψ（x）=ψeq（x）开始——等式（16）变为：ψ（x，t）=-Lx+Ztdumup4πω（t- u） αgα（十）- xu）4Ω（t-u） α.（17） 利用式（13）得出以下交易价格自洽积分方程：xt=LZtdumup4πω（t- u） αgα（xt）- xu）4Ω（t-u） α. （18） 如果影响很小（或相当于在小执行率的限制下），则有（xt- 徐） 4ω（t-u） α，通过幂律衰减核恢复传播子极限，其中交易价格与订单流量线性相关：xt=√πLΓ[1- α/2]Ztdumup4πω（t- u） α，（19）允许我们用min（1/2，α/2）确定传播子衰减指数β。注意，对于α<1，等式β=（1- γ） /2可通过选择α=1来实现- γ∈[0，1]。因此，在订单持续流动的情况下，FLOB允许价格始终保持差异。正如引言中所述，实际数据表明γ≈ 0.5表示α≈ 0.5。对于恒定的执行速率mt=m=Q/T，表示IQ=xT- X尺寸Q的ameta顺序的影响，得到：IQ=Q1-α/2Lmα/2（2- α） Γ[1- α/2]√ω。（20） 可以看出，等式（20）导致智商~ Q0.75对于α=0.5，介于平方根和线性行为之间。小执行率的纯平方根仅在Donier等人考虑的极限α=1内恢复。[11] 。然而，在快速执行的相反限制下–更准确地说，当（xt- 徐） 4ω（t-u） α（但仍在体系t中 tc）–可以证明影响是由平方根定律（见附录D）引起的：IQ=h（α）r2QL，（21），其中h（α）=（2- α）-1/2≤ 1.