部分观测和终端财富下的均值-方差套期保值

让xn↑ x>0则深（v（xn）DT+G）+=xn↑ EeP（v（x）DT+G）+=x。这意味着当n>n时，EeP（v（xn）DT+G）+>x>0。因此，v（xn）∈ （v（x），v（x））是递增且有界的，如果v（xn）↑ v 6=v（x）thenEeP（v（xnk）DT+G）+↑ EeP（vDT+G）+6=EeP（v（x）DT+G）+这是一个矛盾。从右开始的连续性也是这样证明的，所以v（x）在x中是连续的∈ （0，EePG）。关于v（x）值的范围，设xk↓ 0.然后一方面EeP（v（xk）DT+G）+↓ 0表示（v（xk）DT+G）+↓eP-a.s.和P{G>-v（xk）DT}↓ 0，或者，相同的，P{v（xk）DT≤ -G}↑ 1、另一方面v（xk）↓ v∈ R∪{-∞}. 因此P{v≤ essinfω∈Ohm(-G/DT）}=8 VITALII MAKOGIN、ALEXANDER MELNIKOV和YULIYA MISHURA1，根据v（x）的连续性，v=r，其中r=-ess supω∈OhmG、 显然，EeP（0+G）+=EePG，so，v（x）↑ 0作为x↑ 证明了EePG和引理。请注意E（G+v（x）DT）+≤ 2EG+2v（x）EDT<+∞.然后，从市场的完备性来看，（G+v（x）DT）+加入表示（3.6）（G+v（x）DT）+=EeP（G+v（x）DT）+中兴通讯ξsdeSs=x+中兴通讯ξsdeSswith someξ∈ Ξ。定理3.7。让g∈ （0，EePG）固定。考虑v（g），这是方程（3.4）的唯一解，x=g，并且表示（3.6）随机变量（g+v（g）DT）+：（3.7）（g+v（g）DT）+=g+ZTeξsdeSs。则neξ是极小化问题的解[S（g，0；g）]。证据一方面，eξ∈ Ξ（g，0）。另一方面，让η∈ Ξ（g，0）。

ThenEG公司- g级-ZTηsdeSs！=E-v（g）DT+（g+v（g）DT）+- （G+v（G）DT）-- g级-ZTηsdeSs！=E-v（g）DT- （G+v（G）DT）-+ZT（eξs- ηs）deSs！=E-v（g）DT- （G+v（G）DT）-+ EZT（eξs- ηs）deSs！+2E类-v（g）DT- （G+v（G）DT）-ZT（eξs- ηs）deSs！。请注意- v（g）DT- （G+v（G）DT）-= G- g级-中兴通讯ξsdeSs；ZT（eξs- ηs）deSs=（G+v（G）DT）+- g级-ZTηsdeSs；- E（G+v（G）DT）-（G+v（G）DT）+- g级-ZTηsdeSs！=E（G+v（G）DT）-g+ZTηsdeSs！≥ 0；部分观测和终端财富约束下的MVH 9EDTZT（eξs- ηs）deSs！=EePZT（eξs- ηs）deSs=0。考虑到这一点，我们继续：E-v（g）DT- （G+v（G）DT）-+ EZT（eξs- ηs）deSs！+2E类-v（g）DT- （G+v（G）DT）-ZT（eξs- ηs）deSs！=EG公司- g级-中兴通讯ξsdeSs！+EZT（eξs- ηs）deSs！- 2E（G+v（G）DT）-（G+v（G）DT）+- g级-ZTηsdeSs！≥ EG公司- g级-中兴通讯ξsdeSs！+EZT（eξs- ηs）deSs！，证明如下。备注3.8。（1） 在ep=P的情况下，过程是P-鞅，DT≡1.（2）在EP=P的情况下，解决均值-方差混合问题的方法可以描述如下。我们关注的是0<x<E H和E（H | eFT）的情况≥呃。首字母大写x应分为两部分ex=EeH≥ 0和x- ex公司≥ 具有初始资本的套期保值者构建策略eη，该策略使用informationeF复制claimeH。过程eη和新的初始资本由h的鞅表示得到。然后套期保值者应构建策略eξ，使最终财富x- ex+RTeξt估计为非负的a.s.和Eξ最小化新类别的均方差：=E（H | eFT）和终端财富。策略eξ由随机变量（eG+v（x））的鞅表示得到- ex））+，其中v（x- ex）为e（G+v（x- ex））+=x- 因此，得到的策略是eη+eξ。4、对具有两个相关几何布朗运动的模型的应用示例4.1。LetfW，cW是两个独立的Wiener过程，在measureP下，W=ρfW+p1- ρcW。

让过滤F由二维维纳过程（fW，cW）生成，过滤EF由fW生成。考虑一个不可观测风险资产是半鞅S={St=exp的情况Wt+Rta ds, t型≥0}，可观测的风险资产是半鞅={eSt=exp（fWt+at），t≥0}和市场∑={1，S，eS}。设{a（s），s≥ 0}是L[0，T]中的确定函数，a是某个正常数。设未定权益G=H（ST）10 VITALII MAKOGIN、ALEXANDER MELNIKOV和YULIYA MISHURAbe为平方可积随机变量，其中H:R→ R+是多项式增长的实值非减损可测函数。初始资本G∈ （0，EePG）我们找到了最小化问题的解[S（g，0；g）]。LeteBt：=fWt+（a+1/2）t，t≥ 0.TheneSt=exp（fWt+at）=exp（eBt-t/2），t≥ 如果EB是aeP-维纳过程，则NES是aeP-鞅。表示a：=a+1/2。根据Girsanov定理，（fBt，cWt），t∈ [0，T]是在Radon-Nikodym导数为dePdP的被测二维维纳过程[0，T]=经验值(-ZTadeBs公司-ZTads）=exp-aeBT公司-在= 经验值-alneST+T（a-).为了给出极小化问题[S（g，0；g）]的显式解，我们做了以下步骤。首先，我们定义为EeP（G | eFT）。我们有G=HeWT+RTa ds= HeρfWT+√1.-ρcWT+RTa（s）ds= HeρeBT+√1.-ρcWT+RTa（s）ds-aρT= H（eST）ρe√1.-ρcWT+RTa（s）ds-aρT.表示AT=ρRTa（s）ds- 在然后我们得到eg=E（G | eFT）=ZRHeρfWT+y√1.-ρ+ρAT+ρAT经验值-y2T√2πTdy（4.1）=ZRH（eu）exp-（u）-ρ（fWT+aT+aT））2T（1-ρ）p2πT（1-ρ） 杜。（4.2）介绍函数（4.3）f（x）=ZRH（ez）exp-（z）-ρx-ρAT）2T（1-ρ）p2πT（1-ρ） dz，得到它eg=ffWT+aT= feBT公司= flneST+T/2.第二步，我们需要找到方程（3.4）的解。

在这种情况下，（3.4）等式的左手侧保持f（eBT）+v（g）exp-aeBT+aT+.定义辅助函数h:R→ R+：（4.4）h（x）=f（x）expax-在, x个∈ R、 然后f（x）+v（g）exp-ax+aT≥ 0当且仅当h（x）≥ -v（g）。注意f是非递减函数。实际上，H是非递减的事实意味着在部分观测和终端财富约束11下，对于任何x<xf（x）=ZRH（eρx），在MVH上+√T（1-ρ） y+ρAT）exp(-是/2）√2πdy≤ZRH（eρx+√T（1-ρ） y+ρAT）exp(-是/2）√2πdy=f（x）。此外，h也是非递减的，对于h，我们可以定义一个广义逆函数h(-1） （x）：=inf{y:h（y）>x}，x∈ R、 因此，方程式（3.4）改写为以下格式G=EePf（eBT）+v（g）exp-aeBT+aT+= EeP公司f（eBT）+v（g）exp-aeBT+aT{eBT≥ h类(-（1）(-v（g））}=Z+∞h类(-（1）(-v（g））f（x）exp-x2T型√2πTdx+v（g）eaTΦ-h类(-（1）(-v（g））√T- 一,式中Φ（x）=Rx-∞经验值(-是/2）√2πdy，x∈ R是标准的正态累积分布函数。解v（g）的存在性来自引理3.6。现在，我们找到值EePeG。EePeG=EePG=EePHeρeBT+√1.-ρcWT+ρAT=ZRH公司ey+ρAT经验值-y2T√2πTdy。下一步，我们需要指定eG+v（g）DT+.定义辅助函数eh（x，β）=（f（x）- βexp{-ax+aT/2}{x≥ h类(-1） （β）}=经验值{-ax+aT/2}（h（x）- β） {x≥ h类(-1） （β）}，x∈ R、 β>0。（4.5）在本例中，我们处理的是随机积分，因此我们使用布朗环境中的ClarkOcone表示法来表示空间D1,2中的随机变量（Di Nunno，Oksendal&Proske（2009），定理4.1，定义3.1）。从（4.3）中，我们可以看到f∈ C（R）。然后根据链式法则（【Di Nunno，Oksendal&Proske（2009），定理3.5.】）我们有EG=f（eBT）∈ D1,2andeG=EePeG+ZTEeP（DteG | eFt）deSt=EePeG+ZTEeP（DteG | eFt）债务，其中DtF是随机变量F的随机导数。关于随机导数的性质，我们参考【Di Nunno，Oksendal&Proske（2009）】。

在布朗环境中，我们有dteg=Dtf（eBT）=f（eBT）x[0，T]（T）。从（4.3）中，我们获得f（x）x个=xZRH（ez）扩展-（z）-ρx-ρAT）2T（1-ρ）p2πT（1-ρ） dz12 VITALII MAKOGIN、ALEXANDER MELNIKOV和YULIYA MISHURA=ZRH（ez）exp-（z）-ρx-ρAT）2T（1-ρ）p2πT（1-ρ） （z）- ρx- ρAT）ρT（1- ρ） dz=ρZRH（eρx+y√T（1-ρ） +ρAT）exp(-y/2）p2πT（1-ρ） 伊迪。（4.6）然后eG+v（g）DT+=eh（fBT，-v（g））和EePeh（fBT，-v（g））=g。从定理3.7中，极小化问题的解ξ[S（g，0；g）]是随机变量Eh（eBT，-v（g））=g+RTeξtdeSt=g+RTeξt（eSt）-1制动。我们使用Clark-Ocone公式（4.7）eh（eBT，-v（g））=EePef（eBT，-v（g））+中兴通讯[Dteh（eBT，-v（g））| eFt]债务，我们从（4.5）中可以看出，函数h在x=h时是不可区分的(-（1）(-v（g）），因此我们不能直接使用链规则来计算Dteh（eBT，-v（g））。然而，使用与[Oksendal（1996），示例5.15]中相同的参数，我们可以通过CfunctionseHn来近似Eh，其属性为：，-v（g））=eh（x，-v（g））表示| x-h类(-（1）(-v（g））|≥n、 随机变量SEHN（eBT，-v（g））是维纳多项式，对于所有n>1 Dtehn（eBT，-v（g））存在（见【Di Nunno，Oksendal&Proske（2009），引理A.12】）。空间D1,2包含所有F∈ L（P），使得存在具有Fn性质的swiner多项式Fn→ L（P）中的F，n→ ∞ 和{DtFn}∞n=1在L（P×λ）中收敛。自{Dtehn（eBT，-v（g））}∞n=1收敛且（eBT，-v（g））→eh（eBT，-在L（P）中，我们有eh（x），-v（g））∈ D1,2。因此，Dteh（eBT，-v（g））存在。通过算子Dt的可闭性，我们得到了（参见【Di Nunno，Oksendal&Proske（2009），定理A.14）】Dteh（eBT，-v（g））=limn→∞Dtehn（eBT，-v（g））={eBT≥ h类-1个(-v（g））}Dtf（eBT）+v（g）e-aeBT+aT/2.我们知道ifRTδsdeBs=0 a.s.然后δs=0 a.s。

因此，h（fBT，-v（g））是唯一确定的。因此，解ξtof最小化问题[S（g，0；g）]等于ξt=eStEePhDteh（eBT，-v（g））eFti=ESTEP{eBT≥ h类(-（1）(-v（g））}Dtf（eBT）+v（g）exp-aeBT+aTeFt公司=eStEeP{eBT≥ h类(-（1）(-v（g））}f（eBT）x个- v（g）aexp-aeBT+aT!eFt#=ESTEP{eBT-eBt公司≥ h类(-（1）(-v（g））-eBt}f（eBT-eBt+eBt）x！eFt公司#- v（g）aeStexp-aeBt+aT部分观测和终端财富约束下的MVH 13×EeP{eBT-eBt公司≥ h类(-（1）(-v（g））-eBt}exp-a（eBT-eBt）eFt公司.使用（4.6），我们得到ξt=eStZ+∞h类(-（1）(-v（g））-eBt公司f（x+eBt）xexp-x2（T-t）p2π（T- t） dx公司- v（g）aeStexp-aeBt+aTZ+∞h类(-（1）(-v（g））-eBtexp(-ax）扩展-x2（T-t）p2π（T- t） dx=ρeStZ+∞h类(-（1）(-v（g））-eBtZRHexp（ρx+ypT（1- ρ） +ρeBt+ρAT）×y扩展(-y/2）p2πT（1-ρ） 经验值-x2（T-t）p2π（T- t） dydx- v（g）aeStexp-aeBt+aTea（T-t） /2ΦeBt- h类(-（1）(-v（g））√T-t型- 一（4.8）最后，我们给出了EG- g级-RTeξsdeSs. 根据备注3.1，后一个值等于E（G-eG）+EeG公司- g级-RTeξsdeSs. 注意E（G-eG）=eG- 2E（Gf（fWT+aT））+Ef（fWT+aT）。我们有EG=ZRHeu+ρAT+ρAT经验值-u2T√2πTdu。ThenE（G-eG）=ZRHeu+ρAT+ρAT经验值-u2T√2πTdu- 2ZRZRHeρx+y√1.-ρ+ρAT+ρATf（x+aT）扩展-x+y2T2πTdydx+ZRf（x+aT）exp-x2T型√2πTdx=ZRHeu+ρAT+ρAT- f（x+aT）经验值-x2T型√2πTdx。它由（eG+v（g）DT）+thatEeG的积分表示得出- g级-中兴通讯ξsdeSs！=E（例如- （eG+v（g）DT）+=E（eG）{eG+v（g）DT≤ 0}+（v（g））EDT{eG+v（g）DT>0}=Zh(-（1）(-v（g））-∞f（x+aT）扩展-x2T型√2πTdx14 VITALII MAKOGIN、ALEXANDER MELNIKOV和YULIYA MISHURA+（v（g））Z+∞h类(-（1）(-v（g））exp(-2ax- aT）exp-x2T型√2πTdx=Zh(-（1）(-v（g））-∞f（x+aT）扩展-x2T型√2πTdx+（v（g））exp（aT）Φ-h类(-（1）(-v（g））√T- 2a级.（4.9）示例4.2。考虑与示例4.1中相同的问题，具体函数h（y）=（y- K） +，y∈ R

首先，（4.3）中的函数f具有以下形式f（x）=ZRexp（ρx+pT（1- ρ） y+ρAT）- K+经验值(-是/2）√2πdy=expρx+T（1- ρ） /2+ρATΦρx- ln K+ρATpT（1- ρ） +pT（1- ρ） 哦！- KΦρx- ln K+ρATpT（1- ρ） ！。（4.10）表示α=-lnk+ρAT+T（1- ρ） /2和β=pT（1- ρ） /2。Thenf（x）=K exp（ρx+α）Φρx+α√2β+β√- KΦρx+α√2β-β√.（4.11）我们评估fx、 使用（4.11）我们得到f（x）x=ρK exp（ρx+α）Φρx+α√2β+β√+ρK√2βexp（ρx+α）Дρx+α√2β+β√-ρK√2βДρx+α√2β-β√.（4.12）深{eBT≥ h类-1个(-v（g））}f（eBT）x个eFt=EeP{eBT-eBt公司≥ h类-1个(-v（g））-eBt}f（eBT-eBt+eBt）x个eFt=ρK√2βeρeBt+αZ+∞h类-1个(-v（g））-eBteρxΦρx+ρeBt+α√2β+β√!经验值-x2（T-t）p2π（T- t） dx+ρKeρeBt+α2πp（t-t） Z+∞h类-1个(-v（g））-eBtexpρx-ρx+ρeBt+α√2β+β√!-x2（T-t）dx公司-ρK2πp（T-t） Z+∞h类-1个(-v（g））-eBtexp-ρx+ρeBt+α√2β-β√!-x2（T-t）dx。（4.13）在部分观测和终端财富约束条件下的MVH上，结合（4.8）和（4.13），我们得到了ξtof最小化问题的解[（S（g，0；g）]：eξt=ρKeSteρeBt+α√2βZ+∞h类-1个(-v（g））-eBteρxΦρx+ρeBt+α√2β+β√!经验值-x2（T-t）p2π（T- t） dx+ρKeSteρeBt+α2πp（t-t） Z+∞h类-1个(-v（g））-eBtexpρx-ρ（x+eBt）+α2β+β！-x2（T-t）dx公司-ρKeSt2πp（T-t） Z+∞h类-1个(-v（g））-eBtexp-ρx+ρeBt+α2β-β！-x2（T-t）dx公司- v（g）aeSte-aeBt公司-at+atΦeBt- h类(-（1）(-v（g））√T-t型- 一（4.14）4.1。说明性示例。在T=2，K=1，a=0.5和a（S）的情况下，考虑最小化问题[S（g，0；g）]的一个数值示例≡ 1，s≥ 0、出租∈ {g，g，g，g}={0.5，1，2，3}，和ρ∈ {0.3、0.5、0.75}。我们模拟了维纳过程fwton时间间隔[0，2]的轨迹，因此我们得到了bt=fWt+（a+1/2）t和est=exp（eBt- t/2）。我们采用图2所示的获得的样本路径之一。根据公式（4.14），对于该轨迹，我们构造了eξt的样本路径，g=3，ρ=0.3，0.5，0.75。

在图1中，我们展示了这些按ρ分组的样本路径。方程（3.4）的解的值，E（G）的值-eG）和EePeG如表1所示。我们看到，当ρ增大时，G的ep平均值减小。表2给出了（4.9）的值，它们自然减小为0（g↑ EePeG。然而，总风险始终大于E（G-例如）。在表2的第二部分中，我们通过计算以下值minimini+1来表示（4.9）对g的灵敏度-minigi+1-gi，其中mini=E（例如- （eG+v（gi）DT）+），i=1，2，3。表1：。方程（3.4）的解g=0.5 g=1 g=2 g=3ρ=0.3 83.7419 41.1694 17.2824 9.18066ρ=0.5 99.4493 40.1427 12.4501 4.90082ρ=0.75 110.058 31.6334 5.00461 0.60940问题值[S（g，0；g）]E（g-例如，EePeGρ=0.3 2497.04 10.0949ρ=0.5 2315.28 6.50358ρ=0.75 1738.17 3.67076参考文献【Bielecki等人（2005）】T.R.Bielecki、H.Jin、S.R.Pliska和X.Y.Zhou（2005）《破产禁令下的连续时间均值方差投资组合选择》，《数学金融》15（2），213–244.16 VITALII MAKOGIN、ALEXANDER MELNIKOV和YULIYA MISHURATable 2。（4.9）g=0.5 g=1 g=2 g=3ρ=0.3 361.328 306.613 225.509 165.277ρ=0.5 412.641 308.070 177.939 98.553ρ=0.75 506.590 291.153 92.440 15.821（4.9）g=0.5 g=1 g=2ρ=0.3-30.3%-26.5%-26,7%ρ=0.5-50.7%-42.2%-44.6%ρ=0.75-85.1%-68.3%-82.9%图1。g=4的极小化问题[S（g，0；g）]解的样本路径图2。ES、eB、fW的样本路径【Ceci等人（2014）】C.Ceci、A.Cretarola和F.Russo（2014）受限信息下的GKW表示定理：风险最小化、随机性和动力学的应用14（02），1350019【23页】。[Cern\'y（2004）]A.Cern\'y（2004）《离散时间中的动态规划和均值-方差套期保值》，应用数学金融11（1），1–25。【Di Nunno，Oksendal&Proske（2009）】G.Di Nunno，B.K。

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