部分观测和终端财富下的均值-方差套期保值

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英文标题：
《On mean-variance hedging under partial observations and terminal wealth
  constraints》
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作者：
Vitalii Makogin, Alexander Melnikov, Yuliya Mishura
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In the paper, a mean-square minimization problem under terminal wealth constraint with partial observations is studied. The problem is naturally connected to the mean-variance hedging problem under incomplete information. A new approach to solving this problem is proposed. The paper provides a solution when the underlying pricing process is a square-integrable semimartingale. The proposed method for the study is based on the martingale representation. In special cases, the Clark-Ocone representation can be used to obtain explicit solutions. The results and the method are illustrated and supported by example with two correlated geometric Brownian motions.
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中文摘要：
研究了具有部分观测值的终端财富约束下的均方极小化问题。该问题自然与不完全信息下的均值-方差套期保值问题相联系。提出了一种解决这一问题的新方法。当定价过程是平方可积半鞅时，给出了一个解。所提出的研究方法是基于鞅表示的。在特殊情况下，可以使用Clark-Ocone表示来获得显式解。以两个相关的几何布朗运动为例说明和支持了该结果和方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> On_mean-variance_hedging_under_partial_observations_and_terminal_wealth_constraints.pdf (481.92 KB)

2022-5-31 09:33:11 上传

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关键词：套期保值 Presentation observations Mathematical Applications

关于部分观测和终端财富约束下的均值-方差套期保值Vitalii MAKOGIN、ALEXANDER MELNIKOV和YULIYA MISHURAAbstract。本文研究了具有部分观测值的终端财富约束下的均方极小化问题。该问题自然与不完全信息下的均值-方差套期保值问题相联系。提出了一种解决这一问题的新方法。本文给出了当基本定价过程是平方可积半鞅时的一个解。所提出的研究方法是基于鞅表示的。在特殊情况下，可以使用Clark-Ocone表示来获得显式解。以两个相关的几何布朗运动为例说明和支持了该结果和方法。让我们从商品市场上可能出现的问题开始。特别是，以下示例在[Weisshaupt（2003）]的论文中给出。假设一家矿业公司想开采某个矿区。矿业公司在此次投资后将生产的矿产目前尚未进行交易，但市场上已经对另一种具有类似特征的矿产进行了交易。然后，矿物的不可观测价格过程与矿物的价格过程密切相关。矿业公司希望为投资期T后的矿产A价格低于生产成本c的风险投保。矿业公司将资金投资于矿产期权。在这种情况下，公司希望找到一种策略，使a的价格与投资组合价值之间的平方差的预期价值最小化。这种问题被称为均值-方差套期保值（MVH）问题。自[F¨ollmer&Sondermann（1986）]的开创性工作以来，均值方差对冲一直是数学金融领域的一个研究领域。

起初，假设概率测度是鞅测度，这个问题就成立了。在这种情况下，[F¨ollmer&Sondermann（1986）]在完全信息的情况下获得了一些结果。在不完全信息的情况下，许多论文后来发展了这种对冲。例如，参见[Schweizer（1992）]的论文，其中考虑了两个相关的维纳过程，对冲策略可以依赖于这两个过程，以及[Schweizer（1994）]，其中使用投影技术获得结果。我们对本文的模型介绍如下。假设一个代理在著名的简单金融市场上工作，并且这个市场是可观察到的。代理人只想使用这个市场上的金融工具，他想开始开发一个新的不可观察的市场。我们认为这个新市场是不完整的。在我们的模型中，有两个偶然性目标和H。第一个是可观察的，从2 VITALII MAKOGIN、ALEXANDER MELNIKOV和YULIYA Mishura可观察市场的完整性来看，代理人是超级边缘人，即他选择了终端财富超过索赔价值的策略。第二个索赔H来自新的不完全市场，为了降低新的风险，代理人使用均值方差方法，即他同时最小化终端财富和不可观察索赔的均方差。该模型最简单的例子是在投资组合价值在时间T非负的条件下，即在这种情况下，eh=0，使用可观察资产对不可观察索赔H进行均值-方差对冲。我们假设两个市场上都没有套利，因此具有非负终值的可接受投资组合的价值过程也是非负的。

它使我们能够考虑终端约束，而不是时间点方向的约束。据作者所知，现有文献中未考虑这种方法。在[F¨ollmer&Leucert（2000）]的论文中，在财富过程在区间[0，T]上非负的条件下，最小化了某个损失函数加权的空头预期。在[Korn&Trautmann（1995）]的论文中，投资者的交易方式是在整个时间间隔内获得非负财富[0，T]。作者的分析基于预期效用或均值-方差方法，通过考虑具有最终财富约束的投资组合问题，他们给出了一个通用框架，包括两种类型的选择标准作为特例。在[Korn（1997）]的论文中，考虑的问题是Black Sholes模型在终端财富仅为非负的条件下的平均方差最小化。但作者的目标集中在确定最终财富价值上，并没有给出最小化策略的确切形式。在[Bielecki et al.（2005）]的论文中，研究了一个连续时间均值-方差组合选择问题，其中所有市场系数都是随机的，并且在任何允许的交易策略下，财富过程在任何时候都不允许低于零。在论文【Fujii&Takahashi（2014）】中，研究了部分可观测市场中的均值-方差套期保值问题，其中漂移过程只能通过观察资产或指数过程来进行。在[Ceci et al.（2014）]的论文中，作者提供了在部分信息框架中工作的或有权益的Galtchouk Kunita Watanabe分解。论文【Hubalek等人（2006）】考虑了具有静态独立增量的过程的方差最优套期保值。在[Jeanblanc等人。

（2012）]一般半鞅模型的均值-方差套期保值问题是通过随机控制方法解决的。从数学上讲，“不可观测”信息由过滤F={Ft，t≥ 0}和“可观察”信息由其子过滤因子={eFt，t≥ 0}。我们将自己限制在有限的地平线T>0。标的资产的价格由EF适应的平方可积随机过程={eSt，t∈ [0，T]}。我们假设这是一个半鞅。交易策略由EF可预测平方可积随机过程ξ={ξt，t描述∈ [0，T]}这样就可以很好地定义随机积分ξT。该积分描述了与ξ相关的自融资投资组合策略所产生的交易收益。设偶然条件为可测平方可积非负随机变量。在时间T，从初始资本x开始并使用策略ξ的套期保值者必须支付随机金额，以便投资组合价值不应小于eh。在部分观测和终端财富约束3终端财富条件下，该或然条件可以解释为aON MVH的随机下界。同时，套期保值者希望通过投资组合价值来近似一个随机数量。与H相反，我们假设H是FT可测平方可积非负随机变量。在这种情况下，带有部分观测值的均值-方差套期保值问题意味着解决优化问题最小化EH- x个-ZTξt测试！总体ξ∈ Ξ（x，eH），其中Ξ（x，eH）={ξ：x+RTξtdeSt≥eH a.s.}这个问题自然与均值-方差对冲有关。

解决均值-方差套期保值问题的主要挑战是找到更明确的最优策略描述，本文介绍了这种新方法。在适用的情况下，可以通过Clark-Ocone公式获得最小化策略的具体形式。当可观测资产和不可观测资产的定价过程是两个相关的几何维纳过程时，我们考虑这个问题的例子。在这种情况下，我们可以使用delta对冲，但我们通过在布朗环境中应用Clark-Ocone定理来说明我们的方法是如何工作的。对于内含权利要求H为看涨期权的情况，我们提供了精确的解公式，并进行了数值说明。本文的组织结构如下。在第二节中，我们在一般半鞅条件下，研究了不完全信息下的条件均值方差套期保值问题。在第3节中，我们将其简化为简化声明，以避免技术细节。我们证明了关于所逼近的随机变量表示的辅助结果，并证明了给出最小化问题解的主要结果。在第4节中，借助具有两个相关几何维纳过程的模型说明了相应的结果。在第4.1小节中，我们给出了数字说明。2、预备知识和一个小问题的表述我们有完全概率空间(Ohm, F、 P）过滤F={Ft，t≥0}，对应于“完整信息”。假设存在asub filtrationef={eFt，t≥ 0}，对应于“不完整信息”。考虑c\'adl\'ag风险资产={eSt，t≥ 0}这样ES是非负的，并且适应“不完整信息”，或者，对于我们来说，eF适应。我们假设非风险资产Bt≡ 1且市场∑在(Ohm, F、 P）过滤F。

此外，我们认为∈ ∑和可观测市场∑={1，eS}在上完成(Ohm, F、 P）与filtrationef F、 我们将自己限制在单位水平，因此我们考虑区间[0，T]上的所有过程。设P为∑的所有等价鞅测度集。那么任何P的限制*∈ PoneF是可观测市场∑的相同唯一等价鞅测度，因此是iseF鞅w.r.t.eP。表示DT=deptdpt对depdponinterval[0，T]的限制。现在我们引入两个平方可积非负随机变量，H和H，H是FT可测的，H是ingeft可测的。相应地，我们可以将其描述为“不可观测”和“可观测”的随机变量或未定权益。4 VITALII MAKOGIN、ALEXANDER MELNIKOV和YULIYA Mishura为了保持在平方可积方法的框架内，weintroduce提出以下假设。（A1）eS={eSt，t≥ 0}是半鞅，表示est=fNt+fAt，其中en是平方可积鞅，andeA是平方可积变分的可预测过程。假设Thateef是generatedbyeN={eNt，t≥ 0}。（A2）EDT<∞, EH<∞ 和EeH<∞.这些条件特别意味着，我们可以考虑随机积分w.r.t。半鞅，I（t，ξ）=ZtξsdeSs=ZtξsdeNs+ZtξsdeAs，t∈ [0，T]对于此类可预测过程ξthattrtξsdheNis<∞ andRT |ξs | d | eA | s<∞ a、 s.表示此类可预测策略的类别。markete∑和条件（A2）的完整性意味着对于任何初始值x≥ 我们可以构造条件claimeHa的超边。s、 在这种ξ的帮助下∈ ΞE（I（T，ξ））<∞. 换句话说，存在suchξ∈ Ξx+I（T，ξ）≥eH a.s.进一步，对于任何x∈ R表示Ξ（x，eH）={ξ∈ Ξ：x+ZTξsdeSs≥eH a.s.}。注意，如果x<EePeH，则可接受策略的空间为空。

下面我们可以假设x≥ EePeH。现在我们可以在半鞅框架下描述一个条件极小化问题。问题[S（x，eH；H）]。从固定值x开始≥ EePeH，构建套期保值策略eξ∈ Ξ（x，eH）所以- x个-中兴通讯ξsdeSs！=最小ξ∈Ξ（x，eH）eH- x个-ZTξsdeSs！，和ξ，对于ξ∈Ξ（x，eH）eH- x个-ZTξsdeSs！=呃- x个-中兴通讯ξsdeSs！。注意，如果ifeN具有鞅表示性质，那么markete∑是完整的。例如，布朗运动和补偿泊松过程就具有这一性质。3、主要结果为了简化问题[S（x，eH；H）]的求解，我们作如下评论。备注3.1。我们呈现EH- x个-RTξsdeSs亚欧会议- E（H | eFT）+E（H | eFT）- x个-ZTξsdeSs！部分观测和终端财富约束下的MVH 5=EH- E（H | eFT）+ EE（H | eFT）- x个-ZTξsdeSs！，自H起-E（H | eFT）和任何平方可积eFT可测随机变量是正交的。因此，问题[S（x，eH；H）]被简化为（3.1）minξ∈Ξ（x，eH）EE（H | eFT）- x个-ZTξsdeSs！，和ξ，对于ξ∈Ξ（x，eH）EE（H | eFT）- x个-ZTξsdeSs！=EE（H | eFT）- x个-中兴通讯ξsdeSs！。备注3.2。表示H=E（H | eFT）。考虑扩展H=HH≥eH+HH<eH，表示H=HH≥eH+eHH<eH≥呃。一方面，对于任何ξ∈ Ξ（x，eH）eH- x个-ZTξsdeSs！=呃- x个-ZTξsdeSs！H<eH+eH- x个-ZTξsdeSs！H≥呃≥ 呃- x个-ZTξsdeSs！H<eH+eH- x个-ZTξsdeSs！H≥eH（3.2）=eH- x个-ZTξsdeSs！。另一方面，对于任何ξ∈ Ξ（x，eH）eH- x个-ZTξsdeSs！=EHH公司≥eH+HH<eH- x个-ZTξsdeSs！=EHH公司≥呃- x个-ZTξsdeSs！+EHH<eH- 2Ex+ZTξsdeSs！HH<eH≤ EHH公司≥呃- x个-ZTξsdeSs！+EHH<eH- 2E类eHHH<eH≤ EHH公司≥呃- x个-ZTξsdeSs！- EHH<eH,（3.3）和（3.2）、（3.3）中的等式，当且仅当H≥eH a.s.因此，我们可以将自己限制在案例H中≥裕利安怡a.s.和其他情况下的适用范围6 VITALII MAKOGIN、ALEXANDER MELNIKOV和YULIYA MISHURA（3.2），（3.3）（如何处理（3.3）中的上限将在备注3.5中具体说明。）备注3.3。

现在，让H≥eH a.s.并考虑x=EePH时的情况。从市场∑的完备性可以看出，对于某些ξ，我们有表示h=x+RTξsdesss∈ Ξ（x，eH）。因此，我们将ξ=ξ，得到了极小化问题的平凡零解。因此，考虑两种情况是合理的：x<EePHand x>EePH。然而，由于我们的目标是用最少的初始资源来解决最小化问题，因此我们假设在接下来的过程中x<EePH。备注3.4。此外，让EePeH≤ x<EePH。显然，EH- x个-RTξsdeSs= EH-呃-x+RTξsdeSs-呃. 从市场的完整性来看，存在η∈ Ξ使eh=EePeH+RTηsdeSs。现在，重写- x个-ZTξsdeSs！=呃-呃-x个- EePeH+ZT（ξs- ηs）deSs！！，表示G=H-eH，g=x-ex，ζs=ξs-ηs，注意G≥ 0 a.s.，例如>0。然后显然是0≤ g<EePG和g+RTζsdeSs=x- ex+RT（ξs- ηs）deSs≥呃-eH=0a。s、 情形g=0对应于x=EePeH，然后[s（x，eH；H）]的平凡解是策略ηs。因此，我们进一步假设g>0或x>EePeH。这意味着我们将问题[S（x，eH；H）]简化为以下问题。问题[S（g，0；g）]。对于固定平方可积非负EFT可测随机变量G和固定数0<G<EePG to findminξ∈Ξ（g，0）EG- g级-ZTξsdeSs！，和sucheξ∈ Ξ（g，0），其中minξ∈Ξ（g，0）EG- g级-ZTξsdeSs！=EG公司- g级-中兴通讯ξsdeSs！。备注3.5。考虑术语E（x，eS）：=EHH小时≥呃- x个-RTξsdeSs来自（3.3）。我们可以将其表示为asE（x，eS）=E（H-eH）H≥呃-x+ZTξsdeSs-eHH公司≥嗯！！。从市场的完整性来看≥EH允许代表EHH≥eH=ex+中兴通讯γsdeSs，其中ex=EePeHH≥呃≤ EePeH公司≤ x和x+RTξsdeSs-eHH公司≥呃≥ 因此，术语E（x，eS）的最小化是在g=x的问题[S（g，0；g）]的框架内进行的- ex公司≥ 0和G=（H-eH）H≥呃≥ 0

所以，在一般情况下，当非MVH在部分观测和终端财富约束下，不等式H≥eH不持有a.s.，我们可以在问题[s（g，0；g）]的框架内最小化（3.3）的右侧，并找到最小化策略eξt。最小值minξ∈Ξ（x，eH）EE（H | eFT）- x个-RTξsdeSs将介于（3.2）右侧评估的策略eξt+eγ和（3.3）右侧的最小值之间。为了解决问题[S（g，0；g）]，调用DT=dePTdPTis是depdpon[0，T]的限制，并注意对于任何v（x）∈ REeP（G+v（x）DT）+≤ EDTG+| v（x）| EDT<+∞.现在，对于任何0<x<EePG，考虑v（x），这是方程（3.4）EeP（G+v（x）DT）+=x的解。我们看到v（x）是非递减的。引理3.6。函数v=v（x），x∈ （0，EePG）是唯一确定的，在区间（0，EePG）上连续且严格递增。此函数的值范围为间隔（r，0），其中r=-ess supω∈Ohm克/吨。证据显然，函数f（y）=EeP（yDT+G）+在R，limy上是非递减的和连续的→-∞f（y）=0和limy→+∞f（y）=+∞. 因此，对于anyx∈ 存在方程（3.4）的（0，EePG）解。此外，对于y<y（3.5）EeP（yDT+G）+=EeP（yDT+G）+=x>0。下一步{G>-因此，yDT}>0，正概率（yDT+G）+>（yDT+G）+，这与（3.5）相矛盾。因此，方程（3.4）的解是唯一的，且函数v=v（x），v∈ （0，EePG）是唯一确定的。现在，EeP（v（x）DT+G）+严格地增加x∈ （0，EePG）。实际上，让EePG>x>x>0，且EeP（v（x）DT+G）+=x>EeP（v（x）DT+G）+=x>0。它特别意味着{v（x）DT+G>0}-{v（x）DT+G>0}>0，正概率。因此，（v（x）DT+G）{v（x）DT+G>0}>（v（x）DT+G）{v（x）DT+G>0}具有正概率，其中v（x）>v（x）。在间隔（0，EePG）上建立v（x）的连续性。