布莱克-斯科尔斯金融市场中的学习代理：共识动力学

按结构，~Xt-1MXt-1.→XTMXTMAX-上午1点-1Xt-1遵循以下差异方程Xt=MAM-1Xt-1个=1.*AXt-1个==> et=~Aet-1，（8）和etis的解，然后由et=~Ate给出。iPnj=2aij<Aρ▄A<极限→∞Atlimt→∞E，断言如下。推论3.5。k·k*kAk*<ρОA<σ与kAk给出的收敛速度成指数关系*, i、 e.maxi公司{退出- \'\'σ} ≤ CkAkt-1.*kX公司- (R)σ1nk∞,对于i∈ {1，…，n}和一些正常数C∈ R> 0。证据关于如何构造这样的ak·k，参见[]中的引理5.6.10*. 现在考虑定理3.4证明中定义的一致性错误，该错误根据差异方程（8）发展。它跟随着t=￠At-1e，其中E表示初始一致性错误。在定理ρОA<ρОA<sayk·k的假设下*, 这样的话*<1、我们用规范重述错误，并获得K∞≤ kAkt-1.∞酒桶∞.凯克∞≤ kAkt-1.∞酒桶∞=> 凯克∞≤ CkAkt-1.*酒桶∞C∈ R> 0kAk*<1、共识错误的规范K∞以ratekAk指数收敛到零*.4共识（向量代理动力学）通常，在市场中，期权以货币（atm）K=报价，再进行两次罢工，Knagent i现在对K个不同的货币水平有K个报价。在此配置中，真实挥发度为'σ：=[σ，…，σk]>∈ Rk。参见图1（b）。4.1共识与反馈再次，我们假设每个代理采取其他代理意见的加权平均值，并更新其下一时期的波动性估计向量，即在时间t，意见∈ Rkof thei the agentis给定byxit=nXj=1aijxjt-1+i（(R)σ- 退出-1） ，t∈ N、 （9）我∈,ixjt公司-1.∈ Rkjt公司-aij公司≥nPnj=1aijaii>≤ 我≤ nXtxt，xnt>Xt∈ Rkn。然后，n个代理的意见动态可以用矩阵形式写成如下xt=（A Ik）Xt-1+（E Ik）（1n \'\'σ- Xt公司-1） ，（10）Aaij∈ Rn×nEdiag, . . . , n产品我们得到以下结果。定理4.1。考虑（10）中的意见动态，并假设我∈（0，全部），i={。

，n}；然后，共识为1n \'σ（其中\'σ=[σ，…，σk]>∈ Rk）达到，即限制→∞Xt=1n (R)σ。证据定义错误序列集-1： =Xt-1.-（n） \'\'σ）。注意thatet-1=表示双方同意（n） 达到“σ”）。鉴于意见动态（10），错误的演变-1以下差异方程的满意度=（（A- E） Ik）Xt-1+（（E Ik）- Ikn）（1n (R)σ）=（（A- E） Ik）et-1.- （1n \'（σ）+（A） Ik）（1n (R)σ）=（（A- E） Ik）et-1+（（A- In）1n \'\'σ）。AA公司- 样本toet=（（A- E） Ik）et-1，（11）et（11）etA- E IkteKronecker积和Gershgorin圆定理，谱半径ρ（A- E） <1用于我∈（0，全部）。限制→∞A.- E Iktlimt公司→∞etknfollows。推论4.2。通过k（A）给出的收敛速度，以指数形式达成对∑的共识-E） Ik）k∞, i、 e.，kXt- （1n (R)σ）k∞≤ k（A）- E） Ik）kt-1.∞kX公司- （1n (R)σ）k∞.上述结果的证明与以前的推论非常相似，因此省略了。4.2通过意见矩阵与未知领导达成共识。同样，在不丧失一般性的情况下，我们假设第一个代理（withxt∈ Rkx‘∑∑，σk>∈ RKAIII∈ {，···，n}和a=1。然后，在此配置中，意见动态由xt=（A）给出 Ik）Xt-1，A=1 0。0aa。a2n。。。。an1an2。安=:1 0*A！，（12） 与aij合作≥ 0，Pnj=1aij=1，所有1的所有i>0≤ 我≤ n、 对于至少一个i，Pnj=2aij<1。定理4.3。考虑意见动力学（12），并假设矩阵Ais subtochasticand不可约；然后，共识为1n 达到σ，即极限→∞Xt=1n (R)σ。在这里推论4.4。k·k*kAk*<σ与收敛速度kA成指数关系 Ikk公司*, i、 e.kXt公司-（n） (R)σ）k∞≤ CkA Ikkt公司-1.*kX公司-（1n (R)σ）k∞, 对于某些正常数C∈ R> 0.5数值模拟（4）n′σ。初始条件X=（0.3、0.35、0.37、0.4、0.45、0.5、0.55、0.57、0.6、0.65）>。在交易所和场外交易市场，很容易确定谁是主要的做市商是银行和大型交易公司。

从这个意义上讲，参与者的数量并不多，因此开发的模型总是有一定数量的代理，N=10。（4） （a）（b）通过学习和i不满足第3.1条的条件，以及（d）主体与领导者的动力学演化（7）。图2描述了获得的不同学习参数值的模拟结果i、 i=1，具体而言，图2（a）显示了无需学习的结果，即，i=0（此处对∑没有影响），图2（b）描述了i=0。全部。如定理3.1所述，达成了“σ”的共识。图2（c）显示了i=0.9aii+0.94BI，b=1，bi=0，否则，i，/∈, aleader（7），n=10，初始条件x=（(R)σ，0.35，0.37，0.4，0.45，0.5，0.55，0.57，0.6，0.65）>。A.APi=10i=2aij<j，预计一致同意“σ=0.375”。图2（d）显示了相应的模拟结果。最后，nkA'σ=（0.，，，.88）>，学习参数i=0。aiiforaiias inA和初始条件K 在上述第一个实验中使用Xas。6套利边界我们将真实波动率参数视为我们模型的外生参数。我们唯一的要求是期权价格不能在不同的罢工中进行交易以创造利润。检查图3：多维代理人的学习动态演变（10）。条件众所周知[，]。只要波动率表面让他们满意，我们的分析就意味着全球稳定朝着无套利的方向发展。T和Soption价格asBS（K，σ（K）），BS（S，K，T，σ（K））。我们关注的是Varyngk，以确保无静态套利。我们假设σ（K）相对于σ的可转换期权价格条件1：（通话间隔）0<K≤ K、 我们有b（K，σ（K））≥ BS（K，σ（K））.o条件2：0<K<K<K，BS（K，σ（K））+K时：（黄油涂抹）-K1K级-K×BS（K，σ（K））≥K- K1K级- K×BS（K，σ（K））。账户依据[，]。

深入研究这一主题将使我们更深入地了解随机分析，从而摆脱本文的重点。7联系与结论最近，在计算机科学与期权定价的交叉领域有一些相当有趣的工作。Demarzo等人[3]展示了如何使用高效的在线交易算法对金融工具的当前价值进行定价，并使用在线交易算法得出了上限和下限。此外，Abernethy等人将Black-Scholes-price发展为连续的两人零和博弈。虽然这些论文在弥合两种不同观点之间的差距方面有了一个良好的开端，但它们并没有解决波动性微笑和交易的现实问题。我们的贡献可以被视为使这些联系更加具体。微笑本身就是一个难题，甚至有文章质疑它是否可以解决[]。传统的从头到尾的方法是为波动性和资产价格制定一个精确的过程，可能通过不确定性引入跳跃或更多的差异[，]。此类模型已经成功开发，但将多智能体模型与无套利曲线结合起来的时机已经成熟。已经进行了相当广泛的研究。最近在计算机科学领域展开广泛讨论的参考文献有[，]。经济物理学是开发新模型的正确社区。毕竟，不存在对参与者效用或数学金融界如此钟爱的随机波动率模型的依赖。摆脱这些束缚，研究人员可以使用一系列工具和技术分散时间。虽然我们的框架是离散的，但连续的时间可能会显示出一种将数学金融和金融经济学的模型结合起来的方法[，]。本文简要讨论了随机矩阵产品中的技术问题，使我们确信，在建模和数学方面还需要做更多的工作。

例如，矩阵SAAN可以随时间的相关性降低而变化。随机案例收缩仍然有效。本文介绍了期权交易背景下的学习代理模型。一个关键目标，证明了均衡信念的收敛性。向前迈出的自然一步是将信念视为概率度量，其中每个度量对应于不同的期权定价模型。算法。每个算法对应于定价模型的特定信念。致谢团契。Carlos Murguia感谢美国国家研究基金会（NRF）二级拨款2016-T2-1-170。参考文献[1]对抗对手的选择：Black-scholes定价是极大极小最优的，摘自《神经信息处理系统的进展》，2013年，第2346-2354页。[2] J.Abernethy、R.M.Frongillo和A.Wibisono，《极大极小期权定价与blackscholes的极限》，载于第四十四届ACM年度计算理论研讨会论文集，ACM，2012年，第1029-1040页。[3] B.Acciaio、M.Beiglb¨ock、F.Penkner和W.Schachermayer，《无模型版本融资》，26（2016），第233-251页。[4] D.Acemoglu和A.Ozdaglar，《社交网络中的观点动态和学习，动态游戏和应用》，1（2011），第3-49页。[5] E.Ayache、P.Henrott、S.Nassar和X.Wang，《任何人都能解决微笑问题吗》，《Wilmott之最》（2004），第229页。[6] V.Bacoyannis、V.Glukhov、T.Jin、J.Kochems和D.R.Song，《电子交易中数据驱动学习的特质和挑战》，2018年NIPS研讨会：金融服务中人工智能的挑战和机遇：公平性、解释性、准确性和隐私的影响，（2018年）。[7] （1992），第797-817页。[8] J.Becker、D.Brackbill和D.Centola，《5076年社会影响的网络动力学》。[9] 第992-1026页。[10] 《显微镜下的金融市场》，剑桥大学出版社，2018年。[11] L.Bruneau，A。

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