布莱克-斯科尔斯金融市场中的学习代理：共识动力学

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英文标题：
《Learning Agents in Black-Scholes Financial Markets: Consensus Dynamics
  and Volatility Smiles》
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作者：
Tushar Vaidya and Carlos Murguia and Georgios Piliouras
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  Black-Scholes (BS) is the standard mathematical model for option pricing in financial markets. Option prices are calculated using an analytical formula whose main inputs are strike (at which price to exercise) and volatility. The BS framework assumes that volatility remains constant across all strikes, however, in practice it varies. How do traders come to learn these parameters? We introduce natural models of learning agents, in which they update their beliefs about the true implied volatility based on the opinions of other traders. We prove convergence of these opinion dynamics using techniques from control theory and leader-follower models, thus providing a resolution between theory and market practices. We allow for two different models, one with feedback and one with an unknown leader.
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中文摘要：
Black-Scholes（BS）是金融市场期权定价的标准数学模型。期权价格使用一个分析公式进行计算，该公式的主要输入是履约（行使价格）和波动率。BS框架假设所有罢工期间的波动性保持不变，但在实践中有所不同。交易者是如何学习这些参数的？我们引入了学习主体的自然模型，在该模型中，学习主体根据其他交易者的意见更新其对真实隐含波动率的信念。我们使用控制理论和领导者-追随者模型的技术证明了这些意见动态的收敛性，从而提供了理论和市场实践之间的解决方案。我们考虑了两种不同的模型，一种是反馈模型，另一种是未知领导者模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Papers on all aspects of machine learning research (supervised, unsupervised, reinforcement learning, bandit problems, and so on) including also robustness, explanation, fairness, and methodology. cs.LG is also an appropriate primary category for applications of machine learning methods.
关于机器学习研究的所有方面的论文（有监督的，无监督的，强化学习，强盗问题，等等），包括健壮性，解释性，公平性和方法论。对于机器学习方法的应用，CS.LG也是一个合适的主要类别。
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Multiagent Systems        多智能体系统
分类描述：Covers multiagent systems, distributed artificial intelligence, intelligent agents, coordinated interactions. and practical applications. Roughly covers ACM Subject Class I.2.11.
涵盖多Agent系统、分布式人工智能、智能Agent、协调交互。和实际应用。大致涵盖ACM科目I.2.11类。
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PDF下载：
--> Learning_Agents_in_Black-Scholes_Financial_Markets:_Consensus_Dynamics_and_Volat.pdf (521.54 KB)

2022-5-31 09:57:57 上传

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关键词：金融市场 斯科尔斯 布莱克 动力学 Mathematical

布莱克-斯科尔斯金融市场的学习代理Stushar VaidyaSUTDtusharvaidya@sutd.edu.sgCarlosMurguiaTU/欧共体。GMurguia@tue.nlGeorgios PiliourasSUTDgeorgios@sutd.edu.sgJuly142020年抽象金融市场。期权价格使用一个分析公式进行计算，该公式的主要输入是履约（行使价格）和波动性。BS框架假设所有罢工中的挥发率都是恒定的，但实际上它是不同的。交易者是如何了解这些参数的？我们引入了基于自然代理的模型，在该模型中，他们根据其他交易者的意见更新了对真实隐含波动率的信念。我们使用控制理论和领导者-追随者模型的技术证明了这些观点动态的指数快速收敛，从而在理论和市场实践之间提供了一个解决方案。我们考虑了两种不同的模型，一种是反馈模型，另一种是未知领导者模型。1引言零情报交易者的行为已纳入价格波动。重点是以可用数据的形式进行宏观聚合。虽然这是一个重要的研究领域，但基于代理的模型为更详细地研究微观相互作用提供了机会。这里的代理是异构的。期权波动的背景，从而明确学习和互动。在局外人看来，金融资产似乎是以一个由市场决定的价格进行观察的。事实上，priceschannels。互动对于理解市场至关重要。本文的动机来自Kirman和Follmer的作品[，]。我们主张在交易者之间进行某种内在的互动，而不是发展一个成熟的博弈论或领域模型。我们【17】。大多数交易都是以电子方式进行的。为了占据主导地位，企业现在在技术上投入巨资以获得优势。对于期货交易而言，速度对利润至关重要。

交易复杂的衍生品需要数学家、计算机科学家和工程师。在过去二十年中，越来越多的衍生工具，如股票和期货，但在衍生品交易中起着至关重要的作用[，，]。此外，证券交易所和场外交易（OTC）市场之间的区别已不像过去那样清晰[，]。在OTC市场，交易是在两个交易对手之间进行的，没有集中的市场。在过去十年中，监管部门越来越多地推动保持双边交易对手的隐私。在某些方面，OTC市场通常被称为报价驱动市场或真正的黑暗市场[]。美国和欧盟（EuropeanUnion）的监管导致了基于交易所的交易分散，但不透明的OTC市场集中化1.1期权市场价值数万亿美元。为了直观地了解该地区的环境和问题，让我们考虑一下欧洲选项的典型示例。具有股票价格统计到期时间和行权价格的看涨期权的买方- K、 ，而看跌期权的最大{K- ST，0}。SKTσ得出答案，即仪器的报价【21、68、47】。价格=BS（S、K、T、σ）。市场。这个参数非常重要，实际上市场通过引用波动率来交易欧洲看涨期权和看跌期权。K、 ，t在外汇期权市场中更为常见。[29]中给出了波动率微笑的极好介绍。目的通过引入更新其波动性信念的学习主体模型进行研究。金融学或经济物理学尚未完全解决基于主体的波动率微笑相互作用和形成模型。它们仍然是一个挑战[]。之前已经做过尝试，但焦点从未放在交互的数学或特定性质上[，]。

此外，我们使用具有特定隐含波动率的Black-Scholes公式，交易者得到了一个美元价值价格。（a） KK/SKS（b）投资者对隐含波动率的看法逐渐趋同，形成了不同的波动率价值。在[，]中，尽管缺少交互的本质。然而，这些早期的尝试很好地表明，至少这个问题已经引起了不同学科的极大兴趣。1.2经济物理学宏观行为并非易事[，]。事实上，模型的选择似乎是有限的。有大量基于代理的模型[，，]。哪一个是正确的？此外，哪种类型的社会学习是金融市场交易的代表。Barron提供了早期指南[]。这一领域一直保持稳定，波动性微笑的出现问题仍未解决。许多模型假设基础股票和波动率的组合是一个随机过程。1.2.1奈特不确定性即使不确定正确的概率度量，我们也将面临不确定性。从某种意义上说，这抓住了金融市场的本质。交易者和参与者使用不同的概率度量。没有这样的概率度量占主导地位。在不完全市场中，选择正确的概率度量，以便正确定价衍生产品合同，是一项主观和定量的工作。在任何情况下，都不存在正确的模型[，，，]。因此，金融市场的参与者可以自由选择根据市场数据校准的概率模型【25、22、13】。基于经济学的模型和数学金融文献中的模型存在的问题是，很多时候，分析都集中在一个具有代表性的代理人身上。在存在风险和不确定性的情况下，选择衍生品合同的定价归结为选择一个正确的等价鞅度量，在该度量下，衍生品索赔是可复制的。

对于做市商和经销商来说，车型的选择非常广泛。每个参与者都必须做出选择，不可避免地，没有两个机构会使用相同参数的相同模型。在这种情况下，值得注意的是，市场将汇集经销商个人选择上的差异。1.2.2金融市场：非Bayesian金融市场，在不同地理位置频繁更新[，]。代理同时移动：通常取消[，，]。实际上，顺序贝叶斯学习模型似乎并不合适[，]。贝叶斯观察学习示例包括[，]和[]。这些模型本质上是连续的。他们研究羊群行为。随着时间的推移，玩家依次观察先前代理的动作，并接收到一个私人信号。每一个代理都会出现，第n个代理可能会以n的形式得出真相→ ∞.我们的基础正是因为它们紧密地抓住了金融市场中互动和学习的本质。玩家可以观察之前的选择，但不能观察竞争对手的回报。对游戏中的学习进行更深入的讨论，将使我们远离研究互动的数学本质的目标。读者可以从博弈论的角度参考[，]。我们的贡献。市场上所有其他“随机”的喋喋不休。该模型捕获了交易者对外部意见给予任何权重的情况（第3.3节，定理3.4）。

证明收敛结果（以及建立指数级快速收敛速度）需要离散动力学2的工具。a-2。d） 例如，这表明，如果我们离开我们的模型，就无法保证收敛。我们使用Kronecker Products将上述两个模型的多维类似物形式化，确定无套利波动率曲线形状上的必要结构条件。2模型描述按照其自己的更新估计进行。代理可以观察其他代理之前的信号。简单地说，这些模型让我们能够检验一致性。从某种意义上说，这些类型的模型是前所未见的。参见调查文件【60、4、41、67】。2.1挥发性基础考虑其他试剂的挥发性。反馈机制有助于代理人获得真实的波动率参数。在任何时候，焦点都集中在波动率微笑的静态画面上。在此静态框架频率范围内。在交易所设置中，可以将所有出价和出价视为代理可见。代理最初不确定隐含波动率的真实值，但通过学习和反馈，可以得到真实参数。我们的第一次尝试是社交网络中常见的天真学习模式。学习发生在交易时间之间。因此，我们的隐含假设是，交易员在相互调整和学习报价时，不会发生任何交易。这一相当奇特的特征是市场实践。交易的时间间隔比报价更新的时间间隔长。股票的高频交易和期权市场都是如此。报价和价格（或者更确切地说是交易量）的变化比实际交易更频繁。σK，T∈,这取决于罢工和期满。隐含波动率以百分比表示。假设2.1。向交易员提供反馈。

代理人确定这种反馈的能力就是他们的学习能力。领导者不为人知，不提供反馈，但他们的引述是可见的。罢工和期满。2.2天真的意见动态其他代理人的意见，并更新他自己对下一时期波动性参数的估计，即在时间t，意见xit∈ 第i个代理的R由xit=nXj=1aijxjt给出-1，t∈ N、 （1）其中-1.∈ Ris代理商的意见时间（t-1） 安代伊≥0表示NPNj=1aijaii>≤ 我≤ nXtxt，xnt>n个代理的意见动态可以用矩阵形式写成，如下xt=AXt-1，（2）式中A：=aij∈ Rn×nis是一行随机矩阵。定义2.2（共识）。如果有任何固定的初始条件X，则称代理人（2）达成共识∈ Rn，| xit- xjt |→ 0作为t→ ∞ 就我而言，j∈ {1，…n}。定义2.3（在一定程度上达成共识）。对于任何初始条件X，代理（2）都可以达成一致意见∈ Rn，极限→∞Xt=c1n，其中ndentes×1矢量由1和c组成∈ R、 常数c通常被称为一致值。（2） 定义）。提案2.4。考虑方程（2）中的意见动态。IfAis非周期且不可约，X∈ RNC对矩阵A和初始条件X进行了修正。备注2.5。命题2.4意味着，如果行随机意见矩阵是非周期且不可约的；然后所有代理都会收敛到某个共识值C。然而，由于CEC取决于未知的初始意见nx，因此一致性值未知，并且通常不同于真实波动率σ（K，T）。我们希望缓解这种情况，因此引入两种新模型。3个共识（标量代理动态）私人在线聊天室，提供期权价格报价；有些是陈腐的，有些是新鲜的。代理人的学习能力决定了所有这些来源反馈的质量。

在可能占主导地位的市场中，相同的工具可以在不同的渠道之间交易。学习速度快的投资者可以快速调整其波动率估计。3.1 Mizuno等人开发的反馈早期模型的一致性。[]与我们的模型有一些相似之处。交易员利用过去行为的反馈信息。我们的模型是一个离散的自回归过程，但重点是学习插入。特别是，我们反馈了代理人意见与真实波动率σK，T之间的差异我∈,σK，t某些固定的‘∑∈（0,1），σ（K，T）=某些固定罢工和到期的σ。然后，新模型编写为以下内容xit=nXj=1aijxjt-1+i（(R)σ- 退出-1） ，（3）或矩阵形式XT=AXt-1+E（(R)σ1n- Xt公司-1） ，（4）其中E：=诊断(, . . . , n） 。然后，我们得到以下结果。定理3.1。（4）我∈, aiii{，…，n}然后，对∑达成共识，即limt→∞Xt=(R)σ1n。证据很容易验证微分方程（4）的解Xt由Xt+1=（A）给出- E） tX+Xt-1j=0（A- E） jE′σ1n，t>1。（5） ρA- E<ii<aiiP∞j=0A- EjE？σ1nIn- AE-1E’’σ1NinnandLimit→∞（A）- E） t=，请参见[]。矩阵是行随机的；然后，（I- A） n=n，其中ndentes×1矢量仅由零组成。因此，我们可以写1n=（In- A） n+E1n；因此1n=（英寸- A+E）-1E1n。这就是限制→∞Xt+1=极限→∞（A）- E） tX+X∞j=0（A- E） jE'σ1n=0n+（英寸- A+E）-1E1n’σ=1n’σ，断言如下。推论3.2。\'\'σkA- 埃克∞最大{| xit- \'\'σ|}≤ kA公司- Ekt公司-1.∞kX公司- (R)σ1nk∞我∈ {，…，n}k·k∞由向量不确定性范数诱导。证据Et公司-1Xt-1.- (R)σ1n∈ Rn（4）满足：Et=Xt- (R)σ1n=AXt-1+E（(R)σ1n- Xt公司-（1）- (R)σ1n=A（Et-1+’σ1n）+E（’σ1n- （Et-1+’σ1n））- (R)σ1n=（A- E） Et公司-1+(R)σ（A- In）1n=（A- E） Et公司-1，上述表达式中的最后一个等式源自以下事实（A- In）n=0，因为a是一个离散矩阵。上述微分方程的解由et=（A）给出- E） t型-1E，EX- (R)σ1nkEtk∞最大eit i∈ {，…，n}Et=（Et。

注意，KETK的指数收敛性∞意味着自身的指数收敛。使用解决方案Et=（A- E） t型-1E，可以写以下内容：kEtk∞= k（A）- E） t型-1Ek∞≤ k（A）- E） 千吨级-1.∞酒桶∞,kA公司- 埃克∞A.- EkEtk公司∞≤ kA公司- Ekt公司-1.∞酒桶∞kA公司- 埃克∞<AaijEdiag公司, . . . , nkA公司- 埃克∞kA公司- 埃克∞maxi公司Pnj=1，j6=i | aij | ai- 我|我∈ {，…，n}Aaij≥andPni=1 | aij |=1；因此，在定理3.1的条件下（即。，我∈（0，aii）），k（A- E） k级∞=maxi公司Pnj=1，j6=i | aij | ai- 我|<Et可由k（A）给出的收敛速度得出- E） k级∞=maxi公司Pnj=1，j6=i | aij |+| ai- 我|.3.2随机案例在信任矩阵的适当随机条件下，我们仍然可以达成共识。在此迭代中。然而，我们需要一个条件来确保收敛，即平均学习率低于自信心条件。由于这只是一种期望，是一种概率陈述，因此在学习率严格低于自信时间t方面有一定的余地。定理3.3。考虑一下意见dynamicsXt=AtXt-1+Et（(R)σ1n- Xt公司-1） ，（6）其中，A和E是独立的，且分布相同（iid）。此外，假设- Etk公司∞] < 0然后，就“σ”达成共识，即限制→∞Xt=(R)σ1n。证据(R)σ表示法，上下文为clearXt- (R)σ=AtXt-1+Et（(R)σ- Xt公司-（1）- \'\'σXt- (R)σ=AtXt-1.- “σ+Et”σ时- EtXt公司-1Xt- (R)σ=（At- Et）（Xt-1.- (R)σ）Yt=（At- Et）Yt-1Yt=BtYt-1，YtXt- (R)σBtAt- EtYt公司→递归我们到达的时间为yt=BtBt-1···B·{z}iid矩阵。平均k·k∞标准：kYtk=kBtBt-1···BYkkYtk≤ kBtkkBt公司-1k···KBKKKYKLOGKYTK≤ 日志（kBtkkBt-1k···kBkkYk）logkYtk≤ logkBtk+logkBt-1k+···+logkBk+logkYkkYtk≤ exptPtk=1logkbkktkyk第一个不等式后面是矩阵范数的次乘法性质。

此外，根据PTK=1logkBkk的定律∞-→ 埃洛格卡特- Etk公司∞指数确保，作为初始意见kYk∞< ∞ 是有限的，有限的→∞kYtk公司∞= 0.因此，Yt-→ 0和每个代理达成共识。洛格卡特- Etk公司∞<,taii>积极学习始终需要iis。然而，必须有一些相互作用和学习动力学是一个活跃的研究领域，不仅在数学领域，而且在物理学领域[，，]。建模互动和学习动态。3.3对模型（4）的领导批评不得而知的共识是，反馈即使不完美，也必须学习。实际上，通过对其他交易者进行平均，他们都会得出领导者的意见。在马尔可夫链理论中，假设所有代理都不知道领导者的身份。在不丧失一般性的情况下，我们假设第一个代理人（具有相应的意见）是领导者；因此x=(R)σ，a1i=0，i∈ {，···，n}，anda=1。然后，在此配置中，齿轮动力学由xt=AXt给出-1，A=1 0。0aa。a2n。。。。an1an2。安=:1 0*A, （7） 与aij合作≥ 0，Pnj=1aij=1，所有1的所有i>0≤ 我≤ n、 对于至少一个i，Pnj=2aij<1。定理3.4。考虑意见动力学（7），并假设矩阵▄A是次随机的且不可约的。它保持了这一限制→∞Xt=’σ1n，即达成了对‘σ’的共识。证据定义可逆矩阵M∈ Rn×nM：=1 0n-1.-在里面-1.Xt-1MXt-1xt-1xt-1xt-1xt-1.-xt公司-1.xnt-1xt-1.- xnt公司-1台-1xt-1.xnt-1> n个-1确保达到xt=(R)σ。请注意，MAM-1个=1.*A,其中表示适当尺寸的零向量和（7）中定义的▄Aas。