具有乘法价格的最优执行中的周期策略

然后，u=u。为了证明这一结果，我们需要使用一个技术工具，在下一个引理中加以描述，证明见附录。引理2.2。对于每个（ξs，ξb）∈ A（y），存在ξs∈ As（y）使得ξst- ξbt≤ξst≤ ξstfor allt≥ 命题证明2.1。回想一下，我们只需要显示不等式u（x，y）≤ u（x，y）。设（ξs，ξb）在A（y）中，并考虑策略ξs∈ 引理2.2中的As（y）。现在，我们考虑进程Xt=Xtexp{-λ（ξst- ξbt）}和XT=Xtexp{-λ′ξst}，满足以下条件，dXt=uXtdt+σXtdWt- λ（Xtosdξst- Xt公司obdξbt），dXt=uXtdt+σXtdWt- λXtosd？ξst，（2.12）分别具有乘性价格影响7的最优执行周期策略，其中Xtosdξst，XtobdξbtandXtosd？ξ凝视，如（2.8）所示。在e中应用部件集成-δ（t∧\'τm）Xt∧τm，其中τm：=inf{t>0：Xt>m}，Using（2.12），它紧随zt∧\'τme-δtXt公司osdξst- Xt公司obdξbt- Csdξst- Cbdξbt（2.13）=λx个- e-δ（t∧\'τm）Xt∧\'τme-λ（ξst∧ ？τm-ξbt∧ ？τm）-δ- uλZt∧\'τme-δsXse-λ（ξss-ξbs）ds-Zt公司∧\'τme-δs（Csdξss+Cbdξbs）+σλZt∧\'τme-δsXse-λ（ξss-ξbs）dWs≤λx个- e-δ（t∧\'τm）Xt∧\'τme-λ′ξst∧ ？τm-δ- uλZt∧\'τme-δsXse-λ′ξSSD-Zt公司∧\'τme-δsCsd？ξss+σλZt∧\'τme-δsXse-λ（ξss-ξbs）dWs=Zt∧\'τme-δs（Xsosd？ξss- Csd？ξss）+σλZt∧\'τme-δsXs（e-λ（ξss-ξbs）- e-λ′ξss）dWs，注意zt∧\'τme-δsXs（e-λ（ξss-ξbs）- e-λ′ξss）dbs是一个方形马丁酒，由假设[e4λξb（t∧ \'τm）+]<∞, 其期望值为零；详见[18，第293页]。第n，取（2.13）中的期望值，则为yieldsExZt公司∧\'τme-δtXt公司osdξst- Xt公司obdξbt- Csdξst- Cbdξbt≤ Ex公司Zt公司∧\'τme-δs（Xsosd？ξss- Csd（ξss）.然后，让t，m→ ∞ 利用支配收敛定理，我们得到了（2.14）Jx，y（ξs，ξb）≤ Jx，y（(R)ξs，0）≤ u（x，y）。由于上述不等式适用于每个（ξs，ξb）∈ A（y），我们得出结论u（x，y）≤ u（x，y），完成此结果的证明。3.

HJB方程与最优执行本文的其余部分致力于给出执行问题（2.11）的最优解，特别注意该策略的结构。大致上，我们寻求结构简单的最佳销售策略，从实践角度促进其适应性。这项工作的主要结果之一是建立了一个最优策略^ξs的存在性，该策略在状态空间中具有障碍形式。障碍策略是根据待出售股票的剩余数量和每个时期观察到的价格水平来描述的。这些值与一个标记进行比较，该标记从一开始就确定，并取决于一个非负常数F，以下称为周期载波。8 D.HERN'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L.P'EREZMore精确地表示，如果周期性障碍F>0，则在泊松过程nγ的第i个到达时间内要出售的股份数量由（3.1）νF（Ti）：=YTi给出∧λ（ln XTi- ln F）+，其中（XTi，YTi）是到达时间Tiand（ln XTi）时状态进程的位置- ln F）+：=最大值{0，（ln XTi- ln F）}。这类策略由ξs、F表示，这些策略的s et由Asb（y）定义，它显然是As（y）的子集。这组策略的对应值函数定义为（3.2）ub（x，y）=supξs，F∈Asb（y）Jx，y（ξs，F，0），Jx，yas在（2.9）中。为了将上述值函数Ub与（2.11）中定义的原始值函数u相关联，可以方便地对要遵循的方法进行简要描述。作为第一步，我们将使用动态编程技术解决问题（3.2）。

注意到周期策略由单个参数描述，关键点在于证明有一个参数Fγ，由（3.11）定义如下，对于该参数，存在与ub相关的HJBequation（3.4）的光滑解v；见提案3.2。第二步，使用参数Fγa周期策略ξs，可以使用表达式（3.1）构建Fγ。最后，使用与（3.3）中描述的初值函数u相关的HJB方程，在最后一步中，证明了该方程的解，并且ξs，Fγ在集合（y）内对u是最优的，得出结论ub=u；参见验证理论3.7。备注3.1。根据标准动态规划参数，值函数u和ub与HJB方程相关联，分别由（3.3）给出Lw（x，y）+最大值0≤l≤y{γG（x，y，l；w）}=0，对于所有x>0和y>0，w（x，y）=0，对于所有x>0和y=0，（3.4）Lv（x，y）+γGx、 y，y∧λln（x/Fγ）+; v= 0，对于所有x>0和y>0，v（x，y）=0，对于所有x>0和y=0，其中Fγ是一个正常数，稍后将确定。这里，运算符L和G由f（x，y）定义：=σxfxx（x，y）+uxfx（x，y）- δf（x，y），（3.5）G（x，y，l；f）：=f（x e-λl，y- l）- f（x，y）+λ（1- e-λl）x- Csl。（3.6）具有乘性价格影响的最优执行周期策略93.1。HJB方程（3.4）解v的构造和正则化。观察到，我们可以根据以下三种不同的情况简化HJB方程（3.4）：（i）当x<Fγ时，该限制对应于等待区域W，因为价格对于出售任何股票来说都是最优的，因此（3.4）的形式为（3.7）Lv（x，y）=0。（ii）当Fγ≤ x<Fγeλy，代理人采取中间位置出售y（x）：=λln（x/Fγ）资产。

从e开始-λY（x）=Fγx，（3.4）可以写成γv（x，Y）+γv（Fγ，y- Y（x））+x- Fγλ- CsY（x）= 0，（3.8），其中lγv（x，y）：=σxvxx（x，y）+uxvx（x，y）- （δ+γ）v（x，y）。（iii）最终y，当x≥ Fγeλy，我们知道资产价格足够高，相应的决策是执行可用的整套资产，然后（3.4）被推到γv（x，y）+γλ（1- e-λy）x- Csy公司= 0。（3.9）我们获得了三个区域中每一个区域的显式解，如（3.10）所述。下面提出的解决方案形式中的一个重要问题是每个区域边界上的对称性，它源自于获得一般解决方案的显式形式。附录中给出了以下结果的证明。提案3.2。HJB方程（3.4）h作为解v，它延伸到C2,1（R+×R+），由（3.10）v（x，y）给出=0，如果y=0且x>0，（Fγ- Cs）（1- e-λny）xnλnFnγ，如果y>0且x<Fγ，则AγxFγmγ-（Fγ- Cs）e-λnyxnλnFnγ+γxλ（η+γ）-γCsln xλ（δ+γ）+Cγ，如果y>0且Fγ≤ x<Fγeλy，Aγ（1- e-λmγy）xmγFmγγ+γx（1- e-λy）λ（η+γ）-γCsyδ+γ，如果y>0和x≥ Fγeλy，10 D.HERN'ANDEZ，H.A.MORENO和J.L.P'errez，其中η：=δ- u，Fγ：=Csδ+γδ- mγδn+γbδ+γηη+γ-mγδ+γδn-γuη+γ,（3.11）Aγ：=Fγλ（δ+γ）δn-γuη+γ-Csλ（δ+γ）δn+γbδ+γ,（3.12）Cγ：=γ（Fγ- Cs）λn（δ+γ）+γλ（δ+γ）bCsδ+γ+Csln Fγ- Fγ,（3.13）和b：=σ- u。常数n，mγ是σl的正解和负解- 基本法- δ=0，（3.14）σl- 基本法- （δ+γ）=0，（3.15）。备注3.3。δ>u的事实表明，对于所有σ，溶液n到（3.14）满足n>1∈ R、 3.2。HJB方程之间的等效性。本文的其余部分致力于验证（3.1）中给出的策略，以及（3.11）中定义的屏障Fγ，是策略集（y）的最优wi，以及（3.10）中给出的函数v满足HJB方程（3.3）。

为此，我们需要以下技术成果，其证明见附录x，以便以简洁的方式介绍其主要后果。引理3.4。设aγ定义为（3.16）aγ：=δ+γδ- mγδn+γbδ+γηη+γ-mγδ+γδn-γuη+γ,其中γ>0。然后，对于每个γ>0，1<aγ<nn- 1，且满足以下渐近极限aγ→ 1，当γ→ 0，aγ→nn型- 1，当γ→ ∞.提案3.5。设v如（3.10）所示。然后，对于每个（x，y）∈ R+×R+以下标识Holdsmax0≤l≤yG（x，y，l；v）=Gx、 y，y∧λln（x/Fγ）+; v,（3.17）和（3.6）中定义的G。具有乘性价格影响的最优执行周期策略11备注3.6。请注意，将命题3.2和3.5放在一起，可以立即得出v是HJB方程（3.3）的解。下一个结果用值函数u确定了HJB方程（3.10）的解，也提供了（y）集中的最优策略。定理3.7（验证定理）。考虑第2节中的周期最优执行问题公式和（3.10）定义的函数v。然后，v与周期随机控制问题的值函数u一致。特别是，u（x，y）=supξs∈As（y）Jx，y（ξs，0）=v（x，y）表示所有（x，y）∈ R+×R+。此外，确定策略ξs*t=Ztν*sdNγswith（3.18）ν*Ti=Y*Ti公司∧λln X*Ti公司- ln Fγ+,式中，Fγ如（3.11）所示，T={Ti}∞i=1是泊松过程Nγ的到达时间集，和（X*, Y*) i s与清算策略ξs相关的状态过程*. 那么，以下陈述适用于（i）如果u-σ≥ 0，th enξs*是一种最优的周期性清算策略。（ii）如果u-σ<0，则ξs*不是最优的定期清算策略。因此，如果我们定义（3.19）ξs*jt=ξs*t{t≤j} +y1{j<t}，对于t>0和j≥ 1，则{ξs*j}∞j=1是一系列ε-最优周期策略。证据

取（x，y）∈ R*+×R+初始条件ξs∈ 如（y）所述，由以下销售策略Θ={νT，νT，…}，w此处T={T，T，…}是销售时间的集合，和（τm）m∈由τm定义的st-o-pping时间序列：=inf{t>0：Xt>m}。利用它和过程X和Y的左连续性，我们可以看到-δ（t∧τm）v（Xt∧τm，Yt∧τm）=v（x，y）+Zt∧τme-δsLv（Xs，Ys）ds+Mt∧τm+X0≤s≤t型∧τme-δs[v（Xs+，Ys+）- v（Xs，Ys）]、12 D.HERN'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L.P'EREZwhere Mt∧τm：=σZt∧τme-δsXswx（Xs，Ys）dWs。另一方面x0≤s≤t型∧τme-δs[v（Xs+，Ys+）- v（Xs，Ys）]=Zt∧τme-δsv（Xs-e-λνs，Ys-- νs）- v（Xs-, Ys公司-)dNγs=Zt∧τme-δsG（Xs-, Ys公司-, νs；v） dNγs-Zt公司∧τme-δsλ（1- e-λνs）Xs-- CsνsdNγs=Ht∧τm+Zt∧τmγe-δsG（Xs-, Ys公司-, νs；v） ds公司-Zt公司∧τme-δsλ（1- e-λνs）Xs-- CsνsdNγs，G为i n（3.17），Ht∧τm：=Zt∧τme-δsG（Xs-, Ys公司-, νs；v） deNγsandeN是补偿泊松过程。

因此，将这些碎片放在一起，观察LV（Xs，Ys）+γg（Xs-, Ys公司-, νs；五）≤ Lv（Xs，Ys）+最大值0≤l≤y{γG（Xs-, Ys公司-, l；v） }=0，我们有-δ（t∧τm）v（Xt∧τm，Yt∧τm）=v（x，y）+Mt∧τm+Ht∧τm（3.20）-Zt公司∧τme-δsλ（1- e-λνs）Xs-- CsνsdNγs+Zt∧τme-δs[Lv（Xs，Ys）+γG（Xs-, Ys公司-, νs；v） ]ds≤ v（x，y）+Mt∧τm+Ht∧τm-Zt公司∧τme-δsλ（1- e-λνs）Xs-- CsνsdNγs。从（3.10）可以看出，存在一个正常数K，因此，（3.21）| v（x，y）|≤ K（1+x+y），对于所有（x，y）∈ R+×R+，因此，过程（Mt∧τm；t型≥ 0）和（Ht∧τm；t型≥ 0）是零平均P-m鞅。然后，在（3.20）中取期望值，我们得到v（x，y）≥ Ex公司e-δ（t∧τm）v（Xt∧τm，Yt∧τm）（3.22）+ExZt公司∧τme-δsλ（1- e-λνs）Xs-- CsνsdNγs.现在，从过程Xtin（2.4）的表达，并回顾δ>u，我们得到了thatlimt，m-→∞Ex[e-δ（t∧τm）v（Xt∧τm，Yt∧τm）]≤ 极限，m-→∞Ex[e-δ（t∧τm）K（1+Xt∧τm+Yt∧τm）]（3.23）≤ 极限，m-→∞Ex[e-δ（t∧τm）K（1+Xt∧τm+y）]=0。具有乘性价格影响的最优执行周期策略13使用（2.1）我们注意到以下（3.24）Z∞νsdNγs=limt→∞ξst≤ y、 然后，让m，t→ ∞ 在（3.22）中，利用（3.23）、（3.24）和单调收敛定理，我们得到了thatv（x，y）≥ Ex公司Z∞e-δsλ（1- e-λνs）Xs-- CsνsdNγs= Ex公司Z∞e-δs[Xsosdξss- Csdξss].取所有ξs的最大值∈ 作为（y），我们得出结论u（x，y）≤ v（x，y）。Let（X*, Y*) 与清算策略ξs相关的状态过程*, ξs给出*t=Ztν*sdNγs，带ν*如（3.18）所示。注意，ξsis可容许，只要limt→∞ξst=y。我们可以使用（2.4）轻松检查，如果且仅当u-σ≥ 自lim supt起0→∞Xt=∞. 以类似于asin（3.20）的方式进行，我们得到-δ（t∧？τm）v（X*t型∧\'τm，Y*t型∧τm）=v（x，y）+m*t型∧？τm+H*t型∧？τm（3.25）-Zt公司∧\'τme-δsλ（1- e-λνs）X*s-- CsνsdNγs+Zt∧\'τme-δs【Lv（X*s、 Y型*s） ds+γG（X*s-, Y*s-, ν*sv） ]ds，其中τm：=inf{t>0:X*t> m}。

现在，从v的构造，我们知道它是（3.4）的解。因此，我们有那个ZT∧\'τme-δs【Lv（X*s、 Y型*s） ds+γG（X*s-, Y*s-, ν*sv） ]ds=0。因此，我们得到了-δ（t∧？τm）v（X*t型∧\'τm，Y*t型∧τm）=v（x，y）+m*t型∧？τm+H*t型∧？τm-Zt公司∧\'τme-δsλ（1- e-λν*s） X个*s-- Csν*sdNγs。然后，取上一个恒等式中的期望值，v（x，y）=Exe-δ（t∧？τm）v（X*t型∧τm，Y*t型∧？τm）+ Ex公司Zt公司∧\'τme-δsλ（1- e-λν*s） X个*s-- Csν*sdNγs.（3.26）现在，让m，t→ ∞ 在（3.26）中，使用（3.23）、（3.24）和Monot-one收敛定理，w egetv（x，y）≤ Ex公司Z∞e-δsλ（1- e-λνs*)十、*s-- Csν*sdNγs= Jx，y（ξs*, 0）≤ u（x，y），14 D.HERN'ANDEZ，H.A.MORENO和J.L.P'Erez，这意味着结果。对于u-σ<0，取（X*, Y*) 作为与策略ξs相关的状态过程*j依据（3.19）。我们可以检查ξs*jhas收益Jx，y（ξs*j、 0）=ExZje公司-δt[X*t型osdξs*t型- Csdξs*t]+λExhX*Иτjh1- e-λ（y-Y*ττj）ii，（3.27），其中ττj=inf{Ti>0：Ti>j}。此外，如果t=j，（X），我们发现（3.26）是令人满意的*, Y*) 替换为（X*, Y*), 和τm，其中停止时间τm=inf{t>0:X*t> m}。那么，lettingm→ ∞ 在（3.26）中，它紧随其后Zje公司-δt[X*t型osdξs*t型- Csdξs*t]= v（x，y）- 告密-δjv（X*j、 Y型*j） i.（3.28）现在，应用（3.28）in（3.2 7），Jx，y（ξs*j、 0）=v（x，y）- 告密-δjv（X*j、 Y型*j） i+λExhX*Иτjh1- e-λ（y-Y*Иτj）ii。因此，注意该表达式的右侧收敛到v（x，y）为j→ ∞ 允许{ξs*j}∞j=1是一系列ε-最优策略。备注3.8。注意，作为命题3.2和引理3.4的结果，我们得到了thatlimγ→∞Fγ=nCsn- 1： =F∞, limγ→∞Aγ=0，limγ→∞Cγ=F∞λn+λ（Csln F∞- F∞) .（3.11）–（3.13）分别给出了Fγ、Cγ和Aγ的召回时间。

因此，简单的置换yieldlimγ→∞v（x，y）=0，如果y=0且x>0，（1- e-λny）xnλnFn-1.∞, 如果y>0且x<F∞,F∞λn1.-x e-λyF∞n+x个- F∞λ-CsλlnxF∞, 如果y>0和F∞≤ x<F∞eλy，x（1- e-λy）λ- Csy，如果y>0和x≥ F∞eλy。这些不对称极限允许我们恢复Guo和Zervos在[15]的命题5.1中获得的最优执行问题的奇异策略情况下的值函数。附录。一些技术结果的证明引理2.2的证明。让我们取（ξs，ξb）∈ A（y）和Θs，b={（νsT，νsT，…），（νbT，νbT，…）}与（ξs，ξb）相关的销售-购买策略。让Ts T决策时间的子集，其中元素κi按以下方式给出：=inf{Tj∈ T：νsTj>0}，κi：=inf{Tj∈ T:Tj>κi-1和νsTj>0}，对于i∈ {2，3，…}。具有乘性价格影响的最优执行周期策略15从这里，我们可以看到νbTj=0<νsTj，如果Tj=κi，则νsTj=0≤ νbTj，ifκi-1<Tj<κi，对于i∈ {1，2，3，…}，k=0的w。设αi，jbe定义为αji：=jXι=iνsκι-∞Xk=1νbTk{κι-1<Tk≤κι}+, 带i，j∈ {1，2，…}而我≤ j、 我们通过以下方式构造ν：（i）如果Tj/∈ Ts，则？νsTj=0。（ii）如果Tj=κ，那么，(R)νsκ：=α1,1。（iii）如果Tj=κ，(R)νsκ：=α、 如果νsκ>0，α，如果νsκ=0。（iv）如果Tj=κ，(R)νsκ：=α、 如果\'νsκ≥ 0和？νsκ>0，α，如果？νs>0和？νs=0，α，如果？νsκρ=0，对于ρ∈ {1, 2}.（v） 递归地，如果Tj=κi，则i∈ {3，4，…}，νsκi：=αii，if？νsκi-1> 0和？νsκρ≥ ρ为0∈ {1，…，i- 2} ，αii-1，如果\'νsκi-1=0，(R)νsκi-2> 0和？νsκρ≥ ρ为0∈ {1，…，i- 3} ，。。。αii-（p-2） ，如果ρ的？νsκρ=0∈ {i- （p- 2） ，我- 1} ，νsκi-（p-1） >0和？νsκρ≥ ρ为0∈ {1，…，i- p} ，。。。αi，如果ρ的？νsρ=0∈ {2，…，i- 1} ，如果νsκρ=0，且ρ∈ {1。

，我- 1} 。现在，我们采用销售策略“ξsas（A.1）”“ξst：=Zt”νssdNγs=∞Xj=1？νsTj{Tj≤t} ，对于t≥ 0，定义：=y-所有t的ξSt≥ 0。当0时，注意“ξst=ξst=0”≤ t<k。那么，Yt=y-ξst≥ 0和ξst- ξbt=-∞Xj=1νbTj{Tj≤t}≤ 0=\'ξst.16 D.HERN'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L.P'EREZLet us take t∈ [κ，κ）。如果νsκ>0，则意味着代理人出售的νsκ股份是h是y初始股份的一小部分（或全部）。否则，他只出售了∞Xk=1νbTk{0<Tk≤κ} 以及∞Xk=1νbTk{0<Tk≤κ}- νsκ是为下一次代理商决定出售时积累的。那么，Yt=y- νsκ≥ 另一方面，ξst=νsκ≥νsκ-∞Xk=1νbTk{0<Tk≤κ}+= νsκ=ξst，ξst- ξbt=νsκ-∞Xk=1νbTk{0<Tk≤κ}-∞Xk=1νbTk{κ<Tk≤t}≤ νκ=ξst。让我们取t∈ [κ，κ）。如果νsκ>0，以与上述情况相同的方式，我们让代理人出售νsκ股份，其为y的一小部分（或全部）- νsκ。否则，他只解决∞Xk=1νbTk{κ<Tk≤κ} ，或∞Xk=1νbTk{0<Tk≤κ}- νsκ。然后∞Xk=1νbTk{κ<Tk≤κ}-νsκ，或，∞Xk=1νbTk{0<Tk≤κ}-（νsκ+νsκ）在代理决定s el l的下一次事件中累积。然后，Yt=y- （‘νsκ+’νsκ）≥ 另一方面，ξst=νsκ+νsκ≥ νsκ+？νsκ=？ξst，ξst- ξbt=νsκ-∞Xk=1νbTk{0<Tk≤κ} +νsκ-∞Xk=1νbTk{κ<Tk≤κ}-∞Xk=1νbTk{κ<Tk≤t}≤ 递归地，我们可以看到如果κi-1.≤ t<κi，带i∈ {3，4，…}，那么，Yt=y-我-1Xι=1？νsκι≥ 0和ξst=i-1Xι=1νsκι≥我-1Xι=1？νsκι=？ξst，ξst- ξbt=i-1Xι=1νsκι-∞Xk=1νbTk{κι-1<Tk≤κι}-∞Xk=1νbTk{κi-1<Tk≤t}≤我-1Xι=1？νsκι=？ξst。因此，通过前面所看到的，我们得出？ξs∈ As（y）和ξst-ξbt≤ξst≤ ξ所有t的St≥ 0命题3.2的证明。（第（3.10）条的构造）。该结果的证明应分两部分给出。在第一部分中，通过Smo oth fit变元，构建了函数v，它是HJ B方程（3.4）的一个解。