具有乘法价格的最优执行中的周期策略

第二部分证明了v在C2,1（R+×R+）中。设x<Fγ具有乘性价格影响的最优执行周期策略17，并考虑等式（3.7）。在这种情况下，唯一保持有界为x的解↓ 0由（A.2）v（x，y）=A（y）xn给出，其中n是（3.14）的正解。为了找到上述函数A（y）的形式，我们研究了解v（x，y）=A（y）x沿边界x=fγ的行为。现在我们寻找一个在边界x=Fγ处连续可微的解。在（3.8）等式的左侧h和侧面计算（A.2），并回顾Y（x）=λln（x/Fγ），我们得到γv（x，Y）+γv（Fγ，y- Y（x））+λ（1- e-λY（x））x- CsY（x）= -γA（y）xn+γA（y- Y（x））Fnγ+γ（x- Fγ）λ- γCsY（x）=：K（x，y）。通过对x进行微分，我们得到kx（x，y）=-γnA（y）xn-1.- γA′（y- Y（x））Fnγλx+γλ- γCsλx.（A.3）对于边界处连续可微的b e的解，我们在（A.3）中取x=Fγ，并注意到-γnA（y）Fn-1γ- γA′（y）FnγλFγ+γλ- γCsλFγ=0，其中等式如下，因为（3.8）适用于x=Fγ。上述方程等价于A，A′（y）Fnγ=-λnA（y）Fnγ+Fγ- Cs。该方程的解由a（y）=（Fγ）给出- Cs）λnFnγ（1- e-λny），这意味着当x<Fγ时，HJB方程（3.4）的解由（A.4）v（x，y）=（Fγ）给出- Cs）λnFnγ（1- e-λny）xn。现在我们寻找区域F内HJB方程的解≤ x<Fγeλy.Sincev（Fγ-, y- Y（x））=（Fγ- Cs）λn1.-xnFnγe-λny,式（3.8）由γv（x，y）+γ给出Fγ- Csλn1.-xnFnγe-λny+x个- Fγλ- CsY（x）= 0。（A.5）18 D.HERN\'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L。

P'EREZIn为了找到该方程的解，我们首先确定以下方程组，Lγv（x，y）+γ（Fγ- Cs）λn1.-xnFnγe-λny= 0，Lγv（x，y）+γ（十）- Fγ）λ- CsY（x）= 0。给出了上述方程的解，分别为byv（x，y）=-（Fγ- Cs）λnFnγe-λnyxn+γ（Fγ- Cs）λn（δ+γ），v（x，y）=γλ（η+γ）x-γCsλ（δ+γ）lnx+C，η=δ- u和C：=γλ（δ+γ）bCsδ+γ+Csln Fγ- F. 因此，对于γ的大值，保持有界的（A.5）的解由v（x，y）=A（y）xmγ给出-（Fγ- Cs）λnFnγe-λnyxn+γλ（η+γ）x-γCsλ（δ+γ）lnx+γ（Fγ- Cs）λn（δ+γ）+C，对于某些函数A:R+-→ R、 回想一下，mγ是（3.15）的负解。自usatis FIES u（Fγ-, y） =u（Fγ+，y），我们得出结论，对于每个Fγ≤ x<Fγeλy，方程式（3.4）的解u，具有以下表达式v（x，y）=AγxFγmγ-（Fγ- Cs）λnFnγe-λnyxn（A.6）+γλ（η+γ）x-γCsλ（δ+γ）lnx+γ（Fγ- Cs）λn（δ+γ）+C，其中Aγ如（3.12）所示。最后，为了获得最佳势垒Fγ的值，寻找一个解v，使得vx在x=Fγ时是连续的。自vx（Fγ-, y） =vx（Fγ+，y），我们得到Fγ- Cs=Fγmγδ+γδn-γuη+γ-Csmγδ+γδn+γbδ+γ+γFγη+γ-γCsδ+γ。这意味着Fγ如（3.11）所示。现在，让我们找到区域x的一般解（3.4）≥ Fγeλy。我们得到（3.9）的特殊解由γλ（η+γ）x（1）给出- e-λy）-γδ+γCsy。然后，方程（3.9）的解（A.7）v（x，y）=A（y）xmγ+γλ（η+γ）x（1）给出，对于较大的γ值，方程（3.9）保持s有界- e-λy）-γδ+γCsy，对于so me函数A（y）：R+-→ R、 最后，为了找到（A.7）中涉及的函数A（y）的表达式，我们要求v在x=Fγeλy处是连续的。

然后，因为v（Fγeλy-, y） =具有乘性价格影响的最优执行周期策略19v（Fγeλy+，y），检查A（y）=Aγ（1）并不困难- e-λmγy）Fmγγ。因此，对于每个x≥ Fγeλy，解u具有以下表达式（A.8）v（x，y）=Aγ（1- e-λmγy）xmγFmγγ+γ（1- e-λy）xλ（η+γ）-γCsyδ+γ。从（A.4），（A.6），（A.8）以及v（x，0）=0，我们得出结论，HJB方程（3.4）的解v由（3.10）给出。现在，我们将继续验证（3.10）中给出的v属于C2,1（R+×R+）。命题证明3.2。（平滑（3.10））。注意，通过构造，可以充分证明v在x=Fγ和x=Fγeλy时分别为C2,1a，因为v∈ C2,1（（R+×R+）\\A），其中：={（x，y）∈R+×R+：x=Fγ或y=Fγeλy}。在变量y处平滑。使用（3.10），很容易看到vy（Fγ-, y） =vy（Fγ+，y）。意味着vyis在x=Fγ时是连续的。计算（3.10）中的一阶导数，可以验证（A.9）vy（Fγeλy-, y） =Fγ- Cs，vy（Fγeλy+，y）=λmγAγ+γFγη+γ-γCsδ+γ。从（3.11）–（3.12）可以验证λmγAγ+γFγη+γ-γCsδ+γ- （Fγ- Cs）=0。（A.10）然后，通过（A.9）–（A.10），得出vy（Fγeλy-, y） =Fγ- Cs=vy（Fγeλy+，y）。因此，vyis在x=Fγeλy处连续。在变量x处平滑。我们将显示vxxis在R+×R+上连续。我们将首先验证Vx在x=Fγeλy时是连续的。从（3.10）开始，它遵循Vx（x，y）=Aγmγxmγ-1Fmγγ-（Fγ- Cs）e-λnyxn-1λFnγ+γλ（η+γ）-γCsλ（γ+δ）x，如果Fγ≤ x<Fγeλy，Aγmγ（1- e-λmγy）xmγ-1Fmγγ+γ（1- e-λy）λ（η+γ），如果x≥ Fγeλy.20 D.HERN'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L。

然后，使用（A.10），我们得到vx（Fγeλy+，y）=Aγmγ（1）- e-λmγy）eλy（mγ-1） Fγ+γ（1- e-λy）λ（η+γ）=Aγmγeλy（mγ-1） Fγ-e-λyλFγλAγmγ+γFγη+γ+γλ（η+γ）=Aγmγeλy（mγ-1） Fγ-（Fγ- Cs）e-λyλFγ+γλ（η+γ）-γCse-λyλFγ（γ+δ）=vx（Fγeλy-, y） 。现在，我们利用vxxis是连续的onR+×R+，来证明vxxis是连续的onR+×R+。由于x=Fγ时vx是连续的，从（3.7）到（3.8），我们得到了vxx（Fγ-, y） =δv（Fγ，y）- uvx（Fγ，y）σFγ=vxx（Fγ+，y）。（A.11）如果x=Fγeλy，使用（3.8）和（3.9），则得出vxx（Fγeλy-, y） =σFγ（δ+γ）v（Fγ，y）（A.12）- uFγvx（Fγ，y）+γCsy公司-Fγλ（1- e-λy）= vxx（Fγeλy+，y）。因此（A.11）和（A.12），我们得出结论，vxxis连续onR+×R+。引理3.4的证明。首先，回顾一下mγ被定义为（3.15）的负溶液，并观察到mγ-→γ→0m，其中mis为负溶液t o（3.14）。出租γ→ 0 in（3.16），很容易看到γ-→γ→01另一方面，让γ→ ∞ 在（3.16）中，可以验证LIMγ→∞aγ=limγ→∞δmγ-δn+γbδ+γη（δ+γ）（η+γ）mγ-δn-γuη+γ=δ+nbδ- un.（A.13）由于n是（3.14）的正解，因此得出（A.14）δ+nb=σn，和δ- un=σn（n- 1） 。具有乘性价格影响的最优执行中的周期性策略21因此，从（A.13）、（A.14）中，我们得出以下结论：→nn型- 1，如果γ→ ∞. 现在我们将证明1<aγ<nn- 1，对于所有γ>0。为了证明这一结果，我们首先注意到（A.14），（A.15）δn+γbδ+γ=γσn+2δ2n（δ+γ）>0，δn-γμη+γ=γσn（n- 1） +2Δη2n（η+γ）>0。另一方面，对于每个γ>0，δδ+γ-ηη+γ-γmγδ+γbδ+γ+uη+γ（A.16）=γu（δ+γ）（η+γ）-γmγ（δ+γ）（η+γ）σ+2u2（δ+γ）（η+γ）> 0，因为mγ<0，γ>0。（A.15），（A.16）表示0<ηη+γ-mγδ+γδn-γuη+γ<Δδ+γ-mγδ+γδn+γbδ+γ.（A.17）因此，使用（3.16），（A.17），1<Aγ。

为了证明剩余的不等式，我们只需使用（3.16）就足以证明nη（n- 1） （η+γ）-Δδ+γ-mγδ+γδn- 1.-δn-γbδ+γ-γun（n- 1） （η+γ）> 0。（A.18）注意nη（n- 1） （η+γ）-Δδ+γ=γ（δ- nu）+Δu（n- 1） （δ+γ）（η+γ）>0，（A.19），自δ起- nu>0。同样使用（A.14）和η=δ这一事实- u我们得到δn- 1.-δn-γbδ+γ-γun（n- 1） （η+γ）（A.20）=δn（n- （1）-γb（n- 1） （η+γ）+γun（δ+γ）（n- 1） （δ+γ）（η+γ）=δ（δ+γ）（η+γ）- nγu（δ+γ）- γbn（n- 1）（η+γ）n（n- 1） （δ+γ）（η+γ）=δ（δ+γ）（η+γ）- δnγu+σnγu（n- （1）- Δγ（η+γ）n（n- 1） （δ+γ）（η+γ）=δη+σn（n- 1） （δ+γu）n（n- 1） （δ+γ）（η+γ）>0。因此，使用（A.19），（A.20），以及mγ<0这一事实，我们得到（A.18）成立，henceaγ<nn- 1.22 D.HERN'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L.P'Erez命题证明3.5。为了证明（3.17）h olds，足以证明Gl（x，y，l；v）<0，对于x<Fγ，Gl（x，y，y（x））；v） =0和Gll（x，y，y（x））；v） <0，对于Fγ≤ x<Fγeλy，Gl（x，y，l；v）>0，对于x≥ Fγeλy，其中y（x）=λln（x/Fγ）。第一个区域的最大值。设x<Fγ。取（3.10）中的一阶导数，并在点（x e）处进行评估-λl，y- l） ，我们得到vx（x e-λl，y- l） =Fγ- CsλFnγ（e-λnl- e-λny）xn-1eλl，vy（x e-λl，y- l） =Fγ- CsFnγe-λnyxn。那么，Gl（x，y，l；v）=-λvx（x e-λl，y- l） x e-λl-vy（x e-λl，y- l） +e-λlx- Cs=-Fγ- CsFnγxne-λnl+e-λlx- Cs。注意，当且仅当（A.21）e-λlx- Cs（x e-λl）n<Fγ- CsFnγ。根据（A.21）左侧x的一阶导数，我们得到x个e-λlx- Cs（x e-λl）n=n- 1xn+1nCsn公司- 1eλl-x个eλl（n-1） 。通过（3.11）和L emma 3.4，我们知道x<FγeλL<nCsn- 1eλl.Th en，x个e-λlx- Cs（x e-λl）n> 0，这意味着-λlx- Cs（x e-λl）nis相对于x不递减。

是这样的-λlx- Cs（x e-λl）n<e-λlFγ- Cs（Fγe-λl）n，对于每个x<Fγ。显示That-λlFγ- Cs（Fγe-λl）n<Fγ- CsFnγ，我们得到（A.21），这相当于看到（A.22）（e-λl- e-λnl）aγ<1- e-λnl，因为Fγ=Csaγ。取l*:=ln nλ（n- 1） ，可以验证（e-λl*- e-λnl*)aγ=最大值{（e-λl- e-λnl）aγ}。具有乘性价格影响的最优执行周期策略- 1和（n+1）n<nn（n+1），n>1，我们得到（e-λl*- e-λnl*)aγ=（n-n-1.- n-nn型-1） aγ<1- n-nn型-1=1- e-λnl*.（A.23）这意味着（A.22）中的t h对于任何l>l都是满足的*. 现在，如果我≤ l*, 我们将继续证明这一陈述（A.22）。假设存在0 6=l≤ l*这样（e-λl- e-λnl）aγ=1- e-λnl，（A.24）（e-λl- e-λnl）aγ≥ 1.- e-λnl，对于每个l≤ l≤ l*.自（e）起-λl- e-λnl）aγ≤ （e）-λl- e-λnl）aγ≤ （e）-λl*- e-λnl*)aγ，我们有（e-λl*- e-λnl*)aγ≥ 1.- e-λnl*, 这与（a.23）相矛盾。如果l*< 土地满足（A.2 4），我们有1- e-λl*n<1- e-λln=（e-λl- e-λnl）aγ<（e-λl*- e-λnl*)aγ，与（a.23）相矛盾。因此，（A.22）适用于任何l，并得出（A.21）。我们认为，当x<Fγ时，在l=0时（3.17）右侧的最大值达到。第二个区域的最大值。设Fγ≤ x<Fγeλy。取v的一阶导数并计算（Fγ，y- Y（x））在它们中，它如下所示-λFγvx（Fγ，y- Y（x））=-δmγ（Fγ- Cs）n（δ+γ）+（Fγ- Cs）e-λn（y- Y（x））-γFγη+γ1.-umγδ+γ+γCsδ+γ1+bmγδ+γ,-vy（Fγ，y- Y（x））=-（Fγ- Cs）e-λn（y- Y（x））。然后，回顾Fγ=Csaγ，其中aγ在（3.16）中给出，我们得到thatGl（x，y，y（x）；v） =γCsηη+γ-mγδ+γδn-γuη+γ-Csδ+γδ- mγδn+bγδ+γ= 因此，l=Y（x）是G（x，Y，l；v）的临界点；回想一下，G的定义在（3.6）中给出。

为了验证l=Y（x）是G（x，Y，l；v）的最大值，我们需要看到gll（x，Y，Y（x）；v） <0。首先，注意（A.25）λFγvx（Fγ，y- Y（x））=λAγmγ- λ（Fγ- Cs）e-λn（y- Y（x））+λγFγη+γ-λγCsδ+γ。24 D.HERN'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L.P'EREZNow，取v的二阶导数并计算（Fγ，y- Y（x））在它们中，它遵循（A.26）λFγvxx（Fγ，y- Y（x））=λAγmγ（mγ- （1）-λ（Fγ- Cs）（n- 1） e类-λn（y- Y（x））+λγCsδ+γ，2λFγvxy（Fγ，Y- Y（x））=2λn（Fγ- Cs）e-λn（y- Y（x）），vy（Fγ，Y- Y（x））=-λn（Fγ- Cs）e-λn（y- Y（x））。通过（A.25）–（A.26），我们得到了gll（x，y，y（x）；v） =λFγvxx（Fγ，y- Y（x））+2λFγvxy（Fγ，Y- Y（x））（A.27）+λFγvx（Fγ，Y- Y（x））+vy Y（Fγ，Y- Y（x））- λFγ=Csλmγδ+γδaγn-aγγuη+γ-δn-bγδ+γ-aγη（δ+γ）mγ（η+γ）.要知道上面的表达式是负数，我们只需要证明aγδn-γuη+γ-η（δ+γ）mγ（η+γ）-δn+bγδ+γ< 0，（A.28），相当于（A.29）Aγδn-uγη+γ-δn+bγδ+γ< 0，自-aγη（δ+γ）（η+γ）mγ<0。验证（A.30）δδn-uγη+γ<η（δ+γ）η+γδn+bγδ+γ,回顾一下（3.16）给出的γ，它得到（a.29）。我们将展示（A.30）。Ob服务于（A.31）δδn-uγη+γ,相对于γ>0和（A.32）不增加δδn-γuη+γ↑δn，当γ→ 0，δδn-γuη+γ↓ δδn- u, 当γ→ ∞.如果b>0，即σ>u，则（A.33）η（δ+γ）η+γδn+bγδ+γ,具有乘性价格影响的最优执行中的周期策略25相对于γ>0和（A.34）是非递减的η（δ+γ）η+γδn+bγδ+γ↓δn，当γ→ 0，η（δ+γ）η+γδn+bγδ+γ↑ ηδn+b, 当γ→ ∞,从这里到（A.32），它紧跟在（A.30）之后，因此（A.27）是负数。

如果b≤ 0，即σ≤ u，可以验证（A.33）相对于γ>0和（A.35）是不增加的η（δ+γ）η+γδn+bγδ+γ↑δn，当γ→ 0，η（δ+γ）η+γδn+bγδ+γ↓ ηδn+b, 当γ→ ∞.将函数h（γ）定义为（A.36）h（γ）：=δδn-uγη+γ-η（δ+γ）η+γδn+bγδ+γ,我们可以看到（A.37）h（γ）→ 0，当γ→ 0，h（γ）→ δδn- u- ηδn+b, 当γ→ ∞,自（A.32），（A.35）起保持。为了证明（A.30），证明h（γ）是非递增的且（A.38）δ是足够的δn- u- ηδn+b< 0。由于n是（3.14）的正溶液，且大于1，因此（A.39）Δu=n+σ2un（n- 1） >n，这产生nu<δ。然后，将其应用于（A.39），我们得到（A.40）Δun=u+σu（n- 1） <σδ- uσ- u,这意味着（A.38）。现在，取（A.36）中的一阶导数，我们可以看到（A.41）h′（γ）=η（η+γ）-Δu+Δun- bη.使用（A.40），可以显示-Δu+Δun- bη<0。这意味着h（γ）是一个负的非递增函数。因此，（A.29）是真的，我们知道（A.27）是负数。Thu s（3.17）右侧的最大值在l=Y（x）时达到，当Fγ≤ x<Fγeλy.26 D.HERN'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L.P'Erezmax在第三区。让x≥ Fγeλy.取v的一阶导数并计算（x e-λl，y- l） 在他们身上，是这样的-λvx（x e-λl，y- l） x e-λl=-λmγAγxmγ（e-λmγl- e-λmγy）Fmγγ-γx（e-λl- e-λy）η+γ，-vy（x e-λl，y- l） =-λmγAγ（x e-λy）mγFmγγ-γx e-λyη+γ+γCsδ+γ。那么，Gl（x，y，l；v）=-λvx（x e-λl，y- l） x e-λl-vy（x e-λl，y- l） +e-λlx- Cs=-λmγAγ（x e-λl）mγFmγγ+ηx e-λlη+γ-δCsδ+γ。看到上面的表达式是正的，等于表示ηx e-λlη+γ-mγλAγ（x e-λl）mγFmγ>δCsδ+γ。（A.42）观察（3.12）和（A.29），可以验证γ<0。那么，可以得出ηx e-λlη+γ≥ηFγeλ（y-l） η+γ，-mγλAγ（x e-λl）mγFmγγ≥ -mγλAγeλmγ（y-l） ，自x起≥ Fγeλyand mγ<0。

然后ηx e-λlη+γ-mγλAγ（x e-λl）mγFmγ>ηFγeλ（y-l） η+γ- mγλAγeλmγ（y-l） =：g（l）。（A.43）注意，g（l）相对于l不增加，从（3.11）–（3.12），我们得到g（y）=δCsδ+γ。因此，（A.43）得出（A.42）。Th us，当x为时，在l=y时，达到（3.17）右侧的最大值≥ Fγeλy。确认D.Hern'andez Hern'andez的研究部分得到了美国国家癌症研究委员会（CONACyT）的资助，资助项目为254166。H、 A.Moreno Franco感谢CIMAT、CONACyT和HSE的财政支持。最后一个项目由俄罗斯学术卓越项目“5-100”资助。参考文献[1]ALFONSI，A.、FRUTH，A.、SCHIED，A.《限制账簿顺序中的约束投资组合清算》，金融数学进展，中央银行。83，波兰科学院，华沙，（2008），9-25。[2] ALFONSI，A.、FRUTH，A.、SCHIED，A.《具有一般形状函数的极限阶bo-oks最优执行策略》，Quant。财务10，（2010），143–157。[3] ALMGREN，R.《具有非线性影响和交易增强风险的最优执行》，应用。数学《金融》10，（2003），1-18。具有乘性价格影响的最优执行中的周期性策略27【4】ALMGREN，R.，CHRISS，N.Va lue，液化下，风险12，（1999），61–63。[5] ALMGREN，R.，CHRISS，N.《投资组合交易的最佳执行》，J.Risk 3，（2000），5-39。[6] ALMGREN，R.，LORENZ，J.适应性到达价格，机构投资者期刊1，（2007），59–66。[7] AVANZI，B.、CHEUNG，E.C.K.、WONG，B.、WOO，J.K.关于持续监控偿付能力的双重模型中的定期股息壁垒策略，保险：数学。经济学52，（20 13），第1期，98-113页。[8] AVANZI，B.，TU，V.，WONG，B.，关于具有扩散的对偶模型中的最优周期红利策略，保险：数学。经济学55，（2014），21 0-224。[9] AVANZI，B.、TU，V.、A和WONG，B。