半鞅秩过程的Stratonovich表示

，logun。市场投资组合是具有权重ui和投资组合价值过程Zu（t）=X（t）+····+Xn（t）的投资组合，a.s.In Fernholz（2016）表明，对于投资组合π，相对对数回报d log（Zπ/Zu）可以分解为logZπ（t）/Zu（t）= d log Sπ（t）+dTπ（t），a.S.，其中Sπ是由d log Sπ（t）定义的结构过程，nXi=1πi（t）o d logui（t），（27）和tπ是与dtπ（t），d log的交易过程Zπ（t）/Zu（t）- d log Sπ（t），至少当（27）中的Stratonovich积分都已定义时。设我们是单位单纯形邻域上定义的实值C函数n 注册护士。然后我们可以说，如果S（u（t））=S（u（1）（t），…，则组合π由排名市场权重的函数S生成，u（n）（t））和组合权重过程πi由πpt（k）（t）给出=Dklog S（u（·）（t））+1-nXj=1u（j）（t）Djlog S（u（·）（t））u（k）（t），（28），其中PTI是rt的投资∈ ∑n。在此情况下，π的相对对数返回将满足对数Zπ（t）/Zu（t）= d log S（u（t））+dΘ（t），a.S.，其中Θ是局部边界变化的函数（见Fernholz（2001）或Fernholz（2002），定理4.2.1）。提案3。假设市场对数权重处理对数u，对数unare可逆且具有非退化交叉。设π为排名市场权重函数S生成的投资组合。然后d log Sπ（t）=d log S（u（t）），a.S.，（29）和dtπ（t）=dΘ（t），a.S.（30）证明。根据hypothes is，S（u（t））=S（u（·）（t）），其中S是定义在单位单纯形邻域上的实值C函数n 注册护士。

nd log S（u（T））=d log S（u（·）（T））=nXk=1Dklog S（u（·）（T））o du（k）（t）=nXk=1Dklog S（u（·）（t））u（k）（t）o d logu（k）（t）=nXk=1πpt（k）（t）o d logu（k）（t）（31）=nXk=1πpt（k）（t）nXi=1{Xi（t）=X（k）（t）}o d logui（t）（32）=nXi=1nXk=1πpt（k）（t）{Xi（t）=X（k）（t）}o d logui（t）=nXi=1πi（t）o d logui（t）=d log Sπ（t）a.S.，其中（31）是由于（2 8）和nxk=1u（k）（t）的事实o d logu（k）（t）=nXk=1du（k）（t）=dnXk=1u（k）（t）=0，a.s.，和（32）遵循提案n 1。Tπ的表示后面是构造。推论2。对于Atlas模型（2），由排名市场权重函数生成的投资组合将分解（29）和（30）。证据紧接着是命题2和命题3。评论引申命题1的引理涉及半鞅Xi的可逆性。命题2中确定Atlas模型可逆性的局部化论点不取决于三个点以及Fernholz等人（2013）和Fernholz、Ichiba和Karatzas（2013）的n=2结果。然而，一阶模型和混合Atlas模型中可能存在三个点，因此对于这些更一般的模型，二维定位失败，无法立即确定可逆性（seeBanner et al.（2005）、Ichiba et al.（2011）和Fernho lz et al.（2012））。因此，似乎需要其他方法来将推论2扩展到更一般的基于秩的模型。ReferencesBanner，A.、R.Fernholz和I.Karatzas（2005年）。关于股票市场的Atlas模型。应用可能性年鉴15，2296–2330。Banner，A.和R.Ghomrasni（2008年）。排序连续半鞅的局部次数。随机过程及其应用118，1244–1253。Fernholz，R.（2001年）。由排名市场权重函数生成的股票投资组合。《金融与随机》5469–486。Fernholz，R.（2002年）。随机投资组合理论。纽约：Springer Verlag。费恩霍尔茨，R。

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