半鞅秩过程的Stratonovich表示

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英文标题：
《Stratonovich representation of semimartingale rank processes》
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作者：
Robert Fernholz
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Suppose that $X_1, \\ldots , X_n$ are continuous semimartingales that are reversible and have nondegenerate crossings. Then the corresponding rank processes can be represented by generalized Stratonovich integrals, and this representation can be used to decompose the relative log-return of portfolios generated by functions of ranked market weights.
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中文摘要：
假设$X\\u 1、\\ldots、X\\n$是可逆且具有非退化交叉的连续半鞅。然后，相应的秩过程可以用广义Stratonovich积分表示，这种表示可以用来分解由排名市场权重函数生成的投资组合的相对对数收益。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Stratonovich_representation_of_semimartingale_rank_processes.pdf (145.93 KB)

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关键词：Nov Mathematical Presentation Quantitative Differential

半鞅秩过程的Stratonovich表示Robert Fernholz2018年9月18日抽象假设X，是可逆且具有非退化交叉的连续半鞅。然后，相应的秩过程可以用广义Stratonovich积分表示，这种表示可以用来分解由排名市场权重函数生成的投资组合的相对对数收益。n简介≥ 考虑一类连续半鞅X，Xnde定义在[0，T]上，在通常的过滤FXt下，具有二次变化过程hXii。设rt（i）为Xi（t）的秩，如果rt（i）<rt（j）ifXi（t）>Xj（t），或者如果Xi（t）=Xj（t），且i<j。相应的秩过程X（1），X（n）由X（rt（i））（t）=Xi（t）定义。我们将证明，如果Xiare是可逆的，并且有非退化的交叉点，则可以用dx（k）（t）=nXi=1{Xi（t）=X（k）（t）}来表示河岸过程o dXi（t），a.s.，（1）其中o d是Russo和Vallois（2007）开发的广义d Strato-novich积分。Atlas模型是一组正连续半鞅X，Xnde定义为It^o积分[0，T]比亚迪对数Xi（T）=- g+ng{rt（i）=n}dt+σdWi（t），（2），其中g和σ为正常数，（W，…，Wn）为布朗运动（s e Fernholz（2002））。这里，xi代表股票市场中公司的资本化，d log xi代表第i只股票的对数收益。

我们将证明表示（1）对Atlas秩过程日志X（k）有效。Fernholz（2016）指出，在股票由正连续半鞅表示的股票市场中，在某些条件下，投资组合的对数收益可以分解为结构过程和交易过程，对于由市场权重过程的函数生成的投资组合，这些分量与生成函数和漂移过程中的对数变化有关（见Fernholz（2 001））。Stratonovich表示（1）允许我们将此分解扩展到由Atlas模型中排名市场权重过程的C函数生成的投资组合。It^o积分和Stratonovich积分let X和Y是[0，T]上具有过滤FX，Yt的连续半鞅。中兴通讯确定了Fisk Stratonovichintegralo dX（s），ZtY（s）dX（s）+hY，Xit，（3）用于t∈ [0，T]，其中右侧的积分是It^o积分，hX，Y是X和Y在[0，T]上的交叉变化（见Karatzas和Shreve（1991））。Fisk Stratonovich积分仅适用于半鞅，但在某些情况下可以推广到更一般的被积函数。根据ingRusso和Vallois（2007）的定义1，对于连续半鞅X和局部可积过程，都定义在[0，T]，我们定义了ZTY（s）d的前向积分、后向积分和协变量过程-X（s），limε↓0ZtY（s）X（s+ε）- 新泽西州普林斯顿帕尔默广场1号X（s）εds（4）INTECH，邮编：08542。bob@bobfernholz.com.作者感谢Ioannis Karatzas和Mykhaylo Shkolnikov对本研究提出的宝贵意见和建议。ZtY（s）d+X（s），limε↓0ZtY（s）X（s）- X（s）- ε） εds（5）[X，Y]t，limε↓0Zt（X（s+ε）- X（s））（Y（s+ε）- Y（s））εds，（6）对于t∈ [0，T]，其中极限在[0，T]上的概率是一致的。

我们将使用Russo和Vallois（2007）的约定，即为了评估这些限制，通过设置X（T）=X（0）表示T<0，X（T）=X（T）表示T>T，将定义在[0，T]上的连续函数X隐式扩展到R。然后，byRusso和Vallois（2007），定义10，ZTY给出了Stratonovich积分o dX（s），ZtY（s）dX（s）+Y、 X个t、 （7）其中右侧的积分为It^o积分。如果X和Y都是连续半鞅，那么hx，Y是=十、 Y型t、 Stratonovich积分等于Fisk-Stratonovich积分。对于连续半鞅X和定义在X范围上的c函数，It^o规则建立了F（X（t））- F（X（0））=ZtF′（X（s））dX（s）+ZtF′（X（s））dhXis，a.s.，通过Fisk-Stra-tonovich积分，这变成了F（X（t））- F（X（0））=ZtF′（X（s））o dX（s），a.s.，（8）与普通微积分一样（见Karatzas和Shreve（1991））。在某些情况下，关系（8）可以扩展到更广泛的函数类。例如，对于绝对连续函数F和布朗运动W，F¨ollmer et al.（1995）的推论4.2表明，（8）成立，因此对于绝对值函数，我们有| W（t）|=Ztsgn（W（s））o dW（s），a.s.，（9），其中sgn（x），{x>0}-{x≤0}。Russo和Vallois（2007）的结果允许我们将这种关系推广到一类连续半鞅。定义1。L et X是在[0，T]上定义的在过滤FXt下的连续半鞅。如果时间反转过程bx由bx（t）=X（t）定义，则X是可逆的- t） 也是[0，t]上时间反向过滤FbXt下的连续半鞅。定义2。连续半三角形X，Xnhave nondegenerate crossions如果对于任何i 6=j，集合{t：Xi（t）=Xj（t）}几乎肯定有度量z ero，特别是对于dhXkit，对于1≤ k≤ n、 引理1。假设连续半鞅X。

，Xnhave非退化交叉口。对于秩过程X（1），…，也是如此，X（n）。证据让pt∈ ∑nbe秩函数rt的逆置换。如果X（k）（t）=X(l)（t） 对于k 6=l, 当i=pt（k）6=pt时，thenXi（t）=Xj（t）(l) = j、 所以[i6=j{t：Xi（t）=Xj（t）}=[k6=l{t:X（k）（t）=X(l)（t） }。（10） 根据Banner和Ghomrasni（2008），我们得到了表示dx（k）（t）=nXi=1{Xi（t）=X（k）（t）}dXi（t）+有限变化项，a.s.，对于k=1，n、 所以dhX（k）it<< dhXit+···+dhXit，对于k=1，n、 以同样的方式，我们可以展示dhXiit<< dhX（1）it+···+dhX（n）it，对于i=1，n、 所以{t:Xi（t）=Xj（t）}，对于i 6=j，或{t:X（k）（t）=X(l)（t） }，对于k 6=l, 几乎肯定会有关于dhXiit的度量值零，因为i=1，n、 对于dhX（k）it，对于k=1，n、 这些集合的有限并集也是如此，如（10）所示。引理2。设X是定义在[0，T]上的可逆连续半鞅，并假设集合{T:X（T）=0}几乎肯定具有关于dhXit的测度零。然后| X（t）|- |X（0）|=Ztsgn（X（s））o dX（s），a.s.（11）证明。本证明中以R&V表示的引用来自Russ o和Vallois（2007）。Tanaka Meyer公式表明，对于It^o积分ztsgn（X（s））dX（s）=X（t）|- |X（0）|+2∧X（t），a.s.，（12），其中∧Xis是X的零当地时间（见Karatzas和Shreve（1991））。来自R＆V，提案1，Ztsgn（X（s））o dX（s）=Ztsgn（X（s））d-X（s）+Ztsgn（X（s））d+X（s）, （13） 使用（4）和（5）定义的正向和反向积分。

由于s gn（X）在集合{t:X（t）=0}外是连续的，并且该集合几乎肯定有关于dhXit的测度0，R&V命题6暗示ZTSGN（X（s））d-X（s）=Ztsgn（X（s））dX（s）=X（t）|- |X（0）|+2∧X（t），a.s.，（14）通过方程（1）和（2）。根据R＆V，提案1，Ztsgn（X（s））d+X（s）=-ZTT公司-tsgn（bX（s））d-bX（s），（15），其中bX是X的时间反转版本。by假设，bX是关于反向过滤的[0，T]上的连续半鞅，因此在（14）中我们有ztt-tsgn（bX（s））d-bX（s）=bX（T）|- |bX（T- t） |+2∧bX（T）- ∧bX（T- t）= |X（0）|- |X（t）|+2∧X（t），a.s.（16）如果我们组合（13）、（14）、（15）和（16），那么（11）如下。引理3。设X和Y是在公共滤波下定义在[0，T]上的可逆连续s半鞅，并假设它们具有非退化交叉。然后X（t）- Y（t）-X（0）- Y（0）=Ztsgn公司X（s）- Y（s）o dX（s）-Ztsgn公司X（s）- Y（s）o dY（s），a.s.（17）证明。本证明中以R&V表示的引用来自Russ o和Vallois（2007）。自X起- Y是可逆连续半鞅，引理2得出X（t）- Y（t）-X（0）- Y（0）=ZtsgnX（s）- Y（s）o dX（s）- Y（s）, a、 因此，由于积分与微分的线性关系，有必要证明（17）中的积分是定义的。首先，我们要考虑对dX的透视积分。根据（7）中Stra tonovich积分的定义，ZtsgnX（s）- Y（s）o dX（s）=ZtsgnX（s）- Y（s）dX（s）+新加坡元十、- Y, 十、t、 （18）如果右侧的术语已定义。（18）中的It^o积分已定义，因此我们只需考虑协变量项。根据R＆V提案1，新加坡元十、- Y, 十、t=ZtsgnX（s）- Y（s）d+X（s）-Ztsgn公司X（s）- Y（s）d-如果两个积分为，则定义X（s），（19）和。

自sgn（X）起- Y）在{t:X（t）=Y（t）}之外是连续的，它肯定有关于dhXit的度量零，R&V命题6暗示了ztsgnX（s）- Y（s）d-X（s）=ZtsgnX（s）- Y（s）dX（s），（20），由于该It^o积分已定义，因此正向积分也已定义。根据R＆V提案1，ZtsgnX（s）- Y（s）d+X（s）=-ZTT公司-tsgn公司bX（s）-签署人（s）d-bX（s），（21），其中bX和by是[0，T]上X和Y的时间反转版本。根据假设，时间反转过程Bx是一个连续的半鞅，因此在（20）中定义了它的前向积分，这在（21）中定义了后向积分。因此，定义了（1 9）中的协变量，因此定义了（1 8）右侧的两个项，这定义了（17）中关于dX的Stratonovich积分。同样的推理也适用于关于dY的积分。秩过程的Stratonovich表示我们想证明（1），我们将从一个引理开始，建立n=2的结果，然后应用引理证明n的一般情况≥ 引理4。设[0，T]上定义的X和Xbe可逆连续半鞅在公共过滤下，假设它们有非退化交叉。然后X（t）∨ X（t）- X（0）∨ X（0）=Zt{X（s）≥X（s）}o dX（s）+Zt{X（s）<X（s）}o dX（s）、a.s、（22）和X（t）∧ X（t）- X（0）∧ X（0）=Zt{X（s）<X（s）}o dX（s）+Zt{X（s）≥X（s）}o dX（s），a.s.（23）证明。对于t∈ [0，T]我们有x（T）∨ X（t）=X（t）+X（t）+X（t）- X（t）, a、 s.，so引理3，X（t）∨ X（t）- X（0）∨ X（0）=X（t）+X（t）- X（0）- X（0）+ZtsgnX（s）- X（s）o dX（s）-Ztsgn公司X（s）- X（s）o dX（s）=Zt公司1+sgnX（s）- X（s）o dX（s）+Zt1.- 新加坡元X（s）- X（s）o dX（s）=Zt{X（s）<X（s）}o dX（s）+Zt{X（s）≥X（s）}o dX（s），a.s.，证明（22）。等式（23）由此和x（t）的事实得出∧ X（t）=X（t）+X（t）- X（t）∨ X（t），a.s.提案1。让X。

，定义在[0，T]上的Xnbe连续半鞅是可逆的且具有非退化交叉。然后秩过程X（1），X（n）满意度dx（k）（t）=nXi=1{Xi（t）=X（k）（t）}o dXi（t），a.s.（24）证明。引理4得出，（24）对n=2成立，所以我们假设它对X成立，Xn公司-1，然后证明它适用于X，Xn。L eteX（1），eX（n-1） 是排名的进程X，Xn公司-1，根据我们的归纳假设，我们有dex（k）（t）=n-1Xi=1{Xi（t）=eX（k）（t）}o dXi（t），a.s.，（25），对于k=1，n- 通过引理1，过程sex（1），eX（n-1） 将非退化交叉口设为doX，Xn，所以对外汇持有相同的持有量（1）。

，eX（n-1） ，Xn。现在，X（1）（t）=eX（1）（t）∨ Xn（t），a.s.，我们可以应用引理4，所以根据我们的归纳假设，dX（1）={eX（1）（t）≥Xn（t）}o deX（1）（t）+{eX（1）（t）<Xn（t）}o dXn（t）={eX（1）（t）≥Xn（t）}n-1Xi=1{Xi（t）=eX（1）（t）}o dXi（t）+{Xn（t）=X（1）（t）}o dXn（t）=n-1Xi=1{Xi（t）=X（1）（t）}o dXi（t）+{Xn（t）=X（1）（t）}o dXn（t）=nXi=1{Xi（t）=X（1）（t）}o dXi（t），2的a.s≤ k≤ n- 1，我们有x（k）（t）=eX（k-1） （t）∧eX（k）（t）∨ Xn（t）, a、 自{t:eX（k-1） （t）=eX（k）（t）∨ Xn（t）}  {t:eX（k-1） （t）=eX（k）（t）}∪ {t:eX（k-1） （t）=Xn（t）}和dheX（k）∨ Xnit公司<< dheX（k）it+dhXnit，它遵循thateX（k-1） 安第斯山脉（k）∨ Xnhave nondegenerate cro ssings公司。因此，通过引理4，dX（k）（t）={eX（k-1） （t）<eX（k）（t）∨Xn（t）}o 指数（k-1） （t）+{eX（k-1） （t）≥eX（k）（t）∨Xn（t）}o deX（k）（t）∨ Xn（t）={eX（k-1） （t）<Xn（t）}o 指数（k-1） （t）+{eX（k-1） （t）≥Xn（t）}{eX（k）（t）≥Xn（t）}o deX（k）（t）+{eX（k）（t）<Xn（t）}o dXn（t）={eX（k-1） （t）<Xn（t）}n-1Xi=1{Xi（t）=eX（k-1） （t）}o dXi（t）+{eX（k）（t）≥Xn（t）}n-1Xi=1{Xi（t）=eX（k）（t）}o dXi（t）+{eX（k-1） （t）≥Xn（t）>eX（k）（t）}o dXn（t）={X（k）（t）<Xn（t）}n-1Xi=1{Xi（t）=X（k）（t）}o dXi（t）+{X（k）（t）≥Xn（t）}n-1Xi=1{Xi（t）=X（k）（t）}o dXi（t）+{Xn（t）=X（k）（t）}o dXn（t）=n-1Xi=1{Xi（t）=X（k）（t）}o dXi（t）+{Xn（t）=X（k）（t）}o dXn（t）=nXi=1{Xi（t）=X（k）（t）}o 最后，对于k=n，我们得到dx（n）（t）=nXi=1dXi（t）-n-1Xk=1dX（k）（t），Atlas秩过程的a.s.Stratonovich表示我们希望将命题1应用于Atlas模型（2）。为此，我们必须证明Atlas模型的对数资本化过程是可逆的，并且具有非退化交叉。提案2。对于Atlas模型（2），过程日志X，对数X轴是可逆的，且不生成交叉点。证据Girsanov定理和多维布朗运动的性质表明，过程log Xiof（2）具有非退化速率交叉，并且不存在三个点，即，对于i<j<k，{t:log Xi（t）=log Xj（t）=log Xk（t）}=，a.s.（见Karatzas和Shreve（1991））。

这仍然表明对数是可逆的。选择k∈ {1，…，n}和t∈ [0，T]，假设log Xj（T）=log X（k）（T）。如果对于所有i 6=j我们有log Xi（t）6=log Xj（t），那么有一个tin[0，t]的邻域U，这样对于t∈ U，ifi 6=j，然后log Xi（t）6=log Xj（t）。在这种情况下，在U内，过程记录Xjis布朗运动和漂移，这是可逆的。现在假设对数Xi（t）=对数Xj（t），对于一些i 6=j。没有三个点意味着tsuch有一个邻域U，对于t∈ U、 如果l 6=i，j，然后log Xi（t）6=log Xl（t） 6=对数Xj（t）。因此，在U中，我们可以将注意力集中在两个过程log xind log Xj上，在这种情况下，Fernholz、Ichiba、Karatzas和Prokaj（2013）或Fernholz、Ichiba和Karatzas（2013）表明，这些过程的时间反转版本是连续半鞅。对于每一个k，[0，T]的紧性确保了邻域U的一个有限子族将包含T的所有值，因此对数轴在[0，T]上是可逆的。推论1。对于Atlas模型（2），秩处理log X（1），对数X（n）满足对数X（k）（t）=nXi=1{Xi（t）=X（k）（t）}o d log Xi（t），a.s.，（26）证明。紧跟命题1和命题2。n组合收益分解的一个应用≥ 2，考虑资本化由正连续半鞅X表示的股票市场，xn定义于【0，T】。市场重量为u，un由ui（t）、Xi（t）X（t）+···+Xn（t）定义，并相应定义排名市场权重过程u（k）。如果进程记录X，原木Xnofa市场是可逆的，并且具有非退化交叉点，原木重量ht过程也是如此。