基于模糊变换的市场波动率替代估计

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英文标题：
《An Alternative Estimation of Market Volatility based on Fuzzy Transform》
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作者：
Luigi Troiano and Elena Mejuto Villa and Pravesh Kriplani
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Realization of uncertainty of prices is captured by volatility, that is the tendency of prices to vary along a period of time. This is generally measured as standard deviation of daily returns. In this paper we propose and investigate the application of fuzzy transform and its inverse as an alternative measure of volatility. The measure obtained is compatible with the definition of risk measure given by Luce. A comparison with standard definition is performed by considering the NIFTY 50 stock market index within the period Sept. 2000 - Feb. 2017.
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中文摘要：
价格不确定性的实现由波动性捕获，即价格在一段时间内变化的趋势。这通常作为每日收益的标准差来衡量。在本文中，我们提出并研究了模糊变换及其逆作为波动性度量的替代方法的应用。所获得的度量与Luce给出的风险度量定义一致。通过考虑2000年9月至2017年2月期间的NIFTY 50股票市场指数，与标准定义进行比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> An_Alternative_Estimation_of_Market_Volatility_based_on_Fuzzy_Transform.pdf (1.16 MB)

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关键词：波动率 Quantitative Applications Computation Application

基于模糊变换的市场波动性替代估计SannioDepartment of EngineeringBenevento的Luigi TroianoUniversity，ItalyEmail：troiano@unisannio.itElena美朱图大学工程系Benevento，Italy电子邮件：mejutovilla@unisannio.itPraveshSannioCISELabBenevento KriplaniuUniversity，意大利电子邮件：pravesh。kriplani@ciselab.orgAbstract-价格不确定性的实现通过波动性来捕捉，波动性是指价格在一段时间内变化的趋势。这通常作为每日收益的标准差来衡量。在本文中，我们提出并研究了模糊变换及其逆作为波动率的替代度量的应用。所获得的度量与Luce给出的风险度量定义一致。通过考虑2000年9月至2017年2月期间的NIFTY 50股票市场指数，对标准定义进行比较。一、 金融工具的价值会随着时间的推移而变化。因此，由于价格波动，风险可能导致损失。与价格不确定性相关的风险是几乎所有活动中都需要控制的一个特征，包括交易策略、投资组合管理和资产配置。虽然不确定性是由市场外部因素驱动的，如投资者情绪、经济基本面、宏观经济环境、未来预期等，但它影响价格动态的方式代表了我们在这方面考虑的风险来源。在看待风险的不同方式中，资产价格的波动性被广泛认为是金融市场不确定性的一种表现。波动性是指价格波动的程度。波动性无法直接观察到。价格变动是一种趋势，为了衡量它，人们提出了不同的定义。

在本文中，我们将提及历史波动率，即金融工具在给定时间段内的已实现波动率，以及隐含波动率，即根据期权价格对未来波动率的估计。历史波动率的一个常见衡量指标是定义的标准回报偏差，即方差θ=E[| r- u|]（1）式中，r表示给定时间段t内的收益率和u其在同一时间段内的平均值。这是衡量波动性的其他常见方法的一个特例，可以概括为θθ=E[| r- u|θ]（2）当θ=1时，挥发性测量为平均绝对偏差。返回值可以是绝对值，即r=pnew- 波尔德。但更一般地说，它们是相对的，即r=（pnew- pold）/pold。在实践中，通常也会提到对数回报率，即r=log（pnew/pold）。格雷格（Grenger）[1]认为，上述波动率指标与卢斯（Luce）[2]开发的风险指标相关。在该模型中，风险R的度量值为R（f）=K+∞Z |ρ|θf（ρ）dρ+KZ-∞|ρ|θf（ρ）dρ（3），其中Kand Kare是两个常数，都是≥ 0，ρ是指收益率，其分布由密度函数f给出。这一定义满足Luce给出的两个重要公理化性质[3]。首先，它与收益规模的任何变化成正比，这意味着如果我们考虑ρ=αρ（α>0），我们将得到由fα（ρ）=αf（ρα）=αf（ρ）（4）决定的收益分布，因此，相关风险isR（fα）=Γ（α）R（f）（5），其中Γ（α）是单调递增函数，假设Γ（1）=1表示一致性。其次，有一个非负函数U，U（0）=0，这样r（f）=+∞Z-∞U（f（ρ））dρ（6），其中U是与ρ作为回报的概率相关的准时风险度量的表达式。

如果K=K=K且U（f（ρ））=K |ρ|θf（ρ），则等式（6）变为等式（3）。为了提供与基于标准差的常用方法不同的波动率度量，我们研究了模糊变换的应用。模糊变换（Fuzzytransform）[4]因其在普适逼近、平滑和重构方面的特性而备受关注[5]–[9]。我们的目标是利用这些特征进行波动率估计。本文的主要贡献如下：第二节提供了一些关于模糊变换的预备知识；第三节提出了基于模糊变换的波动率度量模型；第四节讨论了实验结果；第五节概述了结论和未来方向。二、预备集I=[a，b]是闭合区间，x，x，xn，带N≥ 2，是I的点，称为节点，这样a=x<x<…<xn=b。我们考虑I的分区，a，a，…，的集合，Anof模糊集，Ai:I→ [0，1]，i=1，n如果x，则oAi（x）=0∈ [a，xi-1]∪ [xi+1，b]o如果x，Ai（x）>0∈ （xi）-1，xi+1）oAi（xi）=1oAi（x）≤ 任意x，x的Ai（x）∈ [xi-1，xi]，x<xoAi（x）≥ 任意x，x的Ai（x）∈ [xi，xi+1]，x<xonPi=1Ai（x）=1，对于所有x∈ 模糊集A，A，A称为基本函数。如果节点是等距的，则表示分区是均匀的。模糊划分可以通过几个基本函数得到。最常见的是帽子功能aj（x）=（xj+1- x） /（xj+1- xj），x[xj，xj+1]（x- xj公司-1） /（xj- xj公司-1） ，x[xj-1，xj]0，否则（7）和z形基本函数aj（x）=cos（πx-xjxj+1-xj）+1, x个[xj，xj+1]cos（πx-xjxj-xj公司-1） +1个, x个[xj-1，xj]0，否则（8）函数F（x）关于{a，a，…，An}在I上连续的模糊变换（F–transform）[4]是n元组[F，F，…，Fn]，其分量计算为fi=Rbaf（x）Ai（x）dxRbaAi（x）dx。

（9） 它们使以下误差函数Φ=Zba（f（x）最小化- Fi）Ai（x）dx，（10）F的逆F变换定义为ff，n（x）=nXiFiAi（x），xI（11）它提供了函数f的平滑近似。在时间序列的情况下，如果函数f在给定的一组点{t，t，…，tm}上已知，我们使用离散f变换，其分量定义为fi=mPj=1f（tj）Ai（tj）mPj=1Ai（tj），I=1。。n（12）离散逆F变换定义为ff，n（tj）=nXiFiAi（tj），j=1。。m（13）III.衡量风险让我们假设每日回报率表示为RT=pt- pt公司-1吨-1（14）式中，PTI为第t天和第pt天的价格-1前一天的价格。对数返回可以表示为RT=logptpt-1（15）给定时间范围T，历史波动率计算为σ=qE【RT】- E【RT】（16）是每日收益的标准偏差。随机变量RTI由返回样本rtwitht表示∈ T、 根据T的扩展，我们有不同的波动性度量。一般来说，波动率是通过回顾过去一年、过去一个季度、过去一个月或过去一周来计算的。我们按照下面概述的步骤考虑模糊变换的应用。A、 分割可以选择任何方便的统一模糊时间分割。作为一般规则，集合的支持应该是这样的，即保持基数，即ismXj=1Ai（tj）=Xt∈辅助（Ai）Ai（t）=t i=1。。m（17）为了简单起见，我们考虑三角模糊集ai（t）。这意味着节点应均匀地分布在彼此的距离T上，以满足等式（17）所表示的条件，或等效地满足supp（Ai）=[τi-T、 τi+T]，其中τi是与模糊集Ai相关的时间节点。B

基线我们计算每日收益的模糊变换为BI=Tτi+TXt=τi-TrtAi（t）（18）通过逆变换计算基线Bt=nXi=1BiAi（t）（19）。基线在计算标准偏差时起着与平均值相同的作用。标准差是根据每日收益计算的。为了比较在不同时间分辨率上计算的进化性，我们必须参考共同的时间帧。通常每年使用，因此σA=σ√Ta其中Tai是一年中周期下降的次数。这一过程被称为年度化。如果根据dailyreturns计算标准偏差，√助教=√252这是一年中的交易日数。我们注意到，TAI与收集收益的频率有关，而与我们查看过去值的程度T无关。C、 偏差首先，我们计算绝对收益的模糊变换asHi=Tτi+TXt=τi-T | rt | Ai（T）（20）及其逆项ht=nXi=1HiAi（T）（21）最后，我们假设作为挥发度的度量，dt=ht- bt（22）明确了两个条款提供的贡献，我们得到dt=nXi=1（Hi- Bi）Ai（t）=TnXi=1τi+TXt=τi-T | rt |- rt！Ai（t）=tτi+TXt=τi-T（| rt |- rt）nXi=1Ai（t）！≤Tτi+TXt=τi-T（| rt |- rt）（23）为Ai（t）≤ Ai（t）为Ai（t）∈ [0，1]，周四≤ ∧=nXi=1Ai（t）≤nXi=1Ai（t）=1 t∈ {t，…，tm}（24）D.偏差的性质dt≥ 但更有趣的是，它完全符合卢斯（Luce）[2]、[3]提出的两种条件，是一种适当的风险衡量标准。

实际上，关于第一个条件（见公式（5）），如果rt=αrt（α>0），我们得到BI=Tτi+TXt=τi-TrtAi（t）=tτi+TXt=τi-TαrtAi（T）=αBi（25）和bt=nXi=1BiAi（T）=nXi=1αBiAi（T）=αbt（26）此外，Hi=Tτi+TXt=τi-T |αrt | Ai（T）=αHi（27）及其逆项ht=nXi=1αHiAi（T）=αht（28）因此，我们得到了sdt=ht- bt=α（ht- bt）=αdt（29）关于第二个条件（见等式（6）），我们考虑集合R={rt}，其中t∈ [τi- T、 τi+T]。因为时间序列是离散的，所以R是有限的。我们可以重写公式（23）asdt=Tτi+TXt=τi-T（| rt|-rt）∧=TXrt∈R（| rt|-rt）∧ψ（rt）（30），其中ψ（rt）是R中R出现的次数。由于数据点是有限的，也可能出现的值是有限的，因此dt=Xrt<0T2 | rt |∧ψ（rt）+Xrt≥0吨（rt- rt）∧ψ（rt）（31）总之，dt=Xrt<0T∧ψ（rt）·| rt |=Xrt<02qT∧Д（rt）·| rt |（32），其中Д（rt）=ψ（rt）qand q是数据点的数量。因此，Д（rt）是返回rt的频率。在另一侧+∞Z-∞U（Д（rt））drt=Xrt∈RU（Д（rt））rt=Xrt<0U（Д（rt））rt+Xrt≥0U（Д（rt））rt（33）通过比较公式（33）和公式（32），我们得到u（Д（rt））=（2q∧TД（rt）rt<00 rt≥ 0（34）此函数为非负函数，U（0）=0，根据诱导条件的要求。有趣的是，对于正回报，提议的波动率度量值为零。以标准差衡量的波动率并非如此。四、 实验结果为了检验所提出模型的质量，我们考虑了对NIFTY 50的应用，NIFTY 50是印度国家证券交易所用于股票市场的基准指数。我们的分析时间为2000年9月20日至2017年2月9日，共4040天。图4和图5分别绘制了这一时期的指数表现和每日收益率。通过模糊变换（及其逆）计算的波动率如图1所示，在不同的时间范围内，即。

每年（252天）、每月（21天）和每周（5天），其中y轴报告ρ=r- β、 即基线调整每日返回，其中β是FT基线。如果将通过模糊变换测量的波动率与以标准偏差计算的波动率和图中所示的波动率相比较，则看起来更平滑。2、在这种情况下，我们报告了平均调整后的每日回报率，用ρ=r表示- u。此属性是由于fuzzypartition提供了从一个节点到以下节点的逐渐过渡。固定节点也是FTvolatile比STD volatile更集中的原因。这种影响是由不同的程序造成的：FT在一段时间内使用固定节点，而STD则使用滚动窗口一步一步地移动头部。这是一个很小的影响，可以通过将两个测量值中的一个周期的一半滑动（向后STD或向前FT）来对齐这两个测量值来轻松补偿。为了在比较这两种方法时减少延迟的影响，我们对TD波动率使用了一个中心滚动窗口。图6.0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000天-20-15-10-505101520Adj给出了逐点比较。每日收益率（%）（a）每年0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000天-20-15-10-505101520Adj。每日收益率（%）（b）每月0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000天-20-15-10-505101520Adj。每日收益率（%）（c）每周一次。1、通过模糊变换计算的年波动率虽然更平滑，但FT波动率似乎遵循日收益率序列给出的趋势。因此，它与STD波动率所带来的价值有关。通过查阅图3给出的散点图，进一步研究了这一方面。图中描述了两种波动率指标所显示的高度相关性，即每年0.9167，每月0.8755，每周0.7523（皮尔逊相关系数）。

如果我们考虑到金融时报波动率仅使用16（每年）、192（每月）和808（每周）点来计算，而用于勾勒STD波动性的超过4000点，那么这很有趣。随着时间范围的缩短，相关性变弱，金融时报通常会提供更高水平的波动性。值得注意的是，STD波动率度量提供了一个可解释的回报概率分布结果，0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000天-20-15-10-505101520Adj。每日收益率（%）（a）每年0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000天-20-15-10-505101520Adj。每日收益率（%）（b）每月0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000天-20-15-10-505101520Adj。每日收益率（%）（c）每周一次。通过标准偏差计算的年度波动率，尽管这在收益率为高斯分布时仍然有效。五、 结论本文提出了一种基于模糊变换及其逆的进化度度量方法。对NIFTY 50股指的初步实验表明，与标准差法测量的波动率相比，该方法提供了一个更为规则/稳定和更好的波动率测量方法。FT值的性质与绝对和符号返回之间的差异有关。两者都能够缓解极端回报的影响。这项工作是初步的，未来的研究应该进一步调查这项措施的分析和统计特性。0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5FT00.511.522.533.5STD（a）每年0 1 2 3 4 5 ft0123456std（b）每月0 1 2 3 4 6 7 8 10 ft012345678910std（c）每周一次。3、FT和STD挥发率提供的数值散点图0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000天0 100020003004000500060007008000900010000NIFTYFIG。4、Nifty 500 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000天-20-15-10-505101520Daily Retruns的性能（%）图5。

每日回报参考[1]C.W.J.Granger，“风险的一些评论”，《应用计量经济学杂志》，第17卷，第5期。[2] R.D.Luce，“对‘几种可能的风险度量’的修正”，《理论与决策》，第13卷，第4期，第381-3811981页。内政部：10.1007/BF00126971[3]R.D.Luce，“几种可能的风险度量”，理论与决策，第12卷，第3期，第217-2281980页。doi:10.1007/BF00135033【4】I.Per Filieva，“模糊变换：理论与应用”，FuzzySets系统。，2006年4月，第157卷，第8期，第993-1023页。内政部：10.1016/j.fss。2005.11.0120 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000天00.511.522.533.5FT（黑色），STD（蓝色）（a）每年0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000天00.511.522.533.544.55FT（黑色），STD（蓝色）（b）每月0 500 1000 2000 2500 3000 4000天0 1234567ft（黑色），STD（蓝色）（c）每周一次。6、FT（连续）和STD（点）波动率的逐点比较。[5] V.Loia、S.Tomasiello和A.Vaccaro，“在基于多智能体的智能电网监控中使用模糊变换”，《信息科学》，第388389卷，第209–2242017页。内政部：10.1016/j.ins。2017.01.022【6】M.Gaeta、V.Loia和S.Tomasiello，“无线传感器网络应用中的FTTransform多信号一维压缩”，应用。软计算。，2015年5月，第30卷，C号，第329-340页。内政部：10.1016/j.asoc。2014.11.061【7】L.Troiano和P.Kriplani，“基于模糊变换残差的均值回复策略”，2012年。内政部：10.1109/CIFEr。2012.6327766第11-17页。[8] L.Troiano和P.Kriplani，“通过反向模糊变换支持交易策略”，《模糊集与系统》，第180卷，第1期，第121-145页，2011年。内政部：10.1016/j.fss。2011.05.004【9】L.Troiano，“模糊协变换及其在时间序列中的应用”，2010年。内政部：10.1109/SOCPAR。2010.5686735第379-384页。