不完全市场中多种商品的最优消费

示例完整的市场解决方案和双重特征如果模型是完整的，最优消费政策的双重特征有一个特别好的形式，因为Z包含一个独特的元素Z。对应于双重p问题（2.8）中不同y的解决方案是yZ，y>0。因此，在（2.12）和（2.11）中，我们得到（y）=yZ，y>0。特例：添加剂效用*对应于相对于其空间分量具有加法形式的U，即，whenU（t，ω，c，…，cm）=U（t，ω，c）+···+Um（t，ω，cm），（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm,其中，对于每k=1，m、 UK是【Mos15，假设2.1】意义上的效用过程，是m=1的假设2.2意义上的效用过程。在这种情况下，对于every（t，ω）∈ [0，∞)×Ohm, U*（t，ω，·）由Uk（t，ω，·）的整数卷积给出，参见定义，例如，【Roc70，第34页】。设Vi（t，ω，·）表示Ui（t，ω，·）的凸共轭，i=1，m、 然后U的凸共轭*（t，ω，·）是V*（t，ω，·）由V给出*（t，ω，·）=V（t，ω，·）+Vm（t，ω，·）。这一结果是在【Roc70，定理16.4，第145页】中建立的。在这种情况下，最佳bc（x）=（bc（x），bcm（x））通过Ii（t，ω，·）具有更明确的表征，Uix公司-1（t，ω，·），Ui（t，ω，·）关于第三参数的偏导数的点态逆e，如（2.11），可用于bci（x），i=1，m、 如下（3.1）bcit（x）（ω）=Iit、 ω，bYt（y）（ω）Sit（ω）, （dκ×P）-a.e.，i=1，m、 使用（2.12），我们可以重述（3.1）asbcit（x）（ω）=Iit、 ω，U*x个t、 ω，bc*t（x）（ω）Sit（ω）, （dκ×P）-a.e.，i=1，m、 bc所在地*（x） 是对应于初始财富x>0的辅助问题（4.2）的优化器。备注3.1。

在下面的三个示例中，我们考虑了一些不完整的模型，这些模型为一种产品采用了封闭的形式解决方案，并展示了这些结果如何应用于多个良好的环境。8 OLEKSII-MO-Stovyi不完全模型中封闭形式解的示例，具有可加性协整效用。假设d交易贴现资产采用Ito过程建模，其形式为（3.2）deSit=Esitbidt+eSitnXj=1σijtdWjt，i=1，d、 eS公司∈ Rd，其中W是Rn值标准布朗运动，bi，σij，i=1，d、 j=1，n、 是可预测的过程，因此存在（3.2）的独特强大解决方案，参见[KS98]。假设有m种消费品，理性经济主体的价值函数由UPC给出∈A（x）E中兴通讯-νtlog（c…cm）dt, x>0（与（2.5）之后规定的约定相同），其中不耐烦率ν和耐烦时间范围T为正常数。注意，在这种情况下，κt=1-e-νtν，t∈ [0，T]，即κ是确定的。我们还假设存在一个Rd值过程γ，例如bt- σtσTtγt=0（dκ×P）- a、 e.设e表示Dol’eans Dade指数。然后，使用[GK00，定理3.1和示例4.2]和定理2.4，我们得到bc*t（x）=xν1- e-νTEZ·γTsdeSst、 x>0，bcit（x）=bc*t（x）SitM，i=1，m、 x>0，bYt（y）=yER·γTsdeSst、 y>0，t∈ [0，T]。不完全加性caseLet中的闭式解和对偶特征示例我们定义了一个过滤概率空间(Ohm, F、 P），其中（Ft）t≥0是二维布朗运动（W，W）产生的过滤增强。

让我们假设有两种交易证券：一种是无风险资产B，例如Bt=ert，t>0，其中r是一个非负常数，另一种是动态测试=eStutdt+eStσtdWt，t≥ 0，eS∈ R+，其中过程u和σ为θt=ut-rσt，t≥ 0，风险过程的市场价格，遵循Ornstein-Uhlenbeck过程dθt=-λθ（θt-\'θ）dt+σθρdWt+p1- ρdWt, t型≥ 0，θ∈ R+，多种商品的最优消费9，其中λθ、σθ和‘θ为正常数，ρ∈ (-1，1）。我们还假设κ对应于终端财富的预期效用最大化，即κ=i[[T，∞[[，T∈ R+，即有m种消费品，其中Si，i=1，m、 是确定性的，andU（T，ω，c，…，cm）=cpp+···+cpmp，（c，…，cm）∈ Rm+，ω∈ Ohm,其中p<0。让我们看看etq，p1- p、 A，mXi=1（SiT）-q、 和B，A1-p、 然后，通过直接计算，我们得到*（T，ω，x）=xppB，x>0。使用[KO96]中的参数，可以用（非线性）常微分方程组的解（见[KO96，p.147]）以封闭形式表示最优交易策略isbH（x），其中BHT（x）是时间t，t时投资组合中风险资产的股份数∈ [0，T]。Bx（x）s uch thatdbXt（x）=bHt（x）deSt+（bXt（x）-bHt（x）eSt）rdt，bX（x）=x，利用定理2.4，我们得到bc*T（x）=bXT（x），x>0，bYT（y）=yE卑诗省*T（1）p（不列颠哥伦比亚省*T（1））p-1，y>0，bciT（x）=bc*T（x）A（SiT）-（1+q），x>0。不完全非加性情形下的闭式解和对偶特征的示例在这里，我们将假设κ=I[[T，∞[[，其中T∈ R+，和letU（t，ω，c，c）=-cppcpp，p<0，p<0，即有两种消费品。可以看到U（t，ω，·）是联合凹的，因为-U（t，ω，·）是R++上的正定义。我们还将U（t，ω，·）扩展到r+的边界-∞.

然后，当p，p+p<0，U*由U提供*（t，ω，x）=xpp(-p） p-1个(-p） p-1个(-p） p-1（St）-p（St）-p、 x>0。让我们定义一下(-p） p-1个(-p） p-1个(-p） p-1（ST）-p（ST）-p、 然后U（T，ω，x）=xppG（ω），x>0。假设Wand Ware两个布朗运动具有固定的相关性ρ，使得0<ρ<1。Let（Ft）t≥0be通常是对Wand Wand（Gt）t生成的过滤的增强≥0是美国对W产生的过滤的放大。我们还假设市场上有债券B和a股。它们的动力学由dest=eSt（utdt+σtdWt），eS给出∈ R、 10 OLEKSII MO STOVYIdBt=Btrtdt，B=1，其中漂移u、波动率σ和运动利率R有界，可逐步测量（Gt）t的过程∈ [0，T]，σ是严格正的。让我们假设STand STare是具有异序矩的可测随机变量。那么G也是GT可测的随机变量，具有所有阶矩（通过H¨older\'sinequality）和函数u的辅助值*（4.2）中的定义满足【Teh04】的设置。此外，作为u*（十）≥xppE[G]>-∞ 因为V（T，ω，·）是负值（因此，V（y）≤ 0），假设（2.9）成立。设λt，ut- rtσt，δ，1- p1级- p+ρp，dQdP，exp-ρp2（1- p） ZTλsds+ρp1- pZTλsdWs,Kt，p（1- p） λt+ρΔβtEQ[exp（RT（rs/δ）ds）| Ft]！，t型∈ [0，T]。然后，利用g[Teh04，命题3.4]和定理2.4，我们推导出bc*T（x）=x expZT公司r+Ksλs-堪萨斯州ds+ZTKsdWs, x>0，bYT（y）=yE卑诗省*T（1）p经验值ZT（p- （1）r+Ksλs-堪萨斯州ds+ZT（p- 1） KsdWs公司, y>0，bciT=bc*T（x）pipSiT，i=1，2，x>0，分别是（2.8），（4.2）和（2.5）的优化器。根据定理2.4，我们得出结论，对于每个x>0，bciT（x），i=1，2和byt（u′（x））通过（2.11）和（2.12）进行关联。4、证明从实用性过程的表征开始*定义见（2.7）。引理4.1。让U满足假设2.2和U*详见（2.7）。

然后，U*在假设2.2的意义上，是m=1的阿尼达型效用过程，即u*满足条件：（1）对于每个（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm, 函数x 7→ U*（t，ω，x）是（0，∞),严格凹，严格递增。（2） 对于每个（t，ω）∈ [0，∞ ) ×Ohm, 函数x 7→ U*（t，ω，x）连续可微分（0，∞) 并满足Inada条件Slimz↓0件*x（t，ω，z）=∞ 和limz↑∞U*x（t，ω，z）=0。（3） 对于每个（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm, z=0时，我们有*（t，ω，0）=limz↓0件*（t，ω，z）（注意，该值可能为-∞).（4） 对于每个z≥ 0，随机过程U*（·，·，z）是可选的。多种商品的最佳消费证明。永远y（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm, 作为U*（t，ω，·）是凹函数U（t，ω，·）的近似三次线性变换下的图像函数，因此使用例如[HUL04，TheoremB.2.4.2]，可以表明*（t，ω，·）是凹的。为了显示U的严格凹度*（t，ω，·），可以如下进行。首先，对于一些正数x6=x，设ci=（ci，1，…，ci，m）为（4.1）mPk=1Sktci，k≤ 安度xi*（t，ω，xi）=U（t，ω，ci，1，…，ci，m），i=1，2。这种ci的存在源于U的定义中优化问题域的紧性*（t，ω，x）（对于每x>0）和U的上半连续性（t，ω，·）。自（4.1）起，Cinecessical satifies inequalitymPk=1Sktci，k≤ xi通过等式，i=1，2，从每个空间分量中U（t，ω，·）的严格单调性和x6=x，我们推导出c6=c。因此，从U（t，ω，·）的严格凹性，我们得到*t、 ω，x+x= sup（c，…，cm）∈Rm+：mPk=1ckSkt（ω）≤x+xU（t，ω，c，…，cm）≥ Ut、 ω，c1,1+c2,1，c1，m+c2，m>Ut、 ω，c1,1，c1，m+Ut、 ω，c2,1，c2，米=U*（t，ω，x）+U*（t，ω，x）。因此，U*（t，ω，·）是严格凹的。

作为U*（t，ω，·）是递增的且严格凹的，它是严格递增的。对于每个（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm 并且x>0，使用U（t，ω，·）的INDA条件，可以表明在第一个或第二个的内部存在（c，…，cm），使得mpi=1ciSit（ω）=x和U*（t，ω，x）=U（t，ω，c，…，cm）。因此，U*（t，ω，·）（在第三节中）源自U（t，ω，·）的可微性和图像函数的su B半径的一般性质，参见【HUL04，推论D.4.5.2】。作为U*（t，ω，·）是凹的和可微的，我们推断U*（t，ω，·）在其域的内部是连续可微的，参见【HUL04，定理D.6.2.4】。INDA条件f或U*（t，ω，·）遵循U（t，ω，·）的（版本）INDA条件和[HUL04，定理D.4.5.1，p.192]。对于每个（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm , 由于U（t，ω，·）是一个闭凹函数，利用[Roc70，定理9.2，第75页]，我们得出*（t，ω，·）也是一个闭凹函数。特别是，我们*（t，ω，0）=limz↓0件*（t，ω，z），（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm.最后，对于每个x≥ 0，U*（·，·，x）是可选的，作为可数多个可选过程的上确界（其中，从U（t，ω，·）在其有效域的相对内部的连续性来看，需要注意的是，一般而言，线性变换下的闭凸或凹函数的图像不需要闭合，见[HUL04，p.97]中的讨论。12 OLEKSII MO STOVYIenough获得最高权力（在美国*（t，ω，·）），其分量仅取有理值）。备注4.2。引理4.1断言U*【Mos15】中的满意度2.1。对于每x>0，我们用A表示*（x） 一维可选过程集c*, 其中存在一个Rd值可预测可积过程H，例如xt，x+ZtHudeSu-Ztc公司*udκu，t≥ 0，为非负，P-a.s。

我们还定义了（4.2）u*（x） ，supc*∈A.*（x） E类Z∞U（t，ω，c*t（ω））dκt（ω）, x>0。公约类似于（2.6）：EZ∞U*（t，ω，c*t（ω））dκt（ω）, -∞, 如果EZ∞U*-（t，ω，c*t（ω））dκt（ω）= ∞.定理2.4的证明。设x>0为固定值，c∈ A（x）。然后是c*t、 mPk=1cktSkt，t≥ 0，是一个可选进程，因此c*∈ A.*（x） 。因此，（4.3）u*（十）≥ u（x）>-∞, x>0。自U起*满足引理4.1的断言，凸分析中的标准技术表明-五、*具有与U相同的属性*. 因此，优化问题（4.2）和（2.8）满足[Mos15，定理3.2]的假设。因此，【Mos15，定理3.2】适用，尤其是在u*v是有限值，并且对于每x>0，存在严格正的可选过程bc*（x） ，唯一的最大化器为（4.2）。让我们考虑一下（4.4）sup（x，…，xm）∈Rm+：mPk=1xkSkt（ω）≤卑诗省*t（x）（ω）Ut、 ω，x，xm公司, （t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm,并定义一封信函Д：[0，∞) ×Ohm RMA遵循Д（t，ω），（（x，…，xm）∈ Rm+：mXk=1xkSkt（ω）≤卑诗省*t（x）（ω））。从Sk的严格正性、正性和（dκ×P）-a.e.BC的不确定性*（x） （根据[Mos15，定理3.2]），我们推断出Д具有非空紧值（dκ×P）-a.e.让我们考虑由Дl（G），{（t，ω）定义的Д的下逆∈ [0，∞) ×Ohm : Д（t，ω）∩ G 6=} , G Rm。让我们也考虑形式a，[a，b]×······×[am，bm]的RMO的子集，这里ai和bi是实数。鉴于Д的可测量性较弱（见[AB06，定义18.1，第592页]），请注意，每（t，ω）的Rmis原点为Д（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm.多种商品的最佳消费13我们计划如何，考虑bi就足够了≥ 0，i=1，m、 此外，设usset？ai=最大值（0，ai）。

我们可以看到，对于这样的集合a，当νl（a）=Дl（[\'a，b]×·····×[\'am，bm]），我们得到了Дl（a）=（（t，ω）：mXi=1'aiSit（ω）≤卑诗省*t（x）（ω））。Asbc公司*（x） 和Si是可选流程和sin ce^1l序号∈南安=序号∈Nхl（An）（见[AB06，第17.1节]，其中An是Rm的子集），我们推断出∈ O对于rm的每个op-en子集G，即ν是弱可测的。由于U是一个Carath'eod函数（见[AB06，定义4.50，第153页]），我们从[AB06，定理18.19，第605页]得出结论，存在一个可选的Rmvalued过程bct（x），t∈ [0，T]，对于（dκ×P）-a.e.（T，ω）（4.4）的最大值∈ [0，∞) ×Ohm .s uch a最大化子的唯一性源于U（t，ω，·）（对于每个（t，ω））的严格凹性∈[0，∞) ×Ohm). Asbc公司*（十）∈ A.*（x） ，我们推导出bc（x）∈ A（x）。将其与（4.3）相结合，我们得出结论，bc（x）是（2.5）的唯一最大化器（达到一个等价类）。对于x>0，设bcit（x），i=1，m、 表示bct（x）的组件。AsmPi=1bcit（x）（ω）Sit（ω）=bc*t（ω），（dκ×P）-a.e.（此处的论点类似于（4.1）之后的讨论）关系（2.10），（2.12），（2.13）和（2.14）源自【Mos15，定理3.2】，而（2.15）源自【Mos15，定理3.3】（相当于【CCFM17，定理2.4】）。反过来，将（2.12）与[HUL04，定理D.4.5.1]相结合，我们得到byt（ω）=U*x个t、 ω，bc*t（x）（ω）=s（t，ω）∈ R:Sit（ω）s（t，ω）=秀t、 ω，bc（x）（ω），bcm（x）（ω）, i=1，m级（dκ×P）-即（2.11）成立。参考文献【AB06】C.D.Aliprantis和K.C.Border。有限维分析。Springer，2006年。第三版第3版。[Bre79]D.Breden。具有随机消费和投资机会的跨期资产定价模型。《金融经济学杂志》，7（3）：265–2961979。【CCFM17】H.Chau、A.Cosso、C.Fontana和O.Mostovyi。在无无无约束收益且风险有界的情况下，具有中间成本的最优投资。

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