不完全市场中多种商品的最优消费

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英文标题：
《Optimal consumption of multiple goods in incomplete markets》
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作者：
Oleksii Mostovyi
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider the problem of optimal consumption of multiple goods in incomplete semimartingale markets. We formulate the dual problem and identify conditions that allow for existence and uniqueness of the solution and give a characterization of the optimal consumption strategy in terms of the dual optimizer. We illustrate our results with examples in both complete and incomplete models. In particular, we construct closed-form solutions in some incomplete models.
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中文摘要：
研究了不完全半鞅市场中多商品的最优消费问题。我们描述了对偶问题，确定了允许解存在唯一性的条件，并用对偶优化器描述了最优消费策略。我们用完全模型和不完全模型的例子来说明我们的结果。特别地，我们在一些不完备模型中构造了闭式解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-5-31 11:45:08 上传

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关键词：不完全市场 Mathematical Quantitative consumption mathematica

不完全市场中多种商品的最优消费Soleksii MOSTOVYIAbstract。研究了不完全半鞅市场中多商品的最优消费问题。我们建立了对偶问题，确定了允许解的存在性和唯一性的条件，并用对偶优化器对最优消费策略进行了表征。我们用完全模型和不完全模型的例子来说明我们的结果。特别地，我们在一些不完全模型中构造了闭式解。1、导言【Fis75，Bre79】研究了多种商品的最优消费问题。对于连续时间环境下的单一消费品，首次在[Mer69]中制定。从那时起，大量论文在完全和不完全环境下分析了这一问题，采用了一系列基于Hamilton-Jacobi-Bellman方程、后向随机微分方程和凸对偶的技术进行分析。在本文中，我们在金融市场的一般不完全半鞅模型中建立了一个多商品的最优消费问题。我们构造了对偶问题，并根据对偶问题的解刻画了最优消费政策。我们还确定了允许解的存在性和唯一性以及对偶特征的数学条件。我们用例子来说明我们的结果，特别是在不完全市场中我们得到了闭式解。

我们的研究成果依赖于Carath’eodory函数弱可测对应关系的某些结果、多维凸分析技术，以及数学金融中随机分析的一些最新进展，尤其是，根据【CCFM17，KKS16】中等价局部鞅定义集的非空性，以及【Mos15】中预期效用最大化问题在单一良好条件下可解的尖锐条件，对“无无界利润有界风险”条件进行了表征。日期：2022年3月8日。2010年数学学科分类。91G10、93E20。JEL分类：C61、G11。关键词和短语。最优消费、多种商品、效用最大化、无界利润和有界风险、第一类套利、局部鞅定义、du-ality理论、半鞅、完全市场、最优投资。作者要感谢R obert C.Merton提出这个问题并对本文主题进行了讨论。作者还感谢一位匿名裁判的宝贵评论。作者的研究得到了NSF拨款DMS-1600307的支持。本材料中发表的任何观点、发现、结论或建议均为作者的观点、结论和建议，不一定反映国家科学基金会的观点、发现和结论或建议。2 OLEKSII MO Stovyi本文的主要内容如下：在第2节中，我们指定了模型设置，阐述了问题，并陈述了主要结果（在定理2.4中）。在第3节中，我们讨论了各种特殊情况。特别是，我们在那里给出了完整模型中的解的结构，以及一些不完整模型中的加性效用情形以及闭式解（有和没有加性效用结构）。我们用第4节来结束这篇文章，其中包含证明。设置和主要结果2.1。背景

删除=（eSt）t≥0一个Rd值半鞅，表示d风险资产在完全随机基础上的贴现价格(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，∞), P） ，其中fB是平凡的σ-代数。我们假设一个随机时钟k=（k t）t≥0，这是一个非减量的c\'adl\'ag适应过程，如（2.1）κ=0，P（κ∞> 0）>0和κ∞≤其中A是一个正常数。随机时钟κ指定消费发生的时间。通过适当地指定时钟过程κ，可以从当前的一般设置中恢复各种最优投资消耗问题。例如，在某个有限的投资期限T<∞可以通过简单地让κ，I[[T，∞[[.同样，消费的预期效用最大化仅在有限的范围内T<∞ 可以通过将κt，min（t，t）用于≥ 0.其他规范包括效用形式终身消费的最大化、在一组固定停止时间的消费的最大化、以及在随机范围内的终端财富的最大化，有关时钟过程κ的可能标准选择的描述，请参见【Mos15，示例2.5-2.9】。我们假设有m种不同的消费品，其中SKT在时间t表示商品k的折扣价格。我们假设对于每个k∈ {1，…，m}，Sk=（Skt）t≥0上的可选进程为绝对正(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，∞), P） 。投资组合由三元组∏=（x，H，c）定义，其中e x∈ R表示初始资本，H=（Ht）t≥0是一个d维可积过程，HJT表示在时间t，j时持有的j-thrisky资产∈ {1，…，d}，t≥ 0，c是一个m维消耗过程，whoseevery component（ckt）t≥0是一个非负可选过程，表示商品k的消耗率，k={1，…，m}。

财富过程X=（Xt）t≥0投资组合的∏=（x，H，c）定义为（2.2）Xt，x+ZtHudeSu-mXk=1ZtckuSkudκu，t≥ 0.由于我们允许偏好是随机的（见下面的定义），因此假设资产价格被贴现不会失去一般性，有关这一观察结果的更详细解释，请参见[Mos15，备注2.2]。多种商品的最佳消费32.2。无套利。本部分的主要目的是指定以下无套利类型条件（NUPBR）。正如文献中通常所做的那样（例如，参见[KS99]），webegin将X定义为∏=（1，H，0），即X形式的投资组合相关的所有非负财富过程的集合，十、≥ 0：Xt=1+ZtHudeSu，t≥ 0.本文假设如下无套利pe条件：（NUPBR）集合XT，XT:X∈ 十、概率有界，对于每T∈ R+，其中（NUPBR）表示无无界利润和有界风险。这种情况最初是在[KK07]中提出的。[Kar10，命题1]证明，（NUPBR）相当于另一个（弱）无套利条件，即在[0，T]上不存在第一类套利，参见[Kar14，定义1]。（NUPBR）的一个有用特征是通过一组等价的局部鞅函数（ELMD）给出的，该局部鞅函数定义如下：（2.3）Z，Z>0:Z是一个c\'adl\'ag局部鞅，使得Z=1，zx=（ZtXt）t≥0是每X的局部鞅∈ 十、.只有当Z 6=. 这一结果先前是在【Kar12，定理2.1】中有限时间范围内的一维情况下建立的。此外，[TS14，定理2.6]包含严格σ-鞅密度方面的密切相关结果（在有限的时间范围内），有关相应的定义和详细信息，请参见[TS14]。备注2.1。

条件（NUPBR）弱于等价鞅测度的存在（例如，关于等价鞅测度的定义，请参见[DS94，p.463]），另一个经典的无套利类型假设，在有限的时间范围内甚至强于（2.4）{Z∈ Z:Z是鞅}6=.请注意，在有限时间范围设置中，（2.4）相当于存在一个等价的可变度量。此外，（2.4）明显强于（NUPBR）（通过（2.3）和（2.4）与[CCFM17，命题2.1]相结合的比较）。我们还想指出，（2.4）在[Mer69]的每一个原始公式中都适用，其中引入了投资（在单一消费良好环境下）的最优消费问题，包括即时范围案例。一般来说，（2.4）可以是在ger上的str，而不是（NUPBR）。一个经典的例子，其中（NUPBR）成立，但（2.4）失败，对应于驱动股票价格的三维贝塞尔过程，参见示例【KK07，示例4.6】。4 OLEKSII MO STOVYI2.3。容许消耗量。对于给定的初始资本x>0，如果存在Rd值可预测积分过程H，使得（2.2）中的财富过程x对应于投资组合∏=（x，H，c）是非负的，则称m维期权消费过程c是x-容许的；对应于离散时钟κ的x-容许消耗过程集用A（x）表示。为简洁起见，我们表示A，A（1）。2.4。理性经济主体的偏好。

根据[Mer09]的公式，我们假设理性经济主体的偏好由可选效用值过程（或简单的效用过程）U=U（t，ω，x）：[0，∞) ×Ohm ×[0，∞)m级→ R∪ {-∞},其中for every（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm, U（t，ω，·）是一个INDA类型的U效用函数，即U（t，ω，·）满足以下（技术）假设。假设2.2。对于每个（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm, 功能RM+ x 7→ U（t，ω，x）∈ R∪ {-∞}是严格凹形的，每个成分都严格增加，在正正正态的内部具有有限的价值和连续的差异，并且满足INDA条件SLIMXI↓0xiU（t，ω，x）=∞ 和limxi↑∞xiU（t，ω，x）=0，i=1，m、 在哪里秀（t，ω，·）：Rm++7→ R是U（t，ω，·）对第i个空间变量的偏导数。在第一个正态的边界上，通过上半连续性，我们假设u（t，ω，x）=lim supx′→xU（t，ω，x′）（注意，其中一些值可能是-∞ U（t，ω，x）=limt↓0U（t，ω，x+t（x′）- x） ，其中x′是第一个正方体内部的任意元素，参见【HUL04，命题B.1.2.5】）。最后，对于每个x∈ Rm+，我们假设随机过程（·，·，x）是可选的。备注2.3。假设2.2中的INDA条件在【Ina63】中介绍。这些是具有自然经济解释的技术假设，允许问题具有更深层的可扩展性（例如，在[KS99]中）。同样，U的半连续性也是出于正则性目的而施加的。它也用于例如[Sio15、Sio16]。特别是，通过效用过程对偏好进行建模，可以考虑在num'eraire变化下的效用最大化问题（例如，参见[Mos17，示例4.2]）。

这就是为什么我们假设交易股票的价格被贴现的主要原因，因为这允许简化符号而不损失任何普遍性。还请注意，假设2.2没有对[KS99]中介绍的U的渐近弹性提出任何要求。对于满足假设2.2的效用过程U，我们将原始值函数关联起来，定义为（2.5）U（x），supc=（c，…，cm）∈A（x）EZ∞U（t，ω，ct）dκt, x>0。对于下面的结果，我们只需要指定第一个正弦波内部的U（t，ω，·）梯度，即在点x处∈ Rm，其中U（t，ω，x）是（有限值和）可微分的。多种商品的最佳消费5为了确保上述积分得到很好的定义，我们使用约定（2.6）EZ∞U（t，ω，ct）dκt, -∞ 如果EZ∞U-（t，ω，ct）dκt= ∞,其中U-（t，ω，·）是U（t，ω，·）的负部分。请注意，公式（2.5）是[Mer09，第205页]中公式的推广，在形式（2.5）中，我们考虑了随机偏好，并将几个标准公式作为特殊情况包含在内。2.5。双重问题。为了指定确保（2.5）解的存在性和唯一性的模型假设，并给出该解的特征，我们需要制定适当的对偶问题。让我们定义（2.7）U*（t，ω，x），sup（x，…，xm）∈Rm+：mPk=1Skt（ω）xk≤徐t、 ω，x，xm公司, （t，ω，x）∈ [0，∞) ×Ohm ×[0，∞).让我们设置一系列变换a：[0，∞) ×Ohm ×Rm7→ R、 asA（t，ω，x，…，xm），St（ω）x+···+Smt（ω）xm，（t，ω，x，…，xm）∈ [0，∞) ×Ohm ×[0，∞)m、 注意，对于every（t，ω）∈ [0，∞) ×Ohm, A（t，ω，·）是从rm到R和u的线性变换*（t，ω，·）是U（t，ω，·）在A（t，ω，·）下的图像（关于线性映射下函数图像的定义和性质，请参见[HUL04，p.96]）。

我们定义了一个随机场V*作为U的逐点共轭*（相当于A下U的镜像函数的逐点共轭）在v的意义上*（t，ω，y），supx>0（U*（t，ω，x）- xy），（t，ω，y）∈ [0，∞) ×Ohm ×[0，∞),其中supx>0和supx≥0将k和s连接到U的连续性*建立在引理4.1中。我们还产生了如下一组du-al过程：Y（Y），clY:Y为c\'adl\'ag自适应，0≤ Y≤ yZ（dκ×P）-a.e.对于某些Z∈ Z,其中在实值可选过程测度空间上的测度收敛拓扑（dκ×P）中取闭包(Ohm ×[0，∞), O、 dκ×P），其中O是可选的σ场。为了简洁起见，我们写Y，Y（1）。请注意，Y与-b密切相关，但与[KS99]中同名的集合不同。然后，将对偶优化问题的值函数或等效的对偶值函数定义为（2.8）v（y），infY∈Y（Y）EZ∞五、*（t，ω，Yt）dκt, y>0，使用约定E[R∞五、*（t，ω，Yt）dκt]，∞ 如果E[R∞五、*+（t，ω，Yt）dκt]=∞, 其中V*+（t，ω，·）是V的正部分*（t，ω，·）。我们现在可以陈述以下定理，这是本文的主要结果。等效地，参见【Roc70，定理5.2】，其中U*（t，ω，·）是U（t，ω，·）在线性变换A（t，ω，·），（t，ω）下的图像∈ [0，∞) ×Ohm.6 OLEKSII MO Stovyi定理2.4。假设条件（2.1）和（NUPBR）成立，并让U满足假设2.2。让我们也假设（2.9）v（y）<∞ 对于每y>0和u（x）>-∞ 对于每x>0。那么我们有（i）u（x）<∞, 对于x>0和v（y）>-∞, 对于每y>0，即。

，值函数的值是有限的。（ii）功能u和-v在（0，∞), 严格凹，严格递增，满足INDA条件（2.10）limx↓0u′（x）=∞, 石灰↓0- v′（y）=∞,林克斯→∞u′（x）=0，石灰→∞- v′（y）=0。（iii）对于每x>0和y>0，解bc（x）=（bc（x），bcm（x）到（2.5）和by（y）到（2.8）存在且唯一，如果y=u′（x），我们有最优性特征（2.11）bYt（y）（ω）=秀t、 ω，bct（x）（ω），bcmt（x）（ω）Sit（x）（ω），（dκ×P）-a.e.，i=1，m。和（2.12）^Yt（y）（ω）=U*x个t、 ω，mXi=1^cit（x）（ω）Sit（ω）, （dκ×P）-a.e.，带U*xdenoting U的偏导数*关于第三个论点。（iv）对于每个x>0，约束x在（2.13）E“Z”的意义上具有约束力∞mXi=1bcit（x）SitbYt（y）ydκt#=x，其中y=u′（x）。（v） 函数u和v是勒让德共轭的，即（2.14）v（y）=supx>0u（x）- xy型, y>0，u（x）=infy>0v（y）+xy, x>0。（vi）双值函数v可重新表示为（2.15）v（y）=infZ∈ZE公司Z∞V（t，ω，yZt（ω））dκt（ω）, y>0。备注2.5（关于（2.9）有效性的充分条件）。如果存在一个原始元素c，则条件（2.9）成立∈ A和一个双元素Y∈ 是这样的Z∞Ut、 ω，zct，zcmtdκt> -∞ 和EZ∞五、*（t，ω，zYt）dκt< ∞, z>0。特别是，对于每x>0，作为具有常量值的m维可选过程上午十点，上午十点属于A（x），是（2.9）中关于用途完整性的有效条件Z∞Ut、 ω，x？Am，上午十点dκt> -∞, x>0，多个商品的最佳消费7，如果U是非随机的，则通常成立。同样，Z 6= （根据（NUPBR）和[CCFM17，命题2.1]），如果对于一个等价的局部鞅deflicator Z，我们有Z∞五、*（t，ω，yZt）dκt< ∞, y>0.3。