用于数据驱动问题和现代分支的混合PDE解算器

（可以说，由于时间变量的离散化，期望值的估计是有偏差的。）为了达到目标精度a，必须平衡两个误差源，这将导致长时间的模拟：计算工作量为O（a-4） 如果使用了朴素的数字（如Euler-Maruyama方案加上线性BVP的边界测试，见[44]）。该成本可大幅降低（约为O（a-2） 在某些情况下）使用复杂的、新颖的模式。Gobet【35】和Gobet与Menozzi【39】提出的有界停止扩散的新积分器使与边界相互作用相关的弱误差的收敛速度加倍，另见【11】。对于反射扩散，建议使用Lèpingle方法【35】或Milstein有界方法【53】。另外两个有希望的方向是纳入Giles的多水平方法【44】、【34】和使用路径控制变量减少方差【12】。在后面的章节中，将对非线性概率表示的数值进行说明。在任何情况下，与确定性方程相比，SDE的数值计算（及其推广）都不够成熟。一个积极的方面是，目前为SDE开发的许多金融数学新思想可以移植到PDD中。理想情况下，存在一种适合给定NPDE概率表示的数值方法，从而大大提高效率。一个例子是停止布朗运动的球面行走算法，它是拉普拉斯方程与Dirichlet BCs的概率表示。应尽可能使用这种和类似的特定数值模式（参考文献请参见[13]）。2.2线性BVP的概率表示我们现在给出线性BVP的概率表示（著名的费曼-卡茨公式的推广）。

让我们首先考虑数据驱动问题的generalHybrid PDE解算器和具有混合BCs的二阶线性抛物线BVP的现代分支：ut=Lu+c（x，t）u+f（x，t），如果t>0，x∈ Ohm,u=p（x），如果t=0，x∈ Ohm,u=g（x，t），如果t>0，x∈ OhmA.uN=ψ（x，t）u+ψ（x，t），如果t>0，x∈ OhmR、 （2.3）符号Ohma施加Dirichlet BCs的部分边界的范围，而OhmR=Ohm\\OhmA、 涉及正态导数（Neumann或Robin）的BCs持有。在SDE文献中OhmA和Ohm罕见的被称为吸收和反射边界。在（2.3）中，L是由L定义的二阶微分算子：=dXi，j=1Aij（x，t）xixj+dXi=1bi（x，t）xi，（2.4），其中矩阵A为正定义，因此可以分解为A：=[Aij]=σT（例如通过Cholesky分解）。为了将来的参考，我们指出了该运算符L在获取（主要）驱动SDE中的重要性，可以比较下面（2.8）中L和X的系数。假设≤ （2.3）中的剩余系数和边界足够平滑（尤其是向外法向量N到OhmRis定义良好），因此存在唯一的解决方案【21】、【33】。为了引入（2.3）的随机表示，设Xt，0≤ t型≤ T从X=X开始扩散（见下文（2.8））∈ Ohm  Rd，（d）≥ 1） ，考虑线性泛函，实际上是一个随机变量，φ={τ≥T}p（XT）Φ（T）+{τ<T}g（Xτ，T- τ） Φ（τ）+min（T，τ）Zf（Xt，T）- t） Φ（t）dt+min（t，τ）Zψ（Xt，t- t） Φ（t）dξt，（2.5），其中Φ（t）=expZtc（Xs，s）ds+ZtД（Xs，s）dξs.

（2.6）在（2.5）和（2.6）中，{H}是指示符函数（如果H为真，则为1，否则为0）；τ=inft{Xt∈ OhmA} 是“第一次退出（或第一次通过）时间”Ohm; 发生在“纤维点”Xτ∈ OhmA.ξ是“当地时间”（轨迹所花费的时间量非常接近OhmR） ；假设所有函数都是连续且有界的。我们想计算φin（2.5）的期望值，它也可以表示为φX=X= Ehq（Xτ）Yτ+Zτi，s.th。q（Xτ）=g（Xτ，T- τ） ，如果τ<T，p（XT），如果τ≥ T、 （2.7）其中过程（Xt、Yt、Zt、ξT）由一组由d驱动的随机微分方程（SDE）控制-维维纳过程Wt：dXt=b（Xt，T- t） dt+σ（Xt，t- t） 载重吨- N（Xt）dξtX=x，dYt=c（Xt，T- t） Ytdt+Д（Xt，t- t） YtdξtY=1，dZt=f（Xt，t- t） Ytdt+ψ（Xt，t- t） YtdξtZ=0，dξt={Xt∈OhmR} dtξ=0。（2.8）8 F.Bernal等人。然后，公式（2.5）和（2.7）是抛物线线性BVP的解，即u（t，x）=eφX=X= Ehq（Xτ）Yτ+Zτi.（2.9）Milstein支持的SDE系统（2.8）表示法不是最常见的表示法，但可以直接编程。如果c（x）≤ 0，椭圆边值问题可以从（2.3）中正式导出，费曼-卡茨公式被称为Dynkin公式。取T→ ∞, 除去p，并从存活系数中去除时间依赖性，只要τ是有限的，（2.8）中的SDE现在是自治的。（例如，在纯粹反射边界的情况下，这种情况不会发生。）(Ohm = OhmR） ，当溶液u（x）被定义为任意常数，并且需要更多的相容性条件时【33】。）对于纯Dirichlet BCs，ξ·和（2.8）中的最后一个方程不存在。

线性BVP的表示可以在许多情况下简化，例如（2.1）和（1.1）的（2.2）。2.3改进的数值方法的效果说明在过去十五年中，对解决上述线性RBVP表示的数值方法进行了卓越的研究，这意味着可以通过引入PDD时所需成本的一小部分来解决这些问题。为了强调改进的随机数字对PDD方法的影响，让我们以[12]中的一个例子为例。在那里，作者研究了BVPu+cos（x+y）1.1+sin（x+y）ux个+uy-x+y1.1+sin（x+y）u+f（x，y）=0，（2.10），f（x，y）使得u（x，y）=2 cos2（y- 2） x个+ 罪3（x- 2） y型+ 3.1是精确解，以及Dirichlet边界条件。BVP域如图2.1所示。这个问题用最新版本的PDD（在[12]中称为IterPDD）解决了。IterPDD是一个数值套件，包括基于嵌套的、日益精确的全局解的迭代控制变量的方差缩减技术。方法a相对于方法B求解BVP的加速比定义为asS（a，B）=方法B所用时间方法a所用时间。（2.11）表2.1显示了IterPDD相对于PDD先前版本的加速比。请注意，ITERPDD保留了PDD算法任何早期版本的所有优点，因此无需将其与DDD解算器进行比较，因为S（IterP DD，DDD）=S（IterP DD，P DD）×S（P DD，DDD）。表2.1中的理论加速比是【12】中灵敏度算法预测的最佳加速比。重要的是，后者的设计依赖于快速预热蒙特卡罗采样，并并行运行，以避免破坏PDD的目的。

实验观察到的加速一致是保守的。加速度（加速比）随着目标节点精度a（通过概率表示获得的界面节点上数值解的最大容许误差）的减小而增大，近似成反比。用于数据驱动问题和现代分支问题的InHybrid PDE解算器9A理论加速比观测到的加速比（近似值）。04 13.93 15.02 28.34 29.01 57.42 60.005 116.00 125.0025 233.84 250表2.1。与之前的PDD算法相比，使用改进的随机数字加速最新版本的PDD（IterPDD）。ais是接口节点的容错能力。正在求解的BVP为（2.10）。综上所述，几乎所有先前报告的使用PDD的结果（已经比确定性解算器更快）都可以通过改进的数字加速一到两个数量级。结合多级配方，预计将进一步提高加速性能[34]。PDD的一些应用PDD计划的最初实施应归功于J.A.Acebron及其研究小组[1]-[5]。在巴塞罗那超级计算机中心（Barcelona Supercomputer Center）和罗马卡斯珀（CASPUR）的超级计算机上进行的一些真实的大规模仿真证明，在求解包括KPP在内的非线性方程时，PDD在总时间和观测到的可伸缩性方面都优于ScaLAPACK【7】、【8】、【4】。Gobet和Mairé分别在[38]中为泊松方程提出了一种类似PDD的区域分解方案。Bihlo和Haynes将PDD应用于有限元网格的生成，这是一项基于PDE的任务，非常适合于随机表示[15]、[14]、[16]。此外，在文献[5]中，处理了弗拉索夫-泊松方程，这在等离子体物理中无疑是有意义的。

第3.3节分支扩散和KPP方程中进一步讨论了这种非线性偏微分方程的PDD处理。第2节中所述的偏微分方程都是线性的，不幸的是，尽管在应用中产生的偏微分方程通常不是线性的，标准SDE参数不足以解决一般设置。也就是说，可以使用所谓的前向-后向SDE（FBSDE）推导出更一般的偏微分方程的随机表示，但FBSDE在计算上很昂贵，很难处理（见第4节）。然而，[56]、[41]、[43]和[42]进一步发展了“分支扩散”方法，作为解决比McKean最初提出的更广泛类别非线性偏微分方程的有效方法。分支扩散允许处理没有FBSDE机制的非线性偏微分方程。虽然经典结果在某种程度上限制了PDE的形式（见下文（3.1）），但最近的发展使我们能够有效地解决更一般的PDE类别。例如，当解决方案中出现非线性时，或甚至解决方案的梯度（见下文（3.3）和第3.3节）。在整个第10节中，F.Bernal等人用偏微分方程的例子补充了该理论，这些偏微分方程易于分支，其表示为PDD打开了大门，作为一种可行的算法，可以解决比以前更大类别的问题。在第2节中，我们讨论了非Dirichlet边界条件的随机表示，不幸的是，这种边界条件没有在更一般的环境中被考虑，而是作者未来的工作。

对于感兴趣的读者，我们提到了最近对椭圆偏微分方程蒙特卡罗分支方法的分析。3.1反应扩散：KPP方程分支扩散思想基于文献[57]、[61]、[51]，以求解KPP方程（在Dirichlet边界条件的一维空间中）(ut型-ux个- u（u- 1） =0，x∈ （x，x），x，x∈ R，t>0，u（x，0）=ψ（x），u（x，t）=g（x，t），u（x，t）=g（x，t）。这后来被推广到考虑非线性偏微分方程，例如，ut型- Lu公司- c∞Xi=0αiui- u！=0，（3.1），其中c为正常数。这种非线性偏微分方程的解可以通过所谓的分支扩散过程来表示。对于u的非整数幂也有研究，通常uα表示α∈ [0，2]，这种过程被称为超扩散，尽管我们不会在这里讨论这些过程来关注更近期的工作，更多细节请参见[26]、[43]和其中的参考文献。同样，SDE流程由L管理，请参见（2.4）。假设3.1（经典分支扩散[51]）在经典设置中，上述偏微分方程的随机表示依赖于系数α的以下两个条件：；αi≥ 0和P∞i=0αi=1。为了解释（3.1）的随机表示，对于点（x，t），我们需要考虑一组粒子。我们在时间0的x处开始一个粒子，该粒子的寿命τ随强度c呈指数分布（有时称为“分支率”），然后我们模拟该粒子直到min（t，τ，τOhm), 其中τOhm是粒子到达空间边界，如果τ是这个最小的时间，那么粒子“分支”成概率为αi的i个粒子。这些粒子都从空间中的同一点开始，然而，它们都配备了自己的独立指数随机变量（“寿命”）并驱动布朗运动。

然后，我们继续模拟每个粒子，直到它到达空间边界或在时间t时处于活动状态。我们在第3.1.1节中提供了分支扩散（无空间边界）的详细算法。考虑与上述相同的初始值和边界值。然后，可以将解u写为

表示分支扩散，第一个粒子从时间t=0的点xat开始，然后时间t分支为两个粒子。其中第一个粒子在没有后代的情况下死亡，另一个粒子在时间T再次分支成两个粒子。这两个（第三代）粒子都在时间T到达终点。3.1.1 KPP方程的PDD数值示例由于我们已经有足够的机制来考虑一些有趣的PDE，让我们展示一个来自反应扩散方程领域的示例，这类方程被用于许多领域，如物理和生物学【31】、【32】、【48】。为了便于说明，我们考虑其中最著名的Kolmogorov-PetrovskyPiskunov（KPP）方程【47】，该方程与等离子体物理和生态学的应用有关。KPP的一般形式为以下非线性抛物线PDE，ut型- Dux+ru（1- u） =0，（x，t）∈ R×[0，∞)12 F.Bernal等人，其中D和r是常数。在【7】之后，取r=D=1，初始值为，u（x，0）=ψ（x）=1-1+经验x个/√-我们可以把这个问题的真解写成，u（x，t）=1-1+经验x个√-5吨-2、这样一个例子的优点是，我们还可以比较每种方法的误差。在（3.2）之后，（x，t）处解的随机表示为，u（x，t）=Ex，0“nTi=1uW（i）t+x，0#= Ex，0“Ntii=11.-1+经验W（i）t+x/√-2.#,式中，Nti是时间t的粒子数，W（i）是时间t的粒子i的布朗运动/x、 过程x是从点x开始的布朗运动（与（2.3）和（2.8）相比）。问题的算法我们在域x上解决这个问题∈ [-2000年，2000年]对于t∈ [0，1]。

对于PDDalgorithm，这对应于选择空间中的点并在一系列时间内求解它们以构建艺术时空边界，我们创建p+1边界以获得p子域。因此，使用五个处理器，我们将域划分为四个子域[-2000年，-1000], [-1000、0、[0、1000]和[1000、2000]。这可能不是最理想的方法，但我们的目标是展示即使是简单的PDD方法也可以显著提高所需的计算时间。我们进一步计算了11个等距时间点（包括t=0）的解，我们用Ti集表示，满足0=t<t<··<t=1。用Γ表示我们近似边界（真实和艺术）的节点集，因此对于D域点，用Θ时间点、Γis和-Θ矩阵表示。我们用Γk表示k∈ {1，…，D}Γ的列向量，即沿时间在第k个域点的边界近似。备注3.2（修剪-控制分支的生长）控制分支的一种有用技术是“修剪”，这是一种我们截断分支数量的方法，并且观察到修剪后的分支对预期的贡献很小，计算成本非常高。我们在此不作进一步讨论，但请感兴趣的读者阅读[6]。从PDE中可以清楚地看出，所有分支类型都是两种（非线性部分是四次的-与（3.1）相比）。此外，还使用了分支扩散的驱动过程MATLAB进行了实现。模拟在配备四个intel xeon E5-2680处理器的Dell PowerEdge R430上运行。所有多项式插值均使用MATLAB的“poly fit”进行，PDE使用MATLAB的“pdepe”函数进行求解。