最优停止与离散时间非零和Dynkin对策

，对于每个（y，z，l, l), kθy，z，l,ltkν≤ K、 其中K是一个正常数。3离散时间集（ξt）t中g-期望的最优停止∈[0，T]是一个给定的F-适应平方可积过程，用于模拟代理人的动态财务状况。仅允许代理在给定时间0=t<t<…<tn=T，其中n∈ N、 代理人的风险通过BSDE使用给定的Lipschitz驱动程序g引入的动态风险度量ρg进行评估；动态风险度量ρg与g-条件期望族相对应（最多为负号）。代理人在time0的目标是选择自己的策略，使其在“time0视角”下的位置风险最小化。时间0的最小风险由v（0）：=infτ定义∈Td0，Tρg0，τ（ξτ）=- supτ∈Td0，TEg0，τ（ξτ）。（5） 我们有V（0）=-五、 式中V：=supτ∈Td0，TEg0，τ（ξτ）。（6） 因此，我们面临着一个具有g-期望的离散时间最优停止问题。本节的目的是计算或刻画最小风险测度V（0）（或等价地，V），并研究最优停止时间的存在性问题。为了简化表示法，我们假设从现在开始，终端时间T为Nand，tk=k，对于所有k=1，n、 在这种情况下，集合Tdtk，T与s et Tdk，Tof停止时间相关，其值几乎肯定在集合{k，k+1，…，T}中。我们将使用符号FD表示过滤（Fk）k∈{0,1，…，T}。3.1离散时间g-（超级）鞅我们引入了离散时间g-（超级）鞅的概念，这将与Eg超鞅（连续时间）的定义进行比较，分别是Eg鞅（不连续时间）。定义3.1 Let（φk）k∈{0,1，…，T}是平方可积随机变量序列，适用于（Fk）k∈{0,1，…，T}。

如果φk，则序列（φk）是离散时间的g-上鞅（分别是g-鞅）≥ Egk，k+1（φk+1），对于所有k∈ {0，1，…，T- 1} 。备注3.1我们注意到，如果（φt）t∈[0，T]是关于过滤F的Eg鞅（连续时间），然后是（φk）k∈{0,1，…，T}是定义3意义下离散时间的g-鞅。1、注释3.2，如果g≡ 0（对应于经典期望），if（φk）k∈{0,1，…，T}是关于（Fk）k的离散时间鞅∈{0,1，…，T}，然后（φk）k∈{0,1，…，T}可以通过设置φT：=φk，对于所有T，扩展为关于F的连续时间鞅（时间参数tin[0，T]）∈ （k，k+1），对于所有k∈ {0，…，T-1} 。对于一般驱动因素g，该陈述不一定成立。备注3.3让（φt）为s平方可积适应过程。我们还记得，通过定义gt，s（φs）=φs，对于所有T≥ t型≥ s≥ 如果φ是Ft可测的，那么Egtt，T（φT）=Egt，T（φT）=φT。定理3.1 Let（φk）k∈{0,1，…，T}是离散时间中的g-超鞅（分别是g-鞅）。Letτ∈ Td0，T。然后，停止的过程（φk∧τ） k级∈{0,1，…，T}是离散时间的gτ-上鞅（分别是gτ-鞅）。证明：让k∈ {0，1，…，T- 1} 。自Egτk，k+1（φ（k+1）∧τ） =Egk，（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ） ，则有必要证明以下内容：Egk，（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ）≤ φk∧τ。（7） 我们写了gk，（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ） =I{τ≤k} Egk，（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ） +I{τ≥k+1}Egk，（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ） 。（8） 由于以停止时间为终点的标准BSDE的解的定义，我们有{τ≤k} Egk，（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ） =I{τ≤k} φ（k+1）∧τ=I{τ≤k} φτ。（9） 对于方程（8）右侧的第二项，我们有i{τ≥k+1}Egk，（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ）≤ I{τ≥k+1}φk∧τ。

（10） 事实上，在注意到I{τ≥k+1}是Fk可测的，我们应用命题A。1至获得{τ≥k+1}Egk，（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ） =I{τ≥k+1}Eg（k+1）∧τk，T（φ（k+1）∧τ） =Eg（k+1）∧τI{τ≥k+1}k，T（I{τ≥k+1}φk+1）。（11） 利用g（k+1）这一事实∧τI{τ≥k+1}=gk+1I{τ≥k+1}通过应用命题A.1again，我们得到EG（k+1）∧τI{τ≥k+1}k，T（I{τ≥k+1}φk+1）=Egk+1I{τ≥k+1}k，T（I{τ≥k+1}φk+1）=I{τ≥k+1}Egk+1k，T（φk+1）=I{τ≥k+1}Egk，k+1（φk+1）。（12） 由于φ是离散时间的g-超鞅，我们有I{τ≥k+1}Egk，k+1（φk+1）≤ I{τ≥k+1}φk=I{τ≥k+1}φk∧τ、 这证明了不等式（10）。从（9）和（10）我们得到期望的不等式（7）。从而证明了该定理。备注3.4我们知道，离散时间内的“经典”（超）鞅，在停止时间τ停止，同样是（超）鞅。离散时间中的g-（超）鞅，在停止时间τ处停止∈ Td0，T通常不是g-（超）鞅，而是gτ（超）鞅（根据前面的定理3.1）。以下示例对此进行了说明。设g是不依赖于y、z和l （即g（ω，t，y，l) ≡g（ω，t））。回想一下，在这种情况下，对于所有t∈ [0，T]。（13） 假设g为正。设φ为离散时间的g鞅，取τ≡ k、 其中k∈ {0，…，T- 1} 。通过应用（13），ξ：=φk，我们得到Egk，T（φ（k+1）∧k） =Egk，T（φk）=E（ZTkg（s）ds+φk | Fk）=E（ZTkg（s）ds | Fk）+φk>φk，不等式是由于g的正性。因此，在k处停止的φ不是离散时间内的g鞅。我们现在为g-supermartingales（分别为gmartingales）建立了一个“可选采样”结果。这个结果可以作为前面定理的推论。推论3.1 Let（φk）k∈{0,1，…，T}是离散时间中的g-超鞅（分别是g-鞅）。

然后，对于σ，τ，在Td0中，t求出σ≤ τa.s.，我们有egσ，τ（φτ）≤ φσ（resp=φσ）a.s.证明：我们证明了g-超鞅情形的结果；g-鞅的情况可以类似地处理。设σ，τ为Td0，Tbe，因此σ≤ τa.s.我们注意到，必须证明以下性质：Egk∧τ、 τ（φτ）≤ φk∧τ、 对于所有k∈ {0，1，…，T}。（14） 事实上，这个性质已经证明，我们将得到Egσ，τ（φτ）=Egσ∧τ、 τ（φτ）=TXk=0I{σ=k}Egk∧τ、 τ（φτ）≤TXk=0I{σ=k}φk∧τ=φσ∧τ=φσ，这将结束证明。现在让我们证明性质（14）。我们沿着后方向前进。到最后，我们有∧τ、 τ（φτ）=Egτ，τ（φτ）=φτ=φT∧τ。我们假设性质（14）对k+1成立。然后，利用这个归纳假设，g-条件期望的时间一致性和单调性（后者的性质在假设2.1下成立），我们得到了EGK∧τ、 τ（φτ）=Egk∧τ、 （k+1）∧τ（Eg（k+1）∧τ、 τ（φτ））≤ Egk公司∧τ、 （k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ） 。为了得出结论，还有待验证gk∧τ、 （k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ）≤ φk∧τ。（15） 我们有{τ≥k} Egk公司∧τ、 （k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ） =I{τ≥k} Egk，（k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ）≤ I{τ≥k} φk∧τ、 （16）其中，我们使用定理3.1来获得不等式。根据命题A.1，我们有i{τ<k}Egk∧τ、 （k+1）∧τ（φ（k+1）∧τ） =Eg（k+1）∧τI{τ<k}τ，T（φτI{τ<k}）。（17） 根据备注A.2中给出的约定，“驱动因素”g（k+1）∧τ（s，y，z，l)I{τ<k}等于g（k+1）∧τ（s，y，z，l)I{τ<k}I]τ，T]（s），等于零。因此，我们有EG（k+1）∧τI{τ<k}τ，T（φτI{τ<k}）=Eτ，T（φτI{τ<k}）=φτI{τ<k}。其中，最后一个等式是由于φτI{τ<k}的Fτ-可测性。我们从方程式（16）和（17）推导出（15）。从而证明了这一命题。3.2离散时间g-Snell包络线和最佳停车时间我们现在转向路段起点的最佳停车问题。

与通常的非正时控制一样，我们将上述优化问题（6）嵌入到一类更大的问题中，考虑vk：=ess supτ∈Tdk，TEgk，τ（ξτ），对于k∈ {0，1，…，T}。（18） 以下定义类似于给定流程在离散时间内的斯奈尔包络定义，我们用g-期望取代了经典设置的数学期望。我们定义了流程（英国）k∈{0,1，…，T}由后向归纳得出如下：（UT=ξT，Uk=maxξk；Egk，k+1（英国+1）, 对于k∈ {0，1，…，T- 1} 。（19） 从（19）中，我们通过反向归纳发现（Uk）是一个定义良好的（Fk）适应平方可积随机变量序列。序列（Uk）将被称为离散时间（ξk）的g-Snell包络。我们现在给出了（ξk）离散时间下g-Snell包络的一个特征。命题3.1序列（英国）k∈方程（19）中定义的{0,1，…，T}是离散时间内支配序列（ξk）k的最小G超鞅∈{0,1，…，T}。上述命题的证明类似于经典预期的证明，为方便读者，附录中给出了上述命题的证明。让k∈ 给定{0，1，…，T}。我们定义了以下停止时间：νk：=inf{l∈ {k，…，T}：Ul=ξl}。（20） 以下命题成立。提议3.2让k∈ {0，1，…，T- 1} 。设νkbe（20）中定义的停止时间。序列（Ul∧νk）l∈{k，…，T}是离散时间的gνk-鞅。证明：让l∈ {k，…，T- 1} 。我们证明Ul∧νk=Egl，（l+1）∧νk（U（l+1）∧νk）我们写的是gl，（l+1）∧νk（U（l+1）∧νk）=I{νk≤l} Egl，（l+1）∧νk（U（l+1）∧νk）+I{νk≥l+1}Egl，（l+1）∧νk（U（l+1）∧νk）。（21）在定理3.1的证明中，我们通过定义BSDE的解，将突变时间作为终点时间，I{νk≤l} Egl，（l+1）∧νk（U（l+1）∧νk）=I{νk≤l} U（l+1）∧νk=I{νk≤l} 联邦制药∧νk。

（22）对于方程（21）右侧的第二项，我们再次使用与定理3.1证明相同的论证（参见方程（11）和（12））来显示{νk≥l+1}Egl，（l+1）∧νk（U（l+1）∧νk）=I{νk≥l+1}Egl，l+1（Ul+1）。从νkwe的定义可以看出，Ul>ξlon集合{νk≥ l+1}。将这一观察结果与U的定义相结合，得出集合{νk上的Ul=Egl，l+1（Ul+1≥ l+1}。因此，I{νk≥l+1}Egl，（l+1）∧νk（U（l+1）∧νk）=I{νk≥l+1}Ul=I{νk≥l+1}Ul∧νk.（23）在（21）中插入（22）和（23）可获得所需的结果。在下面的命题中，我们证明了（20）中定义的停止时间νkde对于优化问题（18）在时间k是最优的，并且问题的值函数Vkof等于Uk（离散时间（ξk）中的g-Snell包络）。k的定理3.2∈ {0，1，…，T}，Uk=Egk，νk（ξνk）=ess supν∈Tk，TEgk，ν（ξν），（24），其中νk：=inf{l∈ {k，…，T}：Ul=ξl}。证明：在k=T的情况下，结果非常正确。假设k∈ {0，1，…，T- 1} 。通过使用命题3.2和推论3.1（应用σ=k和τ=T），以及Uνk=ξνk这一事实，我们得到了Uk=Uk∧νk=Egνkk，T（UT∧νk）=Egk，νk（Uνk）=Egk，νk（ξνk）。（25）让ν∈ Tk，T.通过使用第3.1项和推论3.1（应用σ=k和τ=ν），以及函数Eg0，ν（·）的单调性，我们得到≥ Egk，ν（Uν）≥ Egk，ν（ξν）。（26）结合方程式（25）和（26）得出所需的结论。备注3.5非线性算子族{Et（·）：t∈ [0，T]}在关于非线性函数最优停止的文献中，有几篇论文考虑了由单指数（而不是双指数族）索引的（参见Kr"atschmer和Schoenmakers（2010）以及Bayraktar和Yao（2011））。我们注意到，我们在这里使用双指数算子族{Egt，t′（·）：t，t′∈ [0，T]}。

这个算子族化简为{Egt，T（·）：T族∈ [0，T]}，由单个索引索引，在附加假设Egt，T′（η）=Egt，T（η），0≤ t型≤ t′，对于所有t′∈ [0，T]，对于所有η∈ L（Ft′）。通过使用g-条件期望的一致性，可以证明，对于所有t∈ [0，T]，对于所有η∈L（英尺）。4离散时间相关托里斯克极小化中的非零和Dynkin对策我们现在考虑一个比导言稍微更一般的对策问题。我们有两名代理人A和A，他们的支付/财务头寸通过四个F适应序列X、X、Y、Y确定。我们做出以下假设：（A1）X≤ Yand X公司≤ Y（即Xk≤ YK和Xk≤ Yk，k∈ {0，…，T}）（A2）XT=YT和XT=YT。（A3）过程Y、Y、X、X满足E（maxk∈{0，…，T}| Yk |）<∞, E（最大值∈{0，…，T}| Yk |）<∞, E（最大值∈{0，…，T}| Xk |）<∞, E（最大值∈{0，…，T}| Xk |）<∞.每个代理在时间0时的策略集是Td0，T。我们强调，两个代理都使用离散的停止时间作为策略。如果第一个代理的策略是τ∈ Td0，tand第二个代理的策略是τ∈ Td0，T，第一（分别为第二）代理人在时间τ的支付∧ τ的计算公式为：XτI{τ≤τ} +YτI{τ<τ}（分别为XτI{τ<τ}+YτI{τ≤τ} ，我们采用了以下惯例：当τ=τ时，第一个负责停止游戏的玩家。代理a和a以（可能的）不同的方式评估各自支付的风险。更准确地说，我们现在得到了两个标准的Lipschitz驱动因素fand f。第一个代理的动态风险度量等于ρf=-E且第二个代理的dynamicrisk度量等于ρf=-Ef。如果第一个代理的策略是τ∈ Td0，Tand第二个代理的策略是τ∈ Td0、T、第一代理人（分别为。

因此，第二个代理在时间0的风险由-J（τ，τ）（分别为。-J（τ，τ）），其中J（τ，τ）：=Ef0，τ∧τ（XτI{τ≤τ} +YτI{τ<τ}）（分别为J（τ，τ）：=Ef0，τ∧τ（XτI{τ<τ}+YτI{τ≤τ} ））。这两个代理的目标是将其支付风险降至最低。导言中所述的游戏选项问题可以被视为上述游戏的一个特定案例，第一个代理对应于游戏选项的买方，第二个代理对应于卖方，X=-Y=X和Y=-X=Y。让我们强调，即使在这两个代理人的报酬等于负号的特殊情况下，由于动态风险度量的非线性，博弈也是非零和类型。在引言中也出现了期权的卖方和/或买方对其净收益应用风险度量的情况，也进入了上述一般框架。

例如，如果期权的卖方考虑其净收益，而买方只考虑期权的支付，我们设置：X=X，Y=Y，Y=-X+X，X=-Y+x，其中x>0是期权的初始价格。在本节中，我们研究上述一般博弈的纳什均衡点的存在性问题。定义4.1（纳什均衡点）一对停止时间（τ*, τ*) ∈ 对于上述非零和Dynkin对策，如果J（τ*, τ*) ≥J（τ，τ*) 和J（τ*, τ*) ≥ J（τ*, τ） ，对于Td0，T×Td0，T中的任何一对（τ，τ）停止时间。换句话说，如果其中一个代理（另一个代理的策略保持不变）对该策略的任何单方面偏差没有降低其风险，那么一对策略就是博弈的纳什均衡。4.1初步结果我们从一个初步命题开始，在这个命题中，我们认为交换Payoff过程表达式中的严格和大型不等式不会改变相应的值函数。这一结果将用于构建下一小节中的纳什均衡点。命题4.1设（Xk）和（Yk）为平方可积随机变量的两个Fd适应序列，使得Xk≤ Yk，所有k∈ {0，…，T}，XT=y和E（最大值∈{0，…，T}| Xk |）<∞. 设g为标准驱动器，u∈ 每k的Td0，T∈ {0，1，…，T}，设'ξk：=XkI{k≤ u}+YuI{u<k}和ξk：=XkI{k<u}+YuI{u≤k} 。对于每个k∈ {0，1，…，T}，设'Uk：=ess supτ∈Tdk，TEgk，τ∧u（(R)ξτ）和Uk：=ess supτ∈Tdk，TEgk，τ∧u（ξτ），分别对应于（ξk）和（ξk）离散时间内的gu-斯内尔包络。然后，以下属性成立：（i）(R)Uk=Yu=Uka。s、 在{u≤ k- 1} 。（ii）“英国=英国。s、 对于所有k∈ {0。

，T}。备注4.1在Lepeltier和Maingueneau（1984）（引理5）的结果框架中，该结果可以被视为一个类似的结果，该结果显示在一个具有正确连续支付和经典期望的连续时间框架中。证明：让我们证明（i）。我们采用反向归纳法。直接计算给出{u上的sut=ξT=Yu和'UT='ξT=Yu≤ T- 1} 。我们现在假设“Uk+1=Yu=Uk+1a”。s、 在{u≤ k} 。我们证明了“Uk=Yu=Uka”。s、 在{u≤ k- 1} 。通过使用Uk的定义，我们拥有UKI{u≤k-1} =最大值ξkI{u≤k-1} ；I{u≤k-1} 例如uk，k+1（英国+1）. （27）现在，通过ξk的定义，我们得到ξkI{u≤k-1} =YuI{u≤k-1} （28）此外，通过命题A.1和归纳假设，我们得到{u≤k-1} Eguk，k+1（Uk+1）=EguI{u≤k-1} k，k+1（Uk+1I{u≤k-1} ）=例如uI{u≤k-1} k，k+1（YuI{u≤k-1} ）现在，“驱动器”gu（ω，s，y，z）I{u（ω）≤k-1} 等于g（ω，s，y，z）I{s≤u（ω）≤k-1} I]k，T]（s）（根据第A.1款中使用的约定），等于零。此外，YuI{u≤k-1} Fk是否可测量。因此，例如uI{u≤k-1} k，k+1（YuI{u≤k-1} ）=YuI{u≤k-1} a.s.通过将该观察结果与方程（27）和（28）相结合，我们得到{u上的Uk=Yua.s≤ k- 1} 。通过类似的参数，我们表明{u上的'Uk=Yua.s≤ k- 1} （为了获得这一权利要求，有必要将方程式（27）中的U替换为“U”，ξ替换为“ξ”）。因此证明了性质（i）。让我们证明性质（二）。我们再次进行反向归纳。最后，T我们有UT=ξT=(R)ξT=(R)UT（由于假设XT=YT）。假设“Uk+1=Uk+1”。让我们证明“Uk=Uk”。我们注意到，ξk=？ξkon在集合{u=k}c上。这一观察、诱导假设和Uk和'Uk的定义导致了集合{u=k}c上的等式Uk=？Uk。它仍然表明，等式在集合{u=k}上也是成立的。