最优停止与离散时间非零和Dynkin对策

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英文标题：
《Optimal stopping and a non-zero-sum Dynkin game in discrete time with
  risk measures induced by BSDEs》
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作者：
Miryana Grigorova, Marie-Claire Quenez (LPMA)
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We first study an optimal stopping problem in which a player (an agent) uses a discrete stopping time in order to stop optimally a payoff process whose risk is evaluated by a (non-linear) $g$-expectation. We then consider a non-zero-sum game on discrete stopping times with two agents who aim at minimizing their respective risks. The payoffs of the agents are assessed by g-expectations (with possibly different drivers for the different players). By using the results of the first part, combined with some ideas of S. Hamad{\\`e}ne and J. Zhang, we construct a Nash equilibrium point of this game by a recursive procedure. Our results are obtained in the case of a standard Lipschitz driver $g$ without any additional assumption on the driver besides that ensuring the monotonicity of the corresponding $g$-expectation.
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中文摘要：
我们首先研究了一个最优停止问题，其中一个参与者（一个代理）使用一个离散的停止时间来最优地停止一个支付过程，该过程的风险由一个（非线性）g$-期望来评估。然后，我们考虑一个关于离散停止时间的非零和博弈，两个代理的目标是最小化各自的风险。代理人的报酬由g-期望进行评估（不同的参与者可能有不同的驱动因素）。利用第一部分的结果，结合S.Hamad{` e}ne和J.Zhang的一些思想，我们通过递归过程构造了该博弈的纳什均衡点。我们的结果是在标准Lipschitz驱动程序$g$的情况下得到的，除了确保相应的$g$-期望的单调性外，没有对驱动程序进行任何额外的假设。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Optimal_stopping_and_a_non-zero-sum_Dynkin_game_in_discrete_time_with_risk_measu.pdf (306.59 KB)

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关键词：Dynkin 离散时间 Applications Differential Quantitative

由BSDEsMiryana Grigorova诱导的具有风险测度的非零和Dynkin对策的最优停止*Marie Claire Quenez+这是一篇文章的预印本，其最终和定义形式已在《科学：概率与随机过程国际杂志》第89卷第1期第259-279c页上发表【2017】【版权所有：Taylor&Francis】；可通过以下网址获取随机信息：http://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/17442508.2016.1166505第一版：2015年8月21日接受日期：2016年3月13日在线发布日期：2016年4月1日摘要我们首先研究了一个最优停止问题，其中玩家（代理人）使用一个特定的停止时间，以最优停止由（非线性）g预期评估风险的支付过程。然后，我们考虑一个关于离散时间的非零和博弈，两个代理的目标是最小化各自的ris-ks。a-gents的薪酬由g-expectations进行评估（对于不同的参与者，可能有不同的驱动因素）。利用第一部分的结果，结合S.Hamadène和J.Zhang的一些思想，我们通过递归过程构造了该博弈的纳什均衡点。我们的结果是在标准Lipschitzdriver g的情况下获得的，没有对驱动程序进行任何额外的假设，以确保相应g-期望的单调性。关键词：最优停止、非零和Dynkin博弈、g-期望、dynamicrisk测度、g-ame期权、纳什均衡1 Bimit Bimit（1976）、Bimit（1973）（在线性情况下）提出的介绍，Pardoux和Peng Pardoux和Peng（1990）在其开创性论文中进一步发展了倒向随机微分方程理论（简称BSDE）。

BSDEs理论*（通讯作者）柏林洪堡大学数学研究所+巴黎迪德罗塔大学概率与模型实验室在金融领域发现了许多应用，其中包括欧洲期权定价与对冲、递归效用、风险度量。BSDE引入了一个称为g条件期望的算子家族，该家族在（非线性）动态风险度量的文献中被证明是有用的（参见，例如Peng（2004），Rosazza Gianin（2006））。我们重新调用时间t的g-条件表达式∈ [0，T]（其中T>0是固定的时间范围，g是Lipschitz驱动因素）是将给定的终端条件ξ（其中ξ是一个平方可积随机变量，可相对于信息时间T进行测量）映射到具有参数（g，ξ）的BSD解的（第一个分量）在时间T的位置的运算符。该运算符由Egt、T（·）表示。运算符Eg0，T（·）称为dg期望。另一方面，Dynkin在Dynkin（1969）的离散时间框架中引入了零和Dynkin对策。从那时起，无论是在离散时间还是在连续时间，零和Dynkin博弈都有很多贡献（参见Bimit（1977）、Neveu（1972）、Alario Nazaret et al.（1982）、Lepeltier和Maingueneau（1984））。Kifer在Kifer（2000）中提出的博弈期权（也称为asIsraeli期权）的定价问题给出了一个突出的财务示例。与零和情况相比，关于非零和情况的研究较少。我们可以在连续时间设置中引用Hamadène和Zhang（2010）、Laraki和Solan（2013）、Hamadène和Hassani（2014），在离散时间设置中引用Morimoto（1986）、Ohtsubo（1987）、Shmaya和Solan（2004）、Hamadène和Hassani（2014）。

关于零和和和非零萨姆金游戏的最新调查，读者请参考Kifer（2013）。在上述所有参考资料中，球员的薪酬是通过“经典”数学期望来评估的。近年来，一些作者（参见Dumitrescu et al.（2013）和Bayraktar and Yao（2015））考虑了连续时间内的“广义”Dynkin博弈，其中“经典”期望被更一般（非线性）的泛函所取代。所有这些扩展都限于零和情况。在本论文中，我们讨论了一个具有两个“塞子”的博弈问题，这两个塞子的利润（或报酬）是通过非线性动态风险度量来评估的，目的是最小化他们的风险。更具体地说，下面的情况是我们感兴趣的：我们得到了两个适配过程X和Y以及X≤ Y和XT=YTa。s、 我们在离散时间内考虑一个博弈选项，即两个“阻止者”（卖方和买方）之间的合同，他们只能在给定时间0=t<t<…<tn=T，其中n∈ N、 因此，这两个代理只能在网格{t，t，…，tn}中的值的离散停止时间中选择他们的策略。我们用Td0表示这组停止时间。回想一下，游戏选项赋予买方在任何（离散）停止时间τ行使的权利∈ Td0，t卖方有权在任何（离散）停车时间τ取消∈ Td0，T。在财务方面，我们可以说卖方的取消策略和买方的行使策略都是百慕大型的。如果买方在卖方取消之前的时间τ行使权利，则卖方向买方支付金额Xτ；否则，买方在终止时间τ从卖方收到金额Yτ。差异Yτ- Xτ≥ 0被解释为卖方在提前取消合同的情况下向买方支付的罚款。

总之，如果卖方选择取消时间τ，而买方选择行使时间τ，则前者向后者支付payoffi（τ，τ）：=XτI{τ≤τ} 时间τ时的+YτI{τ<τ}∧ τ。卖方在时间τ的付款∧ τ等于-I（τ，τ）。我们强调，我们在这里的目标不是确定博弈期权的“公平价格”（或“公平溢价”），而是确定与买卖双方风险最小化相关的博弈问题的“均衡”。假设卖方和买方以（可能）不同的方式评估其支付的风险。买方（代表卖方）的动态风险度量ρf（代表ρf）由BSDE和驱动程序f（代表f）导出。在负号之前，ρf（resp.ρf）对应于f-条件期望（resp.f-条件期望）家族。如果在时间0，买方选择τ作为行使时间，卖方选择τ作为取消时间，则买方（或卖方）在时间0的风险由ρf0，τ给出∧τ（I（τ，τ））=-Ef0，τ∧τ（I（τ，τ））分别。ρf0，τ∧τ(-I（τ，τ））=-Ef0，τ∧τ(-I（τ，τ））。每个代理人的目标是将其风险降至最低。我们感兴趣的是找到离散停止时间（τ）的“平衡”对*, τ*) 对于这个问题，即一对（τ*, τ*) ∈ Td0，T×Td0，T第一个代理人的风险在τ达到其最小值*当第二个策略固定在τ时*, 第二个代理的风险达到其最小值τ*当第一个策略固定在τ时*. 换句话说，我们正在寻找apair（τ*, τ*) ∈ Td0，T×Td0，Tsatisfyingmaxτ∈Td0，TEf0，τ∧τ*（I（τ，τ*)) = Ef0，τ*∧τ*（I（τ*, τ*))最大τ∈Td0，TEf0，τ*∧τ(-I（τ*, τ） ）=Ef0，τ*∧τ*(-I（τ*, τ*)).在博弈论术语中，上述博弈问题属于非零和类型，anda pair（τ*, τ*) 满足上述性质对应于该非零和博弈的纳什均衡点。

这个博弈问题可以看作是一个“广义”的非零sumDynkin博弈问题（“广义”一词指的是我们的问题涉及非线性期望而不是经典期望）。请注意，在f=f=0的平凡情况下，我们的博弈简化为经典的零和Dynkin博弈（具有经典预期）。我们还可以提到，我们可以很容易地将卖方和/或买方将各自的风险度量应用于他们的互联网收益（即支付减去游戏期权的初始价格）而不是他们的支付。如果期权的初始价格由x给出（其中x>0），则买方（对应卖方）在时间τ的净收益∧ τ由I（τ，τ）给出- x（分别为x- I（τ，τ））。我们使用类似于Hamadène和Zhang（2010）、Hamadène和Hassani（2014）以及Hamadène和Hassani（2014）的建设性方法，证明上述非零和Dynkin博弈问题存在一个纳什均衡平衡点。这种方法需要一些关于一个代理的最优停止的结果。因此，我们首先考虑以下一系列问题：V（tk）：=ess infτ∈Tdtk，Tρgtk，τ（ξτ）=-ess supτ∈Tdtk，TEgtk，τ（ξτ），对于所有k∈ 0，1，n、 （1）式中，Tdtk，Tdenotes是{tk，…，tn}中值的离散停止时间集，其中ξ是agiven平方可积适应过程。我们刻画了随机变量序列（V（tk））k∈Nvia一种向后递归构造。我们还证明了停止时间τ*:= τ*（tk）：=inf{t∈ {tk，…，tn}，V（t）=ξt}，属于Tdtk，t，在时间tk时对（1）是最优的。为了证明我们的结果，我们将鞅方法推广到离散时间的g-条件期望情况。

我们的结果是在没有任何额外假设的情况下建立的，除了确保相应的g-条件期望的单调性之外。特别是，对于所有y，y′，我们没有对g（即，假设g（t，0，0，0）=0）进行“基础性”假设，也没有对g进行凹凸性假设，也没有对y进行“独立性”假设（即，g（t，y，z，k）=g（t，y′，z，k）∈ R） ，有时会在文献中出现。对于一个代理的最优停止问题，其收益由非线性期望评估，已有大量研究。El Karoui和Quenez（1997）、Quenez和Sulem（2014）以及Grigorova等人（2015）考虑了问题（1）的连续时间版本。相关工作包括但不限于Bayraktar等人（2010）、Bayraktar和Yao（2011）。Kr"atschmeran和Schoenmakers在Kr"atschmer和Schoenmakers（2010）的例子2.7中介绍了问题（1）的离散时间版本，他们在比本文中所做的假设更强的驱动因素g下解决了问题。特别是，Kr"atschmer和Schoenmakers（2010）的作者需要g-期望的零一定律，以及所有T的性质Egt，T（ξ）=ξ，对于所有ξ平方可积FT可测。这两个属性不适用于一般的利普希茨驱动因素g。因此，Kr"atschmer和Schoenmakers（2010）的结果不适用于我们的框架；因此，我们使用不同的技术来研究问题（1）。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们设置了框架和符号。

第3节专门讨论一个玩家的最优停车问题。在3.1小节中，我们定义了离散时间g-（超）鞅的概念，并给出了它们的一些性质；在第3.2小节中，我们刻画了最优停止问题的值函数，并证明了最优停止时间的存在性。在第四节中，我们建立了两人非零和Dynkin博弈，并证明了纳什均衡的存在性。在第5节中，我们简要地评论了我们的结果可能存在的紧张关系。附录包含g-expectations（第a.1款）的有用属性，以及一些相关备注，以及第3.2节中的简单结果证明frameworkLet是一个固定的位置实数。设（E，K）是具有σ-有限正测度ν的可测空间。让(Ohm , F、 P）是一个（完全）概率空间，具有一维布朗运动W和具有补偿器dt的独立泊松随机测度（dt，de） ν（de）。我们用▄N（dt，de）表示补偿过程，即▄N（dt，de）：=▄N（dt，de）- dt公司 ν（de）。设F={Ft:t∈ [0，T]}是与W和N相关的（完全）自然过滤。我们使用以下符号：oL（FT）是一组可测量且平方可积的随机变量Lν是K-可测函数集l : E→ R使得klkν：=RE|l（e） |ν（de）<∞.

对于l ∈ Lν，k∈ Lν，我们定义hl, kiν：=REl（e） k（e）ν（de）。oH2，是一组实值可预测过程φ，使得kφkH2，T：=Eh（RT |φT | dt）i<∞.o H2，Tν是实值过程l的集合：（ω，T，e）∈ Ohm ×【0，T】×E 7→ lt（ω，e）∈ R哪些是可预测的，即（P K） -可测量，且KLKH2，Tν：=EZTkltkνdt< ∞.o S2，是一组实值RCLL适应的过程esД，使得ДS2，T：=E（supt∈[0，T]|ДT |）<∞.我们回顾BSDE理论中的以下术语。定义2.1（Lipschitz驱动程序，标准数据）如果以下两个条件成立，则称函数g为驱动程序：o（可测量性）g：Ohm ×[0，T]×R×Lν→ R（ω，t，y，z；l) 7.→ g（ω，t，y，z，l) 是P B（R） B（Lν）- 可测，其中P是上的可预测σ-代数Ohm ×[0，T]，B（R）是R上的Borelσ-代数，B（Lν）是Lν上的Borelσ-代数（可积性）Eh（RT | g（t，0，0，0）| dt）i<∞.如果存在常数K，则驱动器g称为Lipschitz驱动器（或标准Lipschitz驱动器）≥ 0，以便dP dt-a.e.，对于每个（y，z，l) ∈ R×Lν，（y，z，l) ∈R×Lν，| g（ω，t，y，z，l) - g（ω，t，y，z，l)| ≤ K（| y- y |+| z- z |+kl- lkν）。A pai r（g，ξ）表示g是Lipschitz驱动，ξ∈ L(Ohm, FT，P）称为一对标准数据或一对标准参数。设（ξ，g）为一对标准数据。与Lipschitz驱动器g、终端时间T和终端条件ξ相关的BSDE公式如下：Yt=ξ+ZTtg（s，Ys，Zs，ks）ds-ZTtZsdWs-ZTtZEks（e）~N（ds，de），用于t∈ [0，T]。（2） 我们记得，上述BSDE在空间s2，T×H2，T×H2，Tν中允许一个唯一的解三重态（Y，Z，k）。我们用Eg·，T（ξ）表示BSDE解的第一个分量（即（Egt，T（ξ））T∈[0，T]是S.Peng词汇表中ξ的g-条件求值族）。还回顾一下（参见，例如El Karoui et al.El Karoui et al。

（1997））如果终止时间由停止时间τ给出∈ T0，Tand如果ξ是Fτ-可测的，则与终端时间τ、终端条件ξ和Lipschitz驱动程序g相关的BSDE解定义为具有（固定）终端时间T、终端条件ξ和Lipschitz驱动程序gτ的BSDE解，由gτ（T，y，z，l) := g（t，y，z，l)I{t≤τ} 。因此，该解的第一个分量等于（例如τt，t（ξ））t∈[0，T]。在续集中，还用（Egt，τ（ξ））t表示∈[0，T]。在集合{t上有Egt，τ（ξ）=ξa.s≥ τ}。回想一下，T被解释为最终时间范围。对于每个T′∈ [0，T]和η∈L（FT′），我们设置ρgt，T′（η）：=-Egt，T′（η），0≤ t型≤ T′（3）如果T′代表给定的到期日和时间T′的财务状况，则ρgt，T′（η）被解释为时间T的η风险。函数ρg：（η，T′）7→ 因此，ρg·，T′（η）代表了BSDE与驱动因素g诱导的动态风险度量。为了确保ρg的单调性，即相对于财务状况的单调性，这是风险度量自然需要的，从现在起，我们假设驾驶员g满足以下假设（参见（Quenez和Sulem，2013，第4.2条，结合第3.2条）和其中的参考文献）。假设2.1假设dP 每个（y，z，l, l) ∈ R×（Lν），g（t，y，z，l) - g（t，y，z，l) ≥ hθy，z，l,lt，l- liν，其中映射θ：[0，T]×Ohm ×R×（Lν）→ Lν；（ω，t，y，z，l, l) 7.→ θy，z，l,lt（ω，·）是PB（R） B（（Lν））-可测量且满足dP dt公司 dν（e）-a.e.，对于每个（y，z，l, l)∈ R×（Lν），θy，z，l,lt（e）≥ -1.（4）此外，假设θ是一致有界的，在这个意义上，dP dt-a.e。