基于离散化的次临界Heston模型参数估计

实际上，用符号f（c，d，γ，δ）：=nXi=1（易- dYi公司-1.-c） +（Xi- xi-1.-γ- δYi-（1）, （c，d，γ，δ）∈ R、 我们有fc（c，d，γ，δ）=-2nXi=1（Yi- dYi公司-1.- c） ,，fd（c，d，γ，δ）=-2nXi=1Yi-1（易- dYi公司-1.- c） ,，fγ（c，d，γ，δ）=-2nXi=1（Xi- xi-1.- γ- δYi-1） ，则，fδ（c，d，γ，δ）=-2nXi=1Yi-1（Xi）- xi-1.- γ- δYi-1） 。因此，由f等于0的一阶偏导数组成的方程组表示“nPni=1Yi-1Pni=1Yi-1Pni=1Yi-1#！cdγδ=Pni=1YiPni=1Yi-1YiXn- xPni=1（Xi- xi-1） 易-1..这个imp位于（3.4），因为由f的二阶部分导数组成的4×4矩阵具有形式2i“nPni=1Yi-1Pni=1Yi-1Pni=1Yi-1#为正定义，前提是nPni=1Yi-1> （Pni=1Yi-1） 。事实证明，计算（c，d，γ，δ）的CLSE时，不需要知道参数σ，σ和.下一个引理确保了基于d iscr ete时间观测的（c，d，γ，δ）CLSE的唯一存在性。3.1引理。如果a∈ R++，b∈ R、 σ∈ R++，Y=Y∈ R+，然后f或所有n>2，n∈ N、 wehaveP公司nnXi=1Yi-1> nXi=1Yi-1.= 因此，假设α，β∈ R、 σ∈ R++， ∈ (-1，1），存在（c，d，γ，δ）的唯一CLSE（bcCLSEn，bdCLSEn，bγCLSEn，bδCLSEn），其形式为gi-venin（3.4）。证据通过简单计算，nnXi=1Yi-1.-nXi=1Yi-1！=nnXi=1易-1.-nnXj=1Yj-1.> 0，且等式成立，当且仅当i-1=nnXj=1Yj-1，i=1，n<==> Y=Y=···=Yn-1、然后，对于所有n>2，P（Y=Y=····=Yn-1） 6 P（Y=Y）=P（Y=Y）=0，因为Yi定律是绝对连续的，参见，例如，Cox等人【4，formu la 18】。注意引理3.1对所有b都有效∈ R、 也就是说，不仅仅是对于su B临界Heston模型。接下来，我们描述了（c，d，γ，δ）的CLSE的渐近行为。3.2 orem。

如果a、b∈ R++，α，β∈ R、 σ，σ∈ R++， ∈ (-1，1）和（Y，X）=（Y，X）∈R++×R，则（3.4）中给出的（c，d，γ，δ）的CLSE（bcCLSEn，bdCLSEn，bγCLSEn，bδCLSEn）是强一致且渐近正态的，即。，（bcCLSEn、bdCLSEn、bγCLSEn、bδCLSEn）a.s。-→ （c，d，γ，δ）as n→ ∞,和√nbcCLSEn公司- cbdCLSEn公司- dbγCLSEn- γbδCLSEn- δL-→ N（0，E）为N→ ∞,对于一些显式给定的对称正定义矩阵E∈ R2×2插入（3.14）。证据根据（3.4），我们得到“bcCLSEnbdCLSEn#=nXi=1“Yi-1#“易”-1个#-1nXi=1“Yi-1#易=nXi=1“Yi-1#“易”-1个#-1.nXi=1“Yi-1#“易”-1个#“cd#+nXi=1“Yi-1#“易”-1个#-1nXi=1“Yi-1#（彝语）- c- dYi公司-1） =“cd#+nnXi=1“Yi-1#“易”-1个#-1nnXi=1“Yi-1#εi，（3.5），其中εi：=Yi- c- dYi公司-1，我∈ N、 前提是nPni=1Yi-1> （Pni=1Yi-1） 。根据（3.1）和（3.3），E（Yi | Fi-1） =dYi-1+c，i∈ N、 因此（εi）i∈Nis是关于过滤（Fi）i的一系列鞅差∈Z+。通过（2.1），我们得到yi=e-bYi公司-1+aZii-1e级-b（一）-u） du+σZii-1e级-b（一）-u） pYudWu=dYi-1+c+σZii-1e级-b（一）-u） pYudWu，i∈ N、 因此，根据Karatzas和Shreve[12]中的命题3.2.10和（2.2），我们得到了（εi | Fi-1） =σE齐伊-1e级-b（一）-u） 俾德乌金融机构-1.= σZii-1e级-2b（一）-u） E（Yu | Fi-1） du=σZii-1e级-2b（一）-u） e类-b（u-i+1）易-1du+σZii-1e级-2b（一）-u） 阿祖伊-1e级-b（u-v） dv du=σYi-1尺寸-b（2-v） dv+σaZZue-b（2-v-u） dv du=：CYi-现在我们将定理2.5应用于平方可积的martin gale M（C）n：=Pni=1εi，n∈ N、 具有可预测的二次变化过程hM（c）in=Pni=1E（εi | Fi-1） =CPni=1Yi-1+Cn，n∈ N、 例如，见Shiryaev【16，第七章，第1节，公式（15）】。根据（2.5）和（2.7），hM（c）inna。s-→ CE（Y∞) + Cas号→ ∞,因为C，C∈ R++，hM（c）ina。s-→ ∞ 作为n→ ∞. 因此，根据定理2.5，（3.6）nnXi=1εi=M（c）nhM（c）inhM（c）inna。s-→ 0·（CE（Y∞) + C） =0为n→ ∞.同样，E（Yi-1εi | Fi-1） =易-1E（εi | Fi-1） =CYi-1+CYi-1，我∈ N、 并且，通过与之前基本相同的推理，nPni=1Yi-1εia。s-→ 0作为n→ ∞.

根据（2.5）和（2.7），nnXi=1“Yi-1#“易”-1个#-1=“nPni=1Yi-1nPni=1Yi-1nPni=1Yi-1个#-1a。s-→“1 E（Y∞)E（Y∞) E（Y∞)#-1（3.7）为n→ ∞, 我们使用E（Y）的地方∞) - （E（Y∞))=aσ2b∈ R++，因此，极限被定义为非奇异。因此，根据（3.5），（bcCLSEn，bdCLSEn）a.s。-→ （c，d）作为n→ ∞.此外，通过（3.4），“bγCLSEnbδCLSEn#=nXi=1“Yi-1#“易”-1个#-1nXi=1“Yi-1#（Xi）- xi-1） 哦=nXi=1“Yi-1#“易”-1个#-1.nXi=1“Yi-1#“易”-1个#\"γδ#+nXi=1“Yi-1#“易”-1个#-1nXi=1“Yi-1#（Xi）- xi-1.- γ- δYi-1） =“γδ#+nnXi=1“Yi-1#“易”-1个#-1nnXi=1“Yi-1#ηi，（3.8），其中ηi：=Xi- xi-1.- γ- δYi-1，我∈ N、 前提是nPni=1Yi-1> （Pni=1Yi-1） 。根据（3.1）和（3.3），E（Xi | Fi-1） =Xi-1+δYi-1+γ，i∈ N、 因此（ηi）i∈Nis是一系列与过滤（Fi）i相关的可分割差异∈Z+。