线性信用风险模型

通过在[bmin，bmax]上10点的规则网格上取Payoff函数和多项式近似值之间的最大距离来近似误差界。我们注意到切比雪夫方法的误差界在福列尔-勒让德方法的误差界附近振荡。这似乎是由于随着切比雪夫节点的变化，Payoff扭结周围的多项式近似精度发生变化所致。请注意，误差界在实践中通常是不严格的，如以下定价应用程序所示，其中定价误差远低于误差界，至少对于n≤ 图7显示了价格近似值作为多项式阶数的函数，最大n=30。使用傅立叶-勒让德方法，价格近似值迅速稳定，因此使用前n=10矩的价格近似值在某个基点上似乎是准确的。另一方面，切比雪夫方法的价格近似值表现出较大的波动。图7还显示，在标准桌面上计算价格近似值只需几分之一秒。请注意，几乎所有的CPU时间都用于计算动量Z（t，tM，k）。我们记得，LHC模型的波动性参数σ不会影响CDS价差，因此可以用于改进CDS和CDS期权的联合校准。我们在图8的左面板中对此进行了说明，其中CDS期权价格显示为不同履约价差的波动性参数的函数。正如所料，期权价格是波动率参数的递增函数。图8的右侧面板还显示，xH对CDS期权价格的影响几乎是线性的。注意多项式基的维数1+m+nn当展开阶n和因子数1+m都很大时，这就成为编程和计算的挑战。

例如，对于n=20和1+m=2，基的维数为231，而当1+m=4时，基的维数为10’626。在实践中，我们成功地在标准台式计算机上实现了1+m=4和n=50的示例，在这种情况下，基维数为316’251.4.3 CDIS选项价格。我们讨论了通过齐次投资组合上CDISoption的切比雪夫多项式逼近Payoff函数。设Nt=PNi=0{τi≤t} 表示时间t前违约的公司数量。考虑同质投资组合上的CDIS期权，使Sit=a>YT，alli=1，N、 从命题2.12可以看出，CDIS期权的时间t价格由vcdiso给出（t，t，tM，k）=e-r（t-t） NN型-NtXj=0E（五）*（j，t，tm））+q（j，t，t）英尺有条件支付sV*（j，t，tm）=ja>Ytψcds（t，t，tm，k）>YtXt公司+ （1）-δ） （N）- j） 条件概率q（j，t，t）=N- Ntj公司（a>Yt）j（a>Yt- a> Yt）N-Nt公司-j（a>Yt）N-Nt（45），与现在的求和最大包含N+1项的显著不同，因为这些项是对称的，因此可以互换。定义随机变量y（t）=a>y和X（t，tM，k）=ψcds（t，t，tM，k）>YtXt公司.然后，CDIS期权价格重写svcdiso（t，t，tM，k）=E[f（Y（t），X（t，tM，k））| Ft∨ 其中，二元支付函数f（y，x）由f（y，x）=e给出-r（t-t） N（a>Yt）N-Nt公司（1）- δ） N（a>Yt- y） N个-Nt+N-NtXj=1N- Ntj公司（j x+y（1- δ） （N）- j） ）+yj-1（a>Yt- y） N个-Nt公司-j.（Y（t），X（t，tM，k））的Ft条件矩可以用引理4.4中类似的方法递归计算。Payoff函数f（y，x）可以使用切比雪夫多项式和节点（见附录C）或使用其二维傅里叶-勒让德级数表示法进行近似。4.4 CDIS分期付款pricingAs在第4.3节中，我们考虑了同质投资组合，以便所有i=1，…，Si=a>Y，N

在这种情况下，可以导出（18）的更简单表达式Q[Nu=j | F∞∨ Gt]=Q【N】- Nu=N- j | F∞∨ Gt]=q（N- j、 t，u）（46）对于u>t和j=Nt，N、 其中q（N- j、 t，u）定义如（45）所示。我们将附着点固定为Ka=na（1- δ） /N，分离点至Kd=nd（1- δ） /N，对于某些整数0≤ na<nd≤ N、 为简单起见，假设Nt≤ na，然后从（19）和（46）我们得到∞∨ Gt]=NXj=na+1（1- δ） 最小值（j- 不适用，不适用- na）Nq（N- j、 t，u）和，通过对u的区分，dE[Tu | F∞∨ Gt]du=NXj=na+1（1- δ） 最小值（j- 不适用，不适用- na）N×N- NtN公司- j（a>Yu）N-j-1（a>Yt- a> Yu）j-Nt公司-1（a>Yt）N-Nt×（N）- j） a>年初至今- （N）- Nt）a>Yua> （c Yu+γXu）对于任何u>t。因此，原则上，可以使用力矩公式（33）计算（16）中的保护和高级支腿。5扩展我们提供了几个提供附加功能的模型扩展。我们首先构建多名称模型，然后包括可能与信贷利差相关的随机利率，并通过讨论跳跃和随机时钟得出结论，以产生同时违约。5.1多名称模型我们以大型强子对撞机模型为基础，构建具有相关违约强度的多名称模型，该模型可以轻松容纳新因素和公司的加入。这种方法可以应用于其他线性信用风险模型，只要它们属于多项式模型。我们考虑n个独立的LHC过程（Y，X），（Yn，Xn）（47），其中每个（Yj，Xj）的定义如（21）–（22）所示。我们定义了叠加过程Y=（Y，…，Yn）与Y=1，X=（X，…，Xn）与X∈ [0，1]m=Pnj=1mj的地方。我们表示（Y，X）的状态空间。设h=（h，…，hn）为Rn+-值过程，其j-th分量由hjt=γj>XjtYjt，t给出≥ 0（48），其中向量γj∈ Rmjis Yj的漂移参数，见（21）。线性构造。企业的生存过程i=1。

，N可定义为（1），对于某些向量ai，Si=a>iY∈ Rn+满足a>1=1。对应的默认强度λiof firm i适用于所有t≥ 0由h的加权和给出，即λit=wit>ht，随机权重为jt=aijYjt/Sit>0，满足pdj=1wijt=1。多项式构造。确定d度，并确定每个企业的生存过程i=1，N x Sit=所有t的pi（Yt）≥ 0，对于某些多项式pi（y）∈ Pold（[0，1]n），其在[0，1]n上为正，分量不递增，因此pi（1）=1。设Hd（y，x）为Pold（E）的多项式，其叠加在行向量中，形式为Hd（y，x）=（Hd（y），H*d（y，x）），其中Hd（y）本身是Pold的多项式基（[0，1]n）。然后，企业i的生存过程重写Si=a>iy，其中有限变量过程Y=Hd（Y），因子过程X=H*d（Y，X），其中向量ai由等式pi（Y）=Hd（Y）ai给出。根据多项式性质，过程（Y，X）具有线性漂移，如（2）–（3）所示，参见（Filipovi\'c和Larsson 2017，定理4.3）。（Y，X）漂移的具体值取决于多项式基Hd（Y，X）的选择。示例5.1对于某些α，取p（y）=yα=Qni=1yαii∈ Nn，则隐含违约强度为（48）中定义的加权和λt=α>HTA。与线性结构中的随机权重相反，权重是恒定的。备注5.2 Hd（y，x）的尺寸为d+n+md并且可能很大，这取决于m+n和d的值。然而，考虑到（47）中的对（Yit，Xit）是独立的，（Yu，Xu）中单项式的条件期望重写了sehnyi=1（Yiu）αi（Xiu）βiFti=nYi=1Eh（Yiu）αi（sui）βiFti，u>t，对于某些αi∈ N和βi∈ Nmj对于所有i=1，n

因此，为了计算债券和CDS价格，我们只需要考虑总维数等于toPni=1的n个独立多项式基d+1+中.5.2随机利率我们包括可能与信贷利差相关的随机利率。我们表示贴现过程Dt=exp(-RTRSD），用于t≥ 0，其中rsi是时间s的短期利率值。我们为一些向量ar指定d=a>rY∈ 注册护士。这类似于企业生存过程的规定，但我们不要求D是非递增的。也就是说，我们允许负利率。我们遵循第5.1节的规定，将H（y，x）作为Pol（E）的多项式基础，定义了一个新的线性信贷风险模型（y，x）=（H（y），H*（Y，X）），其线性漂移由矩阵a给出，如（5）所示。命题5.3定价公式（6）、（7）和（9）也适用于使用向量ψZ（t，tM）>=a> ZeA（tM-t） 其中，向量aZis由H（y）>aZ=（a>ry）（a>y）和向量ψD（t，tM）>=a>DZtMteA（s）给出-t） ds，ψD*（t，tM）>=a>DZtMts eA（s-t） ds，其中向量aDis由H（y，x）aD=（a>ry）给出(-a> （cyγx））。在实践中，可以考虑严格小于H（y，x）的基，如下例所示。例5.4考虑两个独立的LHC过程（Yj，Xj），j的mj=1∈ {1，2}，并考虑以下线性信用风险模型，其中随机利率为，Dt=Yt，St=νYt+（1-ν） Yt，对于所有t≥ 0，对于某些参数ν∈ （0，1）。债券和CDS价格的计算只需要子基（y，x）=yyy年, H（y，x）=YXYXYXXX,其总尺寸为dim（（H（y，x），H（y，x））=7<dim（Pol（E））=15。过程的漂移项（H（Y，X），H（Y，X））isA=0 0 -2γ0 0 0 0 00 0 0-γ-γ0 0b0β0 0-γ0 b0β0 0-γ0 b0 0β0σ0 2b- σ0 0 0 2β0 0 0 0 bb0β+β其中，下标表示LHC模型标识。

此基础中的定价向量区域z=ν 1 - ν和aD=0 0 -ν γ-（1）- ν） γ0 0 0.5.3跳跃和同时违约有两种方法可以将跳跃纳入生存过程动态，这可能导致多家公司同时违约。第一种方法是让Y的鞅部分由一个jump过程驱动，以便多个生存过程可以同时跳跃。第二种方法是让时间以随机时钟向前跳跃的方式运行，从而在因子和生存过程中产生同步跳跃。生存过程仍如（1）所述，但这些因素是LHC过程的延伸，如下所示。为简单起见，我们讨论了（21）中的唯一对（Y，X），其参数γ、β、B满足（24）–（25）。设Z是具有L'evy测度νZ（dζ）和漂移bZ的非减量L'evy过程≥ 独立于布朗运动W和均匀随机变量SU，联合国。跳跃扩散模型。假设Zt公司≤ 所有t均为1≥ 0.我们定义了具有跳跃的THLHC模型的动力学，如下所示YtXt公司=-c-γ>- δ> E[Z]bβ- diag（ν）E[Z]年初至今-Xt公司-dt公司+∑（Yt-, Xt公司-)载重吨-c年初至今-+ δ> Xt公司-诊断（ν）Xt-dNtwith由Nt=Zt给出的鞅N- E[Z]t代表t≥ 0，对于某些c>0，δ∈ Rm+，和ν∈ Rm+使得c+δ>1<1，c+δ>1≤ νi≤ 1，i=1，m（49）和νi<1如果（26）适用，i=1，m（50）条件（49）–（50）确保进程始终在其状态空间内跳跃。请注意，同一过程Z可以影响多个LHC过程的动力学（Yi，Xi）。随机时钟。我们考虑时变过程（\'Yt，\'Xt）t≥0=（YZt，XZt）t≥0将直接输入（1）而不是（Yt，Xt），其因子动态由以下公式给出年初至今下半年=\'\'A“Yt”Xtdt+dM'YtdM'Xt！式中，（m+n）×（m+n）-矩阵“A”现在由“A=bZA+Z”给出∞（eAζ- Id）νZ（dζ）（51），矩阵A如等式（5）所示，见（Sato 1999，第6章）和（Filipovi\'c和Larsson 2017，定理6.1）。

时变LHC模型仍然是一个线性信用风险模型。背景过滤F现在是过程的自然过滤（YZ，XZ）。表示ψ（·）由E[exp]定义的Z的拉普拉斯指数(-uZt）]=经验值(-tψ（u））。以下命题表明，矩阵可以以闭合形式计算。命题5.5假设A=UDU-1式中，U为酉矩阵，D为带非正项的对角矩阵，则“a=-Uψ(-D） U型-1、在某些情况下，“A”的表达式很简单，不需要对矩阵A进行分解，如下例所示。示例5.6设Z为γ过程，使得νZ（dζ）=γZζ-1e级-对于某些常数λZ，γZ>0和bZ=0，λZζdζ。如果矩阵A的特征值具有非正实部，则时变过程的漂移（YZ，XZ）等于'A=-γZlogId号-Aλ-1Z（52）如附录A所示。我们感谢一位匿名裁判提出这一结果。从独立的LHC模型构建的生存过程可以使用相同的时钟Z进行时间更改，以便同时生成默认值，从而产生默认相关性。请注意，利用时间变化产生累积风险或生存过程的同时跳跃的想法并不新鲜，例如，关于早期贡献，请参见（Mendoza Arriaga和Linetsky 2016），其中开发了同时违约的多名称统一信贷权益模型。备注5.7可以使用（Li、Li和Mendoza-Arriaga2016）中所示的附加从属项，以增加模型的灵活性。这些从属关系取决于时间，因此可能有助于改善期限结构，但代价是引入额外的参数。

在这种情况下，因子过程的漂移（‘Y，’X）保持线性，但（51）中的矩阵‘A’可能与时间有关，并且可能没有封闭形式的表示，这反过来会导致较高的计算成本。6结论线性信用风险模型种类丰富，提供了新的建模可能性。生存过程及其漂移在因子过程中是线性的，因子过程的漂移也是线性的。因此，可违约债券、信用违约掉期（CDS）和信用违约指数掉期（CDISs）的价格成为因素中的线性理性表达式。我们介绍并研究了单名线性超立方体（LHC）模型，该模型由具有二次微分函数的离散因子过程组成，并在紧凑的状态空间中取值。这些特征被用于开发高效的欧洲期权定价方法。在LHC模型的基础上，我们构建了简洁且通用的多名称模型。通过构造类似于生存过程的贴现过程，该设置可以适应与信用利差相关的随机利率。因子动态中的跳跃以及随机时钟可用于生成同时的默认值。实证分析表明，LHC模型可以再现复杂的CDS结构动力学。我们通过数值验证，对于LHC模型，不同货币条件下的CDS期权价格可以精确近似。我们还表明，同质投资组合上的CDIS期权价格和份额价格可以用相同的方法近似。

未来的研究方向包括开发有效的算法来为多名称信用衍生品定价，以及对单名称和多名称信用合约的联合实证研究。证明本附录包含正文中所有定理和命题的证明。（4）证明如下（Filipovi\'c、Larsson和Trolle 2017，引理3）。示例2.3的证明自治过程X允许采用以下值的解决方案[-e-t、 e类-t] 在时间t时 > 0和X∈ [-1，1]当且仅当κ>, 参见（Filipovi\'c和Larsson 2016，定理5.1）。Y的两个坐标的下界是X。实际上，对于i=1，2，我们有dyit=-（Yit±Xt）dt≥ -（Yit+e）-t） DTDZT的解=-(/2） （Zt+e-t） Z=1的dt由Zt=e给出-t、 t型≥ 0，这证明Yit≥ Zt公司≥ |Xt |对于i=1，2。最后，通过应用Ito引理，我们得到了dHλ，λit=-σ（e-t型- Xt）（e-t+Xt）Y1tY2t，t≥ 0，为负，概率为正。λiis的动力学由dλit=(/（4）±（1-2κ/)（下/下）+（下/下）dt±dMit=(/2） （1）- 2κ/)（λit- /2） +（λit- /（2）dt±dMitwhere dMit= σ/（2Yit）p（e-t型- Xt）（e-t+Xt）dWt和κ>. λihas的二次漂移为两个正根，κ和/2，在0处为正，在0处为负. 自κ>, 这表明λimean向/2表示i=1，2。命题2.4的证明命题2.4是（4）和以下引理的直接结果。引理A.1设Y为非负F∞-可测量的随机变量。任何时候t≤ tM<∞,E{τ>tM}Y燃气轮机={τ>t}StE【StMY | Ft】。请注意，tM<∞ 除非我们假设∞= 引理A.1源自（Bielecki和Rutkowski 2002，推论5.1.1）。为了方便读者，我们在这里提供了其证明的草图。

正如（Bielecki和Rutkowski 2002，Lemma5.1.2）所示，对于任何非负随机变量Z，我们可以得到{τ>t}ZHt公司∨ 英尺={τ>t}钢{τ>t}Z英尺.设置Z={τ>tM}Y我们现在可以{τ>tM}Y燃气轮机= E{τ>t}Y{τ>tM}燃气轮机={τ>t}钢{τ>tM}Y英尺={τ>t}钢E{τ>tM}F∞Y英尺={τ>t}StE【StMY | Ft】。命题2.5的证明随后的证明建立在以下引理的基础上，引理来自（Bielecki和Rutkowski2002，命题5.1.1）。引理A.2设Z为有界F-可预测过程。对于任何t≤ tM<∞,E{t<τ≤tM}Zτ燃气轮机={t<τ}StZ（t，tM]E[-祖德苏|英尺]。请注意，tM<∞ 除非我们假设∞= 我们现在可以继续证明命题2.5。或有现金流的价值由表达式cd（t，tM）=Ehe给出-r（τ-t） {t≤τ≤tM}通过应用引理A.2，我们得到cd（t，tM）={τ>t}StZtMtEh-e-r（s）-t） 决策支持系统Fti={τ>t}StZtMte-r（s）-t） 呃-a> （cYs+γXs）Ftids={τ>t}StZtMte-r（s）-t）- a>cγeA（s）-t）YtXt公司其中第二个等式来自以下事实：-rudMSuis是鞅。第三个等式来自（4）。推论证明2.6该或有债券的价值由CD给出*（t，tM）=Ehτe-r（τ-t） {t<τ≤tM}Gti={τ>t}StZtMtEh-s e公司-r（s）-t） 决策支持系统fti的结果如下，证明命题2.5。引理2.8的证明观察到，对于任何矩阵A和实r，我们都有ereA=ediag（r）+A，并且矩阵指数积分可以用以下闭式计算：zueasds=Zu（I+as+as+…）ds=Iu+Au+Au+…=A.-1（eAu- 一） 。通过变量u=s的变化- 我们获得了ztmsea*（s）-t） ds=ZtM-tueA公司*udu+tZtM-茶叶*udu，其中RHS上的第二项在引理2.5中给出。第一项可通过partsZtM的集成推导-tueA公司*udu=（tM- t） A-1.*eA公司*（tM）-t）- A.-1.*A.-1.*（eA）*（tM）-t）- 一） 。命题2.9的证明第2.4条和第2.5条分别对保护腿和试片部分Viprot（t，t，tM）和Vicoup（t，t，tM）进行了计算。