使用当前提款的风险规避部分交易

，M}这样TWR`*（f，ω）=max1≤`≤MTWR`（f，ω）>1，（5.1），其中`*该属性应为最小值。根据定义，很容易看到SD（M）cur（f，ω）=（log TWRM`*+1（f，ω），如果`*< M、 0，以防`*= M、 （5.2）andR（M）（f，ω）=（log TWR`*（f，ω），如果`*≥ 1,0，如果`*= 0。（5.3）正如在第4节中，我们立即得到D（M）cur（f，ω）+R（M）（f，ω）=Z（M）（f，ω），因此定理4.2：推论5.3。对于f∈ [0，1）E（D（M）cur（f，·））+E（R（M）（f，·））=M logΓ（f）（5.4）成立。同样，关于D（M）curand R（M）的期望值的显式公式也很有趣。通过定义和（5.2）E（D（M）cur（f，·））=M-1X`=0Xω∈Ohm（M）`*（f，ω）=` P（{ω}）·log TWRM`+1（f，ω）（5.5）在继续计算之前，我们需要讨论`*= `*（f，ω）对于某些固定ω。根据定义5.2，如果`*≥ 1、我们有TWR`*k（f，ω）>1，对于k=1`*（5.6）自2013年以来使用当前提款的风险规避部分交易`*是第一次加满，如果`*< MTWRk`*+1（f，ω）≤ 1表示￠k=`*+ 1.M、 （5.7）例如，对于所有非常小的f>0，最后一个不等式可以重新表述为asTWRk`*+1（f，ω）≤ 1.<==> 对数TWRk`*+1（f，ω）≤ 0<==>kXj=`*+1日志1+ftωj^t≤ 0<==>kXj=`*+1tωj≤ 0（5.8），类似于引理4.5。类似的一个终点WR`*k（f，ω）>1，对于所有f>0非常小的值<==>`*Xj=ktωj>0。（5.9）我们现在可以说明当前缩编预期的主要结果。定理5.4。让交易系统如设置4.1所示，具有固定的N，M∈ N应给出。然后，对于所有非常小的f>0，以下情况适用：E（D（M）cur（f，·））=D（M）cur（f）：=NXn=1MX`=0∧（`，M，N）N！·日志1+ftn^t（5.10）其中∧（M，M，N）N：=0，对于`∈ {0，1，…，M- 1} 常数∧（`，M，N）N≥ 0由∧（`，M，N）N定义：=Xω∈Ohm（M） 对于k=1，…，Pj=ktωj>0`kPj=`+1tωj≤0表示▄k=`+1，MP（{ω}）·#{ωi=n|i≥ ` + 1} 。（5.11）证明。

从（5.5）开始，我们得到（D（M）cur（f，·））=M-1X`=0Xω∈Ohm（M）`*（f，ω）=` P（{ω}）·MXi=`+1log1+ftωi^t14 S.MAIER PAAPEand by（5.8）和（5.9），对于所有f>0的充分小（D（M）cur（f，·））=M-1X`=0Xω∈Ohm（M） 对于k=1，…，Pj=ktωj>0`kPj=`+1tωj≤0表示▄k=`+1，MP（{ω}）·MXi=`+1log1+ftωi^t=M-1X`=0Xω∈Ohm（M） 对于k=1，…，Pj=ktωj>0`kPj=`+1tωj≤0表示▄k=`+1，MP（{ω}）·NXn=1#{ωi=n | i≥ ` + 1} 日志1+ftn^t=NXn=1M-1X`=0∧（`，M，N）N·log1+ftn^t和（5.10），因为∧（M，M，N）N=0。同样的推理产生：定理5.5。在定理5.4的情况下，对于所有非常小的f>0E（R（M）（f，·））=R（M）（f）：=NXn=1MX`=0R（`，M，N）N！·日志1+ftn^t（5.12）保持，其中R（0，M，N）N：=0，表示`∈ {1，…，M}常数R（`，M，N）N≥ 0是给定值（`，M，N）N：=Xω∈Ohm（M） 对于k=1，…，Pj=ktωj>0`kPj=`+1tωj≤ 0表示▄k=`+1，MP（{ω}）·#{ωi=n|i≤ `}. （5.13）我们再次讨论例4.9中的掷骰子游戏。示例5.6。（2：1掷骰子游戏；M=3）与之前一样，N=2，pi=，t=-1，t=2和^t=1。损失t=-如果圆心显示尾部（T），且T=2对应头部（H），则会出现1。取决于`*= `*（f，ω）当f>0足够小时，我们得到以下贸易系列，利用`*第次投掷。（参见定义5.2）使用当前提款的风险规避部分交易15`*= 3： （H，H，H）；（H，T，H）；（T，H，H）。HenceR（3）n=R（3，M=3，n=2）n=（，对于n=1，对于n=2，始终∧（3）n=0）`*= 2： （H，H，T）；（T，H，T）。HenceR（2）n=（，对于n=1，，对于n=2，∧（2）n=（，对于n=1,0，对于n=2）`*= 1： （H、T、T）。HenceR（1）n=（0，对于n=1，，对于n=2，∧（1）n=（，对于n=1,0，对于n=2）`*= 0：（T，T，T）；（T，T，H）。HenceR（0）n=0和∧（0）n=（，对于n=1，对于n=2。因此pm=3`=0∧（`）=和pm=3`=0∧（`）=和定理5.4 yieldsE（D（M=3）cur（f，·））=log（1- f） +对数（1+2f）（5.14），对于所有f>0的小值。

类似地，从pm=3`=0R（`）=和pm=3`=0R（`）=和定理5.5我们得到了（R（M=3）（f，·））=log（1- f） +对数（1+2f）（5.15），对于所有f>0的小值。备注5.7。定理5.4和5.5中的E（D（M）cur（f，·））和E（R（M）（f，·））的表示显然只适用于非常小的f>0。对于f>0不再小，这些期望值的公式自顶部位置起更改`*= `*（f，ω）变化。要了解这一点，请考虑ω=（H，T，H）对于上面的2:1掷骰游戏，但现在假设f∈ （0，1）如此之大，以至于最后一次H掷的增益不能补偿第二次掷的T掷的损失，即日志（1- f）> 日志（1+2f）。对于我们得到的f`*（f，ω）=1，这会立即产生不同的上升和当前下降期望值公式。同样，当前水位下降和上升的近似值非常精确，tof=0.6（见图4）。16 S.MAIER Paape图4:E（D（3）cur（f，·））和E（R（3）（f，·））的近似值（5.10）和（5.12）6使用当前提取的风险规避分数交易的最佳f现在我们将前面各节的结果汇总在一起。我们在定理4.2中看到，通常的最优f问题是最大化终端财富相对值Twr（f）=NYi=11+fti^t!= f最大值∈ [0，1）等于最大化e（Z（M）（f，·））=M logΓ（f）=M logNYi=11+fti^t1/N！=f最大值∈ [0，1），其中Z（M）（f，ω）=log（TWRM（f，ω）），t，…，tN∈ R{0}是所有以相同概率pi=N发生的交易。根据推论4.4，这等于最大化（U（M）（f，·））+E（D（M）（f，·））！=f最大值∈ [0，1）。该优化问题明显区分了机会（U（M）（f，ω）≥ 0）和风险（D（M）（f，ω）≤ 0）零件。

然而，厌恶提款的投资者可能不仅会关注下行日志序列D（M）（f，ω），还可能会关注当前的提款D（M）cur（f，ω），因为当前的提款在某种程度上是风险资产投资过程的一部分，每天都会“伤害”风险资产。正弦（M）cur（f，ω）≤ D（M）（f，ω）≤ 0（6.1）使用当前支取的风险规避分数交易17we提议对象（U（M）（f，·））+E（D（M）cur（f，·））！=f最大值∈ [0，1）（6.2）作为一个更具风险规避性的优化问题。从前面几节的讨论中，可以清楚地看到∈ Ohm（M） ，它为上述两个期望值的计算提供了非平凡的值，它确实依赖于f。因此（6.2）通常可能太难求解，至少对于M大。尽管如此，定理4.6和5.4给出了E（U（M）（f，·））和E（D（M）cur（f，·））的显式计算公式，这些公式适用于所有非常小的f>0。因此，我们建议作为maximizeNXn=1“U（M，N）N+MX`=0∧（`，M，N）N |{z}=：q（M，N）N=：qn的替代方案≥0·log1+ftn^t!= f最大值∈ [0，1）（6.3）希望f的qnyield不再小，仍然是（6.2）的良好近似值。幸运的是，问题（6.3）已经在第3节“解决”。推论6.1。对于设置4.1中的交易系统，N，M∈ 用qn=q（M，N）nNXn=1qn·log修复优化问题（6.3）1+ftn^t!= f最大值∈ [0，1）（6.4）具有唯一的解决方案f=fopt，D（M）cur∈ （0，1）如果PNN=1qntn>0，并且在PNN=1qntn的情况下，fopt，D（M）cur=0≤ 0.证明。设置q：=PNn=1qn>0和▄pn：=qnq。该主张源自定理3.2和andRemark 3.3。备注6.2。由于优化问题（6.3）是作为优化问题（6.2）的近似值导出的，对于f>0 small，小解fopt，D（M）cur可能是（6.2）解的很好近似值，因此我们希望通过掷骰子游戏明确区别：例6.3。

（2：1掷骰子游戏；M=3）使用N=2，pi=，t=-1，t=2和^t=1通常的最优f解wr（f）=（1- f） （1+2层）！=f最大值∈ [0，1）。由于这也是凯利公式的情况，凯利夫=p-qB（6.5）18 S.MAIER Paape对于赢B发生概率为p而输的游戏-概率q=1时出现1- p、 我们使用B=2和p=q=来获得fopt=fopt，KellyV==25%。从例4.9、（4.16）和例5.6、（5.14）我们已经知道（U（3）（f，·））=log（1- f） +对数（1+2f）和（D（3）cur（f，·））=对数（1- f） +日志（1+2f）。因此（6.3）相当于（1- f） +日志（1+2f）！=最大值<=>日志（1- f） +日志（1+2f）！=maxand再次使用Kelly公式（6.5），p=和q=得到fopt，D（3）cur=≈18%。图5:M=3和M=100的E（U（M）（f，·））+E（D（M）cur（f，·）），包括它们的近似。在图5中，我们可以看到M=3的优化问题（6.2）和（6.3）是完全等效的，甚至对于M=100，近似问题也是非常相似的。因此，（6.2）和（6.3）的解也应该接近。使用当前支取的风险规避分数交易19M 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 FOPT，D（M）CUR01667 01818 01739 01613 01839 01758 01685 01870 01802 01926M 20 25 30 40 60 70 80 90 100fopt，D（M）CUR01898 01980 02043 02094 02145 02197 02229 02258 02283 02302表1：示例6.3中2:1 tossgame中风险感知优化问题（6.3）的最佳分数。在表1中，我们看到了2:1掷骰游戏和一组选定的M值的最优解fopt，D（M）curof（6.3）。似乎随着M的增加，最优解接近最优方钻杆分数fopt，KellyV=25%。

因此，为了更好地规避风险，可以使用表1中的最小最优解，即接近16%=：fopt，cur DD。在本节的其余部分中，我们将模拟2:1 tossgame，以查看上述两个分数的差异。以下每个模拟都使用1000的起始资本，并独立绘制了10000个2:1投掷游戏的实例。在图6中，我们可以看到n=1，…，的对数权益曲线，10.000黑色，作为参考，预期的对数-权益线如图6所示：与fopt的2:1掷骰游戏的对数-权益曲线，KellyV=25%，与fopt相比，cur DD=16%，20 S。MAIER Paape显然，根据fopt，cur DD=16%，财富增长低于fopt，KellyV=25%，但减少是合理的。问题仍然是，风险意识战略的风险方面有多好。在图7中，我们看到当前相对下降（负值）的曲线图，显示为所谓的“血液曲线”。图7：fopt 2:1掷骰游戏的当前相对下降（负值），KellyV=25%vs fopt，cur DD=16%。可以看到fopt的最大相对下降，KellyV大约在-99%，而对于fopt，cur DDit接近-此模拟为95%。更重要的是-80%成为风险规避策略的罕见事件，而Kelly最优f策略的情况并非如此。查看相对下降的分布（见图8），这将变得明确。图8：采用fopt的2:1掷骰游戏的当前相对支取（正）分布，KellyV=25%vs fopt，cur DD=16%使用当前支取的风险规避分式交易217结论将分式交易的目标函数拆分为“风险”和“机会”部分，有可能引入新的更具风险意识的目标函数。

这是利用当前的支取进行的，并导致更具防御性的资金管理策略。然而，正如第6节中的模拟所示，即使是新的风险规避策略，对于用实际资金进行投资来说，也可能风险太大。另一种选择可能是在风险规避优化问题（6.2）中使用maximaldrawdown（在M笔交易中），而不是当前的提款。因此，对于最大水位下降，也需要与定理5.4类似的结果。这是否可能仍然是一个悬而未决的问题。到目前为止，这些策略只适用于单一资产组合。Vince[10]在其杠杆空间交易模型中引入了投资组合分馏交易理论。此外，Hermes[2]将分数交易的投资组合理论扩展到具有连续分布的交易结果。尽管如此，如何将风险规避策略用于同时交易许多不同资产的投资组合的问题仍然悬而未决。参考文献[1]T.Ferguson，加州大学洛杉矶分校统计部凯利有利比赛博彩系统。[2] A.Hermes，《分数交易的数学方法》，博士论文，亚琛RWTH马蒂克研究所（2016）。[3] J.L.Kelly，Jr.《信息速率的新解释》，《贝尔系统技术》。35:917-926, (1956).[4] Marcos Lopez de Prado、Ralph Vince和Qiji Jim Zhu，《有限投资期下的最优风险预算》，SSRN 2364092，（2013年）。[5] S.Maier–Paape，《最优分式交易的存在定理》，乌尔马蒂克研究所，亚琛RWTH，第67号报告（2013年）。[6] S.Maier–Paape，《最佳f和多元化》，国际技术分析联合会杂志，15:4-7，（2015年）。[7] Henry M.Markowitz，《投资组合选择》，FinanzBuch Verlag，（1991年）。[8] R。

Vince，《投资组合管理公式：未来、期权和股票市场的数学交易方法》，John Wiley&Sons，Inc.（1990）。[9] R.Vince，《货币管理数学，交易员风险分析技术》，威利金融版，约翰·威利父子公司（1992）。22 S.MAIER-PAAPE【10】R.Vince，《杠杆空间交易模型：协调投资组合管理策略和经济理论》，Wiley Trading，（2009）。[11] 拉尔夫·文斯（Ralph Vince）和齐吉·吉姆·朱（Qiji Jim Zhu），《投资规模的重要影响因素》，可查阅SSRN 2230874，（2013年）。[12] K.van Tharp，《van Tharp关于头寸规模的定义指南》，国际交易大师学会（2008年）。