使用当前提款的风险规避部分交易

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英文标题：
《Risk averse fractional trading using the current drawdown》
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作者：
Stanislaus Maier-Paape
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper the fractional trading ansatz of money management is reconsidered with special attention to chance and risk parts in the goal function of the related optimization problem. By changing the goal function with due regards to other risk measures like current drawdowns, the optimal fraction solutions reflect the needs of risk averse investors better than the original optimal f solution of Ralph Vince.   Keywords: fractional trading, optimal f, current drawdown, terminal wealth relative, risk aversion
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中文摘要：
本文重新考虑了货币管理的分式交易策略，特别关注了相关优化问题目标函数中的机会和风险部分。通过改变目标函数，适当考虑其他风险度量，如当前提款，最优分数解决方案比拉尔夫·文斯的原始最优f解决方案更好地反映了风险厌恶投资者的需求。关键词：分数交易、最优f、当前提款、终端财富相对、风险规避
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Risk_averse_fractional_trading_using_the_current_drawdown.pdf (1.19 MB)

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关键词：风险规避 Quantitative Optimization Applications Application

使用currentdrawdownStanislaus Maier PaapeInstitut f¨ur Mathematik，RWTH亚琛，Templergraben 55，D-52062亚琛的风险规避部分交易，Germanymaier@instmath.rwth-亚琛。2016年12月12日摘要本文考虑了货币管理的分式交易策略，特别关注相关优化问题目标函数中的机会和风险部分。通过改变目标函数，适当考虑其他风险指标，如当前提款，最优分数解决方案比Vince的原始最优f解决方案更好地反映了风险厌恶投资者的需求【8】。关键词分式交易、最优f、当前提款、终端财富相关、风险规避1简介货币和风险管理方面为投资策略提供了核心范围。除了马科维茨（Markowitz）的“现代投资组合理论”（modern portfolio theory），尤其是分式交易的方法是众所周知的。50年代，凯利（Kelly）[3]已经建立了一个渐近最优投资策略的标准。Kelly以及Vince[8]和[9]使用分数交易法来确定投资组合的头寸大小。在“固定部分交易”策略中，投资者总是希望在其交易策略的历史交易分布一定的情况下，将其当前资本的固定百分比用于未来投资。在第2节中，我们更详细地介绍了Kelly和Vince的方法，并介绍了这两种模型的常见推广。这两种方法都有一个共同点，即它们的目标函数（例如，TWR=“终端财富相对”）仅在长期内优化财富增长，而忽略了风险方面，如权益曲线的下降。在这一点上，我们的研究开始了。根据我们的一个结果（定理4.6和4.7），可以将文斯的目标函数分为“机会”和“风险”两部分，这两部分很容易通过简单的表示进行计算。

简单来说，通常的TWR目标函数现在采用对数机会-风险关系的期望形式日志chancerisk公司= E日志（机会）- E日志（风险）. （1.1）2 S.MAIER Paape此外，进一步的研究（见第5节）揭示了新风险度量预期的明确可计算代表性，即当前部分交易框架中的提取。话虽如此，现在似乎很自然地将（1.1）中的风险部分替换为当前支取的新风险度量，以获得分馏交易的新目标函数，从而更好地满足风险厌恶投资者的需求。该策略在第6节中进行了研究，包括这个新的风险厌恶最优分数问题的存在性和唯一性结果。正如Maier Paape[6]中的经验模拟所示（另见第6节中的模拟），这种风险规避策略之所以被迫切需要，是因为通常最优的f策略不仅会产生长期的最佳财富增长，而且还会产生不断减少的资金。显然，这个问题在贸易共同体中也得到了承认，在那里，最优f策略往往被视为“风险太大”（参见van Tharp[12]）。对这一问题的认识也引发了其他研究，以克服“过于冒险”的策略。例如，MaierPaape[5]证明了破产风险约束下最优分数的存在唯一性。de Prado、Vince和Zhu【4】也讨论了分数交易框架中的风险意识策略，Vince和Zhu【11】建议使用反映点来降低风险。

此外，迈尔·帕佩（MaierPaape）[6]针对凯利（Kelly）的情况确定的一个克服巨大下降的共同策略是多元化。2结合Kelly博彩和最优f理论在这仍然是介绍性的一节中，我们重新考虑了两种著名的资金管理策略，即Kelly博彩系统[1]、[3]和Vince的最优f模型[8]、[9]。我们在这里的目的不仅是介绍分拆交易的一般概念和符号，还想找到一个将两者都概括起来的超级模型（这并不明显）。所有分数交易概念都假设给定的交易系统提供一系列可复制的可盈利交易，并提出以下问题：哪种（固定的）分数∈ [0，1）流动资本的投资应确保从长远来看，相对于给定的目标函数，财富增长是最优的。这通常会在变量f中产生一个优化问题，其最优解将被搜索。Kellybetting和Vince的最优f理论都是这样表述的。设置2.1。（Kelly下注变体）假设交易系统Y有两个可能的交易结果：一个赢B>0，概率p，或者一个输-1，概率q=1- p、 交易系统应为可预测的，即预期收益应为正Y：=p·B- q>0。Kelly引入的目标函数是所谓的log–效用函数h（f）：=p·log（1+Bf）+q·log（1- f）！=最大值，f∈ [0，1）（2.1）使用当前提款3的风险规避分数交易，必须最大化。著名的凯利公式fKellyV=p-QB提供（2.1）的唯一解决方案。设置2.2。（文斯最优f模型）假设交易系统具有绝对交易结果t，田纳西州∈ R、 X至少给出一个负交易结果。

同样，交易系统应该是可配置的，即“X：=PNi=1ti>0”。作为目标函数，文斯引入了所谓的“终端财富相对”TWR（f）：=NYi=11+fti^t!= 最大值，f∈ [0，1），（2.2）其中，^t=max{| ti |：ti<0}>0是最大损失。当N个交易结果中的每一个都准确出现，并且每次都有一小部分流动资本面临新交易的风险时，TWR是中间财富和起始财富之间的因素。如何组合这些模型？以下设置是对这两个设置的概括：设置2.3。（通用TWR模型）假设交易系统Z具有绝对交易t，田纳西州∈ 给出了R，每个交易都是Ni∈ N次。同样，我们需要至少一个负交易和盈利能力，即NXi=1Niti>0。终端财富目标函数很容易适用于TWR（f）=QNi=11+fti^tNiwith^N：=Pi=1Ni。因为所有f的TWR（f）>0∈ [0，1）以下等价物向前延伸：TWR（f）！=最大值<=> 对数TWR（f）！=最大值<=>NXi=1Ni·log1+fti^t!= 最大值<=>NXi=1Ni^N·log1+fti^t!= 最大值<=> logΓ（f）！=最大值，其中Γ（f）=QNi=11+fti^tpi是加权几何平均值，对于i=1，…，pi=Ni^，N是相对频率。从这个意义上说，交易系统Z确实概括了交易系统Y和X。特别是，除了设置2.3之外，似乎很自然地在概率设置中使用概率pi假设的交易Ti来制定交易系统。这将在下一节（参见设置3.1）中完成，我们将给出相关优化问题的存在性和唯一性结果。4 S.MAIER-PAAPE3唯一最优fSetup的存在性3.1。假设交易系统Z的交易结果为t，田纳西州∈ R{0}，maximalloss^t=max{ti |：ti<0}>0，相对频率pi=Ni^N>0，其中Ni∈ Nand^N=PNi=1Ni。此外，Z应具有正期望值“Z：=E（Z）：=PNi=1 pIti>0”。定理3.2。假设设置3.1保持不变。

然后优化终端财富相对值br（f）=NYi=11+fti^tNi！=f最大值∈ [0，1]（3.1）具有唯一的解决方案f=fopt∈ （0，1），称为最优f.Proof。证明是沿着[5]中的“最优f引理”进行的：TWR（f）！=最大值<==> h（f）：=NXi=1pi·log1+fti^t!= 最大值<==> 0!= h（f）=NXi=1piti^t1+fti^t=NXi=1pibi+f=：g（f），其中ai：=ti^t∈ [-1.∞)\\{0}和bi：=ai∈ (-∞, -1]∪ （0，∞). 假设w.l.o.g订购了bi，bi=-1、然后bi+1>0。f 6的Sincepibi+fis严格单调递减=-bi，f 6的g（f）也是如此={-bi：i=1，N} 。这就产生了精确零f的存在性*共g英寸(-bi+1，1），并且由于g（0）=h（0）=^tPNi=1piti>0，我们有f*> 因此fopt=f*∈ （0，1）是（3.1）的唯一解决方案（见图1）。备注3.3。即使pi>0是概率，PNi=1pi=1且Γ（f）=NYi=1，定理3.2仍然成立1+fti^tpi！=f最大值∈ [0，1]。（3.2）即优化问题（3.2）也有一个最优f解。值得注意的是，到目前为止，结果根本没有使用概率论。使用当前提取的风险规避分数交易5图1：g的零产生fopt4随机提取交易的存在图4.1。假设交易系统的交易结果为t，田纳西州∈ R \\{0}，最大损失^t=最大{ti |：ti<0}>0。每个交易Ti的概率pi>0，Pni=1pi=1。随机独立绘制M∈ 此分布的N次结果为概率空间Ohm（M） ：={ω=（ω，…，ωM）：ωi∈ {1，…，N}}}和最终相对财富（对于分数f的分数交易）TWRM（f，ω）：=MYj=11+ftωj^t, f∈ （4.1）定理4.2。对于所有f，随机变量Z（M）（f，ω）：=log（TWRM（f，ω））具有期望值e（Z（M）（f，·））=M·logΓ（f）∈ [0，1），（4.2），其中Γ（f）=QNi=11+fti^tPi是持有期的加权几何平均数，所有f的回报HPRi：=1+fti^t>0∈ [0，1）。6秒。

MAIER PAAPEProof。情况M=1：这里Z（1）（f，ω）=log1+ftω^tandE（Z（1）（f，·））=NXi=1 pilog1+fti^t= 日志“NYi=11+fti^tpi#=logΓ（f）。感应步骤M- 1.→ M：使用P（{ω}）=P（M）（{ω}）=QMi=1pωiforω∈ Ohm（M） 和ω（M-1） ：=（ω，…，ωM-1） 我们得到（Z（M）（f，·））=Xω∈Ohm（M） P（{ω}）logMYj=11+ftωj^t!=Xω（M-1)∈Ohm（M）-1） NXωM=1P（M-1） （{ω（M-1） }）·pωM·“logM-1Yj=11+ftωj^t!+ 日志1+ftωM^t#=Xω（M-1)∈Ohm（M）-1） P（M-1） （{ω（M-1） }）·记录TWRM-1（f，ω（M-1） ）+NXωM=1pωMlog1+ftωM^t情况1=E（Z（M-1） （f，·））+logΓ（f）=通过归纳法得出的M·logΓ（f）。下一步，我们要将随机变量Z（M）（f，·）分解为机会和风险部分。由于TWRM（f，ω）>1对应于获胜的贸易系列tω，tωMandTWRM（f，ω）<1类似地对应于一个松散的贸易序列，我们定义了随机变量：定义4.3。Up-trade log系列：U（M）（f，ω）：=log（max{1，TWRM（f，ω）}）≥ 0。（4.3）向下交易对数系列：D（M）（f，ω）：=对数（min{1，TWRM（f，ω）}）≤ 0。（4.4）显然U（M）（f，ω）+D（M）（f，ω）=Z（M）（f，ω）。因此，通过定理4.2，我们得到推论4.4。对于f∈ [0，1）E（U（M）（f，·））+E（D（M）（f，·））=M logΓ（f）（4.5）持有。使用当前提取的风险规避分数交易7本节其余部分致力于为E（U（M）（f，·））和E（D（M）（f，·））。通过定义（U（M）（f，·））=Xω：TWRM（f，ω）>1P（{ω}）·log（TWRM（f，ω））。（4.6）假设ωω=（ω，…，ωM）∈ Ohm（M） ：={1，…，N}此时错误固定，随机变量x计算ωjare等于1的数量。即X（ω）=xif xofω中的ωj等于1。使用类似的计数随机变量X，XNweobtain计数xi≥ 0和thusX（ω）=x，x（ω）=x，XN（ω）=XN（4.7），显然lypni=1xi=M。因此，对于这个固定ω，我们得到了wrm（f，ω）=MYj=11+ftωj^t=NYi=11+fti^txi（4.8）因此，和（4.6）中ω的条件等于WRM（f，ω）>1<==> 对数TWRM（f，ω）>0<==>NXi=1xilog1+fti^t> 0

（4.9）为了更好地理解最后一个和，我们使用泰勒展开得到引理4.5。设实数^t>0，xi≥ 0，Pni=1xi=M>0，ti6=0，对于i=1，N应给出。那么以下情况成立：（a）PNi=1xiti>0<==> h（f）：=PNi=1xilog1+fti^t> 0表示所有足够小的F>0，（b）PNi=1xiti≤ 0<==> h（f）=PNi=1xilog1+fti^t< 0表示所有足够小的F>0。“证明。”=>“：一个简单的计算表明h（0）=^tPNi=1xitian和h（0）=-1^tPNi=1xiti<0，产生（a）和（b）的该方向，因为h（0）=0。”<=“：从上面我们可以得出结论，无论whatPNi=1xitiis，alwaysPNi=1xilog1+fti^t6=0，对于f>0非常小的保持。后向的主张现在随之而来的是矛盾。因此，使用引理4.5，我们可以将（4.9）TWRM（f，ω）>1重新表示为f>0足够小<==>NXi=1xiti>0。（4.10）在所有这些准备工作之后，我们现在可以陈述第一个主要结果。8 S.MAIER Paape定理4.6。让交易系统如设置4.1所示，具有固定的N，M∈ N应给出。那么，对于所有非常小的f>0，以下情况成立：EU（M）（f，·）= u（M）（f）：=NXn=1U（M，N）N·log1+ftn^t, （4.11）其中u（M，N）N：=X（X，…，xN）∈NNNPi=1xi=M，NPi=1xiti>0px··pxNN·Mxx···xN· xn公司≥ 0（4.12）和Mxx···xN=Mx！x！·····xN！是多项式系数。证据从（4.6）开始，使用（4.7）和（4.10），我们得到非常小的f>0E（U（M）（f，·））=X（X，…，xN）∈NNNPi=1xi=MXω：X（ω）=X，。。。，XN（ω）=xNNPi=1xiti>0P（{ω}）·logTWRM（f，ω）.因为有Mxx···xN=Mx！x···xN！许多ω∈ Ohm（M） 其中X（ω）=X，XN（ω）=XN我们进一步得到（4.8）E（U（M）（f，·））=X（X，…，XN）∈NNNPi=1xi=M，NPi=1xiti>0px··pxNN·Mxx···xNNXn=1xn·log1+ftn^t=NXn=1U（M，N）N·log1+ftn^t如所述。类似的结果适用于E（D（M）（f，·））。定理4.7。

在定理4.6的情况下，对于非常小的f>0E（D（M）（f，·））=D（M）（f）：=NXn=1D（M，N）N·log1+ftn^t, （4.13）保持，其中（M，N）N：=X（X，…，xN）∈NNNPi=1xi=M，NPi=1xiti≤0px··pxNN·Mxx···xN· xn公司≥ 0。（4.14）使用当前提款证明的风险规避分数交易。通过定义（D（M）（f，·））=Xω：TWRM（f，ω）<1P（{ω}）·logTWRM（f，ω）.定理4.6的证明中给出的参数同样适用，其中，我们使用引理4.5（b）代替（4.10），以获得所有f>0非常小时的wrm（f，ω）<1<==>NXi=1xiti≤ 0。（4.15）备注4.8。使用多项式分布x（x，…，xN）中的已知事实∈NNNPi=1xi=Mpx···pxNN·Mxx···xN= （p+…+pN）M=1紧随其后的是x（x，…，xN）∈NNNPi=1xi=Mpx···pxNN·Mxx···xNxn=pn·M，对于所有n=1，Nyielding（再次）与定理4.6和4.7E（U（M）（f，·））+E（D（M）（f，·））=NXn=1pn·M·log1+ftn^t= M·logΓ（f）。接下来，我们想把我们的理论应用到2:1掷硬币游戏中，在这个游戏中掷硬币。如果硬币露出头部，则赌注加倍，而如果硬币露出尾部，则赌注丢失。示例4.9。（2：1掷骰子游戏；M=3）这里N=2，pi=，t=-1，t=2和^t=1。在这种情况下（4.12），简单的toU（M，2）=MMXk=0k·t+（M-k） t>0Mk公司· k和U（M，2）=MMXk=0k·t+（M-k） t>0Mk公司· （M）- k） 。因此，对于f>0的情况，使用（4.11）表示，非常小（U（M）（f，·））=MMXk=0k·t+（M-k） t>0Mk公司[k对数（1+ft）+（M- k） log（1+f t）]10 S.MAIER Paapand analogouslyE（D（M）（f，·））=MMXk=0k·t+（M-k） t型≤0Mk公司[k对数（1+ft）+（M- k） log（1+f t）]从t=2和t=-1我们得到kt+（M- k） 仅当k=0和k=1时，t>0。因此（U（3）（f，·））=3个日志（1+2f）+（日志（1- f） +2对数（1+2f））=[3日志（1- f）+9 log（1+2f）]（4.16）和类似的（D（3）（f，·））=[9 log（1- f）+3对数（1+2f）]。（4.17）对于f>0，非常小。

在图2中可以看到，这些近似值在f=0.85时非常精确。图2:E（U（3）（f，·））和E（D（3）（f，·））及其近似值（4.11）和（4.13）风险规避分数交易使用当前提取115当前提取我们继续与交易t，田纳西州∈ R \\{0}和概率P，pNfrom Setup 4.1，随机独立抽取M∈ 该分布的N倍。接下来，我们要研究分数交易Wrm（f，ω）=MYj=1的最终财富相对值1+ftωj^t, f∈ [0, 1), ω ∈ Ohm（M） ={1，…，N}Mfrom（4.1），关于第M次提款后实现的当前提款。更一般地，在下面我们将使用twrnm（f，ω）：=nYj=m1+ftωj^t.这里的想法是，TWRn（f，ω）被视为时间n的离散“权益曲线”（f和ω固定）。当前水位下降对数系列是该权益曲线从曲线最大值到结束（时间M）的水位下降的对数。正如我们将在下面看到的，该系列是上升的计数器部分（参见图3）。图3：在左图中，绘制了TWR“权益”曲线实例的上升和当前下降，右侧是其对数系列。定义5.1。当前水位下降对数系列设置为toD（M）cur（f，ω）：=log最小1≤ ` ≤ Mmin{1，TWRM`（f，ω）}≤ 0，启动对数系列定义为asR（M）（f，ω）：=对数最大值1≤ ` ≤ Mmax{1，TWR`（f，ω）}≥ 0。12 S.MAIER Paape相应的贸易系列以这样的方式连接，即当前的提款在增长停止后开始。为了更准确地说明这一点，我们确定了therun的最佳位置。定义5.2。对于固定ω∈ Ohm（M） ，f∈ [0，1）定义`*= `*（f，ω）∈ {0，…，M}带（a）`*= 最大值为1时为0≤ ` ≤ MTWR`（f，ω）≤ 1（b）和其他选择`*∈ {1。