多阈值非参数回归：估计和

当s的null为空时，将保留数确定为s- 1个阈值对s个阈值的替代方案被拒绝，而s个阈值对s+1个阈值的替代方案的空值不被拒绝。同样，在本研究中，我们基于序贯检验确定非参数回归中的阈值数量。然而，我们没有比较线性回归的估计误差平方和，而是使用Ait-Sahalia等人（2001）提出的非参数回归显著性检验作为序贯检验的基础。构造了s+1阈值到s阈值的零点的t检验统计量，其渐近分布如下所示。Ait-Sahalia等人（2001）的检验是为了检验非参数回归中协变量子集的显著性。测试背后的目的是检查无约束和约束条件均值的非参数回归估计之间的差异。也就是说，显著性检验的空值为writenash:pr[m（W，V）- m（W）]=1（6），其中W代表p维解释变量，V是测试中的Q维解释变量，m（W，V）和m（W）表示备选假设和零假设下的条件平均值，f（W，V）和f（W）分别是（W，V）和W，r的联合概率密度函数。为了测试s阈值的空值与s+1的替代值，可以修改该测试，将W作为s阈值回归中的p×（s+1）独立变量，将V作为s+1阈值回归中的额外p因变量。V的显著性意味着必须考虑s+1阈值的回归。然而，回归仍为s阈值，ifV不显著。具体讨论如下。

首先，我们构造了一个测试来检测第j个区域中是否存在额外的阈值（已知的atvalue，τj）。其次，由于阈值τjis通常未知，因此该测试被扩展以测试第j个区域中是否存在未知阈值。3.1额外阈值存在性的测试给定一个s阈值表示为（1）的回归，一个新的阈值τjis被怀疑存在于第j个区域[γj-1，γj）。然后，区域的条件平均值[γj-1，γj）分为两部分：mγj-1，τj（Xi）Iγj-1，τj（Qi）在该状态下[γj-1，τj）和mτj，γj（Xi）Iτj，γj（Qi），其中Iγj-1，τj（Qi）=1，Qi∈ [γj-1，τj），0，else，，Iτj，γj（Qi）=1，Qi∈ [τj，γj），0，else，，和mγj-1，τj（x）定义为sfγj-1，τj（x，y）=ZIγj-1，τj（q）f（x，y，q）dqfγj-1，τj（x）=ZIγj-1，τj（q）f（x，q）dqmγj-1，τj（x）=E（Yi | Xi=x，Iγj-1，τj（Qi）=1）=Zyfγj-1，τj（y，x）fγj-1，τj（x）dx和mτj，γj（x）的定义类似于mγj-1，τj（x）。将E（Y | X，Q；γ，…，γs）表示为条件平均值，s阈值在零下，E（Y | X，Q；γ，…，γj-1，τj，γj，γs）作为替代方案下s+1阈值的条件平均函数。然后，检验区域中是否存在额外阈值的零假设[γj-1，γj）可以写成：P r[E（Y | X，Q；γ，…，γs）=E（Y | X，Q；γ，…，γj-1，τj，γj，γs）]=1。样本统计类似于Ait-Sahalia etal中的测试Γ（τj）。（2001）构造为Γ（τj）=nnXi=1^mγj（Xi）I^γj（Qi）- ^mγj-1，τj（Xi）Iγj-1，τj（Qi）-^mτj，γj（Xi）Iτj，γj（Qi）a（Xi），（7）其中^mγj（x），^mγj-1，τj（x）和^mτj，γj（x）是mγj（x），mγj的样本估计-分别为1、τj（x）和mτj、γj（x），a（Xi）是加权函数。具体而言，a（X）=1倍∈ C、 其中C∈ 否则为Rp0。C的选择取决于应用程序。

例如，在期权价格的实证分析中，可以设置a（X）以排除具有价格偏差的货币期权中的那些。类似地，可以通过使用先验信息处理边界效应来设置密度，以便密度从零开始。因为Γ（τj）是从^mγj（x）到^mγj的差值平方的加权和-1，τj（x）和t o^mτj，γj（x），无效假设，Γ（τj）=0，当Γ（τj）足够大时不会被拒绝，当Γ（τj）足够大时会被拒绝。因此，这个推论是右尾检验。Γ（τj）的渐近分布如下所示。定理4。在零假设下，根据假设1、2和3，统计量Γ（τj）i的渐近正态性表示为σ-1（τj）{nhp/2Γ（τj）- h类-p/2ξ（τj）}d-→ N（0，1），（8），其中ξ（τj）和σ（τj）分别表示偏差和方差项，其中偏差项为ξ（τj）=C[ξ（τj）+ξ（τj）]，其中ξ（τj）=Zxσγj（x）a（x）dxξ（τj）=Zx1.-2fγj-1，τj（x）fγj（x）σγj-1，τj（x）a（x）dx+Zx1.- 2fτj，γj（x）fγj（x）στj，γj（x）a（x）dx。cw如定理1所定义，方差项为σ（τj）=2C[σ（τj）+σ（τj）]，σ（τj）=Zxσγj（x）a（x）dxσ（τj）=Zx1.- 2fγj-1，τj（x）fγj（x）σγj-1，τj（x）a（x）dx+Zx1.-2fτj，γj（x）fγj（x）στj，γj（x）a（x）dx其中σγj（x），σγj-1，τj（x）和στj，γj（x）是σγj（x）=Zy- mγj（x）fγj（y，x）fγj（x）dy=Zσ（x，q）Iγj（q）f（x，q）fγj（x）dqσγj-1，τj（x）=Zy- mγj-1，τj（x）fγj-1，τj（y，x）fγj-1，τj（x）dy=Zσ（x，q）Iγj-1，τj（q）f（x，q）fγj-1，τj（x）dqστj，γj（x）=Zy- mτj，γj（x）fτj，γj（y，x）fτj，γj（x）dy=Zσ（x，q）Iτj，γj（q）f（x，q）fτj，γj（x）dqandC=ZwZuK（u）K（u+w）du数据仓库。请注意，Ait-Sahalia等人（2001）也表明C=1/（2√2π）p使用Ga ussian产品内核时。

根据定理4中的结果，我们表示δ（τj）=σ-1（τj）hnhp/2Γ（τj）- h类-p/2ξ（τj）i，则第j个区域具有额外阈值τjin的零的检验统计量可被视为^δ（τj）=σ-1（τj）hnhp/2Γ（τj）- h类-p/2^ξ（τj）i，其中^σ和^ξ分别是σ和ξ的一致估计量。^δ（τj）的极限分布为N（0，1）。第3.4节研究了^δ（τj）的功率特性；因此，这是一个一致的测试。我们在以下小节中描述了σ和ξ的一致性估计。3.2额外未知阈值的测试在实践中，τjis是先验未知的，原则上，τjs在区域内的一致性[γj-1，γj）。为了使测试可实施，而不是限制许多τj，我们只考虑制度内的m个候选阈值[γj-1，γj），即γj-1<τj，1<τj，2<<τj，m<γj，其中τj，1-γj-1=τj，2-τj，1=···=γj-τj，m=（γj-γj-1） /m。假定可疑的m个伪阈值，τj，1，τj，2，τj，m，额外未知阈值的空值可以写为：P rΓ（τj，1）=0Γ（τj，2）=0。。。Γ（τj，m）=0= 1.（9）给定Γ（τj，i）的样本对应物Γ（τj，i），i=1，m、 如（7）所述，以下定理报告了m统计量的联合渐近分布。定理5。假设假设1、2和3中的假设为E（ei | Xi=x，Qi=q）=σ（x，q），并且在零的情况下，δ*（τj，1）δ*（τj，2）。。。δ*（τj，m）= ∑-1/2δ（τj，1）δ（τj，2）。。。δ（τj，m）d-→ N（0，I），其中δ（τj，k）=σ-1（τj，k）hnhp/2Γ（τj，k）- h类-p/2ξ（τj，k）i和∑是δ（τj，1）的方差协方差矩阵，δ（τj，m）。

方差协方差矩阵∑中的（l，k）-元素t，假设τj，l<τj，k，isCov（δ（τj，l），δ（τj，k））=[σ（τj，l）+σ（τj，l）]-1/2[σ（τj，k）+σ（τj，k）]-1/2×Д（τj，l，τj，k），其中Д（τj，l，τj，k）因其复杂形式而在附录i x中定义。定理5适用于具有异方差误差的非参数回归，其方差取决于XiandQi的值，即e（ei | Xi=x，Qi=q）=σ（x，q）。通过用一致的估计值替换OREM 5中的σ、ξ和∑，即分别为∑、ξ和∑，对于具有异方差误差的两种限制情况，其方差取决于xib的值，而不是Qi的值，即e（ei | Xi=x，Qi=q）=σ（x），当x和q是依赖的或独立的，本文还导出了M统计量的联合渐近分布，但没有给出。作者可根据要求提供相应渐近分布的详细结果和证明。我们有^δ*（τj，1）^δ*（τj，2）。。。^δ*（τj，m）=^∑-1/2^δ（τj，1）^δ（τj，2）。。。^δ（τj，m）d-→ N（0，Im），（10），其中^δ（τj，k）=^σ-1（τj，k）hnhp/2Γ（τj）- h类-p/2^ξ（τj，k）i.3.3有害参数的估计如果检验统计量Γ（τj）的渐近正态性，则必须一致地估计有害参数。