多阈值非参数回归：估计和

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英文标题：
《Nonparametric Regression with Multiple Thresholds: Estimation and
  Inference》
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作者：
Yan-Yu Chiou, Mei-Yuan Chen, Jau-er Chen
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper examines nonparametric regression with an exogenous threshold variable, allowing for an unknown number of thresholds. Given the number of thresholds and corresponding threshold values, we first establish the asymptotic properties of the local constant estimator for a nonparametric regression with multiple thresholds. However, the number of thresholds and corresponding threshold values are typically unknown in practice. We then use our testing procedure to determine the unknown number of thresholds and derive the limiting distribution of the proposed test. The Monte Carlo simulation results indicate the adequacy of the modified test and accuracy of the sequential estimation of the threshold values. We apply our testing procedure to an empirical study of the 401(k) retirement savings plan with income thresholds.
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中文摘要：
本文研究了具有外生阈值变量的非参数回归，允许未知数量的阈值。在给定阈值个数和相应阈值的情况下，我们首先建立了具有多个阈值的非参数回归的局部常数估计的渐近性质。然而，在实践中，阈值的数量和相应的阈值通常是未知的。然后，我们使用我们的测试程序来确定未知数量的阈值，并推导出拟议测试的极限分布。蒙特卡罗模拟结果表明了修正检验的充分性和阈值序贯估计的准确性。我们将我们的测试程序应用于具有收入阈值的401（k）退休储蓄计划的实证研究。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Nonparametric_Regression_with_Multiple_Thresholds:_Estimation_and_Inference.pdf (479.28 KB)

2022-5-31 20:48:58 上传

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关键词：非参数回归 非参数 distribution Quantitative Monte Carlo

多目标非参数回归：估计与推断严玉秋，陈美媛，*, Jau er Chenc，*A中央研究院经济研究所，台湾。b国立中兴大学金融系，台湾。C国立台湾大学经济系，台湾。《计量经济学杂志》第二轮研究与再研究我们感谢两位匿名评论员的建设性意见，这些意见极大地改进了本文。我们感谢郑明彦的宝贵讨论，并感谢蔡宗武和计量经济学最新发展国际研讨会的与会者，以及为纪念阿米宫教授而举办的应用研讨会，感谢他们提出的有益意见。通常的免责声明适用*通讯作者：国立中兴大学金融系，台湾台中市国光路250号，402。电话：+886-4-22853323。电子邮箱地址：mei-yuan@dragon.nchu.edu.tw（陈美媛）；国立台湾大学经济系，第1届，Sec。台湾台北市罗斯福路4号，邮编10617。电话：+886-2-3366-8326。电子邮件地址：jauer@ntu.edu.tw（陈兆儿）。摘要本文研究了具有外生阈值变量的非参数回归，允许未知数量的阈值。给定阈值的数目和相应的阈值，我们首先建立了具有多个阈值的非参数回归的局部常数估计的a辛性质。然而，在实践中，阈值的数量和相应的阈值通常是未知的。然后，我们使用我们的测试程序来确定未知数量的阈值，并推导出建议测试的极限分布。蒙特卡罗模拟结果表明，修正检验的准确性和阈值顺序估计的准确性。

我们将我们的测试程序应用于具有收入阈值的401（k）退休储蓄计划的实证研究。关键词：非参数回归、阈值变量、阈值、显著性检验JEL分类：C12；C13；C141引言分段线性已广泛用于在回归框架下建立经济关系的变化模型。大多数具有分段线性的回归可以表示为具有阈值的线性回归。例如，具有结构变化的线性回归可以写成以时间指数为阈值变量的线性阈值回归。在之前的研究中，Bai和Perron（1998年、2003年）、Qu和Perron（2007年）、Yamamo to和Perron（2013年）估计并测试了具有结构变化的线性回归，Chen（2008年）、Qu（2008年）、Oka和Qu（2011年）估计并测试了具有结构变化的线性量化回归。t hr eshold模型根据观察变量的值（即，是否超过某个阈值）将样本分为多个类。在实证工作中，确定税率等经济变量的阈值以及最佳公共债务比率与决策者相关。当临界值未知时，如实践中的典型情况，则需要对其进行估计，从而增加了计量经济学问题的复杂性。尽管如此，估计和推断理论对于具有外生回归的线性模型来说是发展良好的，包括Chan（1993）、Hansen（1996、1999、2000）和Caner（2002）的工作。近年来，阈值模型的范围大大扩大。特别是，分段线性的讨论已扩展到非参数回归。

例如，Su和Xiao（2008）测试了时间序列非参数回归模型中的结构变化，而Chen和Hong（20 12）研究了如何使用非参数回归测试时间序列模型中的平滑结构变化。此外，Chen a和Hong（2013）扩展了他们早期的研究，以测试面板数据模型中的平滑结构变化。在经济学中，回归不连续性（RD）设计逐渐成为应用研究的常用工具。RD估计的有效性主要取决于阈值变量（在RD文献中也称为运行变量）和结果变量的条件平均函数的充分描述。由于看起来像是阈值上的跳跃可能只是无法解释非线性，因此非参数方法在RD估计中起着重要作用（参见Angrist和Pischke，2009）。例如，通过在RD框架中考虑未知的thr eshold值，Henderson、Parmeter和Su（20 14）为具有一个阈值的非参数回归中的阈值提供了估计和推断程序。虽然与Henderson et al.（2014）相关，这是一项研究非参数回归的开拓性研究，具有一个阈值，但我们的研究分析了具有多重阈值的非参数回归。此外，与Henderson et al.（2014）相比，在我们的框架中，阈值变量被排除在解释变量之外。在经验应用中，可能存在多个阈值；然而，在实践中，阈值的数量和相应的阈值通常是未知的。因此，识别未知数量的阈值并估计阈值是具有多个阈值的非参数回归中的关键问题，尤其是在进行实证研究时。

因此，我们提出了一个测试程序来确定未知的阈值数量，并推导出所提出测试的极限分布。据我们所知，本研究首次全面调查了上述问题。本研究开发了一种测试程序，用于测试非参数回归中阈值的存在性、确定阈值的数量和估计阈值的值。具体而言，该程序是根据ait-Sahalia等人（2001）的工作修改的重要癌症测试。此外，我们还利用序贯方法建立了阈值估计量的相合性和渐近正态性。因此，本研究完善了非参数回归模型中估计和检验多阈值的现有文献。此外，我们还对401（k）退休储蓄计划的收入阈值进行了实证研究，并确定了四个阈值。这些重要的收入阈值都高于收入中值。论文的其余部分组织如下。第2节介绍了具有阈值的非参数回归的模型规格和估计。本节还总结了在已知阈值下得出测试统计和估计器理论结果的必要假设。第3节提供了确定未知阈值数的测试。第4节介绍了多阈值估计器的统计特性。第5节通过蒙特卡罗研究调查了这些测试的性能，而第6节介绍了一个实证应用。

第7节结束。所有技术证明均收集在附录中。2模型、假设和渐近性首先确定符号并考虑以下阈值模型，这是一种具有s阈值和已知阈值的非参数回归：E（Y | x，Q）=s+1Xj=1mγj（x）Iγj（Q），其中Y是结果变量，x是协变量的向量，Q是阈值变量，用于将样本分割为不同的阈值，γ，γ，γs+1是相应的阈值，iγj（Qi）表示定义为iγj（Q）的指标函数=1季度∈ [γj-1，γj），否则为0，γ=-∞ 和γs+1=∞. 因此，网格点x=【x，…，xp】’处第j个区域的条件平均值可以表示为asmγj（x）=E（Y | x=x，Iγj（Q）=1）=Zyfγj（Y，x）fγj（x）dx，其中fγj（Y，x）=RIγj（Q）f（Y，x）dq和fγj（x）=RIγj（Q）f（x，Q）dq分别表示第j个区域中Y和x的联合密度函数和x的边缘密度。给定一个观测值为{（Yi，X′i，Qi）′，i=1，…，n}的样本，具有已知s阈值的非参数回归被指定为asYi=s+1Xj=1mγj（Xi）iγj（Qi）+ei（1），其中Yi，Xi和qia分别是Y，X和Q的第i个样本观测值；EI是回归误差。请注意，阈值满足γ<γ<…<γs+1。给定一个p维乘积核函数K（u），其中kh（u）定义为kh（u）≡ h类-pK（u/h），fγj（y，x）和fγj（x）的样本核密度估计为^fγj（y，x）=nnXi=1Kh（Xi- x） Iγj（Qi）Kh（Yi- y） （2）^fγj（x）=nnXi=1Kh（Xi- x） Iγj（Qi）（3）因此，mγj（x）的标准Nadaraya Watson核回归估计量为^mγj（x）=Pni=1Kh（Xi- x） Iγj（Qi）YiPni=1小时（Xi-x） Iγj（Qi）。

（4） 2.1假设为了确定条件平均估计量^mγj（x）和密度估计量^fγj（y，x）在第j种情况下的渐近性质，以及最佳带宽选择器的收敛速度，我们作出以下假设。假设1。以下假设适用于研究中的随机变量。1-1. Zi=（Yi，Xi，Qi）是严格平稳的、遍历的和β-混合的，对于某些固定ε>0的β系数，令人满意∞k=1k[β（k）]ε1+ε<∞.1-2。密度f（y，x，q）以零为界，且在加权函数（·）的紧支集S上全局可积分，其中，当我们构造建议的检验统计量时，第3.1节定义了a（·）。因此infSf（x，q）≡ b≥ 0.1-3. 节理密度f1,1+jof（Z，Z1+j）存在于所有j中，并且在（R×S）上是连续的。1-4. E【ei | Xi=x，Qi=q】≤ ∞ , E（ei | Xi=x，Qi=q）=σ（x，q），σ（x，q）在S.1.5上是平方可积的。R | mγl（xi）- mγk（xi）| dxi6=0，l，k=1，s+1和l 6=k。假设2。以下假设适用于kernelfunction。2-1。K是产品内核，K=K×····×Kp=Kp，g iven Ki=K，i、 Rp上的有界函数，对称于0，r | K（z）| dz<∞,RK（u）du=1，RujK（u）du=0，j=1，r-1，andRurK（u）du<∞.2.2。核K是rth连续可微的，r＞3p／4。假设3。对于带宽选择器，假设以下假设。3-1。作为n→ ∞,h类→ 0，nhp→ ∞ 和nhp+2r+2→ 0.3-2. 作为n→ ∞, 带宽序列h=O（n-1/δ）是2p<δ<2r+p/2，然后是h→ 0，nhp→= ∞ 和nhp/2+2r→ 假设1-1和1-3与Ait-Sahaliaet al.（2001）中的假设7相似，包括宏观经济或金融时间序列数据在内的相关观测数据。假设1-2和1-4概括了Ait-Sahalia等人（2001）的假设2，以包含阈值模型。

此外，假设1-4和1-5限制了条件矩和条件平均函数在不同阈值上的行为。假设2。1说明了对高阶核函数的标准限制，高阶核函数是用于还原bias的设备（参见Li和Racine，2007）。然而，假设2.2意味着不需要使用高阶核（r>2），除非协变量的维数大于或等于3。假设3对带宽序列h、核r的顺序、协变量p的维数和样本量n施加了联合限制。特别是，当p=1和r=2时，限制2p<δ<2r+p/2（Ait-Sahalia et al.（20 01）也使用该限制，导致2<δ<4.5。在本研究中，当进行蒙特卡罗模拟时，我们施加δ=4.25，这支持了非参数估计的有效渐近性质。2.2在已知阈值s的个数和相应的阈值γj，j=1，…，下估计量的渐近性质，众所周知，定理1给出了^fγj（x）的相合性和辛正态性，定理2给出了^mγj（x）的辛性质。定理1。假设假设1、2和3-1 ho l d中的假设成立。以下结果成立。a） 。^fγj（x），sup^fγj（x）的almos t sure收敛速度- fγj（x）|=Op（hr+（ln（n））1/2/（nhp）1/2），j=1，s+1。b） 。^fγj（x），（nhp）1/2（^fγj（x）的渐近正态性- fγj（x）-hCpXl=1f（2）γj，l（x））→ N（0，Cfγj（x）），其中C=ZuK（u）du，C=ZK（u）dup、 f（2）γj，l（x）=fγj（x）xl码。当在单个点x进行估计时，我们有收敛速度Op（hr+1/（nhp）1/2）。在经验应用中，经常会出现多个x，然后估计量的统一收敛速度较慢（hr+（ln（n））1/2/（nhp）1/2）。

因此，从b）部分来看，核平滑密度估计是有偏差的。假设使用高斯乘积核，我们已经知道t C=1和C=1/（2√π） 根据Ait-Sahalia等人（2001年）的研究。此外，假设t hr网格的数量和相应的阈值γj，j=1，已知s+1，则^mγj（x）的一致性和渐近正态性如下所示。定理2。假设假设假设1、2和3-1中的假设成立。得出以下结果。a） ^mγj（x），sup^mγj（x）的几乎确定收敛速率- mγj（x）|=Op（hr+（ln（n））1/2/（nhp）1/2），j=1，s+1b）Γmγj（x），（nhp）1/2的渐近正态性^mγj（x）-mγj（x）- AB（x）→ N0，Cσγj（x）fγj（x）！其中AB（x）表示渐近偏差，AB（x）=hCpXl=1hm（2）γj，l（x）fγj（x）+2m（1）γj，l（x）f（1）γj，l（x）i/fγj（x），m（1）γj，l（x）=mγj（x）xland m（2）γj，l（x）=mγj（x）xl分别是第j个区域的条件平均值相对于第l个解释变量的一阶和二阶导数。现在很清楚，样本估计量^mγj（x）也是渐近有偏的。然而，这种渐近偏差可以通过使用高阶核来减少。注意，^fγj（x）和^mγj（x）的收敛速度和渐近结果不受s（阈值数）的影响。在有限样本中，阈值的数量会影响非参数估计。然而，在极限情况下，收敛速度不依赖于s。因此，我们的结果与Li和Racine（2007）的结果相似。2.3最佳带宽选择在非参数度量回归中，带宽在估计中起着至关重要的作用。文献中提出了不同的带宽选择规则。在这些选择器中，最优带宽选择器是研究最全面的，它通过最小化平均积分平方误差（MISE）来获得。

也就是说，对于具有阈值的模型，相应的MISE定义为：ise（h）=Z ZE“s+1Xj=1^mγj（x）- mγj（x）Iγj（q）#w（x）dxdq（5），然后从hopt=arg minhMISE（h）获得最佳带宽选择器。加权函数w（x）是一个选择特定x-r区域的指标函数，这通常取决于经验研究。由于阈值变量q不影响所提出估计的收敛速度，因此我们构造了不包含阈值变量的加权函数。hoptis的收敛速度在以下定理中推导和总结。定理3。在假设1、2和3下，最优带宽选择器的收敛速度为hopt=O（n-δ） 其中δ=p+2r。这一结果表明，最优带宽选择器的收敛速度取决于协变量的数量和核函数连续差异的阶数，但收敛速度不受阈值数量的影响。换句话说，额外的阈值并没有恶化维度问题的诅咒。3确定阈值的数量阈值的数量和相应的阈值在实践中通常是未知的。因此，在本节中，我们将介绍一个确定未知阈值数量和估计阈值的过程。在具有阈值的线性回归中，通常通过进行序列显著性检验来确定保留数（见Hansen，1997）。通过将具有S阈值的模型（在零假设下）的估计误差平方和与具有S+1阈值的模型（在替代方案下）的估计误差平方和进行顺序测试。