CVaR约束下的增长型最优投资组合选择

，Xj+k）∈ Rk×n。因此，专家Hk，hh是一个长度为k的窗口，它寻找^h欧几里德近邻算法1 CVaR调整近邻投资策略（CANN）输入：可数专家集{Hk，h}，α>0（b，c）∈ Bλ∈ ∧，初始概率{βk，h}，对于t=0到∞播放bt，ct，λt。Nature显示市场向量xt遭受损失l（bt，ct，λt，xt）。更新专家的累积损失lk，h（b，c），t，tXi=0l（bik，h，cik，h，λi，xi）lk，hλ，t，tXi=0l（bi，ci，λik，h，xi）更新专家权重SW（k，h）t+1，（b，c），βk，hexp-√tlk，h（b，c），tp（k，h）t+1，（b，c），w（k，h）t+1，（b，c）p∞h=1P∞k=1w（k，h）t+1，（b，c）更新专家权重wλ，（k，h）n+1w（k，h）t+1，λ，βk，hexp√tlk，hλ，tp（k，h）t+1，λ，w（k，h）t+1，λp∞h=1P∞k=1w（k，h）t+1，λ选择bt+1，ct+1和λt+1如下bt+1=Xk，hp（k，h）t+1，（b，c）bt+1k，hct+1=Xk，hp（k，h）t+1，（b，c）ct+1k，hλt+1=Xk，hp（k，h）t+1，λt+1k，hEnd表示过去w的邻居。我们还定义了OH（b，c）k，h（Xn-1，w），参数最小值（b，c）∈B最大λ∈∧Bw，（1，n）k，h | Xxi∈Bw，（1，n）k，hlk，l，n（b，c，λ，xi）hλk，h（Xn-1，w），arg maxλ∈∧最小值（b、c）∈B | Bw，（1，n）k，h | Xxi∈Bw，（1，n）k，hlk，l，n（b，c，λ，xi）forlk，h，n（b，c，λ，xi），l（b，c，λ，xi）+||（b、c）||- ||λ||n+h+k,利用上述内容，我们确定了Hk，hto-be的预测：H（b，c）k，H（Xn-1） =h（b，c）k，h（Xn-1，Xn-1n-k） ，n=1，2，3。（17） Hλk，H（Xn-1） =hλk，h（Xn-1，Xn-1n-k） ，n=1，2，3。（18） 注意，lk，h，n（b，c，λ，x）是l（b，c，λ，x）的近似值，这保证了每个专家的极小极大解是唯一的。这一技巧用于定理3的证明。如果一个γ-有界投资策略的渐近平均增长率不低于任何γ-有界投资策略，则称之为γ-普适投资策略。下面的定理3指出，应用于上述专家的CANN策略是γ-通用的。我们注意到，该定理使用了一个标准假设（参见，例如，[8，19]）。这个定理的证明出现在补充材料中。

主要思想是首先表明拉格朗日函数（14）的最小值（13）相对于概率测度是连续的。然后，我们证明了极小极大可测选择（给出最优动作）也是连续的，并且最优动作诱导序列的每个累积点都是最优的。定理3（γ-普适性）。假设对于任何向量w∈ Rn×k随机变量| | Xk-w | |具有连续分布。然后，对于任何γ>0和任何有界过程{Xi}∞-∞, CANN是γ-通用型。6实证结果为了应用CANN策略，我们与一组专家一起实施了该策略，在本节中，我们将展示我们在一些标准数据集上的实证结果。我们实验的目的是检验我们能多好地保持CVaR约束。另一个目标是将其与我们所知的几种对抗性无遗憾投资组合选择算法和随机通用策略进行比较。我们测试的基准算法是：o最佳常数再平衡投资组合（BCRP）[11]：BCRP是在市场序列达到i.i.d.时后的最优策略。oCover的通用投资组合（UP）[11]、指数梯度（EG）[21]、在线牛顿步数（ONS）[1]：这些算法保证了BCRP获得的财富具有次线性遗憾Gyrfi等人最近的基于ne ighbor的战略（仅长期和非杠杆）。

（BNN）[19]：BNN，这是一种（随机的）通用策略，当市场遵循平稳和遍历过程时，合生增长率是最优的。表1:CANN和benchmark算法的财富。数据集BCRP UP例如ONS BNNBLNNCANN。05纽约证券交易所12.53 5.05 5.03 5.83 39.56 1054 58.8MSCI 1.51 0.92 0.93 0.86 13.47 6.32E+05 6.06E+03表2：不同γ值的CANN的CVa R0.95。数据集BLNNCANN。05加拿大。04坎恩。03坎恩。02坎恩。01NYSE 6.3%3.2%2.9%2.46%1.86%1.24%MSCI7.76%4.44%3.81%2.98%2.27%1.59%o最接近的基于neigh-bor的策略（具有简短和杠杆作用）：BLNN该实验是在许多先前工作中使用的两个数据集上进行的（参见，例如，[25，26，9]）。第一个是纽约证券交易所的数据集，其中包括1985-1995年间的23只股票。第二个是摩根士丹利资本国际数据集，该数据集由2006-2010年间的24只股票组成。在[1 7，22]之后，对于这两个数据集，我们使用了当前利率r=0.000245，并将B=0.4，这意味着LB，r=2.49。虽然这一利率高于2010年的实际利率，但这种选择只会降低我们算法的回报率，因为我们的算法很少存款，而且必须为卖空和贷款支付大量资金。与BNN【19】的实现类似，我们的CANN实现需要以下专家，k=1，5小时=1，10，f，共50名专家，我们设置pl=+h-1、初始专家先验设置为一致，我们选择α=0.95的典型值来计算CVaR。Benchm-ark算法的超参数符合[28]。表1显示了所有算法的总财富，其中，当γ=0.05时，应用了CANN。显然，随机通用算法优于所有最坏情况的通用算法。在图2中，我们给出了BLNN和我们算法的平滑PDF返回值。

这些PDF的左尾表明我们的算法有效地减少了损失。我们策略的另一个有趣的方面是更低的方差。我们进行了另一个实验，在[0.01，0.07]范围内使用不同γ选择的CANN。结果如表2所示，其中显示了CVaR0.95，图1所示，其中y轴显示了平均回转，x轴显示了CVaR0.95。可以看出，较低的γS导致风险较小的策略。此外，凹面形状表明，通过选择合适的γ，可以实现更好的平均CVaR权衡。7结论性意见在本文中，我们介绍了CVaR调整最近的neig hbor PORT策略，当0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055CVaR0.951.0021.0031.0041.0051.0061.0071.0081.0091.01（a）MSCI数据集0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05CVaR0.951.00041.00061.00081.0011.00121.00141.00161.00161.0011时，这是第一个CVaR调整后的综合投资组合选择策略81.0021.00221.0024（b）纽约证券交易所数据集图1：平均CVaR权衡0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.31.4ReturnsBLNNCANN。05（a）MSCI数据集0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 Returnsblnncann。05（b）纽约证券交易所数据集图2：实证PDF基础市场过程是静态和随机的。应该注意的是，我们有可能修改我们的方法，以与其他现代风险度量相结合，如优化确定性当量[6]、失真风险度量（CVaR的混合）[14，24]和法律不变的一致风险度量[24]。现代金融的早期工作假设市场是随机的，非常简单（例如，收益率是正态分布的）[35，33]。后来发现，这种建模假设过于简单[30]。另一方面，Cover发起了对抗性投资组合选择的研究，即股票价格由对手控制。

任何极端都不会导致过度有效的策略。看来，正如我们在这里所追求的那样，更复杂的随机模型可以产生有效的策略；然而，尽管这些方法在实践中取得了成功，但可以得到的界是一个共有界。为了克服这一障碍，需要对市场过程进行额外的、可能很强的假设。在未来，我们希望在不过度承诺可疑假设的情况下，追求有限的样本保证。参考文献【1】A.Agarwal、E.Hazan、S.Kale和R.E.Schapire。基于牛顿法的投资组合管理算法ms。第23届国际机器学习会议记录，第9-16页。ACM，2006年。[2] P.H.Algo等人，《不确定性下连续决策的强大数定律》。IEEE信息理论学报，40（3）：609–6331994。[3] P.H.Algoe t和t.M.盖。对数最优投资的渐近最优性和渐近均分性。《概率年鉴》，第87页，第6-8981988页。[4] P.Artzner、F.Delbaen、J.M.Eber和D.Heath。r isk的一致度量。数学金融，9（3）：203–228，1999年。[5] A.Ben Tal和A.Nemirovsky。优化iii.课堂讲稿，2012年。[6] A.Ben Tal和M.Teboulle。凸风险测度的一个新的老概念：优化的cerentity等价。数学金融e，17（3）：449–476200 7。[7] Shalabh Bhatnagar、Doina Precup、David Silver、Richard S Sutton、Hamid R Maei和Csaba Szepesvári。采用任意光滑函数逼近的收敛性temp-oral差分学习。《神经信息处理系统的进展》，第1204-12122009页。[8] G.Biau和B.Patra。时序分位数预测。IEEE信息论学报，57（3）：1664–16742011。[9] A.Bo rodin、R.El Yaniv和V.Gogan。

我们能学会击败最好的股票吗？《艺术情报研究杂志》，第579-5942004页。[10] 利奥·布雷曼。概率，《应用数学经典》第7卷。美国工业与应用数学协会（SI AM），宾夕法尼亚州费城，1992年。[11] T.M.盖。通用投资组合。数学金融，1（1）：1–2 9，1 991。[12] L.Devroye、L.Gyrfi和G.Lugosi。模式识别的概率理论，第31卷。Springer Science&Business Media，20 13。[13] E.Even Dar、M.Kearns和J.Wortman。风险敏感的在线学习。《数学学习理论》，第199-213页。Springer，2006年。[14] H.F"ollmer和A.Schied。风险和交易约束的凸度量。《金融与随机》，6（4）：429–4472002。[15] L.Gyrfi、G.Lugosi和G.Morvai。遍历时间序列序列预测的一种简单随机算法。IEEE Transaction s on Information Theory，45（7）：2642–26501999。[16] L.Gyrfi、G.Lugosi和F.Udina。基于非参数核的顺序投资策略。金融学硕士，16（2）：337–35720006。[17] L.Gyrfi、G.Ottucsák和H.Walk。金融工程机器学习，第8卷。《世界科学》，2012年。[18] L.Gyrfi和D.Sch"afer。非参数预测。《学习理论研究：方法、模型和应用》，339:3542003。[19] L.Gyrfi、F.Udina和H.Walk。基于非参数最近邻的虚拟投资组合选择策略。统计与决策，随机方法与模型国际数学杂志，26（2）：145–1572000 8。[20] W.Haskell、H.Xu、Q.Chao和Y.Z hiyue。在线风险感知优化。2016年【21】D.P.Helmbold、R.E.Schapire、Y.Singer和M.K.Warmuth。使用乘法更新进行在线por tfolio选择。数学金融，8（4）：325–3471998。【22】N.Johnson和A.Baner je e。

利用杠杆对资源分配进行结构化hedg。第21届ACM SIGKDD国际知识发现和数据挖掘会议论文集，第477-48-6页。ACM，201 5。【23】Y.Kalnishkan和M.Vyugin。弱聚合算法和弱混合性。《计算学习理论国际会议》，188–203页。斯普林格，2005年。【24】S.Kusuo ka。关于法律不变的一致风险测度。《数理经济学进展》，第83–95页。斯普林格，2001年。[25]B.Li和S.C.H.Hai。具有移动平均回归的在线投资组合选择。第29届机器学习国际会议记录（ICML-12），第273-280页，2012年。[26]B.Li和S.C.H.Hai。在线投资组合选择：一项调查。ACM ComputingSurveys（CSUR），46（3）：352014年。【27】B.Li、S.C.H Hoi和V.Gopalkrishnan。Corn：投资组合选择的相关驱动非参数学习方法。ACM智能系统与技术交易（TI ST），2（3）：21，2011年。【28】B.Li、D.Sahoo和S.C.H.Hoi。Olps：对于在线投资组合选择来说是一个太大的负担。《机器学习研究杂志》（JMLR），2015年。[29]李斌和朱汉海。在线投资组合服务：原则和算法。CRC出版社，2015年。【30】A.Lo和A.MacKinlay。华尔街上的非随机漫步。普林斯顿大学出版社，2002年。【31】U.V.Luxburg和B.Sch"olkopf。统计学习理论：模型、概念和结果。arXiv预印本arXiv:0810.47522008。[32]M.Mahdavi、T.Yang和R.Jin。多目标随机凸优化。《神经信息处理系统的进展》，第1115–11232013页。【33】B.G.马尔基尔。华尔街上的随机漫步。WW Norton&Company，1999年。【34】S.Mannor、J.Tsitiklis和J.Y.Yu。具有示例路径约束的在线学习。《机器学习研究杂志》，2009年3月10日，第569–590页。[35]H.Markowitz。

投资组合选择*。《金融杂志》，7（1）：77–911952年。【36】R.Rockafellar和S.Uryasev。条件风险值的优化。《风险杂志》，2000年2:21–42。[37]威廉·夏普。调整投资组合绩效衡量中的风险。《投资组合管理杂志》，1（2）：29–34，1975年。【38】V.Vovk。与平稳预测策略竞争。计算学习理论国际会议，第439-453页。Springer，2007年。