CVaR约束下的增长型最优投资组合选择

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英文标题：
《Growth-Optimal Portfolio Selection under CVaR Constraints》
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作者：
Guy Uziel and Ran El-Yaniv
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Online portfolio selection research has so far focused mainly on minimizing regret defined in terms of wealth growth. Practical financial decision making, however, is deeply concerned with both wealth and risk. We consider online learning of portfolios of stocks whose prices are governed by arbitrary (unknown) stationary and ergodic processes, where the goal is to maximize wealth while keeping the conditional value at risk (CVaR) below a desired threshold. We characterize the asymptomatically optimal risk-adjusted performance and present an investment strategy whose portfolios are guaranteed to achieve the asymptotic optimal solution while fulfilling the desired risk constraint. We also numerically demonstrate and validate the viability of our method on standard datasets.
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中文摘要：
迄今为止，在线投资组合选择研究主要集中在最小化财富增长中定义的遗憾。然而，实际的财务决策与财富和风险息息相关。我们考虑股票投资组合的在线学习，其价格受任意（未知）平稳和遍历过程控制，目标是财富最大化，同时将条件风险价值（CVaR）保持在期望阈值以下。我们刻画了渐近最优的风险调整绩效，并提出了一种投资策略，其投资组合在满足期望风险约束的情况下，保证达到渐近最优解。我们还在标准数据集上对我们的方法的可行性进行了数值演示和验证。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Papers on all aspects of machine learning research (supervised, unsupervised, reinforcement learning, bandit problems, and so on) including also robustness, explanation, fairness, and methodology. cs.LG is also an appropriate primary category for applications of machine learning methods.
关于机器学习研究的所有方面的论文（有监督的，无监督的，强化学习，强盗问题，等等），包括健壮性，解释性，公平性和方法论。对于机器学习方法的应用，CS.LG也是一个合适的主要类别。
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PDF下载：
--> Growth-Optimal_Portfolio_Selection_under_CVaR_Constraints.pdf (201.73 KB)

2022-5-31 20:55:59 上传

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关键词：投资组合选择 投资组合 CVAR VaR CVA

增长最优投资组合选择un der CVaRConstraint sGuy UzielTechnion–以色列技术研究所Ran El YanivTechnion–以色列技术研究所2017年5月30日摘要迄今为止，在线投资组合选择研究主要集中在最小化财富增长方面的遗憾。然而，实际的财务决策与财富和风险息息相关。我们考虑在线学习价格受任意（未知）平稳和遍历过程控制的股票组合，其目标是最大化资产，同时将条件风险价值（CVaR）保持在期望阈值以下。我们对症状最优风险调整绩效进行了描述，并提出了一种投资策略，其投资组合保证在满足期望风险约束的同时达到渐近最优解。我们还对标准数据集上的方法进行了数值演示和验证。1简介长期以来，人们认识到，任何金融投资的价值都应该使用收益和风险来量化，而风险传统上是通过收益的方差来衡量的。风险调整后回报的常用量化是夏普比率[37]，它本质上是（年化）平均回报除以（年化）回报的标准偏差。然而，在线投资组合选择[11]已成为在线学习研究的焦点，很少考虑风险，需要优化的主要数量仍然是收益。创建一种在线学习技术来优化风险调整后的回报是一个长期目标，也是一个重大挑战。在对抗性（遗憾最小化）在线学习环境中，已知无遗憾的风险调整投资组合选择是一个不可能实现的目标[13，34]。最近，在i.i.d.环境中，Mahd avi等人。

提出了一个可用于实现这一目标的框架[32]，Haskell等人考虑了风险感知算法[20]，buti。i、 d.建模被批评为不适合对股价进行虚假建模[30]。i.i.d.建模的问题是库存周转之间缺乏时间依赖性。一类较为丰富的随机模型是一类平稳和遍历过程，这类过程能够充分表达股票价格之间的任意依赖关系。许多出版物都考虑了平稳和遍历市场[3、19、18、16、27]，所有这些作品都考虑了不考虑风险的策略。此外，他们考虑的所有学习策略都依赖于非参数估计技术（例如，直方图、核或最近邻方法）。此外，这些策略总是有一组数量有限的专家，为这些策略提供的保证总是渐进的。这并非巧合，因为众所周知，如果没有对源分布的额外强假设，就无法实现这些方法的有限样本。同样，我们也知道，在这种情况下，非参数策略必须依赖于许多专家[15]。然而，非参数策略的近似实施（仅适用于一组有限的专家），结果是非常有效的，并且，尽管它们具有不可避免的近似性，但据报道[19、18、16、25、26]显著优于设计用于对抗性、无悔意环境的策略。例如，在[29，26]中显示了[19]的最近邻投资策略，以击败Cover\'suniversal投资组合（UP）[11]，指数梯度（EG）方法[21]，以及[1]在大多数常见数据集上的在线牛顿步策略。

我们还注意到，渐近方法的实际近似使用在机器学习的其他领域也很普遍，例如（深度）r e informaceme nt学习与函数近似[7]）。对于一个有n只股票的市场，在随机在线学习框架内，我们开发了一种新的在线投资组合选择策略，称为CVaR调整的近邻（CANN），该策略在保证风险控制在期望阈值的同时，保证了最佳的渐近性能。这是使用一种新的机制来完成的，该机制有助于处理多个对象。我们没有使用标准差来衡量风险，而是考虑了众所周知的CVaR，这是一种一致且被广泛接受的风险衡量标准，它通过适当捕捉下行风险来改进传统衡量标准【36】。我们证明了一般平稳过程和遍历过程策略的渐近最优性，从而允许股票价格之间存在任意（未知）依赖关系。我们还提供了数值示例，其中我们应用了策略的近似应用（有一组有限的实验），验证了该方法，并漂亮地展示了如何控制风险。2在线投资组合选择我们考虑以下由Gyrfi等人定义的标准在线投资组合选择游戏，包括短期销售和杠杆。这个游戏是在一个有n只股票的市场的T天内进行的。在每天t，市场由相对价格的市场向量Xt表示，Xt，（Xt，Xt，…，xtn），其中每个i=1，n、 xti公司≥ 0是股票i的相对价格，定义为t日收盘价与t日收盘价的比率- 1、第t天的财富分配向量或投资组合是bt，（bt，bt，bt。

，btn+1），其中btis为现金分配（未投资于任何股票），对于i>0，btis为股票i的财富分配，这是一个正分量，btis>0，表示股票i的多头头寸，而负分量，btis<0，表示股票i的空头头寸。我们还允许杠杆；也就是说，投资者可以借入和投资额外的现金，以提高其收益。对于借入的现金，投资者必须支付日利率r>0，我们假设投资者收到的存款现金利息r（bt）相同。考虑t日开始时的投资组合Btplay。在市场向量Xtis显示后，投资组合会随着股票价格的变化而变化，如下所示。对于每个投资组合组成部分bi，如果bti>0是多头头寸，则其修正值为btixti。然而，如果bti<0是空头头寸，那么，在我们考虑到借入股票进行卖空所欠的利息后，该头寸的修订值为bti（xti-1+r）（注：在这种情况下，投资者在价格下跌时获利，反之亦然）。显然，卖空和杠杆化是有风险的；例如，空头头寸具有无限的潜在损失，通过杠杆作用进一步放大。根据文献[17]，我们假设任何股票从一天到另一天的损失或收益都不会超过其价值的B×100%，其中B∈ （0，1）。换句话说，对于每个i，t，1- B≤ xti公司≤ 1+B。（1）因此，允许的杠杆率为LB、r、B+1r+1，选择该杠杆是为了排除破产的可能性（例如，参见第4章[17]）。使用符号（b）+，（max{b，0}，…，max{bn，0}）和（b）-, （最小{b，0}，…，最小{bn，0}），考虑到存款现金的利息、借入股票（空头头寸）的借记利息以及杠杆d财富支付的利息，我们在当天结束时获得了b（1+r）的总每日回报+（bt）+，Xt+（英国电信）-, Xt公司- 1+r- （磅，右- 1） （1+r）。

（2） 投资者从以下组合中选择投资组合：（（b，…，十亿）∈ Rn | nXi=1 | bi |=LB，r），（3），不幸的是，这不是凸的。因此，我们应用了Gy"or fi等人[17]提出的一个简单转换：将市场向量XT转换为2n+1个条目的向量（一个条目表示现金，n个条目表示长成分，n个条目表示短成分）。正式地，我们定义了转换后的市场向量asX′t，（1+r，xt，2- xt+r，xtn，2- xtn+r），这是唯一定义为原始市场向量的函数。transformedportfo lio集合现在定义为b′，{（b，…，b2m）∈ R2n+1 | bi≥ 0，nXi=1bi=LB，r}，（4）这是一个非规范化的d单纯形。通过这一转换后的市场矢量和投资组合，在每次交易开始时，参与者选择一个投资组合bt∈ B′基于之前的市场序列。可以很容易地看出，到第t天结束时，玩家的每日乘法回报率简化为HBT，X′ti- （磅，右- 1） （1+r）。（5） 对于固定平稳遍历过程，我们用X，{Xt}表示∞-∞平稳y和遍历市场向量的诱导序列，并将参与者的投资策略（用S表示）定义为投资组合b、b……的序列。。然后，假设初始财富为1美元，我们在T天后获得以下累积财富，RT（S，X），TYt=1（hbt，X′ti- （磅，右- 1） （1+r））。（6） 定义平均增长率，WT（S），TTXt=1log（hbt，X′ti- （磅，右- 1） （1+r）），（7）我们有RT（S，X）=TYt=1hbt，Xti=ePTt=1log（hbt，Xti-（磅，右-1） （1+r））=eT重量（S）。请注意，最大化WT（S）等同于最大化RT（S，X）。在第4节中，我们用ω（bt，Xt）表示WT（S）（7）的和mand，-日志Dbt，^XtE- （磅，右- 1） （1+r）. （8） 3引入风险衡量财务风险的传统数量是回报的方差（标准差）。

然而，这项措施因不足以衡量风险而受到批评。其中一个原因是它无法区分下行风险和上行风险（这对应于一种理想的行为）。已经提出了各种替代措施，如最大支取和风险价值（VaR）。Artzner等人[4]提出的公理化方法确定了一致的风险度量，其中提出了一个xioms。因此，最流行的一致性风险度量是条件风险价值（CVaR）。对于任何参数α∈ （0，1），CVaRα本质上是投资者在（1）上遭受的平均损失- α） %最差回报率。对于连续、有界的平均随机变量Z，CVaRα由Kolmogorov的扩张定理[10]、平稳遍历过程（Xn）定义∞可扩展到（Xn）∞-∞这样遍历性对n和→ ∞ 和n→ -∞.定义1（CVaRα）。设Z是表示损失的连续随机变量。给定一个参数0<α<1，Z的CVaRαisCVaRα（Z）=E[Z | Z≥ 最小{c | PZ（Z≤ c）≥ α}].假设我们已经知道收益率的分布，根据上述公式直接计算VaR需要计算（1-α） %分位数随左尾平均值而变化。或者，文献[36]表明，CVaRα可以通过求解以下凸优化问题来计算。定义φ′（b，c），c+1- αEh(-对数（hb，Xi）- c） +i，（9）其中，我们重载先前定义的向量的p（·）+，并定义ny标量x，（x）+，max{0，x}。定理1（[36]）。函数φ′（b，c）是凸的且连续可微的。此外，与任何投资组合b相关的损失的CVaRαisCVaRα（b）=minc∈Rφ′（b，c）。（10） 定理1对于制定和分析我们的战略至关重要。根据我们的市场有界性假设（1），可以得出ω（b，X）包含在[-M、 M]对于某些M>0。

因此，使es方程（10）最小化的任何c都必须位于[-M、 M）。有关这一简单事实的完整证明，请参见[20]。在第4节中，我们要求以下定义B，B′×[-M、 M）。4 W的最优性*让F∞是由有限过去X生成的σ-代数-1，X-2.让P∞, 考虑到过去的有限时间，bethe导出了X的正则条件概率分布。因此，鉴于过去的有限时间，所有预期w.r.t.都是有条件的。[3，2]中的well-k nownresult证明了在平稳和遍历市场下任何投资策略的渐近平均增长率的上界如下：lim supT→∞重量（S）≤ E最大值B∈B′EP∞[-ω（b，X）]. （11） 多年来，人们提出了几种实现这种不对称界限的算法【18、16、19】（针对仅长文件夹的情况）。我们的目标是在保持CVaR有界的情况下，实现最佳的不对称平均增长率。根据定理1，期望增长率由以下最小化问题的解给出，最小化（b，c）∈BEP公司∞[ω（b，X）]受制于φ（b，c）≤ γ、 （12）式中φ（b，c），c+1- αEP∞h类(-对数（hb，Xi）- c） +i.优化问题（12）激发了对γ有界策略的定义，其长期平均CVaR根据每个roun d开始时的可用信息计算，受γ的约束。定义2（γ有界策略）。一种投资策略被称为γ-边界如果，几乎可以肯定的是，lim supT→∞TTXi=1minc∈Rc+1- αEPXi | Xi-1小时(-对数（hb，Xi）- c） +我≤ γ.所有γ有界策略的集合表示为Sγ。显然，优化问题（12）总是有一个解决方案，因此，Sγ6=. 例如，总是将一切投资于现金的真空策略对于任何γ>0都是γ有界的。Let（b*∞, c*∞) 是（12）的解决方案。

确定γ-可行最佳值asW*, E[EP∞[ω（b*∞, 十） ]]美国。优化问题（1 2）是B上的凸问题，B又是R2n+2的一个紧和凸子集。因此，该问题相当于找到拉格朗日函数的鞍点，即min（b，c）∈Bmaxλ∈R+L（（b，c），λ），（13），其中拉格朗日isL（（b，c，λ），EP∞[ω（b，X）]+λ（φ（b，c）-γ) . （14） Letλ*∞是γo优化（13）的值，假设它是唯一的。可以确定常数λmax，使得λmax>λ*∞[32].. 该常数可用时，weset∧，[0，λmax]。我们的第一个结果是*限制Sγ中任何策略的性能。如定理2所述，这个结果是[2]关于财富的最佳可能表现的著名结果（无约束）的一般化。定理2（W的最优性*). 对于任何投资策略∈ Sγ的投资组合为b，b。，以下为a.s.lim信息→∞TTXi=1ω（bi，Xi）≥ W*.如果它不是唯一的，我们可以定义一个-正则拉格朗日并获得一个-最优解。从定理2可以看出，投资策略∈ 对于任何有界、平稳和遍历过程{Xi}，Sγ是最优的if∞-∞,限制→∞TTXi=1ω（bi，Xi）=W*a、 s.（15）我们在第5.5节CVaR调整后的最近邻投资策略中找到了这样的策略。在这一节中，我们在s∈ Sγ满足（15）。该策略，我们称之为CVaR调整的最近邻，此后称为CANN，在算法1的伪代码中进行了总结。为了确定策略，我们需要对瞬时拉格朗日进行以下定义：l（b，c，λ，x），ω（b，x）+λc+1- α（ω（b，x）- c）+- γ.

（16） 该策略保持了一个可计数的专家数组{Hk，l}，每天有一个专家Hk，loutputs一个三重t（btk，l，ctk，l，λtk，l）∈ B×∧，定义为与使用最近邻估计的经验分布相对应的极大极小解（见下文）。我们证明，随着t的增长，这些经验估计s收敛（弱）到P∞从而收敛到W*. 每天t，CANN输出一个预测（bt、ct、λt）∈ B×∧。预测序列（b，c），（b，c）。CANN的输出旨在将平均损耗降至最低，TPTi=1l（b，c，λi，xi）。类似地，预测序列λ，λ。设计用于最大化平均损耗，TPTi=1l（bi，ci，λ，xi）。（bi，ci）和λiis中的每一个都是通过聚合专家的预测（b，c）ik，landλik，l，k，l=1，2，分别地为了确保CANN在（b，c）和λ预测方面的表现与任何其他专家一样好，我们同时应用了两次[38]和[23]中的弱Agg恢复算法。它还将确保该策略的平均损失将从a.s.收敛到W*.我们现在开始定义可数专家集{Hk，h}：对于每个h=1，2。，我们选择ph∈ （0，1）使得对于序列e{ph}∞h=1，limh→∞ph=0。设置^h=nph公司, 对于经验Hk，hwe定义，对于固定k×n维向量，表示dw，以下集合Bw，（1，n）k，h，{xi | k+1≤ 我≤ n、 Xi-1i-Xk中w的最近邻居中的kis，Xn公司-1n-k} ，其中Xj+kj，（Xj。