极限订货簿中的一般复合Hawkes过程

该模型在[43]中用于具有非固定勾号δ和两个值价格变化的limitorder账簿的中间价格过程。当然，这个模型比（12）更一般，因为如果我们设置a（1）=δ和a（2）=-δ.3.1.1.4. （非固定刻度，N值价格变化，依赖者）。假设独立于N（t）的Xkis遍历连续时间马尔可夫链具有N个状态，X={1，2，…，N}，N（t）是更新过程。（10）becomest=S+N（t）Xi=1a（Xk），（14），其中a（Xk）取N值a（1），a（2）。。。，a（n）。我们将此过程称为Stin（14）-具有n态相关序的一般复合Hawkes过程（GCHPnSDO）。在【43】中，该模型用于具有非固定勾号δ和n值价格变化的限额订单中的中间价格过程。这个模型比（14）更一般，因为我们可以考虑（14）中状态空间X的n=2。3.2区域切换一般复合霍克斯过程（RSGCHP）将Yt设为N态马尔可夫链，速率矩阵1为。我们假设，在不丧失一般性的情况下，yT取标准基向量inRN中的值。然后，对于Mtan-RN值的P-鞅，Ythas表示yt=Y+ZtAsYsds+Mt，（15）（参见[2]更多细节）。定义8（一维区域切换霍克斯过程（RSHP））。一维区域切换Hawkes过程是一个apoint过程，其特征是强度λ（t）如下：λt=<λ，Yt>+Zt<u（t- s） ，Ys>dNs，（16），其中<·，·>是内积，YIT在b（15）中定义。定义9（D维区域切换霍克斯过程（DRSHP））。

D维区域切换Hawkes过程是一个点过程，其特征是其强度向量λt=（λit）Di=1，即：λit=<λi，Yt>+Zt<uij（t- s） ，Ys>dNjs，（17），其中λi>0，M（t）=（uij（t））是（7）中定义的矩阵值核，定义5和（15）中定义的Ytis。定义10（非线性状态切换霍克斯过程（NLRSHP））。非线性区域切换霍克斯过程由强度函数定义如下：λt=h< λ、 Yt>+Zt<u（t- s） ，Ys>dNs, （18） 其中，h（·）是一个非线性函数，在R+中有支撑，Ytis在（15）中定义。定义11（状态切换通用复合霍克斯过程（RSGHP））。设Ntbe为（16）定义8中定义的任何一维区域切换Hawkesprocess（RSHP）。还设Xnbe遍历连续时间有限状态马尔可夫链，独立于Nt，空间状态X，且A（X）是X上的任何有界连续函数。状态切换一般复合霍克斯过程定义为T=S+NtXi=1a（Xk），（19），其中NTI定义于（16），定义于8.3.2.1 RSGCHP和应用的特殊情况：极限订单3.2.1.1。（固定刻度，两值价格变化，独立订单）。如果取i.i.d.r.v.Xk序列，而不是马尔可夫链，则（19）变为SST=S+NtXi=1Xk，（19.1），其中NTI RSHP定义在（16）中。在霍克斯过程N（t）定义1中u（t）=0的情况下，我们简单地得到了S=0的状态切换复合泊松过程Stin（19）。所以，斯蒂恩（10）-复合霍克斯过程的名字。我们将此过程称为Stin（11）-状态转换复合霍克斯过程（RSCHP）或具有独立订单的状态转换复合霍克斯过程（RSCHPIO）。3.2.1.2. （固定勾号、双值价格变化、相关订单）。假设Xk∈ {-δ、 +δ}和a（x）=x，则Stin（19）变为SST=S+NtXi=1Xk。

（19.2）这种类型的过程可以是限额订单中的中间价格模型，其中δ是固定的勾号大小，N（t）是截至t时刻的订单到达数量。我们将此过程称为Stin（12）-制度转换复合霍克斯过程（RSCHPDO）。3.2.1.3. （非固定勾号、两个值价格变化、依赖者）。假设Xkis遍历连续时间马尔可夫链，独立于N（t），具有两个状态，X={1，2}，N（t）是更新过程。（10）变为S+NtXi=1a（Xk），（19.3），其中a（Xk）仅取两个值a（1）和a（2）。我们将其称为具有两个状态相关序的processStin（13）-状态切换广义复合Hawkes过程（RSGCHP2SDO）。当然，这个模型更为通用，因为如果我们设置a（1）=δ和a（2），我们可以考虑一个蜱虫传播=-δ.3.2.1.4。（非固定刻度，N值价格变化，依赖者）。假设独立于N（t）的Xkis遍历连续时间马尔可夫链具有N个状态，X={1，2，…，N}，N（t）是更新过程。（10）Becomest=S+NtXi=1a（Xk），（19.4），其中a（Xk）取n值a（1），a（2）。。。，a（n）。我们将这一过程称为Stin（14）-具有n态相关序的状态切换广义复合Hawkes过程（RSGCHPnSDO）。这个模型比（19.3）更一般，因为我们可以考虑（14）中状态空间X的n=2。备注3。与定义8-10类似，我们可以用指数核（见（4））或幂律核（见（6））定义regimeswitching-Hawkes过程。因此，如果我们采用D维、定义9或非线性、定义10、状态转换霍克斯过程Nt，我们可以定义各自的状态转换一般复合霍克斯过程，类似于（19）定义11中定义的过程。备注4。

[14]（指数核）和[45]（多维霍克斯过程）中考虑了状态切换霍克斯过程。文献[14]讨论了一个自激计数过程，其参数依赖于隐有限状态马尔可夫链，并基于跳跃过程的观察得到了最优滤波器和平滑器。论文[45]考虑了一个具有指数核的制度转换多维霍克斯过程，该过程反映了买卖价差的变化。研究了该模型的参数极大似然估计等统计特性。4《限额订单手册》中各种霍克斯流程的LLN和LLN在本节中，我们考虑《限额订单手册》中第3节定义的各种霍克斯流程的LLN和LLN。在限价订单簿、高频和算法交易中，订单到达和取消非常频繁，并且发生在毫秒级（参见，例如，[15]、[10]）。同时，在许多应用程序中，例如订单执行，人们对订单在大时间尺度上的动态变化感兴趣，通常是几十秒或几十分钟。这意味着我们可以通过研究价格过程的差异限制，使用渐近方法来研究模型中价格波动和订单流之间的联系。在这里，我们证明了价格过程的函数中心极限定理，并用描述到达率和价格变化的参数表示价格变化的波动性。我们还为这些不同的CHP提供了证明。在第一节中，我们总结了[41]的结果，以确保其完整性。

我们注意到，在[13]中研究了具有时间相关到达率λ（t）的一级限额订单，包括价格过程的渐近分布。4.1 LimitOrder Books中具有相关订单的复合HawkesProcess（CHPDO）的差异极限和LLN我们在这里考虑了（12）中定义的中间价格过程St（GCHP），即：St=S+N（t）Xi=1Xk，（20），其中Xk∈ {-δ、 +δ}是连续时间二态马尔可夫链，δ是执行棒大小，N（t）是截至时刻t的价格变化数，由（2）定义的一维霍克斯过程描述，定义4。这意味着我们有固定刻度、两个值价格变化和依赖者的情况。定理1（CHPDO的扩散极限）。设Xkbe是一个具有两个状态的遍历马尔科夫链{-δ、 +δ}和遍历概率（π*, 1.-π*). 让我们也在（20）中定义。然后是SNT- N（nt）·s*√n→n→+∞σqλ/（1）- W（t），（21），其中W（t）是标准维纳过程，0<u：=Z+∞u（s）ds<1和z+∞u（s）sds<+∞, （22）秒*:= δ(2π*- 1） σ：=4δ1.- p+π*（p- p） （p+p- （2）- π*（1）- π*), （23）和（p，p）是马尔可夫链Xk的转移概率。我们注意到λ和u（t）在（2）中定义。证据从（20）可以看出，snt=S+N（nt）Xi=1Xk，（24）和snt=S+N（nt）Xi=1（Xk- s*) + N（nt）s*.因此，Snt- N（nt）s*√n=S+PN（nt）i=1（Xk- s*)√n

（25）长屁股√n→n→+∞0，我们必须找到Pn（nt）i=1（Xk）的极限- s*)√n时n→ +∞.考虑以下sumsRn：=nXk=1（Xk- s*) （26）andUn（t）：=n-1/2[(1 - （nt- bntc）Rbntc）+（nt- bntc）Rbntc）+1]，（27），其中b·c是FLOOR函数。根据[42]中的鞅方法，我们在Skorokhod拓扑中有以下弱收敛（参见[40]）：Un（t）→n→+∞σW（t），（28），其中σ在（23）中定义。我们注意到，对于霍克斯过程N（t）（参见，例如，[17]），w.r.t LLN我们有：N（t）t→t型→+∞λ1 - ^u，orN（nt）n→n→+∞tλ1- ^u，（29），其中^u在（22）中定义。使用（28）中的时间变化，t→ N（nt）/N，我们可以从（28）和（29）中找到：Un（N（nt）/N）→n→+∞σWtλ/（1）- ^u),orUn（N（nt）/N→n→+∞σqλ/（1）- ^u）W（t），（30）现在，结果（21）来自（25）-（30）。引理1（LLN表示CHPDO）。过程Sntin（24）满足了Skorokhod拓扑中的以下弱收敛（见[40]）：Sntn→n→+∞s*·λ1 - ^ut，（31），其中s*和^u分别在（23）和（22）中定义。证据从（24）中，我们得到snt/n=序列号+n（nt）Xi=1Xk/n。（32）当n→ +∞. 另一方面，w.r.t.thestrong LLN表示马尔可夫链（参见，例如，[38]），nnXk=1Xk→n→+∞s*, （33）其中s*定义见（23）。最后，考虑到（29）和（33），我们得到：N（nt）Xi=1Xk/N=N（nt）nN（nt）N（nt）Xi=1Xk→n→+∞s*λ1 - ^ut，下面是（31）中的结果。4.2有独立订单的RSCHP（RSCHPDO）的差异限额和LLN在限额订单手册中，我们这里考虑的是中间价格过程St（RSGCHP），形式为St=S+NtXi=1Xk，（34），其中Xk∈ {-δ、 +δ}，δ是固定的刻度大小，而nTi是截至时刻t的价格变化数量，由一维区域切换霍克斯过程描述，定义为（与（16）相比，定义为8）：λt=<λ，Yt>+Ztu（t- s） dNs。

（35）在这里，我们想放松一维区域切换霍克斯过程的模型，只考虑在（25）中切换参数λ，背景强度的情况，从限价订单簿的角度来看，这是合理的。例如，我们可以考虑三态马尔可夫链Yt∈ {1，2，3}和解释<λ，Yt>分别为限制指令，如λ，市场指令，如λ，和取消指令，如λ的强度。当然，也可以考虑更一般的情况（16），其中<u（t），Yt>，激励函数（例如）也可以分别根据限制指令、市场指令和取消指令取三个值。定理2（RSGCHP的扩散极限）。设Xkbe是一个具有两个状态的遍历马尔科夫链{-δ、 +δ}和遍历概率（π*, 1.-π*). 还可以用λtin（35）定义（34）。我们还考虑了具有遍历概率（p*, p*, ..., p*N） 。然后是SNT- Nnt·s*√n→n→+∞σq^λ/（1）- ^u）W（t），（36），其中W（t）是标准维纳过程，s*和σ在（23）中定义，^λ：=NXi=1p*iλi6=0，λi：=<λ，i>，（37）和^u在（22）中定义。证据从（34）可以看出，snt=S+NntXi=1Xk，（38）和snt=S+NntXi=1（Xk- s*) + Nnts公司*,其中Nntis RGCHP具有区域切换强度λtin（35）。因此，Snt- Nnts公司*√n=S+PNnti=1（Xk- s*)√n

（39）长屁股√n→n→+∞0，我们必须找到Pnnti=1（Xk）的极限- s*)√n时n→ +∞.考虑以下和，类似于（26）和（27）：Rn：=nXk=1（Xk- s*) （40）andUn（t）：=n-1/2[(1 - （nt- bntc）Rbntc）+（nt- bntc）Rbntc）+1]，（41），其中b·c是FLOOR函数。根据[42]中的鞅方法，我们在Skorokhod拓扑中有以下弱收敛（参见[40]）：Un（t）→n→+∞σW（t），（42），其中σ在（23）中定义。我们注意到，对于具有区域切换强度λtin（35）的Hawkes工艺，w.r.t LLN（详见【31】）：Ntt→t型→+∞^λ1 - ^u，或NTN→n→+∞t^λ1- ^u，（43），其中^u在（22）中定义，^λ在（37）中定义。使用（43）中的时间变化，t→ Nnt/n，我们可以从（42）和（43）中找到：Un（Nnt/n）→n→+∞σWt^λ/（1）- ^u),奥伦（Nnt/n）→n→+∞σq^λ/（1）- ^u）W（t），（44）现在，结果（36）来自（38）-（44）。引理2（LLN表示RSCHPDO）。过程Sntin（38）满足了Skorokhod拓扑中的以下弱收敛（见[40]）：Sntn→n→+∞s*·^λ1 - ^ut，（45），其中s*,^λ和^u分别在（23）、（37）和（22）中定义。证据从（38）中，我们得到了snt/n=S/n+NntXi=1Xk/n，其中Nntis-Hawkes过程具有区域切换强度λtin（35）。当n时，第一项变为零→ +∞.从另一边，w.r.t。

马尔可夫链的强LLN（参见，例如，[38]）nnXk=1Xk→n→+∞s*,其中s*定义见（23）。最后，考虑到（43）和最后一个极限，我们得到：NntXi=1Xk/n=nntnntxi=1Xk→n→+∞s*^λ1 - ut，然后是（45）中的结果。4.3具有两个状态相关订单（GCHP2SDO）的一般CompoundHawkes过程的差异极限和LLN在限价订单手册中，我们这里考虑的是中间价格过程St（GCHP），在（13）中定义，即：St=S+N（t）Xi=1a（Xk），（46），其中Xk∈ {1，2}：=X是连续时间2态马尔可夫链，X上的（X）是连续且有界的函数={1，2}，N（t）是到时刻t的价格变化数，由（2），定义4中定义的一维Hawkes过程描述。这意味着我们有非执行tick、双值价格变化和依赖订单的情况。定理3（GCHP2SDO的扩散极限）。设Xkbe是一个具有两个状态{1，2}和遍历概率（π）的遍历马尔科夫链*, π*).让我们也在（46）中定义。然后是SNT- N（nt）·a*√n→n→+∞σ*qλ/（1）- W（t），（47），其中W（t）是标准维纳过程，0<u：=Z+∞u（s）ds<1和z+∞u（s）sds<+∞, (48)(σ*):= π*a+π*a+（π*a+π*（a）[-2aπ*- 2aπ*+ (π*a+π*a） （π*+ π*)]+(π*（1）-p） +π*（1）-p） ）（a-a） （p+p-2） +2（a- （a）·π*a（1-p）-π*a（1-p） p+p-2+(π*a+π*a） （π*-pπ*-π*+pπ*)p+p-2.,一*:= π*a（1）+π*a（2），（49），其中（p，p）是马尔可夫链Xk的转移概率。我们注意到λ和u（t）在（2）中定义。证据从（46）可以看出，snt=S+N（nt）Xi=1a（Xk），（50）和snt=S+N（nt）Xi=1（a（Xk）- 一*) + N（nt）a*,其中a*:= π*a（1）+π*a（2）。因此，Snt- N（nt）a*√n=S+PN（nt）i=1（a（Xk）- 一*)√n

（51）长屁股√n→n→+∞0，我们必须找到Pn（nt）i=1（a（Xk）的极限- 一*)√n时n→ +∞.考虑以下sumsR*n： =nXk=1（a（Xk）- 一*) （52）安度*n（t）：=n-1/2[(1 - （nt- bntc））R*bntc）+（nt- bntc））R*bntc）+1]，（53），其中b·c是FLOOR函数。根据[43]中的鞅方法，我们在Skorokhod拓扑中有以下弱收敛（参见[40]）：U*n（t）→n→+∞σ*W（t），（54），其中σ*定义见（49）。我们再次注意到，对于霍克斯过程N（t）（参见，例如，[17]），w.r.t LLN我们有：N（t）t→t型→+∞λ1 - ^u，orN（nt）n→n→+∞tλ1- ^u，（55），其中^u在（48）中定义。使用（54）中的时间变化，t→ N（nt）/N，我们可以从（54）和（55）中找到：U*n（n（nt）/n）→n→+∞σ*Wtλ/（1）- ^u),奥鲁*n（n（nt）/n）→n→+∞σ*qλ/（1）- ^u）W（t），（56）结果（47）现在由（50）-（56）得出。引理3（GCHP2SDO的LLN）。过程Sntin（46）满足Skorokhod拓扑中的以下弱收敛（见[40]）：Sntn→n→+∞一*·λ1 - ^ut，（57），其中*和^u分别在（49）和（48）中定义。证据从（46）中，我们得到snt/n=S/n+n（nt）Xi=1a（Xk）/n。（58）当n→ +∞. 另一方面，w.r.t.thestrong LLN表示马尔可夫链（参见，例如，[38]），nnXk=1a（Xk）→n→+∞一*, （59）如果*定义见（49）。最后，考虑到（55）和（59），我们得到：N（nt）Xi=1a（Xk）/N=N（nt）nN（nt）N（nt）Xi=1a（Xk）→n→+∞一*λ1 - ^ut，然后是（57）中的结果。4.4制度转换的差异限制和LLN在限制订单手册中，我们在这里考虑中间价格过程St（RSGCHP2SDO），形式为St=S+NtXi=1a（Xk），（60），其中Xk∈ {1，2}：=X是一个连续时间马尔可夫链，a（X）是X上的连续有界函数={1，2}，且Ntis是截至时刻t的价格变化数，由一维区域切换霍克斯过程描述（与（16）定义8相比）：λt=<λ，Yt>+Ztu（t- s） dNs。