连续Blotto的部分解

事实上，将此表示的0的任何倍数与v相加也是如此。某些倍数将保持所有系数为非负；有些人不会。小倍数将保持所有系数为非负（除非一开始为零，但之后该项可以删除）。找到保持系数非负的区域（零的倍数）的边。在区域的任一边上，一个或多个系数为零，其余为非负。现在去掉系数为零的顶点，结果是n+1点或更少的凸组合。证据设v=N+2Ps=1csvs，其中N+2Ps=1cs=1和0≤ cs公司≤ 1适用于所有s∈{1，2，…，N+2}（换句话说，v是v的凸组合）。如果vis不是零向量，则从所有vs（包括vitself）和v中减去Vf，如果v是vs的凸组合，则它仍然是vs的凸组合，具有相同的cs选择；相反，若vis现在是vs的凸组合，那个么它就是vs的凸组合，同样具有相同的cs选择。设S为vs跨越的空间；这可能是也可能不是RN、 不管怎样，都可以从VS中选择N个跨越S的向量。将VS添加到此集合（或者如果vis已经在，则添加另一个VS）。让vN+2为不在此集中的VS之一；如果不是vN+2，则重新分配vsso的标签，使其确实是集合外部的vN+2（并且使vremains 0）。鉴于t v。。。，对于一些实数ds，vN+1的跨度S等于vN+2=N+1Ps=1dsv。如果dN+2设置为-1，N+2Ps=1dsvs=0。Asv=0，可以进一步说明d=-N+2Ps=2ds，因此lldss的和为零。因此，不仅v=N+2Ps=1csvs，而且v=N+2Ps=1csvs+bN+2Ps=1dsvs=v表示任何实数b。

简化该方程的右侧yieldsv=N+2Ps=1（cs+bds）vs，其中N+2Ps=1（cs+bds）=N+2Ps=1cs+bN+2Ps=1ds=1+b（0）=1，因此，如果N+2Ps=1（cs+bds）v的所有系数均为非负，则该表达式给出了将v写入v的凸组合的不同方式。。。，vN+2。剩下的就是选择一个b值，使所有系数都为非负，但至少将其中一个系数设置为零。至少有一个负ds（例如，dN+2）。对于Ds为负的所有s，让t为-csdsis最低，设置b=-ctdt。b是一个非负数，因为ct≥ 因此，对于任何s，其中ds≥ 0，cs+bds≥ 0自动满足要求。如果ds<0，则cs+bds=cs+-CTDTD≥ cs公司+-CSDSD=0。因此，所有系数都是非负的。指数t的系数为零，因为ECT+bdt=ct+-ctdtdt=0。因此，这是一个b的值，其ma kesN+2Ps=1（cs+bds）vsa表示所有v，…，的凸组合。。。，vN+2，至少有一个系数等于0。去掉这一项，结果是v，…，的最大N+1的凸组合。。。，vN+2。引理6。让v。。。，vMbe点位于RN、 当M>N时，如果v是这些po的凸组合，则v也可以被压缩为最多N+1个po的凸组合，而不一定是选择v.校对草图时的相同po。对于超过N+2个点的凸组合，只考虑前N+2个点，并使用重新缩放系数，使缩放系数之和为1。这是N+2个点的凸组合，因此可以通过前面的引理重写为不超过N+1个thoseN+2个点的凸组合。将N+1系数向后缩放，使其总和与N+2原始系数之和相同，并用此新表达式替换对应于t N+2点的凸组合部分。

这仍然是v作为点的凸组合的表示，但这次，它是一个只有M的凸组合-1分。只要有N+2个或更多点，此过程就可以删除一个，因此重复此过程，直到只有N+1个或更少点。证据设v=MPs=1csvs，其中MPs=1cs=1和0≤ cs公司≤ 1适用于所有s∈{1，2，…，M}（在其他情况下，v是v的凸组合）。同样，让至少一个o f c，c。。。，cN+2为非零。（如有必要，重新设置点。至少有一个点的系数为非零。）现在：v=MXs=1csvs=N+2Xs=1csvs+MXs=N+3csvs=N+2Pu=1立方英寸+2Pu=1立方英寸N+2Xs=1csvs+MXs=N+3csvs=N+2Xu=1cu！N+2Xs=1csN+2Pu=1cuvs公司+MXs=N+3csvs！AsN+2Ps=1csN+2Pu=1cuv是v，…，的凸组合。。。，vN+2（其系数为非负且和为1），通过引理5，N+2Ps=1csN+2Pu=1cuVS是从v，…，中选择的最多N+1个向量的凸组合。。。，vN+2。让w，。。。，wN+1就是这些N+1向量。因此，对于一些非负数dtsumming to 1，N+2Ps=1csN+2Pu=1cuvs=N+1Pt=1dtwtw。因此：N+2Xu=1cu！N+2Xs=1csN+2Pu=1cuvs公司+MXs=N+3csvs=N+2Xu=1cu！N+1Xt=1TWT+MXs=N+3csvs=N+1Xt=1dtN+2Xu=1cu！wt+MXs=N+3csvs！所有系数之和为1，与第一个系数之和一样，系数s之和为吨+1Pt=1dtN+2Pu=1cu=N+2Pu=1cuN+1Pt=1dt=N+2Pu=1cu=N+2Ps=1cs，在第二项中，系数之和toMPs=N+3csvs，对于总的Ms=1csvs，即1。此外，所有系数都是非负的（因为en+2Ps=1csis非负）。因此，这是w，…，的凸组合。。。，wN+1，vN+3。。。，vM，此列表仅包括M-1.向量。

这个过程可以根据需要重复多次，以使向量的数量减少到N+2（或更少，在这种情况下，引理陈述为真）；在这一点上，引理5（或者这个过程的另一个过程，从N+3到M的和没有任何项，因此为零）可以应用于最终减少到最多N+1点。引理7。设h是-n、 n个到RN、 然后，ifv=nRnf（x）h（x）dx，其中nRnf（x）dx=1和f（x）≥ 0表示所有x英寸-n、 n个（换句话说，v是路径h的凸包），那么v是h范围内最多N+1个值的凸包（换句话说，路径h上的大气N+1个）。校样草图。根据前面的引理，可以将N维空间中有限多个点的凸组合减少为仅N+1个点的凸组合。对于路径上无数点的凸组合点v，将积分分为M个部分。在每件作品中，保持f（x）不变，但在左侧（最低x）端点处用h近似h（x）。随着M变大，这些近似接近v。每个近似都是由无数个点组成的凸组合，因此前面的引理表明，每个近似都是由N+1个点组成的凸组合。用这种方式写每一个动作。然后，至少m的一些近似值是收敛序列，因为凸组合的第一个点收敛，第二个点也收敛，依此类推直到（N+1）个点，相应的系数也收敛。对于每个点或系数，取收敛子序列中对应点或系数的极限，这将v表示为N+1点s证明的凸组合。分-n、 n个成M等长间隔-n-n+牛米,-n+nM，-n+2nM,...,-n+（M- 1） nM，n.

那么，v=nZnf（x）h（x）dx=M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）h（x）dx=M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）h（x）。。。hN（x）dx（带h（x）。。。，hN（x）是h（x））=M的分量-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）h（x）。。。f（x）hN（x）dx=M-1Xs=0-n+（s+1）nMR-n+snMf（x）h（x）dx。。。-n+（s+1）nMR-n+snMf（x）hN（x）dx=M-1Ps=0-n+（s+1）nMR-n+snMf（x）h（x）dx。。。M-1Ps=0-n+（s+1）nMR-n+snMf（x）hN（x）dx设vt=M-1Ps=0-n+（s+1）nMR-n+snMf（x）ht（x）dx。换句话说，vt是v的第t个分量。那么，因为f（x）是非负的：vt=M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）ht（x）dx≤M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）最大值-n+snM≤b≤-n+（s+1）nMht（b）DX换言之，如果每个间隔中的ht（x）在该间隔中增加到最大ht（x）（存在是因为ht是连续的），则VT不会减少。类似的语句给出了vt的下限：vt=M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）ht（x）dx≥M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）最小值-n+snM≤b≤-n+（s+1）nMht（b）dxLet bs、t、MaxConfect-n+snM≤ b≤ -n+（s+1）nM，并且使HT（bs，t，max）=max-n+snM≤b≤-n+（s+1）nM（ht（b））。换句话说，在maximumexpression中，bs，t，max是达到该最大值的b值，该最大值的存在是因为htis连续的，并且最大值是在一个闭合的间隔内获得的。同样，让bs、t、minsatisfy-n+snM≤ b≤ -n+（s+1）nM，并且使ht（bs，t，min）=min-n+snM≤b≤-n+（s+1）nM（ht（b））。

因此：vt≤M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）ht（bs、t、max）DX和VT≥M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）ht（bs，t，min）dx边界之间的差值为：M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）ht（bs，t，最大）d x-M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）ht（bs，t，min）d x=M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）ht（bs，t，最大）dx--n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）ht（bs，t，min）dx=M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snM（f（x）ht（bs，t，最大值）- f（x）ht（bs，t，min））dx=M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）（ht（bs，t，最大值）- ht（bs，t，min））dx因为ht是闭合区间上的连续函数-n、 n个), 它是均匀连续的。因此，对于任何>0的情况，都存在δ>0，因此对于所有x和xin-n、 n个, 如果| x- x |<δ，然后| ht（x）- ht（x）|<。对于每个，选择一个δ，如果是，则选择任意M>nδ。对于任何这样的人，-n+S要求-n+（s+1）nMare onlynMapart，小于n（nδ），或等效地小于δ。这意味着bs，t，min和bs，t，max之间的距离小于δ，因为它们在-n+snM，-n+（s+1）纳米该区间的端点间距小于δ。因此，| bs，t，min- bs，t，max |<δ，因此，| ht（bs，t，min）- ht（bs，t，最大值）|<。因此，对于任何，只要将M设置得足够大，就可以设置：M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）（ht（bs，t，最大值）- ht（bs，t，min））dx≤M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）（ht（bs，t，最大值）- ht（bs，t，min））dx≤M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snM | f（x）（ht（bs，t，最大值）- ht（bs，t，min））| dx≤M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）| ht（bs，t，最大值）- ht（bs、t、min）| dx≤M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）（）dx≤ M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）dx≤ 新西兰-nf（x）dx≤ 因此，limM→∞M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）（ht（bs，t，最大值）- ht（bs，t，min））dx=0，这意味着VT上的边界将依次接近。

因此，两个边界，以及始终位于边界或边界之间的任何东西，都必须收敛到vt。有一件事可以保证位于边界或边界之间，那就是rvt=M的左和-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）ht（x）DXISM-1Xs=0ht公司-n+snM-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）dx重新组合这些左和可以得到：M-1Ps=0h类-n+snM-n+（s+1）nMR-n+snMf（x）dx！。。。M-1Ps=0hN公司-n+snM-n+（s+1）nMR-n+snMf（x）dx！=M-1Xs=0h类-n+snM-n+（s+1）nMR-n+snMf（x）dx。。。hN公司-n+snM-n+（s+1）nMR-n+snMf（x）dx=M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）dxh类-n+snM...hN公司-n+snM=M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）dxh类-n+snM这实际上是h的凸组合-n+snM, 作为h的系数-n+snM是-n+（s+1）nMR-n+snMf（x）dx，均为非负，总和为：M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）dx=新西兰-nf（x）dx=1因此，通过引理6，左和f或v（isM-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）dxh类-n+snM) 是h的至多N+1的凸组合-n+snM. 如果其点数少于N+1，则向其添加更多点数，系数为0，使其成为N+1个整数的凸组合。等效地，对于一些非负的cq，M（其中q从1 t到N+1），其和为1，其中xq，Mare从-n+snM（对于相同的M），M-1Xs=0-n+（s+1）nMZ-n+snMf（x）dxh类-n+snM=N+1Xq=1（cq，Mh（xq，M））。同样，当M变大时，v的左和接近v，因为它的每个分量已经显示接近v的相应分量。因此，limM→∞N+1Xq=1（cq，Mh（xq，M））=v向量序列c1，M。。。cN+1、Mx1、M。。。xN+1，米具有Convergent（在所有组件中）子序列。

原因是，有一个子序列，其中第一个组件聚合（第一个组件有界），然后有一个子序列，其中第二个组件聚合，这一过程可以对每个组件重复。让{Mp}∞p=1b是M在此收敛子序列中的选择。这意味着所有的跛行→∞cq、M和所有跛行→∞xq，Mpexist。因此，表达式N+1Xq=1无力的→∞cq，Mph类无力的→∞xq，Mp...hN公司无力的→∞xq，Mp没有不存在的限制，因此可以使用通常的限制规则来简化→∞N+1Xq=1cq，Mph类xq，Mp...hN公司xq，Mp哪个是IMP→∞N+1Xq=1cq，英里/小时xq，Mp鉴于此，已经知道Limm→∞N+1Xq=1（cq，Mh（xq，M））=vit遵循thatlimp→∞N+1Xq=1cq，英里/小时xq，Mp= V这意味着V=N+1Xq=1无力的→∞cq，Mph类无力的→∞xq，Mp...hN公司无力的→∞xq，Mp只要每个（q变化）h类无力的→∞xq，Mp...hN公司无力的→∞xq，Mp是路径h上的一个点，这表示v是路径h上最多N+1个点的凸组合，cq，Mpsum为1，因此当p接近于单位时，它们的极限为零，cq，Mpare均为非负，因此当p接近于单位时，它们的极限为零。事实上，由于所有的HTS都是连续的，因此h类无力的→∞xq，Mp...hN公司无力的→∞xq，议员= h类无力的→∞xq，Mp极限跛行→∞xq，Mp存在（因为选择了MPS使其存在）ndis-n、 n个（由于所有xq，Mp都在这段时间内），所以h类无力的→∞xq，Mp...hN公司无力的→∞xq，Mp确实在路径h上。因此，v确实是路径h上大多数点+1点的凸组合。引理8。对于任意函数h，设h-功能定义为h-（z） =小时(-z） 。然后，（例如）-= E（g-).

换言之，如果g在水平轴上用yon表示，如果Eg在水平轴上用x表示，则g在垂直轴上的反射会导致Eg在垂直轴上的反射。证据（E（g-)) （x） =新西兰-nrx个- y+a+ r-x+y+ag级-（y） dy=nZ-nrx个- y+a+ r-x+y+ag级(-y） 取代u异常=-y： 新西兰-nrx个- y+a+ r-x+y+ag级(-y） dy=--新西兰元rx+u+a+ r-x个- u+ag（u）du=新西兰-nrx+u+a+ r-x个- u+ag（u）du=新西兰-nr-x个- u+a+ rx+u+ag（u）du=新西兰-nr-x个- u+a+ r-(-x） +u+ag（u）duAs用于积分变量o的字母cho ice无关紧要：nZ-nr-x个- u+a+ r-(-x） +u+ag（u）du=新西兰-nr-x个- y+a+ r-(-x） +y+ag（y）duThus：（E（g-)) （x） =新西兰-nr-x个- y+a+ r-(-x） +y+ag（y）duAlso：（例如）-（x） =（Eg）(-x） =新西兰-nr-x个- y+a+ r-(-x） +y+ag（y）duThis暗示（Eg）-= E（g-), 因为x的这两个函数在x的每个值上都一致。引理9（对g的奇偶部分对E的影响）。对于所有函数h，lethe=h+h-和ho（z）=h-h类-, 带h-（z） =小时(-z） ，如引理8所定义。（换句话说，h是“偶数部分”，h是“奇数部分”。）然后，（例如）e=e（ge）和（例如）o=e（go）。证据（Eg）e=Eg+（Eg）-=Eg+E（g-)=E（g+g-)= Eg+g-= E（ge）和，类似地：（Eg）o=Eg- （例如）-=如- E（g-)=E（g- g级-)= Eg级- g级-= E（go）引理10。游戏者1策略的正交基{f（x），f（x），f（x），···}只包含偶数函数和奇数函数。同样，玩家1策略的正交基{g（y），g（y），g（y），···}也只包含偶数函数和奇数函数。证据对于玩家1，w为x，对于玩家2，y为y，对于玩家1，V为ben+A，对于玩家2，V为ben+A，对于所有非负整数s，对于玩家1，H为Fs，对于玩家2，G为Gs。

在任何一种情况下，为了证明这个引理，它必须证明正交基{h（w），h（w），h（w），····································。对于任一玩家，这都是正交标准l（使用点积ha·hb=νR-νha（x）hb（x）dx）基，通过Gram-Schmidt过程从基{1，w，w，··，wn}生成。假设情况并非如此；也就是说，假设对于一些非负整数s，HSI既不是偶数也不是奇数。在所有的s中，恒生指数既无奇数也无奇数，选择最低的。s不是0，因为h=√1·1是一个均匀函数。对于s>0，hs=ws-s-1Pj=0（（ws·hj）hj）vuutws-s-1Pj=0（（ws·hj）hj）·ws系列-s-1Pj=0（（ws·hj）hj）！（通过将WST还原为垂直于所有h、h、h、····、hs的分量获得-1，并通过除以幅值对结果进行归一化）。这是定义的，因为对于每个多项式h，h·h=νR-ν（hj（w））dw≥ 0，且当h为零多项式时仅为零；ws系列-s-1Pj=0（（ws·hj）hj）不是零多项式，否则wsj是h，h，·····hs的线性组合-1，或等效地，1，w，w，····，ws的线性组合-1，但事实并非如此。现在，每个hj要么是偶数函数，要么是奇数函数，就像ws一样。如果Ws和hj中正好有一个是偶数函数（另一个是奇数），那么Ws·hj=νR-νwshj（w）dw=0，因为这是对称整数上奇数函数的积分。因此-1Pj=0（（ws·hj）hj），如果wsis偶数，则此和中的每一项都是偶数，同样，如果wsis奇数，则此和中的每一项都是奇数。它跟在t hat ws后面-s-1Pj=0（（ws·hj）hj）本身要么是一个偶数函数，要么是一个奇数函数，但hsis ws-s-1Pj=0（（ws·hj）hj）除以一个（非零）常数，因此HSI是偶数或奇数，这与假设相矛盾。从导致矛盾的相反假设出发，正交基{h（w），h（w），h（w），···}只包含偶函数和奇函数。