寿险转换期权评估的多状态模型

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英文标题：
《Multi-state models for evaluating conversion options in life insurance》
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作者：
Guglielmo D\'Amico, Montserrat Guillen, Raimondo Manca, Filippo Petroni
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper we propose a multi-state model for the evaluation of the conversion option contract. The multi-state model is based on age-indexed semi-Markov chains that are able to reproduce many important aspects that influence the valuation of the option such as the duration problem, the time non-homogeneity and the ageing effect. The value of the conversion option is evaluated after the formal description of this contract.
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中文摘要：
在本文中，我们提出了一个用于评估转换期权合同的多状态模型。多状态模型基于年龄指数半马尔可夫链，该链能够再现影响期权估值的许多重要方面，如持续时间问题、时间非同质性和老化效应。转换期权的价值在本合同的正式描述之后进行评估。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Multi-state_models_for_evaluating_conversion_options_in_life_insurance.pdf (184.39 KB)

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关键词：Quantitative Homogeneity derivatives Description QUANTITATIV

《现代随机：理论与应用》4（2）（2017）127–139DOI:10.15559/17-VMSTA78评估寿险转换期权的多状态模型古列尔莫·达米科亚，*, 蒙特塞拉特·吉伦布（Montserrat Guillenb）、雷蒙多·曼萨克（Raimondo Mancac）、菲利波·彼得罗尼亚德（Filippo PetronidaDepartment of Pharmacy）、基耶蒂·佩斯卡拉（Chieti Pescara）“G.d\'Annunzio”大学（Chieti）、意大利巴塞罗那大学计量经济学、统计与经济学系（ItalybDepartment of Economistics、Statistics and Economics）、意大利巴塞罗纳大学（University of Barcelona）、罗马“La Sapienza”大学（La Sa。damico@unich.it（G.D\'Amico），mguillen@ub.edu（吉伦先生），雷蒙多。manca@uniroma1.it（R.Manca），fpetroni@unica.it（F.Petroni）收到日期：2017年3月29日，修订日期：2017年4月20日，接受日期：2017年4月21日，在线发布日期：2017年5月10日摘要在本文中，我们提出了一个多州转换期权合同评估模型。多状态模型基于年龄指数半马尔可夫链，能够再现影响期权估值的许多重要方面，如久期问题、时间非同质性和老化效应。转换期权的价值在本合同的正式描述之后进行评估。半马尔可夫链、临时保单、永久保单2010 MSC60K15、90B25这项工作是为了表彰德米特里·西尔维斯特罗夫教授对精算数学的贡献。*通讯作者。(c)2017作者。VTeX发布。根据许可证开放获取CC下的文章。www.i-journals。组织/vmsta128 G。

D\'Amico等人1简介转换选项是一种选项，允许保单持有人在初始保单到期之前将其原始临时保单（TIP）转换为临时保单（PIP）。保险公司可能会发现这种合同很方便，因为转换初始保单而不是签发新保单的成本可能要低得多。另一方面，投保人可能会参与转换合同，因为在转换时，保险公司不需要任何可保性证据，并根据原始合同签发时的年龄计算新保费。然而，在转换时，被保险人必须支付原始小费和转换PIP之间的现金价值差额。关于转换期权的文献并不多，主要参考文献为文章【17】，其中构建了基于可致命性的估值模型，然后将其扩展到可致命性的Lee–Carter模型。一篇相关的文章是[15]，作者考虑了挪威可用的交换期权。一般来说，保险公司以事件序列的形式收集有关投保人健康状况的数据。因此，他们可以评估生存概率，同时考虑被保险人的长期发展。这意味着，与从简单的重要性表中提取的信息相比，采用多状态模型可以改进与策略相关的合同（如转换选项）的评估过程。事实上，正如【11】所述，死亡率仅限于准确预测死亡率的动态变化。

此外，最近的文献包括了基于马尔科夫链的多状态模型作为传统死亡率模型的有价值的替代品的贡献，如[12、13、18、10]。近年来，基于半马尔可夫过程的一般方法也被应用于残疾保险问题，参见【16、4、5、14】。其适当性是因为拒绝了几何（连续时间模型中的指数）分布假设，即在健康状态下进行转换之前，对等待时间进行建模。事实上，几何（指数）假设导致缺乏记忆性，这从数学角度来看非常方便，但很少有经验证据支持。在本文中，我们重点讨论了当年龄指数半马尔可夫多状态模型描述保单持有人健康状态的演化时，转换选项的评估。为此，我们对模型的第一阶转移概率进行了评估，然后通过分析TIP和PIP合同以及转换选项，制定了评估程序。所得结果在更一般的框架内推广了[17]的结果。特别是，我们表明，转换期权的价值取决于我们的模型同时管理的许多参数，如投保人的健康状况演变、投保人的年龄以及医学科学进步带来的时间效应。我们从第2节开始，描述了ag e索引半马尔可夫模型。在第3节中，我们解释了转换期权的估价程序，并计算了其价值。

最后，本文对进一步的研究提出了一些结论和建议。1292年人寿保险年龄指数半马尔可夫模型中的转换选项按照[9]的方法，可以给出离散时间非齐次半马尔可夫模型的可处理扩展，这有助于考虑与转换选项评估相关的不同方面，如持续时间问题、非齐次性和老化效应。这种方法在文献[1-3]中得到了进一步推广，其中研究了一般索引半马尔可夫过程，并将其应用于不同的问题。关于完全概率空间(Ohm, F、 P）我们考虑了两个随机变量序列，它们共同进化：Jn：Ohm → E={1，2，…，D}，Tn：Ohm → N、 Jn表示第N次转移时的状态，该状态可与集合E中的一个互斥元素识别。在OUR框架中，集合E包含投保人健康状态的所有可能值，包括由D表示的死亡状态。数量Tn表示第N次转移的时间，即投保人进入健康状态Jn的时间。我们通过以下关系定义年龄指数过程：An=An-1+Tn- 田纳西州-1，n∈ N、 （1）已知Ais的情况。从现在起，我们将设置A=A，通常设置T=0。

这意味着，通过递归替换，An=a+Tn，即初始年龄（a=a）加上发生转变的时间（Tn）给出了转变时的年龄。关键假设是考虑三重（Jn，Tn，An）类似于指数为P的非齐次马尔可夫更新过程Jn+1=j，Tn+1≤ t型σ（Jh，Th，Ah，h≤ t） ，Jn=i，Tn=s，An=a+s= P[Jn+1=j，Tn+1≤ t | Jn=i，Tn=s，An=a+s]=aQij（s；t），（2）其中σ（Jh，Th，Ah，h≤ t） 是三变量过程（Jh，Th，Ah）h的自然过滤∈N、 关系式（2）证实，无论过去变量的值是什么，对Jn、Tn、Anis值的认知都足以提供耦合Jn+1、Tn+1的条件分布。让我们用apij（s）表示嵌入的非齐次年龄指数马尔可夫链的转移概率：apij（s）：=P[Jn+1=j | Jn=i，Tn=s，An=a+s]=limt→∞aQij（s；t）。此外，有必要引入过程将保持在状态i中直到时间t的概率，给定在时间s时i的入口：aHi（s；t）=P【Tn+1>t | Jn=i，Tn=s，An=a+s】=1-Xj公司∈EaQij（s；t）。130 G.D\'Amico等人现在可以确定每个州等待时间的分布函数，前提是连续占据的州是已知的：P[Tn+1≤ t | Jn+1=j，Jn=i，Tn=s，An=a+s]=（aQij（s；t）apij（s）ifapij（s）6=0,1 ifapij（s）=0。与马尔可夫模型相比，半马尔可夫模型的主要优点是，在半马尔可夫环境中，概率分布函数sagij（s；·）可以是任何类型。相反，在马尔可夫模型中，它们应该是几何分布的。由于灾难性数据显示等待时间分布的几何性遭到拒绝（参见。

[8、16、4、7]），半马尔可夫模型更适合描述健康状况随时间的演变动态。让我们d enote byaN（t）=sup{n∈ N：Tn≤ t | A=A}计算到时间t的转变次数的过程，并由此确定年龄指数半马尔可夫链byaZ（t）=JaN（t）。在估价过程中，引入后向递推时间过程B（t）=t将非常有用- 棕褐色（t）。它表示从系统最后一次转换开始经过的时间。该过程在残疾保险模型中的相关性已在[4]中描述。为了描述系统的概率演化，我们引入了以下转移概率函数：定义1。初始和最终向后的年龄指数半马尔可夫转移概率函数是矩阵值函数+s-uΦu、 s；u′，t=a+s-uφiju、 s；u′，t, i、 j∈ E、 u，s，u′，t∈ N、 其泛型元素A+s-uφij（u，s；u′，t）表示概率aZ（t）=j，B（t）=u′aZ（s）=i，B（s）=u，AaN（s）=a+TaN（s）. （3） 在残疾保险中，概率（3）可以解释为被保险人在时间t时的残疾程度为j，持续时间为u\'，考虑到当时她/他是i级残疾，持续时间为u，年龄为a+s。命题1。初始和最终向后的年龄指数半马尔可夫转移概率函数满足以下方程A+s的递归系统-uφiju、 s；u′，t= 1{i=j}{u′=t-s+u}a+s-uHi（s- ut） a+s-uHi（s- us） +Xk∈Et公司-u′Xθ=s+1a+s-uqik（s）- uθ） a+s-uHi（s- us） ·a+θφkj0, θ; u′，t,（4） 式中，+sqij（s；t）=P[Jn+1=j，Tn+1=t | Jn=i，Tn=s，An=a+s]=a+sQij（s；t）-a+sQij（s；t）- 1） 如果t>s，如果t=s，则为0。（5）人寿保险131Proof中的转换选项。

让我们用P（i，s）表示-u、 a+s-u） （·）概率测度·aZ（s）=i，TaN（s）=s- u、 AaN（s）=a+s- u,通过P（i，s-u、 a+s-u、 >s）（·）概率测度·aZ（s）=i，TaN（s）=s- u、 AaN（s）=a+s- u、 TaN（s）+1>s.观察信息集{aZ（s）=i，B（s）=u，AaN（s）=a+TaN（s）}等价于{aZ（s）=i，TaN（s）=s- u、 TaN（s）+1>s，AaN（s）=a+s- u} 因此，年龄指数半马尔可夫转移概率函数可以用A+s表示-uφiju、 s；u′，t= P（i，s-u、 a+s-u、 >秒）aZ（t）=j，B（t）=u′= P（i，s-u、 a+s-u、 >秒）aZ（t）=j，TaN（t）=t- u′，TaN（s）+1>t+ P（i，s-u、 a+s-u、 >秒）aZ（t）=j，TaN（t）=t- u′，TaN（s）+1≤ t型.（6） （6）的第一个和可以表示为：P（i，s-u、 a+s-u、 >s）[TaN（s）+1>t，aZ（t）=j，TaN（t）=t- u′]P（i，s）-u、 a+s-u、 >s）[TaN（s）+1>s]=P（i，s-u、 a+s-u、 >s）[TaN（s）+1>s]·P（i，s-u、 a+s-u、 >秒）TaN（s）+1>t，aZ（t）=j，TaN（t）=t- u′型· P（i，s-u、 a+s-u、 >秒）TaN（t）=t- u′型· PTaN（s）+1>taZ（s）=i，TaN（s）=s- u、 AaN（s）=a+s- u=a+s-uHi（s- us）·{i=j}·1{u′=t-s+u}·a+s-uHi（s- ut）.（6）的第二个和可以表示为：-u、 a+s-u） [aZ（t）=j，TaN（t）=t- u′，s<TaN（s）+1≤ t] P（i，s-u、 a+s-u、 >s）[TaN（s）+1>s]=a+s-uHi（s- us） Xk公司∈Et公司-u′Xθ=s+1P（i，s-u、 a+s-u）aZ（t）=j，TaN（t）=t- u′，JaN（s）+1=k，TaN（s）+1=θ=a+s-uHi（s- us） ·Xk∈Et公司-u′Xθ=s+1P（i，s-u、 a+s-u）aZ（t）=j，TaN（t）=t- u′型JaN（s）+1=k，TaN（s）+1=θ· P（i，s-u、 a+s-u） [JaN（s）+1=k，TaN（s）+1=θ]=Xk∈Et公司-u′Xθ=s+1a+s-uqik（s）- uθ） a+s-uHi（s- us） ·a+θφkj0, θ; u′，t.132 G.D\'Amico等人。最后一个等式是通过假设（2）三元函数（Jn，Tn，An）的马尔可夫性与转移时间Tn以及公式（5）中给出的年龄指数半马尔可夫核的定义来获得的。上述跃迁概率将对应的跃迁概率与【6】中推导的初始后向跃迁概率进行了一般化，包括对最终后向跃迁的依赖关系。

尽管如此，他们还是通过包含对年龄的依赖性来概括了[4]中给出的初始和最终向后的转移概率。在本文的后续部分中，我们需要考虑年龄指数模型的生存函数。为此，我们引入了状态D（政治持有人死亡）的命中时间，假设状态i在时间s的占有率为a+s，且在该状态下的持续时间等于u:a+s-uTi，D（u，s）：=inft>s：aZ（t）=DaZ（s）=i，B（s）=u.定义2。年龄指数半马尔可夫链的生存函数是向量值f函数a+s-uS（u，s；t）=（a+s-uSi（u，s；t）），i∈ E、 u、s、t∈ N，通用元素由：a+s给出-uSi（u，s；t）：=PaTi，D（u，s）>t. （7） 它表示在时间间隔（s，t）内不进入状态d的概率，因为时间s的状态i的占用时间为a+s，在此状态下的进入时间为之前的最后一个过渡u期。此函数可以使用以下关系计算：a+s-uSi（u，s；t）=Xj6=Dt-s+uXu′=0a+s-uφiju、 s；u′，t.很容易注意到Pa+s-uTi，D（u，s）=t=a+s-uSi（美国；t- （1）-a+s-uSi（u，s；t）=：a+s-uSi（美国；t- 1). （8） 3人寿保险中的转换选项让我们考虑一下一般情况，即初始年龄为x的女性被保险人的健康状态为i∈ E购买n年期定期保险单（TIP）。当政策即将到期时，如果她还活着，她决定将政策延长到余生。扩展可以通过将初始TIP转换为PIP或购买新的PIP来完成。在图1中，我们报告了一个图表，总结了转换期权合同的时间表。

应该指出的是，在时间n时，将TIP转换为PIP或购买新PIP的决策应考虑投保人的新健康状态（aZ（n））、该状态下的持续时间（B（n））和年龄（x+n）。转换期权的估价需要研究此处涉及的两种合同：TIP和PIP合同。人寿保险中的转换选项133图。1、转换期权图3.1临时保单合同定期保单提供有限时间（n年）的保险范围，并在保单持有人死亡时向其提供保险。在本文中，在不丧失一般性的情况下，我们假设收益设定为1欧元。保单持有人在死亡事件发生或合同到期前（以较早发生者为准）支付年度保费后，才享有该保险。对于TIP合同，让我们引入随机变量（r.v.）（PVDB）i，u，x表示的死亡福利的条件现值。当保单持有人在任何时间死亡时，取δs值≤ n、 给定初始条件{aZ（0）=i，B（0）=u，A（0）=x}，第十个事件可能在时间s发生，概率为xsi（u，0；s- （1）-xSi（u，0；s），则结果为inAi，u（x，0，n）：=E（PVDB）i、u、x=nXs=1PxTi，D（u，0）=s· 1·δs=nXs=1xSi（u，0；s- 1） δs.让我们引入由（PVUP）i，u，x表示的单一保费的r.v.条件现值。由于保费是在适当的情况下支付的，r.v.（PVUP）i，u，x的价值-1r=0δR当政策持有人在时间s死亡时≤ n- 1和值pnr=0δrif她将存活时间n。让我们通过pi，u（x，0）计算n-TIP的年保费，1欧元可在x岁的被保险人死亡之年支付，在健康状态下，我在e前u年获得。然后r.v。