购买并持有完全不完整市场的房产

（3.10）然后，通过与（Dolinsky&Neufeld，2018，引理7.2）中相同的近似参数，在这一步中，我们使用g的Lipschitz性质，我们得到了g（s）≤ supα∈C（ν）EP[g（Sα，sT）]，s>0，（3.11），这意味着结果。现在我们能够完成定理2.5的证明。定理2.5的证明。我们遵循了与中类似的论点（Dolinsky&Neufeld，2018，定理4.2）。让g：R+→ R+有界，非负，Lipschitz连续。通过引理3.1和引理3.2，仍然可以证明VP（g）≥ bg（个）。因此，我们fix anyx>VP（g），需要显示x≥ bg（个）。通过定义x，存在一个F-可预测的S-可积过程{γt}Tt=0，使得x+ZTγtdSt≥ g（ST）P-a.s.（3.12）固定任何ε>0。根据引理3.3，存在α∈ C（ν）使bg（S）- ε ≤ EP公司g（Sα，ST）. （3.13）接下来，选择任何足够小的δ>0（即δ<< ε). 由于（2.1）中定义的金融市场完全不完整，因此存在Q<< P使得W是Q-F-布朗运动，Qkα- νk∞≥ δ< δ. （3.14）由于（x，γ）是一种超级复制策略，因此增益过程的超级可复制性g（ST）≤ EQhx+ZTγtdSti≤ x、 （3.15）现在，确定停车时间τ：=inft型≥ 0|αt- νt|≥ δ∧ T、 （3.16）然后，通过定义τZτ|αT- νt | dt=Zτ|αt- （αt- （αt- νt））| dt=Zτ|αt- （αt- 2αt（αt-νt）+（αt- νt））| dt=Zτ| 2αt（αt- νt）-（αt- νt））| dt≤Tδ（2kαk∞+ δ），（3.17）以及由于It^oisometryEQhZτ（αt- νt）载重吨我≤ δT.（3.18）因此，切比雪夫不等式意味着Zτ|αt-νt | dt+Zτ（αt- νt）载重吨≥ 2.√δ≤均衡器Rτ|αt-νt | dt√δ+等式（Rτ（αt- νt）载重吨）δ≤Tδ（2kαk∞+ δ )√δ+δTδ≤ c类(√δ + δ).（3.19）对于某些常数c，它可能取决于ε（但不取决于δ）。

现在，由于根据定义，定价过程S定义为≡ Sν，S，我们从（3.19）推导出，对于非常小的δQ|ln Sτ- lnsα，Sτ|>ε≤ QZτ|αt- νt | dt+Zτ（αt- νt）载重吨> ε≤ c类(√δ + δ).（3.20）接下来，确定事件uε：={τ<T}∪ {| ln Sτ- lnsα，Sτ|>ε}（3.21）基本上要检查，因为g:R+→ 对于某些Lipschitz常数K>0，R+是Lipschitz连续的，对于任何x>0，y>0，ln（x）- ln（y）|≤ ，thatg（x）≥ g（y）-Ky（e-1). 因此，使用（3.15）和Uεyieldsx的定义≥ 均衡器g（ST）≥ 均衡器Ucg（ST）≥ 均衡器g（Sα，ST）-K（e- 1） 均衡器Sα，ST- 均衡器Ug（Sα，ST）≥ 均衡器g（Sα，ST）-K（e- 1） S- 均衡器Ug（Sα，ST）.（3.22）现在，在ε归零之前，我们首先需要分析等式[1Ug（Sα，ST）]。为此，请参见g的Lipschitz性质≥ 0EQg（Sα，ST）≤ 均衡器（g（0）+KSα，ST）≤ 2g（0）+2KEQ（Sα，ST）.（3.23）此外，由于α∈ C（ν）是一致有界的，我们可以看到，对于某些常数C>0，等式（Sα，ST）≤ CEQ公司S2α，ST< ∞. （3.24）因此，我们得出以下结论：等式[g（Sα，ST）]<∞. 此外，观察{τ<T} {kα-νk∞≥ δ} 。（3.25）根据Cauchy-Schwarz不等式，（3.14）和（3.20），这意味着对于非常小的δthatEQUεg（Sα，ST）≤ 均衡器g（Sα，ST）QU≤ C（δ+√δ)< ε. （3.26）因此，我们从（3.22）推导出≥ 均衡器g（Sα，ST）- K（e- 1） S- ε。（3.27）回想一下，在测度P和Q下，过程W是一个F-布朗运动，并且过程α相对于W生成的较小过滤fw是渐进可测量的。尤其是，对于一些渐进可测映射C[0，T]，α=Д（W）→ C【0，T】。因此，Sα、发育迟缓P和Q的规律是相同的。这意味着与（3.13）thatx一起≥ 均衡器g（Sα，ST）- K（e-1） S- ε=EPg（Sα，ST）- K（e- 1） S-ε≥ bg（S）-K（e- 1） S- 2ε.（3.28）由于ε>0是任意选择的，我们现在可以让归零以获得所需的不等式x≥ bg（个）。

（3.29）我们通过示例2.7的证明来完成本节。示例2.7的证明。首先，请注意，假设（2.1）中定义的金融市场完全不完整，函数g（x）：=（x- K） +，x∈ R+，是非负且连续的，我们从定理2.5推导出VB和H（g）=bg（S）=S.（3.30），因此，仍然需要证明VB和Hh（g）<Sfor H（ST）：=（K- ST）+。为此，请注意，对于任何等价的局部鞅测度Q，我们有等式[（K-实际上，由于S是严格正的，我们有（K-ST）+<K和s o也等于[（K-现在，回想一下，根据假设，静态期权的价格h（ST）=（K- ST）+等于P=等式[（K- ST）+]对于一些等价的局部鞅测度Q，因此从上面的论证中我们知道P<K。接下来观察从初始大写开始- K、 购买一只股票并持有该头寸，以及购买一只欧洲看涨期权（super-）在点方向上复制了欧洲看涨期权。实际上，对于任何ω∈ Ohm, 我们有- K） +（K- ST（ω））++（ST（ω）- S） =（ST（ω）-K） +。（3.31）因此，使用x：=S-K、 c：=1， := 1我们看到thatx+ch（ST（ω））+（ST（ω）- S）≥ g（ST（ω））ω∈ Ohm, （3.32）通过对VB和Hh（g）的定义以及上述证明P<K的事实，确保VB和Hh（g）≤ x+cP=（S- K） +P<S.（3.33）参考B。Acciaio，M.Beig lb"ock，F.Penkner&W.Schachermayer（2016）资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本。数学金融，26（2）：233–251。D、 Bartl，M.Kupper&A.Neufeld（2018）《预测集上的路径超边缘》。预印本，arXiv:1711.02764v2。D、 Bartl，M.Kupper，D.Pr"omel&L.Tangpi（2017）《连续时间中路径超边缘的对偶性》。预印本，arXiv:1705.02933。M、 Burzoni，M.Frittelli&M.Maggis（2017）《无模型超边缘二元性》。《应用可能性年鉴》，27（3）：1452-1477。J、 Cvitani'c，H.Pham&N。

Touzi（1999）投资组合约束下随机波动率模型的超级复制。应用概率杂志，36（2）：523–545。Y、 Dolinsky&A.Neufeld（2018）《完全不完全市场中的超级复制》。MathematicalFinance，28（2）：483–515。Y、 Dolinsky&H.M.Soner（2014）《连续时间中的鞅最优运输和稳健套期保值》。概率论及相关领域，160（1–2）：391–427。Y、 Dolinsky&H.M.Soner（2015）《斯科罗霍德空间中的鞅最优运输》。《随机过程及其应用》，125:3657–4020。R、 Frey&C.A.Sin（1999）随机波动下欧式期权价格的界。MathematicalFinance，9:9 7–116。J、 Gathereal，T.Jaisson&M.Rosenbaum（2018）波动性很粗糙。定量金融，18（6）：933–949。P、 Guasoni，M.Rásonyi&W.Schachermayer（2 008）一致的价格体系和面临的高昂的pricingunder交易成本。《应用概率年鉴》，18（2）：491–520。G、 Guo，X.Tan&N.Touzi（2017）《skorokhodspace上鞅输运的紧性和对偶性》。随机过程及其应用，127（3）：927-956。S、 L.Heston（1993）具有随机波动性的期权的闭式m解，应用于债券和货币期权。《金融研究回顾》，6（2）：3 27–343。D、 Hobson（1998）Robus t回望期权套期保值。《金融与随机》，2（4）：329–347。Z、 Hou&J.OblóJ（2018）《连续时间内的稳健定价对冲二元性》。《金融与随机》，22（3）：511-567。J、 Hull&A.White（1987）随机波动资产期权定价。《金融杂志》，42（2）：281-300。五十、 O.Scott（1987）《方差随机变化时的期权定价：理论、估计和应用》。《金融与定量分析杂志》，22（4）：419–438。