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英文标题：
《Buy-and-Hold Property for Fully Incomplete Markets when
  Super-replicating Markovian Claims》
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作者：
Ariel Neufeld
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We show that when the price process $S$ represents a fully incomplete market, the optimal super-replication of any Markovian claim $g(S_T)$ with $g(\\cdot)$ being nonnegative and lower semicontinuous is of buy-and-hold type. Since both (unbounded) stochastic volatility models and rough volatility models are examples of fully incomplete markets, one can interpret the buy-and-hold property when super-replicating Markovian claims as a natural phenomenon in incomplete markets.
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中文摘要：
我们证明，当价格过程$S$代表一个完全不完全市场时，任何马尔可夫索赔$g（S\\T）$与$g（\\cdot）$为非负且下半连续的最优超复制都是买入持有型。由于（无界）随机波动率模型和粗糙波动率模型都是完全不完全市场的例子，因此，当超级复制马尔可夫索赔时，可以将买入并持有资产解释为不完全市场中的一种自然现象。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Buy-and-Hold_Property_for_Fully_Incomplete_Markets_when_Super-replicating_Markov.pdf (206.3 KB)

2022-6-1 02:24:42 上传

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关键词：Mathematical Applications Differential Quantitative Probability

在完全不完整的市场中购买和持有财产，同时复制马尔可夫索赔法（Markovian ClaimsAriel Neufeld）*2018年10月16日摘要我们证明，当价格过程S代表一个完全不完全市场时，任何g（·）为非负且下半连续的马尔可夫索赔g（ST）的最优超复制是买入持有型的。由于（无界）随机波动率模型和粗糙波动率模型都是完全不完全市场的例子，当超级复制马尔可夫主张是不完全市场中的一种自然现象时，我们可以解释买入并持有属性。关键词超复制；完全不完全市场；稳健的定价；随机波动性；粗略挥发度2010主题分类91 G10；91G201简介Dolinsky&Neufeld（2018）引入了完全不完整的市场。粗略地说，如果对于任何波动过程α，可以找到一个等价的局部鞅测度Q，其中α接近价格过程S的波动过程ν，那么金融市场就是完全不完整的。事实证明，不完整市场是完全不完整的自然现象。事实上，Dolinsky&Neufeld（2018）表明，随机波动性模型（具有无界波动性）如赫斯顿模型赫斯顿（1993）、赫尔-怀特模型赫尔&怀特（1987）和斯科特模型斯科特（1987），以及Gathereal等人（2018）中的粗糙波动率模型，其中对数波动率为分数OrnsteinUhlenbeck过程，都是完全不完全市场的例子。inDolinsky&Neufeld（2018）获得的主要结果是完全不完全市场的关键属性如下。

当金融代理人被允许投资于therisky资产S，并静态投资于最多有限的多个流动期权时，经典的超级复制价格（根据给定的价格过程初始定律P定义）为G:C[0，T]→ R+是一致连续且有界的，这与稳健的超级复制价格一致，其中超级对冲属性必须适用于任何路径。这源于Dolinsky&Neufeld（2018）证明的结果*RiskLab，苏黎世ETH数学系，ariel。neufeld@math.ethz.ch.非常感谢瑞士国家基金会（Swiss National Foundation）2000 20\\U 172815的资助。对于完全不完全市场，在连续路径空间上定义的所有局部鞅测度集中，所有等价局部鞅测度集都是弱稠密的。有关稳健定价，尤其是二元结果的更多论文，请参考Acciaio等人（2016）；Bartl等人（2018、2017）；Burzoni等人（2017年）；Dolinsky&Soner（2014、2015）；郭等（2017）；H obson（1998）；Hou&Oblój（2018）仅举几个例子。这篇（简短）论文的目的是进一步研究在特殊情况下超级复制性质的完全不完全市场，其中只允许交易风险资产（即没有可用的流动期权），或有权益是马尔可夫类型，即形式g（ST），其中ST表示到期时的股票价值。本文的主要结果表明，在这种情况下，即使对于无界和非连续的支付函数G:R+→ R+，g（ST）的经典超级复制价格与（更稳健的）买入并持有超级复制价格相一致，即一个人只能在初始时间买入（或卖出）股票，并将其头寸保持到到期，以超级复制出售的金融债权。

为了验证我们的结果，我们采用了Dolinsky&Neufeld（2018）开发的技术。我们的论文基于Cvitanic等人（1999）的结果，该结果指出，对于具有无界波动率的随机波动率模型，马尔可夫索赔g（ST）的经典超级复制价格与买入并持有超级复制价格一致，即使对于无界非连续支付函数g也是如此。Frey&Sin（1999）仅对欧洲看涨期权得出了类似的结果，但在更一般的随机波动率模型中，包括。g、 Heston模型，Cvitanic等人（1999年）未涵盖该模型，因为SDE f系数或价格过程存在很强的规律性条件，而平方根模型无法满足这些条件。总之，我们的贡献是双重的。首先，我们的结果将价格过程的类别从随机波动率模型扩展到了完全不完全市场的更丰富类别，对于这类市场，当超级复制g（ST）时，买入并持有属性是成立的。其次，对于随机波动率模型，我们的主要结果推广了Cvitanic等人（1999）；Frey&Sin（1999），即我们在对一般随机波动率模型（甚至更多）的g（ST）进行超级复制时，比在Frey&Sin（1999）中对无界非连续支付函数g（如Cvitanic et al.（1999））恢复购买和持有财产。本文的其余部分组织如下。在第二节中，我们介绍了s etup并陈述了本文的主要定理。然后，我们提供了第3.2节设置中主要结果的证明，主要结果为有限时间范围，以及(Ohm, F、 F，P）是一个过滤概率空间，其中F={Ft}Tt=0满足通常条件。

考虑一个由一个固定银行账户Bt组成的金融市场≡ 1 f或所有t∈ [0，T]和一项具有价格过程的风险资产dst=StνtdWt，S≡ s> 0，（2.1）其中ν={νt}Tt=0是一个F-逐步可测过程，给定的初始点ν>0满足rtνsds<∞ P-a.s.，W={Wt}Tt=0表示P-F-布朗运动。金融市场（2.1）完全不完整的定义于年引入（Dolinsky&Neufeld，2018，定义2.1）。设C（ν）是所有连续的严格正随机过程α的集合≡ {αt}Tt=0，根据由空集完成的W生成的filtrationfw进行调整，并满足α=ν，以及α和α一致有界。定义2.1。（2.1）中介绍的金融市场，如果f>0且任何过程α，则称为完全不完整∈ C（ν）存在一个概率测度Q<< 因此，{Wt}Tt=0是一个Q-F-布朗运动，Q（kα- νk∞> （2.2）其中ku- vk公司∞:= su p0≤t型≤T | ut- vt |表示u和v之间的均匀距离。根据（2.1）中的金融市场结构，通过采用λP+（1）形式的凸组合，观察到- λ） Q，我们发现在定义2.1中要求Q是等效的≈ P代替Q<< P、 事实证明，完全不完全是不完全市场的自然现象。更准确地说，Dolinsky&Neufeld（2018）提出了完全不完全市场的以下充分条件。提案2.2。（Dolin s ky&Neufeld，2018，命题2.3.I）：假设（2.1）中的波动过程νt的形式为dνt=a（t，νt）dt+b（t，νt）dcWt+c（t，νt）dWt，ν>0。

（2.3）如果（2.3）中的SDE具有唯一的强解，且该解是严格正的，并且如果函数a、b、c：[0，T]×（0，∞) → R是连续的，对于任何t∈ [0，T]，x>0我们有b（T，x）>0，那么（2.1）中定义的相应金融市场是完全不完整的。Dolinsky&Neufeld（2018）证明的完全不完全市场的第二个有效条件与Guasoni等人（2008）提出的所谓条件完全支持（CFS）性质密切相关。如果f或所有t，则随机过程∑={∑t}Tt=0具有条件完全支持（CFS）性质∈ （0，T）supp P（∑|[T，T]|∑|[0，T]）=C∑T[T，T]a.s.，（2.4），其中Cy[T，T]是所有连续函数f的集合：[T，T]→ R+，f（t）=y。这意味着从任何给定的时间开始，∑可以以正的条件概率继续任意接近任何给定的路径。提案2.3。（Dolinsky&Neufeld，2018，命题2.3.II）：这里的过滤F是对W和ν产生的过滤的通常增强。如果νt=ν（1）tν（2）t，其中ν（1）适用于W产生的过滤，ν（2）独立于W，则ν（1），ν（2）都是三次正连续过程，lnν（2）具有（CFS）性质，则（2.1）给出的金融市场是完全不完整的。根据命题2.2和2.3，流行的随机波动率模型，如theHeston模型、H ull–White模型和Scott模型，以及s粗糙波动率模型，如Gathereal等人（2018）中的模型，都是完全不完全市场的例子；有关更多详细信息，请参阅Dolinsky&Neufeld（2018）。为了回顾完全不完全市场的主要性质，让Ap表示所有F逐步可测过程集{γt}Tt=0，RTγtνtStdt<∞ P-a.s.使得托氏积分rγdS从下方一致有界。稳健的设置定义如下。

设{St}Tt=0是空间C[0，T]上的正则过程，即St（ω）=ω（T），ω∈ C[0，T]，且FSt=σ{Su:u≤ t} ，t∈ [0，T]表示规范过滤。setA由过程{γt}Tt=0组成，这些过程是FS适应的，并且具有左连续路径的有界变化，因此过程rγdS从下面一致有界，其中rγdS由ztγudSu定义：=γtSt- γS-ZTSDγs，t∈ [0，T]，（2.5）使用标准Lebesgue-Stieltjes积分作为最后一个积分。最后，确定C[0，T]中所有路径的集合，这些路径是严格正的，从S开始。然后，Dolinsky&Neufeld（2018）中的主要定理陈述了以下内容。定理2.4。（Dolinsky&Neufeld，2018，定理3.1）：设G:C[0，T]→ R是一个有界且一致连续的函数，并考虑（路径相关）欧式选项G（S）。此外，对于每个i：=1，N let hi:C[0，T]→ R是有界一致连续函数，hi（S）是具有价格Pi的静态位置。如果（2.1）中定义的金融市场完全不完整，则经典的超级复制价格vPhi，。。。，hN（G）：=infx+NXi=1ciPi （γt）∈ APs。t、 x+NXi=1cihi（S）+ZTγtdSt≥ G（S）P-a.S。（2.6）与强大的超级复制价格vhi…一致，。。。，hN（G）：=infx+NXi=1ciPi （γt）∈ A s.t.x+NXi=1cihi（s）+ZTγtdSt≥ G（S）S∈ S,（2.7）即我们有VPhi，。。。，hN（G）=Vhi，。。。，hN（G）。在本文中，我们分析了当金融市场定义（2.1）在特殊情况下完全不完全时的超级复制特性，其中期权为马尔可夫类型，即对于某些函数g:R，期权为g（ST）形式+→ R+，并且没有可交易的流动期权。在这种情况下，g（ST）的经典超级复制价格由vp（g）：=inf给出x个∈ R （γt）∈ APs。t、 x+ZTγtdSt≥ g（ST）P-a.s。. （2.8）稳健价格V（g）的定义类似。

另一个（甚至更强大的）超级复制价格（super replicationprice）是只允许买入并持有策略的价格。其正式定义为VB和H（g）：=infx个∈ R  ∈ R s.t.x+（ST（ω）-S）≥ g（ST（ω））ω∈ Ohm. （2.9）显然，对于任何金融市场中的任何选项G，VP（G）≤ V（G）≤ VB&H（G），（2.10）和Dolinsky&Neufeld（2018）我们知道，在完全不完全市场中，VP（G）=V（G）≤ 对于有界且一致连续的选项G，VB和H（G）适用。本文的目的是证明，对于马尔可夫定理，上述不等式实际上是真正的等式，即使对于无界和非连续的支付函数也是如此。此外，可以明确计算价格和最优（买入并持有）策略。定理2.5。让g：R+→ R＋是一个非负的下半连续函数。如果（2.1）中定义的官方市场完全不完整，则马尔可夫索赔的超级复制价格g（ST）satifiesvp（g）=VB&H（g）=bg（S），（2.11），其中bg表示g.M oreover的凹包络，存在最优（买入并持有）策略，并由γ明确定义≡ +bg（个）。（2.12）备注2.6。利用vp和VB&H的现金不变性，得到了g:R+→ R+为非负可通过要求从下方有界来放宽。接下来，我们提供一个例子来说明当存在一个静态交易的流动期权时，定理2.5可能已经失败了。示例2.7。让（2.1）中定义的金融市场完全不完整，让K>0，并考虑函数g:R+→ R+由g（x）=（x）定义- K） +，x∈ R+。请注意，函数g满足定理2.5和权利要求g（ST）=（ST）中规定的条件-K） +对应于行使K和到期T的欧洲看涨期权。

假设可以静态交易欧式看跌期权h（ST）=（K- ST）+（具有相同的删除线和到期日T），其中给定的价格P的h（ST）满足P=等式[h（ST）]，对于一些等价的局部鞅测度Q。那么，我们有Vb和Hh（g）：=infx+cP  ∈ R s.t.x+ch（ST（ω））+（ST（ω）- S）≥ g（ST（ω））ω∈ Ohm< VB和H（g）。（2.13）我们在第3.3节定理2.5和示例2.7的证明末尾提供其证明，我们首先回顾（2.11）中著名的（平凡的）不等式，即引理3.1。让g：R+→ R是一个函数，g（ST）是相应的马尔可夫断言。然后我们得到了vp（g）≤ VB和H（g）≤ bg（S），（3.1）和γ≡ +bg（S），配对（bg（S），γ）是一种买入并持有的超级复制策略。e、 bg（S）++bg（S）（ST（ω）- S）≥ g（ST（ω））ω∈ Ohm. （3.2）证明。显然，VP（g）≤ VB和H（g）。此外，通过定义bg是大于g的最小凹函数，我们得到了任意ω∈ Ohm thatbg（S）++bg（S）（ST（ω）-S）≥ bg（ST（ω））≥ g（ST（ω））。（3.3）接下来，我们证明对于任何有界的非负Payoff函数g:R，证明定理2.5中的结果是有效的+→ R+是Lipschitz连续的。在此之前，让我们快速介绍以下概念，我们将在本文的其余部分中经常使用这些概念。对于任何x>0和任何（s可积）渐进可测过程α={αt}Tt=0，我们表示相对于W的相应随机指数byα，xt：=x eRtαvdWv-Rtαvdv，t∈ [0，T]。（3.4）引理3.2。如果定理2.5中的（2.11）和d（2.12）都是真f或任何有界的非负函数g:R+→ R+是Lipschitz连续的，那么（2.11）和（2.12）对于任何非负函数g也成立：R+→ R+是下半连续的。证据让g：R+→ R＋是任何非负的下半连续f函数。根据EMMA 3.1，仍需证明VP（g）≥ bg（个）。

定义函数序列gN（x）：=infy≥0g（y）+n | x-y型|, x个≥ 0;gn（x）：=最小值egn（x），n, x个≥ 0。（3.5）我们看到，对于每个n，函数gnis有界、非负且Lipschitz连续（Lipschitz常数n）。此外，序列（gn）以非递减的方式收敛到tog。让T表示所有F停止时间。使用（Cvitanic et al.，1999，引理5.4）和单调收敛定理，我们可以看到bg（S）=supτ∈TEP[g（S1，Sτ）]=supn∈Nsupτ∈TEP[gn（S1，Sτ）]=supn∈（2.11）和（2.12）对有界、非负的支付函数成立，这些函数是Lipschitz连续的，并且由于超级复制价格在Claimsupn中是单调的∈Nbgn（S）=supn∈NVP（gn）≤ VP（g）（3.7）因此，通过（3.6）–（3.7），我们获得了bg（S）≤ VP（g）根据需要。由于引理3.2，有必要证明有界Lipschitz连续Payouff函数g:R的定理2.5+→ R+。为此，我们首先从一个关于凹包络上界的引理开始。引理3.3。让g：R+→ R+有界，非负，Lipschitz连续。然后bg（s）≤ supα∈C（ν）EP[g（Sα，sT）]，s>0。（3.8）证明。引入所有非负渐进可测过程的集合A，关于满足RTαtdt<∞ Pa.s.且存在常数C>0（可能取决于α），因此C≤ Sα，1≤ C、 根据与（Dolinsky&Neufeld，2018，引理7.1）中相同的论点，函数G：（0，∞) → 定义为g（s）：=supα∈AEP公司g（Sα，sT）（3.9）为凹面且满足≤ G、 根据G的凹包络的极小性，这意味着也有G（s）≤ G（s），s>0。