数学金融中的非线性抛物方程

空间H2+λ（R）由所有函数H:R组成→ R使得H∈ H2+λ(Ohm) 对于任何有界域Ohm  R、 定义在有界圆柱QT上的函数的抛物线H¨older空间Hλ，λ/2（QT）由¨QT中的所有连续函数H（x，τ）组成，使得H在x变量中是λ-H¨older连续的，在t变量中是λ/2-H¨older连续的。范数定义为最大范数和相应的H¨older半范数之和。空间H2+λ，1+λ/2（QT）由QT上的所有连续函数组成，因此τH，xH公司∈ Hλ，λ/2（QT）。最后，空间H2+λ，1+λ/2（R×[0，T]）由所有函数sh组成：R×[0，T]→ R使得H∈ H2+λ，1+λ/2（QT），适用于任何有界圆柱QT（c.f.【30，第一章】）。在前面几节讨论的非线性模型中，可以导出柯西问题（18）解H的有用上界和下界。证明h（x，τ）的上下估计的想法是基于构造抛物方程（18）的合适子解和超解（c.f.[30]）。λ-≤ β（H）≤ λ+对于任何H≥ 0，其中λ±>0为常数。这意味着支配非线性抛物方程的强抛物性。定理1。[39，定理3.1]假设初始条件H（.，0）≥ 对于一些0<λ<min（1/2，ε），0属于H¨older空间H2+λ（R），且H=supx∈相对湿度（x，0）<∞. 假设β，f∈ C1、ε和β满足λ-≤ β（H）≤ λ+对于任何0≤ H≤ 其中λ±>0为常数。然后，满足初始条件H（x，0）的拟线性抛物方程（18）存在唯一的经典解H（x，τ）。函数τ7→ τH（x，τ）是λ/2-H–allx连续的∈ R，而x 7→ xH（x，τ）对于所有τ都是Lipschitz连续的∈ [0，T]。

此外，β（H（，.））∈H2+λ，1+λ/2（R×[0，T]），0<H（x，τ）≤ H表示所有（x，τ）∈ R×[0，T）。该证明基于所谓的Schauder理论，即形式为（18）的拟线性抛物方程的经典H¨oldersmooth解的存在性和唯一性。它遵循与[23，定理5.3]相同的思想，其中Kilianov\'a和_Sevˇcoviˇc研究了从非线性Hamilton-Jacobi-Bellman方程中获得的类似拟线性抛物方程这是一个更强的假设β∈ 假设为C1,1。6 DanielˇSevˇcoviˇc4数值全时空离散格式用于求解Gamma方程。本节中，我们提供了一种有效的数值格式用于求解Gamma方程。解H到（18）的数值近似构造基于在每个离散时间步求解（18）对应的微分方程组的推导。我们利用Jandaˇcka和ˇSevˇcoviˇc[22]在论文中采用的数值模式来求解一般函数β=β（H）的Gamma方程（18），尤其是具有可变交易成本的模型。有效的数值离散化基于输入（18）的部分导数的有限体积近似。最终方案在有限时间差分近似方案中是半隐式的。其他有限差分数值近似方案基于非散度形式的原始非线性Black-Scholes方程的离散化。我们建议读者参考安库迪诺娃（Ankudinova）和埃哈德（Ehrhardt）[3]，Company等人（11），D¨uring等人（13），Liao和Khaliq（31），Zhou等人（31）。[45]. 最近，Koleva和Vulkov提出并分析了一种求解完全非线性抛物型方程的拟线性化技术[26]。

我们的方法基于以散度形式编写的拟线性伽马方程的解，因此我们可以使用现有的基于有限体积的数值模式来有效地解决问题（c.f.Jandaˇcka和ˇSevˇcoviˇc【22】、K'utik和Mikula【27】）。由于数值原因，我们将空间间隔限制为x∈ (-五十、 L）其中L>0非常大。因为S=Eex∈ （Ee）-五十、 EeL）服用L≈ 2为了包含S值的重要范围。为了构造数值格式，将时间间隔[0，T]与时间步长k=T/m统一划分为离散点τj=jk，其中j=0，1，····，m。我们考虑了空间间隔[-五十、 L]用步长h=L/n均匀划分为离散点xi=ih，其中i=-n、 ···，n.所提出的数值格式在时间上是半隐式的。请注意xβ，可表示为xβ=x（β（H）xH），其中β是β（H）相对于H的导数。在离散化方案中，非线性项β（H）是从之前的时间步长τj计算出来的-而线性项是在当前时间水平上求解的。这种离散化方案可以在每个离散时间水平上求解三对角线性方程组。首先，我们用时间差来代替时间导数，用相邻分段的平均值来近似节点点中的H，然后通过从以前的时间水平τj中提取所有剩余项来收集新时间水平τjand上的所有线性项-我们得到了解向量Hj=（Hj）的三对角系统-n+1，···，Hjn-1） T型∈ R2n-1： 阿吉吉-1+bjiHji+cjiHji+1=dji，Hj-n=0，Hjn=0，（19），其中i=-n+1，···，n- 1和j=1，···，m。

三对角矩阵的系数由Aji=-khβH（Hj-1i-1） +k2hr cji=-khβH（Hj-1i）-k2hr，bji=1- （aji+cji），dji=Hj-1i+khβ（Hj-1i）- β（Hj-1i-1).这意味着时间水平上的向量Hj是线性方程组a（j）Hj=dj的解，其中（2n-1） ×（2n-1） 矩阵A（j）=tridiag（aj、bj、cj）。为了快速有效地求解三对角系统的每一时间步，我们可以使用高效的Thomas算法。在[39]中，作者表明期权价格V（S，T- τj）可以通过一个简单的积分方案的离散解hjib来构造：（看涨期权）V（S，T- τj）=hnXi=-n（S）- Eexi）+Hji，j=1，···，m，（看跌期权）V（S，T- τj）=hnXi=-n（Eexi- S） +Hji，j=1，····，m.《数学金融学中的非线性抛物方程》70.000.010.020.030.040.050.0000.0050.0100.0150.020ΞCHΞL，CHΞL0.000.020.040.060.080.100.120.14HΒHHLFig。1、左图：分段线性交易成本函数C（实线），其平均值修正C（虚线）。右：对应函数β（H）的图形。资料来源【39】5具有可变交易成本的非线性模型的数值结果在本节中，我们给出了具有可变交易成本的非线性脆弱性Black-Scholes模型的期权价格计算的数值结果，该模型由ˇSevˇcoviˇc和ˇZitnanskˇa在最近的论文【39】中推导和分析。

作为解决方案数值近似的一个示例，我们考虑了由分段线性非递增函数描述的可变交易成本，如图1所示。与可变交易成本函数C（ξ）相对应的函数β（H）的形式为β（H）=σ1-rπИC（σ| H|√t） sgn（H）σ√t！H、 其中，C是修改后的交易成本函数。在我们的计算中，我们选择了以下描述分段交易成本函数的模型参数：C=0.02，κ=0.3，ξ-= 0.05, ξ+= 0.1. 两次连续投资组合重组之间的时间间隔长度：t=1/261。到期时间T=1，历史波动率σ=0.3，无风险利率r=0.011。对于数值参数，我们选择L=2.5，n=250，m=200。参数C、σ、κ、ξ±和t对应于Leland数Le=0.85935和Le=0.21484。在图2中，我们绘制了解决方案Vvtc（S，t）和期权价格增量因子（S，t）=SV（S，t），对于t=0。上虚线对应于线性Black–Scholes方程的解，其波动率较高^σmax=σ1.- Cqπσ√t型, 其中C=C- κ(ξ+- ξ-) > 0，而下灰线对应于波动率较低的溶液^σmin=σ1.- Cqπσ√t型.SVHS，tL0.00.20.40.60.81.0SDHS，tLFig。看涨期权价格V（S，t）作为t=0（左）时S的函数及其增量（S，t）=SV（S，t）。资料来源【39】8 DanielˇSevˇcoviˇcacknowledgement该研究得到了欧盟在FP7-PEOPLE-2012-ITN项目STRIKE New Methods in Computative Finance（304617）中的支持。参考文献1。Abe，R.，Ishimura，N.：最优投资问题中非线性偏微分方程解的存在性。过程。日本Acad。，序列号。A、 ，（84），11–14（2008）。Amster，P.、Averbuj，C.G.、Mariani，M.C.、Rial，D.：具有交易成本的Black-Scholes期权定价模型。J、 数学。肛门。

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