数学金融中的非线性抛物方程

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英文标题：
《Nonlinear Parabolic Equations arising in Mathematical Finance》
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作者：
Daniel Sevcovic
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This survey paper is focused on qualitative and numerical analyses of fully nonlinear partial differential equations of parabolic type arising in financial mathematics. The main purpose is to review various non-linear extensions of the classical Black-Scholes theory for pricing financial instruments, as well as models of stochastic dynamic portfolio optimization leading to the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation. After suitable transformations, both problems can be represented by solutions to nonlinear parabolic equations. Qualitative analysis will be focused on issues concerning the existence and uniqueness of solutions. In the numerical part we discuss a stable finite-volume and finite difference schemes for solving fully nonlinear parabolic equations.
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中文摘要：
本文主要对金融数学中出现的抛物型全非线性偏微分方程进行定性和数值分析。主要目的是回顾用于金融工具定价的经典Black-Scholes理论的各种非线性扩展，以及导致Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的随机动态投资组合优化模型。经过适当的变换，这两个问题都可以用非线性抛物方程的解来表示。定性分析将侧重于解决方案的存在性和唯一性问题。在数值部分，我们讨论了求解完全非线性抛物型方程的稳定有限体积和有限差分格式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
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关键词：数学金融 非线性 Mathematical Optimization Quantitative

数学金融中的非线性抛物方程DanielˇSevˇcoviˇcDept。应用数学与统计，夸美纽斯大学，842 48布拉迪斯拉发，斯洛伐克。sevcovic@fmph.uniba.skSummary.这篇综述性论文侧重于对金融数学中出现的抛物型完全非线性偏微分方程进行定性和数值分析。主要目的是回顾用于金融工具定价的经典Black-Scholes理论的各种非线性张力，以及导致Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的随机动态投资组合优化模型。经过适当的变换，这两个问题都可以用非线性抛物方程的解来表示。定性分析将侧重于解决方案的存在性和唯一性问题。在数值部分，我们讨论了求解完全非线性抛物方程的稳定有限体积和有限差分格式。关键词和短语期权定价，非线性Black-Scholes方程1金融工具定价Black-Scholes方程的非线性推广根据Black、Scholes和Merton提出的经典理论，理想化金融市场中的期权价值V（S，t）可以通过著名的Black-Scholes线性抛物线方程的解来计算：tV+σSSV+（r- q） SSV公司- rV=0，t∈ [0，T），S>0，（1）由Black和Scholes推导，由Merton独立推导（c.f.[29]，[38]）。这里σ>0是由几何布朗运动驱动的标的资产的波动率，r>0是零息票债券的无风险利率，q≥ 0是股息率。

类似地，与HJB方程的情况一样，解决方案受终端条件V（S，T）=T=T时的V（S）的影响。具有常数波动率σ的线性Black-Scholes方程是在若干限制性假设下推导出来的，如无摩擦、流动和完全市场等。我们还记得，线性Black-Scholes方程提供了一个对应于完全复制的对冲组合的解，该对冲组合不需要是理想的属性。在过去几十年中，为了建立模型，对其中一些假设进行了放宽，例如，交易成本的存在（参见Leland[29，18]和Avellaneda以及第[5]段），由于大交易者选择给定的股票交易策略（Sch¨onbucher和Willmott【40】、Frey和Patie【16】、Frey和Stremme【15】、不完善的复制和投资者偏好（Barles和Soner【8】）、无保护投资组合的风险（Jandaˇcka和Sevˇcoviˇc【22】）而产生的反馈和非流动性市场影响。Amster等人推导出了另一个非线性模型，其中交易成本由股票数量的递减函数来描述。在上述线性RBS方程（1）的所有推广中，常数波动率σ被非线性函数所取代：σ=σ（SSV）（2）取决于二阶导数期权价格本身的SV。考虑交易成本的第一个非线性模型之一是Leland模型，用于定价看涨期权和看跌期权。Hoggard、Whalley和Wilmott[18]进一步扩展了该模型，形成了一般类型的衍生物。

在该模型中，方差σ由2 DanielˇSevˇcoviˇcσ（S）给出SV）=σ1.- 勒斯根SSV公司=σ(1 - Le），如果SV>0，σ（1+Le），如果SV<0，（3），其中Le=qπCσ√这就是所谓的利兰数，σ是一个恒定的历史波动率，C>0是基础资产市场每单位美元交易的恒定交易成本，以及t是连续投资组合调整之间的时间差。具有（3）中给出的波动率函数的非线性模型也可以被视为Avellanda和第[5]段研究的跳跃波动率模型。Amster、Averbuj、Mariani和Rial在论文[2]中提出了这一方向的重要贡献，其中交易成本被假定为形式C（ξ）=C的非线性函数- κξ，（C，κ>0），取决于交易量ξ≥ 0需要对冲重复投资组合。这种交易成本函数的一个缺点是，当交易量超过临界值ξ=C/κ时，它可能会达到负值。在Amster等人[2]研究的模型中（另见Averbuj[4]，Mariani等人[33]），波动率函数具有以下形式：σ（SSV）=σ1.- 勒斯根SSV公司+ κSSV公司. （4） 在最近的论文[39]中，Sevˇcoviˇc和Zitnanskˇa研究了可变交易成本下期权定价的模型。σ（SSV）=σ1-rπИC（σS|SV公司|√t） sgn（S）SV）σ√t！（5） 式中，C是交易成本函数C=C（ξ）的平均值修正，定义如下：△C（ξ）=R∞C（ξx）x e-x/2dx。例如，可以考虑形式为C（ξ）的分段线性交易成本函数=C、 如果0≤ ξ ≤ ξ-,C- κ(ξ - ξ-), ifξ-≤ ξ ≤ ξ+，C，ifξ≥ ξ+.（6） 在[7]中，Bakstein和Howison研究了资产交易产生的流动性影响的参数化模型。

在他们的模型中，σ是H=S项的二次函数SV：σ（SSV）=σ1+(R)γ（1- α） +2λSSV+λ（1- α）SSV公司+ 2rπ′γsgnSSV公司+ 2rπλ（1- α)γSSV公司!. （7） 参数λ对应于市场深度度量，即它缩放平均交易价格的斜率。接下来，参数γ对相对买卖价差进行建模，并通过关系2γp2/π=Le与利兰数相关。最后，α将平均交易价格转换为下一个报价0≤ α ≤ 1、风险调整定价方法（RAPM）模型考虑了Kratka提出的无保护投资组合的风险【28】。Jandaˇcka和Sevˇcoviˇc在[22]中对其进行了推广和分析。在该模型中，波动率函数的形式为：σ（SSV）=σ1 + uSSV公司, （8） 其中σ>0是资产价格回报的恒定历史波动率，u=3（CR/2π），其中c，R≥ 0是非负常量，分别表示交易成本度量和风险溢价度量。如果将交易成本考虑在内，则不可能完全复制或有权益，模型中需要进一步的限制。通过假设投资者的偏好以指数效用函数为特征，Barles和Soner（c.f.[8]）导出了一个非线性Black-Scholes方程，波动率σ由σ（s）给出SV、S、t）=σ1+ψ（aer（T-t） SSV）（9） 数学金融中出现的非线性抛物方程3，其中ψ是ODE的解：ψ（x）=（ψ（x）+1）/（2pxψ（x）- x） ，ψ（0）=0，且a>0是表示风险规避的给定常数。注意，对于x，ψ（x）=O（x）→ 0和ψ（x）=x的O（x）→ ∞.本节中提到的所有非线性波动率模型都可以写成完全非线性抛物方程的解：tV+σ(SV）SSV+（r- q） SSV公司- rV=0，t∈ [0，T），S>0。

（10） 在[22]中，Jandaˇcka和ˇSevˇcoviˇc提出了将方程（10）转化为二阶导数的拟线性抛物方程的方法解决方案的SV（选项的所谓Gamma）。实际上，如果我们引入新的变量H（x，τ）=SSV（S，t），x=ln S，τ=t- t然后方程（10）可以转换为所谓的伽马方程：τH=xβ（H）+xβ（H）+（r- q）xH公司- qH，x∈ R、 τ∈ （0，T），（11），其中β（x，H）=σ（H）H（c.f.[22]，[10]）。回想一下，伽马方程可以通过对Black–Scholes方程（18）的tox与一般类型（2）的波动率进行两次微分来获得。（11）的Cauchy问题的解H（x，τ）受初始条件H（x，0）=H（x）的约束。2非线性Hamilton-Jacobi-Bellman方程与最优配置问题具有状态约束的最优配置与最优投资问题引起了理论界和应用界的广泛关注。主要目的是在有限或有限的时间范围内，最大化由若干随机资产组成的最优组合投资的总预期消费贴现效用。众所周知，潜在随机控制问题的值函数是相应Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的唯一光滑解，最优消费和投资组合以反馈形式给出（Zariphopoulou[44]）。让我们考虑一下程式化的金融市场，在这个市场中，投资组合经理的目标是最大化投资组合最终财富的预期价值，通过规定的效用函数U来衡量。

特别是，如果n是进入投资组合的资产数量，T是投资期限，则目标是找到最佳交易策略{θ}={θT∈ Rn | t∈ [0，T]}属于集合a=A0，Tof策略sat，T={{θ}|θs∈ 序号，s∈ [t，t]}，其中Sn={θt∈ Rn |θt∈ [0，1]n，1Tθt=1}是一个凸紧单纯形，使得{θ}最大化组合中的预期终端效用：max{θ}∈AEU（XθT）| Xθ=X. （12） 这里Xt=ln yt表示由以下随机微分方程dxθt控制的随机过程=u(θ) -σ(θ)dt+σ（θ）dwt对于对数投资组合值，其中xis是t=0时的初始值。这里u（θ）和σ（θ）是投资组合的预期回报和波动率。作为典型示例，可以考虑函数u（θ）=uTθ和σ（θ）=θT∑θ，其中u是平均收益向量，∑是协方差矩阵。从随机动态规划理论可知，所谓的值函数v（x，t）：=sup{θ}∈At，TEU（XθT）| XθT=X（13） 4 DanielˇSevˇcoviˇcsubject to the terminal condition V（x，T）：=U（x）可用于解决随机动态优化问题（12）（c.f.Bertsekas[9]，Fleming and Soner[14]）。此外，众所周知，值函数V=V（x，t）满足以下Hamilton-Jacobi-Bellman方程：tV+最大θ∈序号u(θ) -σ(θ)xV+σ（θ）十五= 0，（14）对于所有x∈ R、 t型∈ [0，T），满足终端条件V（，T）：=U（.）（参见例如[20，32]）。通常，HJB方程的显式解不可用，这就是为什么必须采用各种数值方法的原因。关于解决与投资组合优化相关的HJB方程的数值方法，我们可以提及和参考Tourin和Zariphopoulou【42】、Crandall、Ishii和Lions【12】、Nayak和Papanicolaou【36】开发和分析的用于近似其粘度解的有限差分方法。

Song【41】和Fleming及Soner【14】研究了另一种基于马尔可夫链近似技术的方法。Benton在[44]中讨论了求解HJB方程的经典方法。在[34]中，Musiela和Zariphopoulou应用了类幂变换，以便在指数效用函数的情况下，将值函数的非线性PDE线性化。Muthamaran和Sunil【35】解决了具有交易成本的多维投资组合优化问题。他们使用有限元法和迭代程序将自由边界问题转化为一系列固定边界问题。在[37]中，Peyrl等人应用逐次逼近算法来求解相应的HJB方程。Huang等人[19]讨论了用于求解离散HJB方程的定点策略迭代方案。在[43]中，Witte和Reisinger提出了离散连续控制HJB方程数值解的惩罚方法。在最近的论文【23】中，Kilianov\'a和ˇSevˇcoviˇc将完全非线性HJB方程（14）转化为拟线性抛物方程的Cauchy问题：tИ+xβ（Д）+x[（1- Д）β（Д）]=0，x∈ R、 t型∈ [0，T），（15）Д（x，T）=1- U（x）/U（x），x∈ R、 （16）为此，我们引入了以下转换：Д（x，t）=1-xV（x，t）xV（x，t）。它被称为Riccati变换，已在[1，32]中提出和研究，Ishimura和ˇSevˇcoviˇc在[20]中对其进行了进一步分析。结果方程通过基于有限体积近似的迭代方法进行数值求解。此外，根据Kilianov\'a和_Sev_covi_c的分析【23】，扩散函数β（Д）是以下参数优化问题的值函数：β（Д）=minθ∈序号{-u(θ) +φσ(θ)}.

（17） 色散函数θ7→ σ（θ）假设为严格凸，θ7→ u（θ）是一个线性函数。因此，问题（17）属于一类参数凸优化问题（c.f.Bank等人[6]，Hamala和Trnovsk\'a[17]）。在[24]中，Kilianov\'a和Trnovsk\'a研究了当协方差矩阵∑属于协方差矩阵的某个集合P（例如椭球集合）时HJB方程（14）的有用推广，以应用于所谓的、最坏情况方差”投资组合模型，其中扩散函数（17）的形式为：β（ν）=minθ∈Snmax∑∈P-uTθ+ДθT∑θ。他们表明，这个问题可以用半有限规划的方法来分析。值函数β（Д）不需要非常平滑，其二阶导数可以有跳跃。实际上，Riccati变换是值函数导数的对数导数。在一类具有范围约束的HJB方程的背景下，Ishimura和ˇSevˇcoviˇc最近在[20]中分析了Riccati变换，其中构造了HJB方程的行波解。关于通过Riccati变换从HJB方程中获得的拟线性抛物型偏微分方程的数值求解方法，我们提到了Ishimura最近的论文，《数学金融学中的非线性抛物型方程》5Koleva和Vulkov【25，21】。在[25]中，Koleva考虑了一个类似的非线性抛物方程，该方程是通过类似于Riccati变换的Hamilton-Jacobi-Bellman方程获得的，产生于养老金储蓄管理。与我们的模型问题相反，她考虑了一个对最优决策没有约束的问题。

她应用了两种迭代数值方法，即全隐式Picard方法和混合Picard-Newton方法，并讨论了它们的精度和有效性。综上所述，Black-Scholes方程和Hamilton-Jacobi-Bellman方程的非线性波动率推广可以转化为未知函数H=H（x，τ）的拟线性抛物方程，表示投资组合H=S的伽马SV（非线性脆弱性Black-Scholes模型）或相对风险规避函数H=1-十五xV（Hamilton-JacobiBellman方程）。得到的拟线性抛物方程具有以下形式：τH=xβ（H）+f（x，H，xH），x∈ R、 τ∈ （0，T），（18），其中β是合适的非线性函数。3经典解的存在性，比较原则在本节中，我们回顾了关于拟线性抛物方程Cauchy问题经典光滑解存在性的结果（18）。按照基于所谓Schauder\'s估计类型的方法（c.f.Ladyzhenskaya等人[30]），我们将继续定义我们将使用的功能空间。允许Ohm = （xL，xR） R是有界区间。我们表示QT=Ohm ×（0，T）时空圆柱体。设0<λ<1。按Hλ(Ohm) 我们表示由‘’定义的所有连续函数组成的Banach空间Ohm 它们是λ-H–older连续的。这意味着它们的H¨older半范数hHi（λ）=supx，y∈Ohm,x6=y | H（x）- H（y）|/| x- y |λ是有限的。空间Hλ中的范数(Ohm) 然后是H的最大范数和半范数hHi（λ）之和。空间H2+λ(Ohm) 由‘’中所有两个连续可微分函数H组成Ohm 谁的二阶导数xH属于Hλ(Ohm).