作为流行病模型的银行风险：一种最优控制方法

此类模拟的结果反映在图3.0 50 100 150 200 250 300 350020406801001020140140160180Timebanks susibleinfectedrecovered（a）葡萄牙，T=3650 50 100 150 200 250 300 350 400 45002040801001020140160180Timebanks susibleinfectedrecovered（b）西班牙，T=4500200 400 600 800 1000 120002040801020160180Timebanks susibleinfectedrecovered（c）英国，T=1200图3：SIR传染风险模型（1）–（2），参数β和γ如图1所示，S（0）=168，I（0）=1，R（0）=0：实现无接触平衡所需的时间说明。如图3 a所示，如果银行危机从葡萄牙开始蔓延，不到半年，危机蔓延就停止了。图3b表明，从斯帕因开始的传染病传播只会在一整年后停止。第三种情况最为严重：传染将消失，银行只有在三年后才能恢复（见图3c）。对于所考虑的三种情景，发现差异背后的原因在于传染开始的国家在全球银行市场中的不同经济相关性。因此，如果英国的一家大型重要银行将成为危机蔓延的起点，那么全球银行市场将面临严重问题，其负面影响将持续很长时间。换句话说，英国是欧洲层面需要考虑的主要金融市场之一。另一方面，葡萄牙的经济实力和流动性不如欧洲。4最优控制鉴于市场环境中的横向联系，所有银行都同样需要接受金融监管。这种监管是必要的，以防止全球污染，避免因银行间交易的蔓延而造成严重后果。

这部分解释了中欧银行存在的原因。中央银行是在相互作用的商业银行之间实现纵向联系的监管主管机构。由于主要目标之一是避免区域的广泛传播，我们提出了以下最优控制问题：min J[I（·），u（·）]=I（T）+TZbu（T）dt-→ 最小值（4）以控制系统为准dS（t）dt=-βS（t）I（t），dI（t）dt=βS（t）I（t）- γI（t）- u（t）I（t），dR（t）dt=γI（t）+u（t）I（t），（5）其中S（0）=S，I（0）=I，R（0）=R，满足（3），权重b>0，是固定的。在我们的模拟中，状态变量的初始值如第3节所述，而与控制措施成本相关的权重b取1。5，受[18]中考虑的国家基金可能进行资本重组的价值的推动。目标功能（4）的第一个术语反映了这样一个事实，即控制组织应关注最终时间t时的关联机构数量I（t）。该积分反映了防止传染蔓延和经济衰退所需的财政援助的一般成本【0，T】。控制u（·）是一个勒贝格函数，其值在紧集[0，1]：0中≤ u（t）≤ 1，U（t）表示向传染性银行提供援助的比率，也就是说，它是指当时中央银行提供的金融支持与银行当时需要的金融支持之间的比率。

这样，u（t）=1表示在时间t时中央银行的全力支持（银行所需的所有资金都由中央银行支付），而u（t）=0表示在时间t时中央银行没有金融借贷或再资本化。为了使用BOCOP最优控制解算器[1，25]，Bolzaform（4）–（5）中的最优控制问题用以下等价的Mayer形式表示：min J[S（·），r（·），Y（·）]=N- S（T）- R（T）+Y（T）-→ 最小值（6）取决于dS（t）dt=βS（t）+βS（t）（R（t）- N），dR（t）dt=γ（N- S（t）- R（t））+u（t）（N- S（t）- R（t）），dY（t）dt=bu（t），S（0）=S，R（0）=0，Y（0）=0，u（t）∈ [0, 1].（7） 最优控制问题（6）–（7）由BOCOP通过标准时间离散化近似为非线性规划问题（NLP）。然后通过开源Ipopt优化so lver解决NLP问题【27】，使用Adol-C（C++中重载的自动微分）包计算的稀疏精确导数【28】。图4、图5和图6显示了我们的SIR银行传染风险模型的模拟结果，在有无最优控制的情况下，第3节第一、第二和第三种情景的30天（T=30）的时间段。图4a显示，如果我们没有阻止传染的方法，或者只是不想在传染上花费大量的钱，即u（t）≡ 0，则在第一次启用的情况下，最终T=30的传染性银行数量将等于64家。

如果选择控制u（t）作为最优控制问题的解决方案，那么在一个月内，传染银行的数量将小于J=2，见图4b。0 5 10 15 20 25 3002040608010120140160180TimeBanks易感感染恢复（a）无控制0 5 10 15 20 25 300204060801001020140160160180TimeBanks易感感染恢复（b）有最优控制0 5 10 15 20 25 3000.050.10.150.20.25TimeControl控制（c）极值控制u（t）图4：葡萄牙的传染风险（情景1）有无最优控制。在第二种情况下，图5a显示无控制的连续数等于124。相比之下，在T=30时使用最优控制的传染银行数量，考虑到整个期间与控制干预相关的成本【0，30】，等于2（见图5b）。