非马尔可夫最优停止的离散型逼近

如果G是Borel映射且G（t，ω）=G（t，ω（·），我们说G是非预期泛函∧ t） ）；（t，ω）∈ [0，T]×D（[0，T]；R）。SDE的系数将满足以下正则性条件：假设I：非预期映射α：λ→ R和σ：∧→ R是Lipschitz连续的，即存在一个常数KLip>0，使得|α（t，ω）- α（t′，ω′）|+|σ（t，ω）- σ（t′，ω′）|≤ KLipdθ（t，ω）；（t′，ω′）对于每个t，t′∈ [0，T]和ω，ω′∈ D（[0，T]；R），其中0<θ≤ 1、假设二：奖励过程由（5.1）Z（t）=F（t，X）14 DORIVAL LE▄AO、ALBERTO OHASHI和FRANCESCO RUSSOwhere X satis（5.2）或（5.13）给出，F：λ→ R是一个非预期Lipschitz泛函，即存在常数kF k，使得| F（t，ω）- F（t′，ω′）|≤ kF kdθ（t，ω）；（t′，ω′）对于每个t，t′∈ [0，T]，ω，ω′∈ D（[0，T]；R），其中0<θ≤ 1.5.1. 布朗运动驱动的非马尔可夫SDE。基本状态过程是以下SDE（5.2）X（t）=X+Ztα（s，X）ds+Ztσ（s，X）dB（s）；0≤ t型≤ T、 给定初始条件X（0）=X∈ R、 我们可以通过常规的参数很容易地检查，theSDE（5.2）承认对于每一个p，在Bp（F）中有一个强解≥ 1、嵌入离散结构的自然候选者（Zk）k≥1，Dw、 r.t Z由（5.3）Zk（t）给出：=∞Xn=0FTkn，Xk{Tkn≤t<Tkn+1}；0≤ t型≤ t其中Xk（0）：=x，我们递归定义（5.4）Xk（Tkn）：=Xk（Tkn-1) + αTkn-1，XkTkn+σ（Tkn-1，XkAk（Tkn）用于1≤ n≤ e（k，T），其中Xk（T）=P∞n=0Xk（Tkn）1{Tkn≤t型∧Tke（k，T）<Tkn+1}；0≤ t型≤ T、 在续集中，为了简化表示，我们将T设置为1。让我*是击中时间inf{t>0；| B（t）|=1}（参见例g[9]）的勒让德变换*（x） =supλ<0“λx- lncosh（p2 |λ|）！#；x<1。提案5.1。如果假设I-II对θ=1/2和X满意度（5.2）成立，则（Zk）k≥1，D（5.3）给出了Z的嵌入离散结构。

更重要的是，对于每个β∈ （0，1）和ζ>1时，存在一个常数C，该常数依赖于α、σ、β和ζ，因此（5.5）Vk公司- supτ∈T（F）E[Z（τ）]≤ C2βk+经验- ζ-1-2kI*1.- δ+ δln（2δ-1)每k≥ 1和δ∈ (0, 1).证据让我们确定0<β<1和ζ>1。直接应用[29]中的推论6.1，结合[28]中的假设I-II和引理2.2，得出（5.6）kZk- ZkB公司≤ kF-kC（α，σ，β）2βk；k≥ 1，对于常数C（α，σ，β）。在续集中，C是一个常数，可能会因行而异。三角线质量产量（5.7）EkZk（·）∧ Tke（k，1））- Zk公司∞≤ 2EkZk（·）∧ Tke（k，1））- Zkk公司∞+ 2EkZk- Zk公司∞=: Ik+Ik。根据定理3.2中的（3.10），我们只需要估计Ik。我们观察（5.8）Ik≤ CkF kEhmaxTke（k，1）<Tkp≤TkNk（1）| Xk（Tke（k，1））- Xk（Tkp）{Tke（k，1）<1}i+CE | 1- Tke（k，1）|；k≥ 1.非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第一部分15我们设置Ek={Tke（k，1）<TkNk（1）}，当我们回忆Nk（1）时，由（2.3）给出。利用文献[29]中的引理6.2、假设I、Jensen和ζ>2的H¨older不等式，我们得到了（5.9）E maxp≥1.ZTkpTke（k，T）α？sk，Xkds公司埃克∩吉凯恩集团≤ Ck1公司- Tke（k，1）kLζ；k≥ 1，对于依赖于α的常数c。这里，Gkp={Tke（k，1）<Tkp≤ TkNk（1）}我们回忆起“skis givenby（2.3）”。对于每个δ>0和k≥ 1，让我们表示ek，δ：={Tke（k，1）<TkNk（1），TkNk（1）- Tke（k，1）>δ}，Ek，δ：{Tke（k，1）<TkNk（1），TkNk（1）- Tke（k，1）≤ δ}.对于给定的δ>0，我们拆分maxp≥1.ZTkpTke（k，1）σ（(R)sk，Xk）dB（s）埃克∩Gkp=最大值≥1.ZTkpTke（k，1）σ（(R)sk，Xk）dB（s）Ek，δ∩Gkp+最大值≥1.ZTkpTke（k，1）σ（(R)sk，Xk）dB（s）Ek，δ∩Gkp=：Jk（δ）+Jk（δ）。通过随机积分的可加性，我们将应用Burkholder-Davis-Gundy和H¨olderinequalities以及[29]中的引理6.2，得到一个常数C，它依赖于σs uch，即（5.10）EJk（δ）≤ CP{δ+Tke（k，1）<TkNk}ζ≤ CP{δ+Tke（k，1）<1}任何ζ>2的ζ，k≥ 1和δ∈ (0, 1).

为了估计Jk（δ），我们需要使用随机积分的连续模mk（h）：=s upt，s∈[0,1]，| t-s|≤h类Ztsσ（s，Xk）dB（s）对于h>0。我们注意到Jk（δ）≤ mk（δ）a.s每k≥ 1和δ>0。通过将[19]中的Th 1与[29]中的假设I和L emma 6.2相结合，我们得出以下估计值（5.11）EJk（δ）≤ Cδlnδ每k≥ 1和δ>0，其中C是一个仅依赖于（α，σ）的常数。最后，sincee（k，1）=-2和Tk-2k=P-2ki=1Tknis a iid sum of random variables w with meank，我们将使用经典的大偏差技术来确定每个q≥ 1，常数C（仅取决于q），如（5.12）P{δ+Tk-2k<1}≤ 经验值- -2kI*（1）- δ), E | Tk-2公里- 1 | q≤ C2QK每k≥ 1和δ∈ (0, 1). 现在，我们只需要将（5.12）转换为（5.8）、（5.9）和（5.10）。通过观察估计值（5.6）和（5.7），我们得出结论。16多里瓦尔·勒奥、阿尔贝托·奥哈希和弗朗西斯科·鲁索5.2。非马尔可夫SDE通过分数布朗运动驱动n。在本节中，我们分析了当奖励过程Z=F（X）由以下SDE（5.13）X（t）=X+Ztα（s，X）ds+BH（t）驱动时的OREM 3.2，其中α是满足假设I的有界非预期泛函，BH是在<H<1的区间[0，t]上的一维分数布朗运动（以下简称为FBM）。通过[24]中的th3.4，我们将表示bh（t）=ZtρH（t，s）B（s）ds；0≤ t型≤ T、 式中ρH（T，s）：=sKH（t，s）和KH（t，s）：=dHs-HRtsuH公司-（u）- s） H类-du；0<s<t≤ T是代表FBM的经典平方可积Volterra核。为了构造Z的嵌入离散结构，我们需要bkhf的结构，该结构在带内收敛，自然条件为bkh（t）：=Z'tkρH（'tk，s）Ak（s）ds；0≤ t型≤ T、 我们回忆起（2.3）中给出的“TKI”。

由于核ρhj的单格性和随机时间的出现以及分段常数过程Ak，很难满足这一要求。下一次结果的证明推迟到附录中。提案5.2。如果<H<1和H-< λ<，存在一个常数C，它依赖于H，T和λ，使得e sup0≤t型≤T | BkH（(R)tk）- BH（t）|≤ C1-每k为2λk≥ 1、嵌入离散结构的自然候选者（Zk）k≥1，Dw、 r.t（5.1）由（5.14）Zk（t）给出：=∞Xn=0FTkn，Xk{Tkn≤t<Tkn+1}；0≤ t型≤ t其中Xk（0）：=x，我们递归定义Xk（Tkn）：=Xk（Tkn-1) + αTkn-1，XkTkn+1的BkH（Tkn）≤ n≤ e（k，T）。我们现在可以陈述这项研究的主要结果。为了简化表示，我们将T设置为1。提案5.3。如果假设I-IIθ=1，X满足度（5.13）<H<1且α有界，则（Zk）k≥1，D（5.14）给出了Z的嵌入离散结构。更重要的是，对于每个H-< λ<，存在一个常数C，它依赖于α，H，λ，使得（5.15）Vk公司- supτ∈T（F）E[Z（τ）]≤ C1-每k为2λk≥ 1.非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第一部分17证明。让我们确定H-< λ <. 通过重复[29]中命题6.2中提出的相同论点，并结合F的Lipschitz性质，可以很容易地检查是否存在常数C（α，β，H，λ），使得（5.16）kZk- ZkB公司≤ kF-kC（α，β，H，λ）1-每k为2λk≥ 1和β∈ (0 , 1). 通过像命题5.1的证明那样进行论证，我们得到Vk公司- supτ∈T（F）E[Z（τ）]≤ kF-kC（α，β，H，λ）1-2λk+kF k sup0≤t型≤1 | X（t∧ Tke（k，1））- X（t）|每k≥ 1、我们观察到UP0≤t型≤1 | X（t∧ Tke（k，1））- X（t）|≤ C1+kXηk∞|1.- Tke（k，1）|+σkBH（·∧ Tke（k，1））- BHk公司∞其中Ek Xk2p∞≤ C（1+| x | 2pexp（C）带p≥ 1，对于常数c，取决于BH。

对于每一个>0，众所周知存在G∈ ∩q≥1Lq（P）和确定性常数C，使得| BH（t）- BH（s）|≤ C | t- s |（H-）Ga.s.每t，s∈ [0, 1]. 因此，sup0≤t型≤1 | BH（t）- BH（t∧ Tke（k，1））|≤ C | 1- Tke（k，1）|（H）-Ga.s.利用（5.12）和Cauchy-Schwarz不等式，对于每0<γ<H，存在一个常数C，例如∧ Tke（k，1））- BHk公司∞≤ C2γk。既然我们取γ+λ>，那么我们就得出证明。5.3. 如何计算最优值？在这一点上，在本节结束时提供一些指导，说明如何在给定的时间间隔[0，T]内，在给定的（可能是非马尔可夫的）最优停止时间问题中具体产生最优值。为了简单起见，基本布朗运动的维数将设为d=1。首先，我们回顾了（3.5）、（3.6）和（3.8）给出的方法的关键目标，其中，each随机元素akn引入了图像概率测度ρkn：=Pknon Snk；n≥ 其中ρ是0上集中的狄拉克c。设Zk={Zkn；n=0，…，e（k，T）}是一个Borel函数的列表，它将（3.2）化。Reca ll ZK必须被解释为给定状态下，由嵌入离散结构（见定义2.1）的路径版本组成的支付函数，该状态通常是由Ak驱动的欧拉型近似。有关更多详细信息，请参见[7，29]。我们假设Zkn:Snk→ R∈ L（Snk，ρkn），对于每n=0，e（k，T）。现在让我们选择一个子集{bUkj；j=0，…e（k，T）- 1} 功能，例如Bukj∈L（Sjk，ρkj），对于每个j=0，e（k，T）- 1、对于每种函数的选择，我们设置归纳式（5.17）（bτke（k，T）：=e（k，T）bτkj：=j11bGkj+τkj+1（bGkj）c；0≤ j≤ e（k，T）- 1，其中bgkj：={Zkj（Akj）≥布吉（Akj）}；0≤ j≤ e（k，T）- 1和bτk=bτk。这里，bUkj（·）应解释为E的合适近似值Zkbτkj+1（Akbτkj+1）| Akj=·对于每个j=0。

，e（k，T）- 1、集合{bτkj；0≤ j≤ e（k，T）}诱导一组条件期望sehyk（bτkj+1）| Akji=EhZkbτkj+1（Akbτkj+1）阿克吉；j=0，e（k，T）- 因此可以假设18多里瓦尔·勒奥、阿尔贝托·奥哈希和弗朗西斯科·鲁索马克斯Zk（0）；bUk（0）作为（3.8）的可能近似值。话虽如此，我们现在能够生成一个Longstaff-Schwartz型蒙特卡罗方案，如我们在此简要概述的[7]所示。有关更多详细信息，请参阅[7]。给定任意正整数N，选择HkN，0 R、 对于每个j=1，e（k，T）- 1，选择HkN，jL（Sjk，ρkj）。集合HkN，j；0≤ j≤ e（k，T）（所谓的近似体系结构）po ssiblydepe nd on N，它们的选择取决于一些关于延拓值的先验信息（3.6）。从…起Ak公司l; 0≤ l ≤ e（k，T）, 生成N个独立样本AK0，i，Ak1，i，Ake（k，T），i；i=1，N、 这一步骤可以通过【13】开发的完美模拟算法来实现。关于欧式期权套期保值的具体实施，请参见【8】。对于每个l = 0, . . . , e（k，T），让我们表示akl编号：=Ak公司l,1，Akl,2.Ak公司l,NAke（k，T），1，Ake（k，T），2，Ake（k，T），N带（e（k，T）- l + 1） N-因子。对于j=e（k，T）- 1，我们设置bτkj+1：=bτkj+1（Ak（j+1）N）：=e（k，T）并生成{（Akj，i，（Zkbτkj+1）i）；1≤ 我≤N} 式中，我们定义（Zkbτkj+1）i：=Zke（k，T）（Ake（k，T），i）；1.≤ 我≤ N、 然后选择（5.18）bUkj：=arg ming∈HkN，jNNXi=1（Zkbτkj+1）i- g（Akj，i）.人们应该注意到，Bukjis是Akjn的一个泛函，我们假设存在一个极小值（见[7]中的备注4.4）（5.19）bUkj:Sjk×Sjk公司N×。×Se（k，T）kN→ Rof（5.18），可能取决于N。用Bukjat手计算bτkji=bτkjAkjN公司i、 bτkj=bτkj的值AkjN公司根据（3.5）的第i个样本进行假设。

在本例中，我们设置（5.20）Zkbτkji： =（ZkjAkj，i; 如果bτkji=jZkbτk（j+1）iAkbτk（j+1）i，i; 如果bτkji=bτk（j+1）i其中bτk（j+1）i=e（k，T）f r 1≤ 我≤ N、 根据（5.18）和（5.20），我们然后归纳地重复该程序j=e（k，T）- 2.1，0直到步骤j=0bτkji，bUkj，Zkbτkj我; 0≤ j≤ e（k，T），1≤ 我≤ N、 对于j=0，我们设定v（Ak0N）：=maxnZk（0），bUk（Ak0N）o。上述过程与以下结果所示的极限最佳停车时间问题一致。这是[7]中定理4.1和Pro位置5.1和5.3的直接结果。在续集中，vc表示子集的Vapnik-Chervonenkis维数。非马尔可夫最优停止问题的离散型逼近：第一部分，每个k的19（H1）≥ 1，假设HkN，j L（Sjk，ρkj），存在v c香港，j≤ νk<+∞ 对于每j=1，e（k，T）- 1和每N≥ 2.（H2）对于每个k≥ 1，存在bk使得sup{kf k∞; f∈ 香港，j}≤ 黑色<+∞ 对于每个j=0，e（k，T）- 1和N≥ 2、运用命题5.1和命题5。3和[7]中的Th 4.1，我们得出以下结果。推论5.1。ASSUME（A1-A2-H1-H2）和命题5.1和5.3的假设成立。假设建筑空间HkN，jare L（ρkj）的稠密子集s，对于每个j=1，e（k，T）- 1，对于每个正整数N≥ 2和k≥ 1、那么，每k≥ 1个足够大（5.21）的limN→+∞|bVk（Ak0N）- S（0）|=0 a.S.其中S（0）=supτ∈T（F）E[Z（τ）]，Z由（5.1）给出。为了在我们的方案中计算精确的步数，我们只需要应用属性5.1和5。3与[7]中的推论4.1相结合。在这种情况下，类似于经典马尔可夫情况，连续值的平滑度Ukj；j=0。

，e（k，T）- 1对于如何通过适当平衡近似误差和样本误差来选择近似空间以获得最有利的收敛速度至关重要。示例5.1。为便于说明，设X为第5.2节中给出的状态过程，其中终端时间、离散化水平k、漂移和支付分别由t=1、k=Д（k）、α（s，η）=b（η（s））、F：λ定义→ Rη 7→ F（η）：=每个η的h（η（1））∈ D（[0，1]；R）和s∈ [0，1]，其中b和h是Lipschitz有界函数，而Д：[0，∞) →[0, ∞) 是一个严格递减函数（逆ξ），使得pk≥1Д（k）<∞. We fix<H<1和λ，如命题5.3所述。接下来，我们研究了在具体的fullynon-Markovian示例中可能出现的全局数值误差e=e+eone。误差e可以分解为两项之和：本文研究的第一项（e）是离散型过滤近似误差；第二个（e），我们在[7]中研究过，它与与与连续值相关的条件期望的数值近似有关。通过使用α和F仅依赖于现有数据的事实，并执行类似的计算，如[7]中Th 5.1的证明所述，bkn7→ Ukn（bkn）isLipschitz从ESNK到R，其中ESNK：=（（0+∞) ×Br（0））×。× ((0, +∞) ×Br（0））（n倍cartesianproduct）和Br（0）是一个以原点为中心、半径r>1的开集。我们应用[7]中的推论4.1和命题5.3来说明（5.22）E | bV（Ak0N）- Vk |=O日志（N）N-22+e（k，1）-1.,（5.23）| Vk- S（0）|=O（1-2λk）。根据现有的估计值（5.22）和（5.23），我们现在能够推断出在给定精度水平e下恢复最佳值所需的工作量（复杂性）。实际上，让我们确定0<e<1。方程（5.23）允许我们找到与离散化相关的必要步骤，如下所示。

Weobserve1-2λk≤ e<==> k≥ ξ（e1-2λ）有了这些信息，我们将取k*= ξ（e1-2λ).本产品（k*, 1） =l^1（k*)m20多里瓦尔·勒奥、阿尔贝托·奥哈希和弗朗切斯科·罗斯森与离散化程序相关的步骤数量。例如，如果Д（k）=2-k、 e=0.40，H=0.6，然后取λ=0.15和k*= -log0.400.70=1.88。这会产生e（k*, 1) = 22×1.88 =14步数。当然，作为e↓ 0，步骤数e（k*, （1）↑ +∞, e、 g.，如果e=0.2，则K*= -log0.20.70=3.31，e（k*, 1） =99，依此类推。对于给定的规定误差0<e<1和k*,方程式（5.22）允许我们通过E | bV（Ak*0N）- Vk公司*| = O（e）。附录：命题5.2的证明在附录中，C是一个常数，可能因行而异。让我们表示ρH，1（t，s）=t（H-)s(-H） （t- s） （H）-), ρH，2（t，s）=s(-H-)Ztsu（H-)（u）- s） （H）-)du对于0<s<t。显然，存在一个依赖于t的常数C，使得（6.1）|ρH（t，s）|≤ 0<s<t的C{ρH，1（t，s）+ρH，2（t，s）}。三角不等式与FBM的H¨older性质（6.2）sup0≤t型≤T | BkH（(R)tk）- BH（t）|≤ sup0≤t型≤T | BkH（(R)tk）- BH（(R)tk）|+kBHkH-ηNk（T）\\u n=1TknH-ηa.sfor every 0<η<H，其中k·kθ表示0<θ的H–older范数≤ 1、清晰（6.3）sup0≤t型≤TZ？tkρH，1（？tk，s）| Ak（s）- B（s）| ds≤ kTH-a、 s.精密组件isR'tkρH，2（'tk，s）| Ak（s）- B（s）| ds。让我们x p>1，使得（6.4）+p>>λ>p+H-.所以p必须大于1-H> 2。设q>1为共轭指数，使得(--H+λ）q+1>0。选择（6.4）意味着（Zus-λp | Ak（s）- B（s）| pds）p<∞对于每0≤ u≤ T

我们观察到UP0≤t型≤TZ'tkρH，2（'tk，s）| Ak（s）- B（s）| ds≤ CZTuλ-1+q（dk（u））puH-{Nk（u）>0}du+CZTuλ-1+q（dk（u））puH-{Nk（u）=0}du其中C仅依赖于H和dk（u）：=Zus-λp | Ak（s）- B（s）| pds。非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第一部分21为了缩短符号，让我们表示jk（u）=E“ZTkNk（u）+1s-λp | Ak（s）- B（s）| pds#{Nk（u）>0}。我们观察到k（u）1{Nk（u）=0}≤ kBkpλu1{Nk（u）=0}，dk（u）1{Nk（u）>0}≤ Jk（u）a.s每u∈ [0，T]。现在让我们估计给定u的Jk（u）∈ （0，T）.基于停止时间TknyieldsE[Jk（u）]≤ E“2Nk（u）Xn=1ZTkn | v+Tkn-1|-λp | B（v+Tkn-（1）- B（Tkn-1） | pdv#=CEh[Ak]（u）i2(-λp+p）k≤ CEhsup0≤l≤u | B(l)|i2(-λp+p）k≤ Cu2(-λp+p）kf对于仅依赖于H的常数C，则E（dk（u））p≤ 杯2(-λ++k+EkBkγpλpγpβp{Nk（u）=0}up对于依赖于（λ，p）的常数C，其中γ，β>1是共轭指数。此外，Ppβ{Nk（u）=0}≤ 铜-pβpβk；对于仅依赖于pβ的常数C，u>0，pβ>2。这意味着（6.5）E sup0≤t型≤TZ'tkρH，2（'tk，s）| Ak（s）- B（s）| ds≤ CTH公司-+λ2(-λ++k+CpβkTH-+λ-通过调整pβ<λ<，pβ。总结步骤（6.1），（6.2），（6.3），（6.5），并使用Fernique定理，[28]中的引理2.2和H¨older不等式，存在一个常数C=C（θ，H，a，b，λ，β，η），使得E sup0≤t型≤T | BkH（(R)tk）- BH（t）|≤ C（θ，H，a，b，λ，β，η）2（H-η)-b（1-θ） k+1-2λk+pβk对于每个a，b>1共轭指数，θ∈ （0，1），（λ，p）满足（6.4），β>1和η∈ （0，H）。最后，我们可以这样选择（η，θ，b），即1>2λ>2η+b（1- θ） 因为2H>1，我们就有了1- 2λ<2H-2η+b（1- θ). 我们也可以这样选择（p，β）>λ>-pβ>p+H-在这种情况下1- 2λ<pβ。