非马尔可夫最优停止的离散型逼近

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英文标题：
《Discrete-type approximations for non-Markovian optimal stopping
  problems: Part I》
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作者：
Dorival Le\\~ao, Alberto Ohashi and Francesco Russo
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper, we present a discrete-type approximation scheme to solve continuous-time optimal stopping problems based on fully non-Markovian continuous processes adapted to the Brownian motion filtration. The approximations satisfy suitable variational inequalities which allow us to construct $\\epsilon$-optimal stopping times and optimal values in full generality. Explicit rates of convergence are presented for optimal values based on reward functionals of path-dependent SDEs driven by fractional Brownian motion. In particular, the methodology allows us to design concrete Monte-Carlo schemes for non-Markovian optimal stopping time problems as demonstrated in the companion paper by Bezerra, Ohashi and Russo.
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中文摘要：
本文提出了一种基于完全非马尔可夫连续过程的离散型近似格式来求解连续时间最优停止问题，该过程适用于布朗运动过滤。这些近似满足适当的变分不等式，使我们能够构造$\\ε$-最优停止时间和完全通用的最优值。基于分数布朗运动驱动的路径依赖型随机微分方程的报酬泛函，给出了最优值的显式收敛速度。特别是，该方法允许我们为非马尔可夫最优停止时间问题设计具体的蒙特卡罗方案，如Bezerra、Ohashi和Russo的配套论文所示。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Discrete-type_approximations_for_non-Markovian_optimal_stopping_problems:_Part_I.pdf (361.33 KB)

2022-6-1 03:45:29 上传

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关键词：马尔可夫 离散型 Applications Differential inequalities

非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第I部分：竞争对手LE▄AO、ALBERTO OHASHI和FRANCESCO RUSSOAbstract。在本文中，我们提出了一种离散型近似方案来解决基于完全非马尔可夫连续过程的连续时间最优停止问题，该过程适用于布朗运动过滤。这些近似满足适当的变分不等式，从而可以构造出完全通用的-最优停止时间和最优值。基于分数布朗运动驱动的路径相关随机微分方程的报酬泛函，给出了最优值的显式收敛速度。特别是，该方法允许我们为非马尔可夫最优停止时间问题设计具体的蒙特卡罗方案，如Bezerra、Ohashi和Russo的论文所示。引言一类重要且发展良好的随机控制表ms与最佳停止时间有关。目标是确定停止时间，在此时间，应停止底层随机过程Z，以优化某些给定感兴趣函数的值。从本质上讲，最优停止时间问题完全由所谓的supermartingale-Snell包络（1.1）S（t）：=ess supτ描述≥tE[Z（τ）| Ft]，0≤ t型≤ T、 书面w.r.T给定过滤F=（Ft）0≤t型≤T、 式中，（1.1）中的esssup是根据位于【T，T】上的所有F停车时间计算的。关于最优停止问题中概率技术的文献很多。例如，我们参考了文献[26，14]中的世博会选址以及其中的其他参考文献，对这一领域的技术进行了广泛概述。求解最优停止时间表m的一种典型方法是沿每个iod t的离散时间离散Snell包络线（1.1），采用欧拉型离散格式。

主要障碍是在动态编程算法中获得连续值（表示为Fti-c条件期望值）。在这种情况下，可以通过使用基于回归多项式的适当选择的非参数回归技术来使用最小二乘蒙特卡罗方法（参见例如[34]和其中的其他参考文献）。另一种流行的方法是，根据使用Malliavin演算获得的无条件期望的适当比率，利用条件期望的一些可用表示（参见例[12]）。这些方法很好地发挥了作用，可以通过有限维随机向量X（t），…，降低信息流（Fti）pi=0，X（tp）。只有当该州是马尔可夫州时，这才可能实现。否则，从计算的角度来看，连续值的计算在先验上是不可行的。许多作者也研究了[32]中研究的双重方法（如[5]和其中的其他参考文献）。在这种方法中，关键步骤是找到“最优”鞅，而马尔可夫性质的重要性对于获得具体的基函数来参数化鞅似乎至关重要（参见例[5，3和3]）。除了马尔可夫状态过程之外，一种方法是将斯内尔包络表示为反射BSDE的唯一解。一方面，在表示层面上，反射BSDES理论充分概括了S的半鞅结构。另一方面，计算鞅表示的具体方法仅限于马尔可夫情形（参见[2，3，日期：2019.1991年6月24日数学学科分类。主要：60H35；次要：65C30。关键词和短语。最优停止；随机最优控制。2 DORIVAL LEAO，ALBERTO OHASHI，and FRANCESCO RUSSO10，11]）。基于路径相关PDE的最新方法（参见。

[18] ）在与反射BSDE相关的障碍物上，在路径规则性下，斯内尔包络的y场差异表示（即使在完全非线性的情况下）。我们还强调了【20】最近对斯内尔包络的表示结果，即在放大的概率空间上定义的真实BSDE，包含一个ump部分，并涉及符号约束。我们观察到，使用反射式BSDE和路径依赖型BSDE来具体解决马尔可夫情形之外的最优停止问题似乎是一项非常艰巨的任务。关键困难在于，解决完全非马尔可夫状态的最优停止时间问题本质上是一个由有限维状态驱动的随机最优控制问题。基于完全非马尔可夫状态的报酬路径依赖泛函的最优停止时间问题在许多应用中都存在，设计具体的解决方法是一项具有挑战性的任务。一个典型的例子是在随机波动性模型（X，V）上编写的美式期权定价问题，其中波动性变量V是具有长期依赖性（参见[15]和其中的其他参考文献）或短期依赖性的分形布朗运动（FBM）的函数，正如许多著作最近观察到的那样（参见[4，22，21]和其中的其他参考文献）。在这种情况下，由于与FBM相关的非平凡相关性，无法将（X，V）解释为“增广”的有限维马尔科夫过程，因此相关最优停止问题的具体解决方案非常具有挑战性。我们强调，即使是基于有限维“增广”马尔科夫模型（X，V）（例如，由布朗运动驱动的CIR型模型）的最优停止问题也不容易解决（参见[3 1，1]）。实际上，波动率V不是直接观察到的，因此必须对其进行近似。

如果准确估计波动率，则可以采用标准马尔可夫方法来解决控制问题。否则，最优停止问题是非马尔可夫的。本文的目的是提出一种基于任意连续报酬过程s Z构造最优s topping问题连续区域和最优值的系统方法。我们对非马尔可夫情形特别感兴趣，即：。，Z=F（X），其中F是基础非马尔可夫连续过程X的路径依赖函数，该过程适用于d维布朗运动B生成的过滤。在我们的哲学中，奖励过程Z被视为B的一般非预期函数，即（1.2）B 7→ Z（B）而不是X a，它可能基于不可还原为马尔科夫过程向量的不同类型的状态：路径相关SDE的解、涉及分数布朗运动的过程以及布朗运动的其他奇异泛函。该方法基于Le▄ao和O hashi【27】以及Le▄ao、Ohashi和Simas【28】，他们展示了一大类Wiener泛函（1.2）w.r的非常强的连续性/稳定性。t由适当的等待时间Tkn驱动的连续时间随机游动结构D；n、 k级≥ 1（见（2.1）和（2.2）），其中记录了小尺度下布朗运动的演化↓ 0作为k→ +∞. 这里，对于具有inve rseξ的严格递减函数，k=Д（k）。其主要思想是通过将给定时间t的布朗过滤分解为（1.3）Fkt：=n[j≥0Dj∩ {Tkj≤ t<Tkj+1}；Dj∈ σ（Akj），j≥ 0o，其中σ（Akj）；j≥ 1是由随机向量（1.4）Akj生成的sigma代数序列：=Tk，ηk，Tkj，ηkj在有限维离散空间的笛卡尔乘积上取值（包括合适的符号（ηkj）j≥1of D）乘以[0，T]。

与之前的离散化方案相比，我们的方法必须被解释为一种空间过滤离散化方案：（i）以随机间隔Tkn≤ t<Tkn，非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第一部分3布朗运动位于具有并矢端点形式的o-pen子集上(l - 1） k(l + 1） k对于l ∈ Z和-n≤ l ≤ n、 （ii）FKTA是Fkt的重要财产∩{Tkn≤ t<Tkn+1}=σ（Akn）∩{Tkn≤t<Tkn+1}；n≥ 结构D是由{Akn；k，n≥ 1} 第一步是评估嵌入到结构D中的最优停止时间问题，其中所有B rownian运动的泛函都被{Akn；n，k的泛函所取代≥ 1}. 考虑了两类容许停止时间。第一类由所有罗年停止时间组成，这些时间取[0，T]中的值。第二类进一步将允许值集限制为离散网格{n；n=0，1，…，e（k，T）}，其中e（k，T）=d-2吨是与合适的圆盘网结构相关的最大步数（Sk）k≥1，D对于（1.1）。步数由大偏差pr inc iples确定（见引理2.2 in【25】、引理3.1和（5.12）），它只取决于布朗运动的维数d和离散化水平k。结构（Sk）k≥1，D通常通过D驱动的Euler型格式进行构造。

这两个问题在t=0时的最佳值分别用S（0）和Vk表示。与经典al方法相比，我们的方法的优势在于具体分析了非马尔可夫状态的最优停止问题：首先，回顾我们将状态（1.2）解释为维纳函数的哲学，过滤（Fkt）0≤t型≤t对整个布朗历史进行汇总，使最优存储问题（1.1）的（有限维）信息流可以减少为条件期望w.r.t随机向量（1.4）沿时间网格n=0，e（k，T）。然后，将非马尔可夫状态视为（1.4）的泛函，与之前的方法相比，可以通过基于非完美模拟算法（Burq和Jones[13]）的标准回归技术，公平地计算与我们的近似Optima-lstoppr问题相关的连续值，首次布朗运动达到±1。这使我们能够根据高维离散时间动态规划算法大幅降低连续时间非马尔可夫问题的维数。其次，维纳泛函（1.2）w.r.t D的stro-ng稳定性允许我们具体处理基于反射BSDE、路径相关PDE和其他离散化方法的经典方法无法达到的非马尔可夫态。定理3.1和3.2给出了一个广义最优停止时间问题的抽象结果，该问题的广义状态以[28]的语言表示为嵌入离散结构。作为对我们理论相关性的检验，第5节给出了基于带参数的分数布朗运动驱动的路径相关SDE的具体例子≤ H<1。命题5。1和5.3提供Vkto S（0）的收敛率。

更重要的是，如第5.3节所述，VKC可以通过0以上的经典离散时间动态编程原理进行具体计算≤ n≤ e（k，T）基于（1.4）生成的信息集。在分数布朗运动驱动的典型非马尔可夫状态下，算法的工作量（复杂性），对于给定的精度e，它与O（1）成正比-2λk*) 对于H-< λ<和k*= ξ（e1-2λ），这反过来意味着e（k*, T）=d-2公里*T 算法中的步骤数。基础状态Ak*e（k*,T）生活在e（k）中*, T）（d+1）-维度空间。B ezerra、Ohashi和Russo在复写纸上开发了一种具体的蒙特卡洛血红素。最后，我们提到，通过将优化问题投影到过滤（Fkt）0上，计算S w.r.t B（对冲策略）的敏感性没有概念上的障碍≤t型≤与【28】中介绍的描述测试过程中Doob-Meyer分解的不同推动者合作。这将在未来的项目中进行调查。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了离散化方案的基本目标。在第3节中，我们给出了本文的主要结果，并解释了如何将Methodology具体用于解决马尔可夫情形以外的最优停止问题。在第4节中，我们给出了命题3.1和定理3.1的证明。第5节用两个例子说明了逻辑方法。第5.3节解释了如何在具体示例中操作离散时间动态编程原理。4多里瓦尔·勒奥、阿尔贝托·奥哈希和弗朗西斯科·鲁斯索。通过这篇文章，我们将得到一个d维布朗运动B={B。

，Bd}在通常的随机基上(Ohm, F、 P），其中Ohm 是空间C（[0+∞); Rd）：={f:[0+∞) →Rdcontinuous}，具有紧区间上一致收敛的常见拓扑。维纳测度是否为onOhm 使得P{B（0）=0}=1，F：=（Ft）t≥0是布朗运动产生的自然过滤的常见P-a强化。在续集中，我们回顾了这些作品所提出的理论的基本结构，并让读者了解这些作品中所有无法解释的要点。对于固定正序列{k；k≥ 1} 这样的PK≥1k<+∞, 对于每个j=1，d、 Wedefine Tk，j：=0 a.s.，我们设置（2.1）Tk，jn：=infTk，jn-1<t<∞; |Bj（t）- Bj（Tk，jn-1） |=k, n≥ 1、对于每个j∈ {1，…，d}，族（Tk，jn）n≥0是F停止时间的序列，强Markovproperty表示增量{Tk，jn- Tk，jn-1.n≥ 1} 是一个具有相同分布的i.i.d序列Tk，j。此外，Tk，jis是一个绝对连续变量（见[28，9]）。根据这组停止时间，我们将Ak：=（Ak，1，…，Ak，d）定义为d维逐步过程，其分量由Ak，j（t）给出：=∞Xn=1kσk，jn{Tk，jn≤t} ；t型≥ 0，其中σk，jn：=1.如果Bj（Tk，jn）- Bj（Tk，jn-1) > 0-1.如果Bj（Tk，jn）- Bj（Tk，jn-1） <0，对于k，n≥ 1和j=1，d、 设Fk，j：={Fk，jt；t≥ 0}是由{Ak，j（t）；t生成的自然过滤≥ 0}. Akis产生的多维过滤自然具有以下特征。设Fk：={Fkt；0≤ t<∞} 是Fkt给出的产品过滤：=Fk，1t Fk，2t · · ·  Fk，dtfort≥ 设T：={Tkm；k，m≥ 0}是从随机变量族{Tk，j}中获得的有序统计量l; l, k≥ 0; j=1，d} 。

也就是说，我们设置Tk：=0，（2.2）Tk：=inf1≤j≤dnTk、jo、Tkn：=inf1≤j≤dm公司≥1nTk，jm；Tk，jm≥ Tkn-1对于n≥ 结构D：={T，Ak，j；1≤ j≤ d、 k级≥ 1} 是[28]语言中布朗运动的离散t型骨架（见[28]中的定义2.1）。通过本文，我们设置（2.3）Tkn：=Tkn- Tkn-1，Nk（t）：=最大值{n；Tkn≤ t} ，(R)tk：=最大值{Tkn；Tkn≤ t} ；t型≥ 0和ηk，jn：=1.如果Ak，j（Tkn）>0-1.如果Ak，j（Tkn）<00；如果Ak，j（Tkn）=0，对于n≥ 1、让我们表示ηkn：=ηk，1n，ηk，dn,Ik：=n（Ik，…，ikd）；ikl∈ {-1, 0, 1} l ∈ {1，…，d}和dxj=1 | ikj |=1非马尔可夫最优停止问题的离散型近似：第一部分5和Sk：=（0+∞) ×IK代表k，n≥ 1.滑雪板的n-fold笛卡尔积由snk表示，snk的ageneric元素将由bkn表示：=（sk，~ik，…，skn，~ikn）∈ Snkwhere（skr，~ikr）∈ (0, +∞) ×Ikfor 1≤ r≤ n、 我们还表示tkj：=jXl=1skl,对于给定列表（sk，…，skj）∈ (0, +∞)JJ其中j≥ 1、我们方法中的行驶噪声由以下离散时间过程（2.4）Akn给出：=Tk，ηk，Tkn，ηkn∈ 斯奈卡。s、 应注意，t FkTkn=（Akn）-1（B（Snk））到P-null集，其中B（Skn）是由Snk生成的Borelσ-a代数；n≥ 1、转移概率。系统的规律将根据PKN（E）定义的以下亲婴儿测量值演变：=P{Akn∈ E} ；E∈ B（Snk），n≥ 1、根据定义，Pkn（·）=Pkr（·×Sr-nk）对于任何r>n≥ 通过构造，Pkr（Snk×·）是一个正则测度，B（Sk）是可数生成的，那么众所周知存在（Pkn-a.s.唯一）一个崩解νkn，r:B（Sr-nk）×Snk→ [0，1]实现了espkr（D）=ZSnkZSr-nkD（bkn，qkn，r）νkn，r（dqkn，r | bkn）Pkn（dbkn），每D∈ B（Srk），其中qkn，ris是bkronto到最后一个（r）的投影- n） 组件，即qkn，r=（skn+1，~ ikn+1，…，skr，~ ikr），列表bkr=（sk，~ ik，…，skr，~ ikr）∈ Srk。