金融市场的二阶随机微分模型

也就是说，我们将和市场的余震。U形与V形反转。分为两种主要类型：U形和V形。反转前U形漩涡之间的差异，就像一个球上升，然后掉头，然后下降，动量值没有太大变化，只是方向发生了变化，就像一个弹性弹跳球撞到墙上一样。物理物体的一个重要物理特性是其弹性，当物体撞到墙上时，物体会强烈反弹。因此，显然，当活跃的市场摇摆者，即活跃的交易者（或交易策略）在股票遇到阻力时横向切换时，市场也是有弹性的。至2011年11月。请注意，在2011年8月至2011年9月期间，它是如何像一个弹跳的球一样移动的：每次下降到接近1100的水平时，它都会做出V形（快速）反转，但当上升到1200左右时，它会做出U形（缓慢）反转。金融市场的二阶随机微分模型11图3。2011年7月至2011年10月的SP500指数柱状图通常可以由“房屋”建立，这些房屋足够强大，可以在短期内控制阿斯托克的价格，但不能长期控制价格。5.2.电阻断裂。市场阻力有时可能类似于上文讨论的通用模式）。但是，当波浪足够强大，足以打破阻力时，即市场动能足够强大，足以打破阻力时，就会出现良好的表现，即一旦阻力被打破，市场就会出现大幅波动。2010-2014年的气体图表图4是电阻断裂的典型示例。请注意，价格在第一次触及阻力时是如何反弹的，然后由于强大的市场能量，阻力最终被打破。12阮天尊从市场能量的角度来看，一堵墙是一个尖锐的尖峰，潜在的墙到另一边的价格区域，市场需要大量的能量。

可能会超过它，所以价格会回落（势能变成动能）。但是，随着一些来自外部的额外能量（例如，整个股票市场朝着某个方向运动，给股票提供了额外的动能），高势能产生的势能在墙后转变为动能。市场余震。市场：地震后产生的市场能量水平很高，这种高能量会导致大的（通常是振荡的）余震。图5：。1987年10月道琼斯工业平均指数暴跌图5是1987年股市大震荡以及大震荡后走势的一个例子。请注意，正如地震经常发生在局部地区一样，单个股票的市场冲击比整个市场更容易发生：一点市场能量可能已经足以让一只小盘股票做出巨大的波动。金融市场的二阶随机微分模型136。市场是一个受约束的n-振荡器6.1。线性确定性模型。不适用，例如：能源、房地产、食品、交通、通信等。每个资产类别的总价格用PI=p（Ai）表示。然后p=ppi是整个经济体的总净值，我们称（9）Rj=pjpp是资产类别Aj的相对价格，因此prj=1。他们的收入全部用于电信需求，因此快速的技术进步，单位价格反而快速下降。我们将对资产定价错误感兴趣（10）xi=Ri- vi.与单个股票的振荡器模型类似，我们将假设marketenergy的形式为（11）E=nXaixi+nXbi˙xi。PaixiPnbi˙xiai，bi>固定资产特定系数。

所以我们得到了一个哈密顿系统，能量函数E由公式（11）给出，线性约束（12）Xxi=0。由于约束是完整的，这是一个具有n的哈密顿系统-1自由度。为了写下运动方程，例如，可以消除其中一个变量（例如，通过puttingxn=-Pn编号-1i=1xi），并将其视为一个系统onT*注册护士-1、等效地，可以使用拉格朗日乘子法如下：拉格朗日作用函数为：（13）L=Xaixi-Xbi˙xit方程为δLδxi=λfxi i=1，n、 式中，f（x）=pxis是约束函数，λ是要确定的拉格朗日乘子。自δLδxi=Lxi-14阮天尊L ˙xi=aixi+bi–xindfxi=1，我们得到方程组：（14）aixi+bi–xi=λ i=1，n、 PxiP–xiλXλbiXaixibiλ派西比/Pbi公司.（14） 具有常数系数的线性微分方程组（15）–xi=Xajxjbj/biXbj！-约束为0的艾西班语。提案6.1。通过线性变换（16）xi=Xcijzj，cijn×n-n-（15） 带约束（12）成为n的系统- 1个非耦合谐波振荡器：（17）¨zi=-λizi。常数λ，λn-1> 0（称为（15）的特征值或正常模式）。T*注册护士-1R2（n-1） 任何这样的函数都可以在R2（n）上的某个线性正则坐标系（zi，wi）中写成asPλi（zi+wi-1).我们模型的一般解具有以下形式：（18）xi=n-1Xj=1cijsin（λjt+dij），具有适当的系数cijanddij（以便满足约束pxi=0）。λ, . . .

，λn-1请注意，所有资产类别共享相同的期间。我们将上述简单模型称为市场的（线性确定性）约束noscillator模型。备注6.2。在一些物理教科书（例如[]）中，我们可以找到所谓的耦合振子模型，因为我们模型中的动能与动能不同。金融市场的二阶随机微分模型15图6。物理学中的耦合n振子模型，与我们的约束n振子模型6.2不同。系统频率。在能量函数为e=Paixi+Pbi˙xiand the constraintpxi=0的线性模型中，我们将第i个分量的能量称为（19）Ei=aixi+˙xit，第i个分量的数量γi=qai/位正确频率。如果没有约束，则xi（t）将是时间t上的非周期函数，周期为2πγi。约束n-振子及其分量的固有频率。提案6.3。γqa/b，γnqan/bn上述线性约束n振荡器的组件以递增的方式排列：（20）γ≤ γ≤ . . . ≤ γn.nn-pled）频率λ，λn-1满足不等式（21）γ≤ λ≤ γ≤ λ≤ . . . ≤ γn-1.≤ λn-1.≤ γn.γiλi（21）意义（即不存在等式），则存在正数值sai，bisuch，γi=qai/bian，且上述约束n-振荡器的频率为λ，λn-1.证明。坐标的线性变化yi=√aixi，我们可以写（22）E=Xyi+X˙yiγi，约束条件tpαiyi=0，其中αi=1/√人工智能。相应的无约束方程为：（23）y+Γ。¨y=0，考虑到约束，diag/γi/γiof运动为：（24）y+Γ。¨y∈ R、 （α，…，αn）T，16 NGUYEN TIEN Zung，其中y=（y，…，yn）T.（上述方程式以包含形式书写，这意味着y+¨y与（α，…）共线。

，αn）T；T表示转置）。设O为正交矩阵，使得（25）O.（α，…，αn）-1，αn）T=（0，…，0，kαk）T，其中kαk=qPαi。那么上述方程等价于：（26）Oy+OΓ¨y∈ R、 （0，…，0，1）T。表示（27）z=（z，…，zn）=Oy。那么约束，αi=0等于Hz，Oαi=hOy，Oαi=hy，αi=0，即zn=0，即我们可以忽略zn，只看变量z，锌-1、安-×n-OΓO-1，则系统等效于（28）z+A–z=0。众所周知，对称矩阵的特征值-1（即γ，…，γnAλ，…，λn-1（21）参见，例如，【20】。备注6.4。艾艾西˙西威）。因此，我们在这个模型中看到了市场各组成部分之间的投机能量转移。6.3. 市场部门：具有相同固有频率的组件。λ, . . . , λn-1空间为全尺寸n-然而，当最小不变环面维数小于n时，存在一些特殊情况-一种特殊情况是，某些组件的固有频率相同。例如，假设：（29）γp+1=γp+2=…=γp+k，p≥ 0，k≥ 根据不等式（21），我们还有：（30）γp+1=λp+1=γp+2=…=λp+k-1=γp+k，λp+1nk-K系统。金融市场的二阶随机微分模型17，将^x=x，^xp=xp，^xp+2=xp+k+1，^xn-k+1=xn，（31）^xp+1=xp+1+…+xp+k，fromnton- k+1（通过相对于该频率的“averagingout”一路消去频率λp+1）。该程序对应于将许多类似组件重新组合为市场中的一个部门的做法。与部门（xp+1，…，xp+k）相关的系数为：（32）^ap+1=Pki=1ap+i，^bp+1=γp+1^ap+1。（其他组分的系数保持不变：^ai=ai和^bi=bifori 6=p+1。

,p+k）：部门的投机能量（33）E部门=kXi=1Ep+i=kXi=1（ap+ixp+i+bp+i˙xp+i）分解为两部分之和：外部能量（相对于市场）和内部投机能量（解释部门内部运动）：（34）Ep+1=E外部=（ap+1^xp+1+bp+1˙xp+1）=（Pki=1xp+i=1ap+1 i+γp+1（Pki=1˙xp+i）Pki=1ap+i和（35）e内部=Esector公司- E外部=kXi=1ap+ixp+i-（Pki=1^xp+i）Pki=1ap+i+γp+1）kXi=1bp+i˙xp+i-（Pki=1˙xp+i）Pki=1ap+i（其他组件的能量保持不变）。注意自然事实，即内部≥0，这个不等式可以看作是Cauchy-Schwartz不等式（36）的一个特例Xap+ixp+iXap+i！≥Xqap+ixp+isap+i=Xxp+i.总扇区错误定价zp+1=Pki=1xp+i）由内部能量函数internal2πλp+1λp+1到同步（k-1） -维谐振子（即哈密顿系统hλp+1k-XPIQIR2（k-1） ，ωPk-1i=1dpi∧dqi18阮天尊- kz，锌-k+1和新的推测能量函数（37）^E=n-k+1Xj=1^Ej=E+···+Ep+E外部+Ep+k+1+···+En。nn型-koscillator，忘记了由kComponentsxp+1组成的部门的内部运动，xp+kan将整个行业视为一个组成部分^xp+1=xp+1+·····+xp+k.6.4。随机模型。我们的随机约束N振子市场模型将是确定性线性约束N振子模型的扰动，它是一个适当的可积函数-可积系统一般不再是可积的，可能表现出混沌行为。如果系统很小，并且是非共振的，那么扰动系统的大多数解仍然是准周期的，至少在很长一段时间内是这样。当添加随机项时，情况变得更加复杂。

随机情况下的KAM理论有很多元素（例如，平均法可积哈密顿量的合理随机扰动的大多数解在很长一段时间内都是最小的。出于实际目的，这里我们将感兴趣的是[]，或者更严格地说，对于相空间一半维的原子作用是不变的，类似于经典可积哈密顿系统及其Liouville环面作用（见[40]）。在确定性线性约束n振子模型中，一般解的形式为：（38）xi（t）=n-1Xj=1cijzj（t）；i=1，n、 式中（39）zj（t）=rjsin（λjt+θj）；j=1，n- 1，cijrj>j，n-λjtθjλj（rj，θj）是作用角坐标系中的初始数据。在我们最简单的随机模型中，我们将使用相同的线性变换矩阵xcijxitpk-1j=1cijzjti，NZJ金融市场的二阶随机微分模型19类似于阻尼随机振子。zjh的通解形式为（40）zj（t）=rj（t）sin（λjt+θj+Sj（t）），其中rj（t）不再是常数，而是满足形式为（41）drj（t）=rj（t）的随机微分方程- f（rj（t））！dt+dBjtSjtis反比例torj（t）：dSj（t）=rj（t）dWjt。（此处为独立维纳过程）。鉴于其稳态密度函数的形状，我们将其称为每个正钟形过程所满足的过程。总之，我们的随机模型如下：（42）xi（t）=n-1Xj=1cijrj（t）sin（λjt+θj+Sj（t）），i=1，n、 式中：oxi（t）是时间t时第i分量的错误定价，o（cij）是线性变换的常数矩阵，orj（t）是独立的正钟形过程（j=1。

，n），oλj>0是频率，oθjare初始角值，oSj（t）是独立的鞅Ito过程，其波动率分别为rj（t），即dSj（t）=rj（t）dWjt（j=1，…，n- 1).现实世界的金融市场：-整个系统在随机意义上是可积准周期的，并且经历了繁荣-萧条周期。-每个组成部分（资产）都有相同的周期集，但不同的周期对于不同的资产有不同的相对重要性（系数cij）。-在任何给定的时间，对应于不同时期的不同动量可能具有相同的符号，也可能具有相反的符号（即，它们与该部门股票的每个相对权重相反-这种内部变化在随机意义上是周期性的，并且有自己的周期）。20阮天尊致谢这篇论文是我作为客座教授在上海交通大学数学科学学院期间写的。我要感谢上海交通大学、该校数学学院的同事们，尤其是都铎·拉图、张翔、李建树和胡杰的邀请、热情款待和出色的工作条件。我们一起写了一篇论文[]，为本文提供了一些数学背景。参考文献[1]J.V.Andersen、S.Gluzman和D.Sornette，《技术分析基本框架》，欧洲物理杂志B 14，579-601（2000）。[2] V.I.Arnold，《经典力学的数学方法》，Springer-Verlag，1978年。[3] L.Bachelier，教学方向，Ann。Sci。Ecole标准。啜饮。17 (1990), 21-86.[4] N.K.Bajaj，《波与振荡的物理学》，麦格劳·希尔1984，（第20次再版，2006年）。[5] J.M.Bimit，Mecanique Aléatoire。《数学课堂讲稿》，第866卷，斯普林格出版社1981年。[6] 《经济81》（1973），第3637-654号。[7] J.-P.Bouchaud和R。

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