比特币的统计特性和多重分形

发现替代数据的h（q）、f（α）和τ（q）的变异性比其他数据要窄得多，这表明原始数据的非线性也有助于多重分形。根据参考文献[15，17]，我们通过将广义赫斯特指数分解为h（q）=hcorr（q）+hsh（q）来检验时间相关性中多重分形的强度，其中hcorr（q）和hsh（q）是相关诱导的赫斯特表2：h（2）的结果，h、，hcorr，hsh，hsuand R.2014-2016 2014 2015 2016h（2）0.475 0.461 0.460 0.505h 0.665 0.798 0.545 0.613hcorr0.434 0.640 0.360 0.429hsh0.231 0.158 0.184 0.173shu松驰时间序列的指数分别为hsu0.120 0.053 0.104 0.099R 1.88 4.06 1.96 2.47和Hurst指数。我们还测量了替代数据的Hurst指数hsu（q）。我们通过定义h（q）的变异性来检验多重分形的程度h类≡ h（qmin）- h（qmax），（13），然后通过比率R=hcorr公司/嗯。的结果hcorr，hsh，表2（第一列）列出了hsu和R以及Hurst指数H（2）。我们发现，统计数据和替代数据的多重分形度，即，hs手hsu，比原始数据小。R值大于1，表明时间相关性对多重分形的贡献大于厚尾分布。这一结果与高频股票数据的结果相似【17】。接下来，我们分析逐年数据，将整个样本分为三个时期：2014年、2015年和2016年。原始数据和替代数据（替代数据）的函数符合3000年的幂律函数≤ s≤90000 (100 ≤ s≤ 20000). 图8-10分别显示了20142015年和2016年期间的h（q）、f（α）和τ（q），我们在表2中列出了多重分形度R和h（2）。

2014年h（q）和f（α）的变异性大于2015年和2016年的变异性。类似的观察结果见h和hcorr；即h和2014年的HCORR大于2015年和2016年，这表明2014年的多重分形程度强于2015年和2016年。此外，2014年的时间相关性对多重分形的贡献大于2015年和2016年的时间相关性。5。与英镑兑美元汇率的比较在本节中，我们分析了英镑兑美元汇率的多重分形。分析的数据是2016年1月3日至2016年12月20日期间1分钟英镑兑美元汇率的时间序列【53】。我们关注的是2016年，6月23日就英国退出欧盟（EU）进行了全民公投，多数人投票决定退出欧盟。

这起事件也被称为“脱欧”我们调查英国脱欧是否影响英镑兑美元汇率和比特币时间序列的性质-30-20-10 0 10 20 30 q00.20.40.60.81h（q）原始shuffledsubrogate 0.2 0.40.60.8 1α-0.200.20.40.60.8f（α）原始shuffledsubrogate（b）-30-20-10 0 10 20 30 q-30-20-10010τ（q）原始shuffledsubrogate（c）图8：（a）2014年的广义赫斯特指数h（q），（b）奇异谱f（α），和（c）多重分形谱τ（q）-30-20-1001020 30q00.10.20.30.40.50.60.70.80.91h（q）原始ShuffledSurrogate（a）0 0.1 0.2 0.3 0.40.50.60.7 0.8 0.9 1α00.20.40.60.81f（a）原始ShuffledSurrogate（b）-30-20-10 0 10 20 30q-30-20-10010τ（q）原始ShuffledSurrogate（c）图9：（a）广义赫斯特指数h（q），（b）奇异谱f（α（c）2015年的多重分形谱τ（q）-30-20-10 0 10 20 30q00.10.20.30.40.50.60.70.80.91h（q）原始shuffledprograte（a）0 0.1 0.2 0.3 0.40.50.60.7 0.8 0.9 1α00.20.40.60.8f（a）原始shuffledprograte（b）-30-20-10 0 0 10 20 30q-30-20-10010τ（q）原始shuffledprograte（c）图10：（a）广义赫斯特指数h（q），（b）奇异谱f（b）α）和（c）2016年的多重分形谱τ（q）。在图11中，我们显示了2016年原始数据、shu free ed数据和替代数据的h（q）、f（α）和τ（q）。h（q）、f（α）和τ（q）的性质与比特币时间序列相似；也就是说，对于shu’ed数据和替代数据，h（q）、f（α）和τ（q）的变量减小，而广泛的概率分布和时间相关性有助于原始数据的多重分形。为了研究多重分形的时间演化，我们采用了滚动窗口的方法。

我们计算窗口大小为30天的qth阶次函数，然后确定广义Hurst指数h（q）。图12（a）显示了1分钟英镑兑美元汇率回报时间序列，以及h和h（2）。研究发现，“脱欧”前后的收益率有很大变化，多重分形程度h显示尖峰状变化。赫斯特指数h（2）在脱欧时也会发生变化并增加。这些观察结果表明，英国脱欧确实影响了英镑兑美元汇率。2016年，我们对比特币时间序列进行了同样的分析。图13显示了1号矿的回采量，以及2016年比特币时间序列的h和h（2）。虽然英国脱欧前后的回归时间序列存在波动期，但我们发现英国脱欧在h和h（2）。因此，我们认为，与英镑兑美元汇率时间序列相比，比特币时间序列在2016年6月23日对英国脱欧表现强劲-30-20-10 0 10 20 30 Q00.20.40.60.81h（q）原始对冲替代物（a）0 0.2 0.40.60.8 1α-0.200.20.40.60.81f（α）原始对冲替代物（b）-30-20-10 0 10 20 30 q-20-10010τ（q）原始对冲替代物（c）图11：（a）英镑-美元汇率的广义赫斯特指数h（q），（b）奇异谱f（α），和（c）多重分形谱τ（q）2016年的时间序列。图12：（a）2016年1分钟英镑-美元汇率回报时间序列。”“脱欧”意味着2016年6月23日的公投。（b）h、 （c）h（2）。图13：（a）2016年1分钟比特币返回时间序列。”“脱欧”表示2016年6月23日的公民投票。（b）h、 （c）h（2）。结论我们发现，1分钟的回报分布是轻量级的，峰度很大程度上偏离了高斯期望。计算峰度作为采样周期的函数，我们发现峰度接近高斯期望，尽管收敛速度非常慢。

至少需要几周的采样周期才能收敛到高斯期望值。偏度在短于一天的时间尺度上为负，在大于一周的时间尺度上与零一致。收益的ACF范围较短，在大约5分钟的时间延迟时变为零。然后，ACF超调为零，在大约10分钟时变为负值。这种超调现象也见于DAX指数的高频收益【43】。与收益相反，绝对收益的ACF范围很长，遵循幂律函数。将GARCH、GJR和RGARCH模型应用于比特币时间序列，以研究每日波动的不对称性。虽然所有模型都显示了波动持续性或波动聚类，但我们没有发现波动不对称的证据。在许多方面，比特币表现出与其他被归类为程式化事实的资产类似的特性：厚尾收益分布、收益的短期自相关、绝对收益自相关函数的幂律函数和波动率聚类。在使用多重分形去趋势函数分析探索多重分形时，我们发现比特币时间序列表现出多重分形。研究了多重分形的来源，证实了时间相关性和厚尾概率分布都有助于多重分形。我们还发现，2014年的时间相关性与2015年和2016年的时间相关性不同。这一发现通过h（q）和F（α）的变异性差异来验证，以及hcorrand R.收益自相关的结果，即2014年和其他年份之间1分钟时间间隔的不同自相关，也支持这一结论。参考文献[6]发现赫斯特指数在2014年发生了变化，这表明时间序列的性质发生了变化。

虽然2014年与其他年份之间的差异可能与赫斯特指数的变化有关，但我们没有发现导致这种变化的任何事实。通过使用赫斯特指数检验比特币的市场效率，参考文献[8]发现赫斯特指数小于0.5，并得出结论，比特币时间序列是蚂蚁持续性的，因此效率不高。另一方面，通过分析功率转换后的比特币收益，参考文献[9]声称转换后的比特币收益满足有效市场假说。我们对比特币的分析表明，在全样本期（2014-2016年），赫斯特指数h（2）小于0.5，比特币时间序列显示出多重分形特性。因此，我们的发现支持参考文献[8]的结论；也就是说，比特币的效率。2016年6月3日“脱欧”对英镑兑美元汇率和比特币的影响在多重分形中进行分析。我们发现，英国脱欧影响了英镑兑美元汇率的多重性，但比特币的多重性没有影响。因此，比特币对英国脱欧具有强大的抵抗力。确认本研究的数值计算是在Yukawa研究所的计算机设施和统计数学研究所的设施中进行的。作者感谢匿名仲裁人让他知道了在审查过程中提交的一份关于比特币市场多重分形的最新研究报告【54】。参考文献参考文献[1]N.Satoshi，《比特币：点对点电子现金系统》，https://bitcoin.org/bitcoin.pdf.[2] R3，https://www.r3.com/.[3] 超级分类账，https://www.hyperledger.org/.[4] A.H.Dyhrberg，《比特币、黄金和美元——GARCH波动性分析》，金融研究快报16（2016）85–92。[5] P.Katsiampa，《比特币波动率估计：GARCHmodels比较》，《经济学快报》。[6] A.F.Bariviera，M.J.Basgall，W.Hasperu\'e，M。

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