比特币的统计特性和多重分形

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英文标题：
《Statistical properties and multifractality of Bitcoin》
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作者：
Tetsuya Takaishi
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Using 1-min returns of Bitcoin prices, we investigate statistical properties and multifractality of a Bitcoin time series. We find that the 1-min return distribution is fat-tailed, and kurtosis largely deviates from the Gaussian expectation. Although for large sampling periods, kurtosis is anticipated to approach the Gaussian expectation, we find that convergence to that is very slow. Skewness is found to be negative at time scales shorter than one day and becomes consistent with zero at time scales longer than about one week. We also investigate daily volatility-asymmetry by using GARCH, GJR, and RGARCH models, and find no evidence of it. On exploring multifractality using multifractal detrended fluctuation analysis, we find that the Bitcoin time series exhibits multifractality. The sources of multifractality are investigated, confirming that both temporal correlation and the fat-tailed distribution contribute to it. The influence of \"Brexit\" on June 23, 2016 to GBP--USD exchange rate and Bitcoin is examined in multifractal properties. We find that, while Brexit influenced the GBP--USD exchange rate, Bitcoin was robust to Brexit.
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中文摘要：
利用比特币价格的1分钟收益率，我们研究了比特币时间序列的统计特性和多重分形。我们发现，1分钟的收益分布是厚尾分布，峰度很大程度上偏离了高斯期望。虽然对于大采样周期，峰度预计将接近高斯期望，但我们发现收敛速度非常慢。偏度在短于一天的时间尺度上为负，在长于一周的时间尺度上与零一致。我们还使用GARCH、GJR和RGARCH模型研究了日波动率不对称性，但没有发现任何证据。通过多重分形去趋势波动分析探索多重分形，我们发现比特币时间序列表现出多重分形。研究了多重分形的来源，证实了时间相关性和厚尾分布都有助于多重分形。2016年6月23日“脱欧”对英镑兑美元汇率和比特币的影响在多重分形性质中进行了检验。我们发现，虽然英国脱欧影响了英镑兑美元的汇率，但比特币对英国脱欧的影响是强劲的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
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关键词：比特币 Multifractal distribution Econophysics GARCH Models

比特币Tetsuya Takaishi的统计特性和多重分形*广岛经济大学，日本广岛731-0192摘要利用比特币价格的1分钟收益率，我们研究了比特币时间序列的统计特性和多重分形。我们发现，1分钟回报分布是厚尾分布，峰度很大程度上偏离了高斯期望。虽然对于较大的采样周期，峰度预计将接近高斯期望，但我们发现收敛速度非常慢。偏斜度在短于一天的时间尺度上为负，在长于一周的时间尺度上与零一致。我们还使用GARCH、GJR和RGARCH模型研究了波动率不对称性，但没有发现任何证据。在使用多重分形去趋势函数分析探索多重分形时，我们发现比特币时间序列表现出多重分形。研究了多重分形的来源，证实了时间相关性和厚尾分布都有助于多重分形。2016年6月23日“脱欧”对英镑兑美元汇率和比特币的影响在多重分形属性中进行了检验。我们发现，虽然英国脱欧影响了英镑兑美元汇率，但比特币对英国脱欧表现强劲。关键词：比特币、多重分形、广义赫斯特指数、波动性对称性1。简介2008年，尚不确定的SatoshiNakamoto在一篇论文中首次提出比特币作为加密货币。他的提议很快被接受，2009年初，比特币软件“比特币核心”发布，并创建了块链的第一块“起源块”。自那以后，比特币系统一直保持着良好的稳定性，没有出现任何关键问题。比特币网络是一种对等网络，允许在线支付，无需任何中央机构。

比特币中使用的区块链是维护分散系统的关键技术；它不仅可以用于加密货币，还可以用于其他金融领域。近年来，区块链技术的重要性已被广泛认可为一个核心*对应的authorEmail地址：tt-taka@hue.ac.jp（Tetsuya Takaishi）2018年5月29日提交给Elsevier的预印本FinTech的技术，并进行了广泛的研究，以实现金融机构的新分布式平台[2，3]。比特币的价格特性也受到了关注，导致了对各种相关问题的分析，例如使用经济模型进行时间序列分析，如GARCH型模型[4，5]；比特币价格的统计特性[6，7]；比特币的效率[8，9]；比特币的对冲能力【10、11】；比特币投机泡沫[12]；比特币与搜索查询之间的关系谷歌趋势和维基百科[13]；等等比特币时间序列的赫斯特指数也使用去趋势函数分析（DFA）[14]获得，并被发现具有时间依赖性，2014年后接近0.5[6]。在本文中，我们重点研究比特币的多重分形特性，这是当前文献中尚未解决的问题。为了探索比特币的多重分形特性，我们使用多重分形去趋势函数分析（MF-DFA）[15]和1分钟返回数据计算了广义赫斯特指数。DFA是DFA的一种扩展方法，它可以研究非平稳时间序列的多重分形特性，并已成功应用于各种金融市场，如股票[16、17、18、19、20、21、22、23]、商品[16、24、25、26、27]、油轮[28]、衍生品[29]、外汇汇率[30、31、32、33、34]和电力市场[35]。

多重分形分析的一个特别有趣的应用是测量时间序列的多重分形程度，这可能与金融市场的效率程度有关[36、37、38、39]。然而，有效市场假说（EMH）[40]是否适用于实际市场仍在争论中。多重分形测度可以让我们对有效市场假说有一个新的认识。除了多重分形分析外，我们还研究了高频比特币时间序列的一些特性，如（绝对）收益的自相关、峰度、偏度和波动持续性。对于其他金融资产，已对这些属性进行了广泛调查，并观察到一些典型事实，如“厚尾回报分布”、“波动性聚类”和“绝对回报的长期记忆”[41]。我们调查这些程式化事实是否适用于比特币时间序列。本文的其余部分组织如下。第2节描述了数据，并给出了统计特性的结果。在第3节中，我们介绍了MF–DFA，在第4节中，我们介绍了其结果。在第5节中，我们使用多重分形分析将比特币与英镑兑美元汇率进行比较。最后，我们在第6.2节中总结了我们的研究。数据及其统计特性本研究中使用的比特币数据基于2014年1月1日至2016年12月31日CoinsDesk【42】创建的1分钟比特币价格指数（BPI）。BPI于2013年9月推出，使用符合Cointdesk要求的多个比特币交易所的简单平均值生产。

虽然Cointdesk在2013年9月之前提供了以Mt.Gox价格为BPI的BPI，但我们在本研究中并未使用该数据，以避免价格属性可能发生的变化，尤其是高频数据-20-10 0 10 20标准化回流1E-050.00010.0010.010.11图1：1分钟回流分布。设P（t），t=1，2。。。，N是BPI的时间序列，收益r（t）由对数价格差给出，r（t）=logP（t）- logP（t- t） ，其中t是采样周期。图1显示了在t=1min，其中收益标准化为零平均值，单位方差。收益分布明显呈现出厚尾趋势。请注意，每日比特币收益率也呈现出厚尾趋势[7]。图2（a）–（c）分别显示了2014年、2015年和2016年期间的收益自相关函数（ACF）。收益的ACF随着时间间隔（min）的增加而迅速降低，并在5分钟左右趋于零，这意味着收益的自相关范围非常短。然后，ACF反调为零，并在5分钟至10分钟左右变为负值。DAX指数的高频返回出现了ACF超调为零的类似行为【43】。然而，在1分钟的时滞下，我们还观察到2014年的负相关，这可能表明2014年的时间序列属性不同于其他年份。这可能与参考文献[6]中观察到的赫斯特指数在2014年发生变化有关。图2（d）显示了全样本（2014-2016年）的ACF回报率，并且在1分钟的时间间隔内也观察到负自相关。图3显示了2014-2016年期间绝对回报的ACF。2014年、2015年和2016年的结果与2014-2016年的结果非常相似。因此，我们仅代表2014-2016年的结果。

可以看出，ACF遵循幂律函数，表明比特币在绝对收益中具有长记忆特性。将数据设置为幂律函数后~ t型-u，我们获得u≈ 0.16.对于较大的采样周期，我们可能期望收益分布接近高斯分布。然而，高斯分布的收敛速度非常慢，如图4所示，这表明峰度是采样周期的函数t、 图4表明，采样周期至少为0501015202530时滞-0.3-0.2-0.100.10.2ACF2014（a）051015202530时滞00.10.20.30.4ACF2015（b）051015202530时滞00.10.20.30.4ACF2016（c）051015202530时滞0.2-0.100.2ACF2014-2016（d）图2：收益的ACF：（a）2014，（b）2015，（c）2016，（d）2014-2016.1 10 100 1000 10000时间滞后0.010.11ACF图3:2014-2016年数据的绝对回报ACF。0 200 400600800 1000 1200 1400 T050100150200峰度050001000015000200000T0246810214161820峭度值一周两周图4：峭度值与t、 050100150200t-2.5-2-1.5-1-0.500.51倾斜度0 2000 400060008000 10000 1200014000t-2-1.5-1-0.500.51偏度图5：偏度作为t、 需要几个星期才能接近高斯分布。图5显示了回报的偏度作为t、 如图5（左）所示，我们观察到在较小的t短于一天。另一方面，总体而言t超过大约一周，如图5（右）所示，在1-sigma误差范围内，斜率在统计学上与零一致。对于DailReturns，我们得到的偏度为-0.779（31）。比特币价格在短于一天的时间尺度上的负偏态与之前的结果一致[44，6]。为了研究波动率的持续性和不对称性，我们使用几种波动率模型进行了波动率推断。通常可以观察到，各种资产的波动性是集群的，并且是持久的。

此外，对于某些资产，波动过程对负回报的反应更高。这种波动性被称为波动不对称性。波动性不对称在股票价格回报中尤为常见。在本研究中，我们使用广义回归条件异方差（GARCH）[45]、GJR–GARCH[46]和理性GARCH（RGARCH）[47]模型，其中波动过程σtat time t如下所示GARCH模型σt=ω+αrt-1+βσt-1、（1）表1：参数结果。括号中的值表示标准偏差。GARCH GJR RGARCHα0.114（18）0.116（19）0.116（19）β0.878（19）0.874（20）0.875（20）ω0.239（78）0.247（82）0.249（80）δ-0.008（18）-γ-0.0053（47）AIC 5539.50 5537.97 5541.55DIC 5535.68 5542.94 5536.73oGJR–GARCH模型σt=ω+αrt-1+βσt-1，rt-1.≥ 0，ω+（α+δ）rt-1+βσt-1，rt-1<0，（2）oRGARCH模型σt=ω+αrt-1+βσt-11+γrt-1，（3）其中，日收益率RTI由rt=σt定义坦德t型~ N（0，1）。dailyreturn数据由rt=100×[logP（t）给出- logP（t- t） ]使用t=1440min。待估计的模型参数为α、β、ω、δ和γ。GARCHmodel是一个对称的波动率模型，而另外两个是不对称的波动率模型，其中δ和γ的参数衡量对称性的强度。对于参数估计，我们使用马尔可夫链蒙特卡罗模拟所执行的贝叶斯推理【48、49、50】。表1报告了参数估计的结果，以及Akaike信息准则（AIC）和偏差信息准则（DIC）[51]。首先，我们发现α+β接近于1，这意味着波动性随时间而持续。其次，我们发现δ和γ非常小或与零一致，这表明波动不对称性很小。δ和γ的小尺寸与模型上α、β和ω的值非常相似一致。

这些发现表明，波动率的不对称性对于日收益率来说很小。对于较小的不对称波动率，所有三种模型将大致相同。结果表明，模型间AIC和DIC的结果非常相似，这与三个模型大致相同的事实相一致。之前的结果[44]也没有提供不对称波动的证据，除了2013年观察到的价格崩溃之前的时期。此外，指数GARCH模型（参考文献[4]）的分析也得出结论，比特币时间序列对收益波动性没有不对称影响。3.多重分形分析参考文献[15]中的MF–DFA，我们研究了比特币时间序列的多重分形。MF–DFA描述如下。（i） 确定公式Y（i），Y（i）=iXj=1（r（j）- hri），（4）其中hri代表平均回报。（ii）将文件Y（i）划分为长度相等的非重叠段，其中Ns≡ 内景（不适用）。由于时间序列的长度并不总是s的倍数，因此可能会在文件结束时保留较短的时间段。要使用此部分，从文件末尾开始重复相同的步骤。因此，共获得2段。（iii）计算方差f（ν，s）=ssXi=1（Y[（ν- 1） s+i]- Pν（i）），（5）对于每段ν，ν=1。。。，NsandF（ν，s）=ssXi=1（Y[N- (ν - Ns）s+i]- Pν（i）），（6）对于每段ν，ν=Ns+1。。。，2Ns。这里，Pν（i）是用于消除ν段局部趋势的拟合多项式；我们使用三次多项式。（iv）对所有分段进行平均，并获得qth阶函数fq（s）=（2Ns2NsXν=1（F（ν，s））q/2）1/q。（7）对于q=0，公式（7）中的平均程序不能直接应用。相反，我们采用以下对数平均程序。F（s）=exp“4Ns2NsXν=1ln（F（ν，s））#。（8）（v）确定函数的标度行为。

如果时间序列r（i）是长程幂律相关的，则对于大s.Fq，Fq（s）应为以下函数形式~ sh（q）。（9） 标度指数h（q）称为广义赫斯特指数。对于q=2，h（2）对应于众所周知的赫斯特指数h。如果h（2）<0.5，时间序列是反持续的，如果h（2）>0.5，它是持续的。当h（2）=0.5时，时间序列变为随机游动。广义赫斯特指数和多重分形标度指数τ（q）之间的关系由标准多重分形形式定义，由[15]τ（q）=qh（q）给出- 1.（10）100 1000 100001e+051e+06s0.00010.0010.010.1Fq（s）（c）2014-2016q=25q=-25图6：2014-2016年（a）原始数据、（b）随机生成数据和（c）替代数据的函数Fq（s）。结果根据q=-25（底部）到q=25（向上），步长为1.0。奇异谱f（α）是表征多重分形时间序列的另一种方法，由α=h（q）+qh（q），（11）f（α）=q[α]定义- h（q）]+1，（12），其中α是h–older指数或奇点强度。结果首先，我们展示了2014年1月1日至2016年12月31日的整个数据集的分析结果。虽然我们在几个采样周期内分析了收益，但t=30分钟，我们在每次分析中获得了基本相同的结果。因此，我们只显示t=1分钟。在计算函数Fq（s）时，我们取q在-25和25之间变化，步长为0.2。图6（a）显示了日志图中的Fq。斜率的变化取决于q，这表明时间序列具有多重分形特性。已经指出，多重分形的出现不仅是因为时间相关性，还因为广泛的概率密度[15]。

如图1所示，比特币收益率分布呈厚尾分布，这种分布可能导致时间序列的多重分形。研究-30-20-10 0 10 20 30 q00.10.20.30.40.50.60.70.80.91h（q）原始shuffledprograte（a）2014-20160 0.2 0.40.60.8 1α00.20.40.60.8f（α）原始shuffledprograte（b）2014-2016-30-20-10 10 20 30q-30-20-10010τ（q）原始shuffledprograte（c）2014-2016图7：（a）广义赫斯特指数h（q），（b）奇异谱f（α），（c）2014-2016年多重分形标度指数τ（q）。在多重分形的组成部分中，我们计算随机序列的函数，其中任何时间相关性都被删除，但保持了相同的分布。我们还对相位随机替代数据进行了同样的计算。相位随机化消除了非线性，保留了原始时间序列数据的线性特性【52】。图6（b）和（c）分别显示了shu’ed时间序列和代理数据的函数。图中显示，对于shu’ed时间序列和替代数据，斜率的可变性降低。为了量化多重分形的程度，我们计算了广义赫斯特指数h（q）、奇异谱f（α）和多重分形标度指数τ（q）。我们通过拟合3000范围内的幂律函数来提取h（q）≤s≤ 270000 (100 ≤ s≤ 100000）用于原始数据和补充数据（替代数据）。图7（a）、（b）和（c）分别显示了h（q）、f（α）和τ（q）。我们发现，与原始数据相比，shu’ed数据的h（q）、f（α）和τ（q）的变异性在shu’ed数据中有所降低，这表明广义概率分布并非原始数据多重分形的唯一来源。