交易成本均衡收益

对[5]中的变量演算进行多维推广，得出以下最优策略表示形式，即前向-后向随机微分方程（FBSDEs）的耦合线性系统：引理4.1。设νnt=∑-1utγn- ζntbe（2.4）中的无摩擦优化器。那么，Agent n的摩擦优化问题（2.5）有一个唯一的解决方案，其特征是以下FBSDE：dД∧，nt=˙Д∧，ntdt，Д∧，n=0，d˙Д∧，nt=dMnt+γn∧-1∑（ν∧，nt）- νnt）dt+δ˙И∧，ntdt。（4.1）此处，Д∧，nt，˙Д∧，nt∈ Lδ和Rd值平方可积鞅mn需要确定为解的一部分。如果T<∞, 动力学（4.1）由终端条件˙И∧，nT=0补充。（4.2）对于T=∞, Agent n的唯一个体最优策略Д∧，nhas为显式表示（A.8）；（A.17）以反馈形式给出了相应的最优交易率˙И∧，nis。对于T<∞,（A.21）和（A.29）中分别提供了相应的公式。证据由于目标泛函（2.5）是严格凸的，（2.5）只有当且仅当存在以下一阶条件的（uniqu e）解时，才有一个uniqu e解【16】：DJ′（˙И），˙e=0，对于所有θ，θ=0和θ，˙∈ Lδ。（4.3）这里，J在方向上的G^ateaux导数由dj′（˙ν）给出，˙E=limρ→0J（˙Д+ρ˙θ）- J（˙И）ρ=E中兴通讯-δt（ut型- γn（Дt+ζnt）Σ)Zt˙θsds公司-2（˙Дt）∧˙θtdt公司.根据Fubini定理，ZTe-δt（ut型- γn（Дt+ζnt）Σ)Zt˙θsds公司dt=ZT中兴通讯-δtut型- γn（Дt+ζnt）Σdt公司˙θsds。再加上条件期望的塔属性，这允许将Firstorder条件（4.3）重写为0=EZT公司E中兴通讯-δsus- γn（Дs+ζns）Σds公司英尺- 2e类-δt（˙Д）Λ˙θtdt.这意味着，当没有足够的时间来恢复进一步交易的成本时，代理在接近到期时停止交易。

如果T=∞, 该终端条件被И∧，nt，˙Д∧，nt中隐含的横截性条件所替代∈ δ>0时为Lδ。由于这必须适用于任何扰动˙θ，（2.5）有一个（唯一的）解˙Д∧，nif，且仅当˙Д∧，nt=γn∧-1∑eδtE中兴通讯-δsΣ-1usγn- ζns- И∧，nsds公司英尺（4.4）有一个（独特的）解决方案。现在，假设（4.4）有一个（唯一）解˙И∧，n。注意，如果T<∞, （4.2）满足。定义平方可积鞅▄Mt=γn∧-1∑ERTe公司-δs（Дns-И∧，ns）ds | Ft, t型∈ T然后，通过部件集成，可以重写（4.4）asd˙И∧，nt=eδtdMt-γn∧-1∑（νnt- Д∧，nt）dt+δ˙Д∧，ntdt。加上定义dД∧，nt=˙Д∧，ntdt，这就产生了所声称的FBSDE表示（4.1）。相反，假设（4.1）具有（唯一）解（Д∧，n，˙Д∧，n，Mn），其中Д∧，n，˙Д∧，n∈ Lδ和Mnis是Rl-具有有限二阶矩的值鞅。首先注意，对于t∈ T带T<∞, 部件集成givese-δt˙И∧，nt=˙И∧，n+中兴通讯-δsdMns+中兴通讯-δsγn∧-1∑（ν∧，ns）- ^1nt）ds。（4.5）接下来，我们声称˙Д∧，n=-中兴通讯-δsdMns-中兴通讯-δsγn∧-1∑（ν∧，ns）- ^1nt）ds。（4.6）如果T<∞, 这是从（4.5）得出的t=t以及终端条件（4.2）。如果T=∞, 磨损如下：自˙Д∧，n∈ Lδ，存在一个递增序列（tk）k∈N带limk→∞tk=∞沿着（4.5）的左侧将a.s.收敛到零。此外，属性A.1、马丁格尔收敛定理和Д∧，n，Дn∈ Lδ表明（4.5）的右侧（沿tk）a.s.收敛到˙Д∧，n+Z∞e-δsdMns+Z∞e-δsγn∧-1∑（ν∧，ns）- ^1nt）ds。因此，（4.6）在这种情况下也成立。在（4.5）中插入（4.6），采用条件预期，然后依次重新安排收益率（4.4）。有待证明的是，FBSDE（4.1）有一个（唯一的）解（Д∧，n，˙Д∧，n，Mn）。自矩阵γn∧-1∑只有正特征值（因为它是两个对称正定义矩阵的乘积，参见。

[40，命题6.1]），这源自定理A.2（对于T=∞) orTheorem A.4（对于T<∞), 分别地5具有交易成本的均衡5.1均衡回报我们现在使用上述单个最优策略的特征来确定均衡回报（ut）t∈T、 代理人的个别最优需求始终与风险资产的零净供给相匹配。由于每个代理的交易率现在都被限制为绝对连续的，因此对于外部噪声交易量也需要保持同样的情况：dψt=˙ψtdt，其中dψt=uψtdt+dMψtforuψ∈ Lδ和局部鞅Mψ。我们还假设ψ，˙ψ∈ Lδ。平衡回报的关键因素是另一个耦合但线性的BSDE系统的解：引理5.1。存在唯一的解（Д∧，˙Д∧）=（Д∧，1，…，Д∧，N-1, ˙φΛ,1, . . . , ˙И∧，N-1） 以下FBSDE：d∧t=˙∧tdt，Д=0，d˙∧t=dMt+BД∧t+δ˙Д∧t- Aζt+χtdt，（5.1）如果T<∞. 这里，M是Rd（N-1） -具有有限二阶矩的值鞅，ζ=（（ζ）, . . . , （ζN）),B类=γN-γN+γΛ-1∑···γN-γN-1N∧-1Σ.........γN-γN∧-1Σ···γN-γN-1N+γN-1.Λ-1Σ∈ Rd（N-1） ×d（N-1） ，A=γN- γΛ-1∑···γN-1N∧-1∑γNN∧-1Σ............γN∧-1Σ···γN-1N- γN-1.Λ-1∑γNN∧-1Σ∈ Rd（N-1） ×dN，且χt=NγN∧-1∑ψt+δ˙ψt- uψt, . . . ,γN∧-1∑ψt+δ˙ψt- uψt!∈ Rd（N-1).证据引理A.5表明矩阵B的所有特征值都是实的和正的；特别地，B是可逆的。该断言依次来自定理A.2，对于T=∞ 根据定理A.4，T<∞ 因为ζ，χ∈ Lδ。现在我们可以陈述我们的主要结果：定理5.2。唯一的摩擦平衡返回为|∧t=N-1Xn=1（γn- γN）∑NИ∧，nt+NXn=1γN∑Nζnt-γN∑Nψt+2∧N（uψt- δ˙ψt）。（5.2）代理人的相应个体最优交易策略n=1，N为Д∧，1，И∧，N-1引理5.1和Д∧，N=-PN编号-1n=1Д∧，n- ψ。证据

Letν∈ Lδ是任何均衡收益，用∧=（1，…，N）表示相应的个别最优交易策略。然后，市场清算意味着，不仅代理人的头寸，而且其交易利率的总和必须为零，0=PNn=1˙θ∧，n+˙ψ。与描述每个代理最优交易率的FBSDEs（4.1）一起，0=dMt+NXn=1∧-1.γn∑∧，nt- （νt- γn∑ζnt）对于局部鞅M，dt+NXn=1δ˙θ∧，ntdt+d˙ψt。市场清算意味着θ∧，N=-PN编号-1n=1θ∧，n- ψ、 所以这个给定s0=dMt+λ-1N-1Xn=1（γn- γN）∑θ∧，nt-NXn=1（νt- γn∑ζnt）- γN∑ψt！dt公司-δ˙ψtdt+uψtdt+dMψt。由于任何有限变化的连续局部鞅都是常数，因此它在νt=N时遵循th-1Xn=1（γn- γN）∑Nθ∧，nt+NXn=1γN∑Nζnt-γN∑Nψt+2∧N（uψt- δ˙ψt）。（5.3）将νtback的此表达式插入代理n=1，N- 在1的个体最优性条件（4.1）中，我们推导出d˙θ∧，nt=dMnt+∧-1∑γnθ∧，nt+n-1Xm=1γN- γmNθ∧，mt+γnζnt-NXm=1γmNζmt！dt+NγN∧-1∑ψt+δ˙ψt- uψtdt，n=1，N- 因此，（θ∧，1，…，θ∧，N）-1,˙θΛ,1, . . . ,˙θ∧，N-1） 求解FBSDE（5.1），因此与引理5.1中的唯一解一致。市场清算依次显示∧，N=Д∧，N和（5.3）意味着均衡收益与（5.2）一致。这就确定了，如果平衡存在，那么它必须是所建议的形式。为了验证所提出的收益过程和交易策略确实形成了一个均衡，我们回复了上述论点。市场清算通过定义Д∧，N持有，因此仍需检查Д∧，nis是否确实是代理人N=1的最佳选择，N、 为此，必须证明N=1，…，满足单个最优性条件（4.4），N、 插入|∧的定义后，人们首先意识到，对于N=1，N- 1，（4.4）与（5.1）中的相应方程式一致，对于n=n，这是根据市场清算得出的。

这就完成了证明。5.2均衡流动性溢价我们现在讨论定理5.2所隐含的均衡流动性溢价，即摩擦均衡收益（5.2）与无摩擦收益（3.1）之间的差异。为此，表示为？n，n=1，N、 （2.4）中针对主体N的无摩擦最优策略，对应于无摩擦平衡回报（3.1）：(R)nt=1/γNPNm=1ζmt- ψtPNm=11/γm- ζnt。使用此符号，无摩擦平衡返回u可以写为ut=NXn=1γn∑n（(R)νnt+ζnt）。（5.4）现在从摩擦平衡收益（5.2）中减去（5.4），使用-PN编号-1n=1Д∧，n=Д∧n+ψt根据摩擦清除条件，并注意pnn=1（Д∧，nt- ^1nt）=(-ψt+ψt）=0，通过摩擦和无摩擦市场清算。这就产生了流动性溢价的以下表达式：LiPrt：=u∧t- ut=NXn=1γn∑nИ∧，nt+NXn=1γn∑nζnt+2∧n（uψt- δ˙ψt）-NXn=1γn∑n（(R)νnt+ζt）=∑NNXn=1γn（Д∧，nt- (R)νnt）+2∧N（uψt- δ˙ψt）=∑NNXn=1（γn- γ）（ν∧，nt- (R)νnt）+2∧N（uψt- δ˙ψt），（5.5），其中γ=PNn=1γnn表示战略代理人的平均风险规避。现在让我们来解释这个结果。第一个观察结果是，如果所有代理都是战略性的，并且具有相同的风险规避，那么无摩擦均衡回报（3.1）也会以交易成本清除市场：推论5.3。假设没有噪音交易者，且所有策略代理人都具有相同的风险规避‘γ=γ=…=γN.那么就没有流动性溢价。在[24]之前，指数投资者在小额交易成本限额内也得到了类似的结果。在目前的二次上下文中，这个结果是正确的。静态模型中的相同结果为[4，推论4.12]，其中不完全性也仅影响风险厌恶同质的均值-方差投资者的策略，而不影响均衡价格。

另一个相关的结果是[38，命题12]，其中同质风险规避意味着，随着地平线的增长，摩擦平衡趋于无摩擦平衡。然而，这一结果在噪音交易者面前不再成立：推论5.4。假设所有战略代理人都有相同的风险规避‘γ=γ=…=γN.那么：LiPrt=2∧N（uψt- δ˙ψt）。为了说明这一结果背后的直觉，考虑最简单的情况，即噪声贸易商只是以恒定速率出售，˙ψ<0。换句话说，可用于交易的风险股数量呈线性增长。然后LiPrt=-2∧Nδ˙ψ>0。这说明了即使对于同质代理，市场增长也会导致正流动性溢价。如果只有一个策略代理（N=1），我们总是处于推论5.4的设置中。一个例子是Garleanu和Pedersen[18，第4节]的模型，其中有一个单一的风险资产（d=1），一个没有随机禀赋的单一战略代理人（ζ=0）和外部噪声交易者，其位置ψtare mean rever tin g围绕一个随机均值：dψt=κψ（Xt- ψt）dt，其中X是布朗运动驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程WX:dXt=-κXXtdt+σXdWXt。在第5节的符号中，我们得到了|ψt=κψ（Xt- ψt）和uψt=-κψκXXt-κψ˙ψt=-κψκXXt- κψ（Xt- ψt）=κψt- κψ（κψ+κX）Xt。如【18，第4节】所述，具有不同平均头寸的几组噪声交易者可以进行分析处理。因此，我们恢复了[18，命题9]的非平凡流动性问题，我们还参考了相应的比较静力学讨论。为了在只有战略代理人和固定风险资产供应的模型中获得非平凡的流动性溢价，需要考虑具有异质风险规避的代理人。为了便于注释和解释，假设没有噪声交易者（ψ=0）。

那么，流动性溢价（5.5）是简单的toLiPrt=∑NNXn=1（γn- γ）（ν∧，nt- ^1nt）。这意味着流动性溢价是风险规避向量（γ，…，γN）与当前偏差（Д∧，1t）之间的充分协方差- ^1t，И∧，Nt- 在代理的实际位置和他们的无摩擦目标之间。因此，如果且仅当敏感性和过度风险敞口正相关，即如果风险厌恶程度较高的机构持有的风险头寸大于（有效）无摩擦均衡中的头寸，则流动性溢价为正。然后，这些代理人将倾向于成为净卖家，由于他们的交易动机比净买家更强烈，因此需要正流动性溢价来清理市场。为了进一步阐明异质风险厌恶所导致的流动性溢价的动态，我们现在考虑一些具体的例子，其中代理人的禀赋总和为零，如[32]所示。首先，我们考虑捐赠风险具有独立、固定增量的最简单情况：推论5.5。假设时间范围是有限的，并考虑两个风险规避γ<γ，贴现率δ>0，且禀赋波动率遵循算术布朗运动：ζt=at+Nt，ζt=-ζt，对于Rd值布朗运动N和a∈ 然后，无摩擦的平衡返回消失。具有交易成本的均衡收益具有Ornstein-U-hlenbeck动力学：d|∧t=rγ+γ∑∧-1+δId-δId！γ- γγ+γδ∧a- u∧tdt+（γ- γ） ∑dNt。证据无摩擦平衡收益率为（3.1）。根据定理5.2，自ζ=-ζ、 其摩擦对应物由|∧t=（γ）给出- γ） ∑（И∧，1t+ζt）。

（5.6）引理5.1和定理A.2（B=γ+γ∧的w）-1∑和ξt=-ζt）和表示式（A.17），根据其证明，代理1的最佳交易率为˙И∧，1t=(R)ξt-√ -δIdД∧，1t，（5.7），其中 =γ+ γΛ-1∑+δId，(R)ξt=-√ -δIdEZ∞t型√ +δIde-(√+δId）（u-t） （au+Nu）du英尺= -√ -δIdζt+(√ +δId）-1a级.这里，我们使用了初等积分和N的鞅性质来表示最后一个等式。将其插回（5.7）中，得到˙И∧，1t=-√ -δIdИ∧，1t+ζt+(√ +δId）-1a级.将其插入（5.6）进而得出所断言的Ornstein-Uhlenbeck动力学：d|∧t=（γ-γ） ∑（˙И∧，1tdt+dζt）=（γ-γ)Σ-√ -δIdИ∧，1t+ζt+(√ +δId）-1a级+ 一dt+dNt=(γ-γ)Σ√ -δId( -δId）-1δa）- Σ√ -δIdΣ-1u∧tdt+（γ-γ） ∑dNt=γ-γγ+γΣ√ -δIdΣ-1Δ∧a- Σ√ -δIdΣ-1u∧tdt+（γ-γ） ∑dNt=∑√ -δIdΣ-1.γ-γγ+γδ∧a- u∧tdt+（γ-γ） ∑dNt=qγ+γ∑∧-1+δId-δIdγ-γγ+γδ∧a- u∧tdt+（γ-γ） ∑dNt，我们在上一个等式中使用了引理B.2（B）。让我们简要地讨论一下上述公式的比较静力学。在推论5.3中，平均流动性概率2γ-γγ+γΔ∧a和相应的波动率都会消失，如果代理人的风险规避一致。更一般而言，其大小与γ测量的异质性程度成正比-γγ+γ，乘以贴现率δ、交易成本∧，以及代理人1头寸的趋势a。为了理解这个结果背后的直觉，假设a<0，那么代理1是净买方，代理2是净卖方。由于γ<γ，代理商的2个销售动机主导了代理商的1个购买动机，因此需要额外的正向漂移来清除市场摩擦。

由于这些调整不是立即发生的，而是随着时间的推移逐渐发生的，这些影响的大小乘以贴现率δ：对即时性的需求越高，风险厌恶程度越高，支付的金额就越大。即使是相关资产，平均流动性溢价也仅取决于各自资产的交易成本以及代理1和代理2需求的相应不平衡。交易成本的线性标度还表明，对于较小的成本，流动性溢价的平均值远小于其标准差（然后，标准差与流动性溢价的平方根成比例）。最后，请注意，流动性溢价在这里是均值回复，即使代理人的捐赠不是固定的。原因是具有交易成本的代理人的投资组合迟钝：风险厌恶程度越高的代理人的更强的交易需求不是立即实现的，而是逐渐实现的。这种内生性导致了自相关回报，就像无摩擦投资组合选择文献中的简化模型一样【30，46】。接下来，我们转向一个平稳模型，其中禀赋暴露也是均值回复的，如[12，18]所示。这产生了一个额外的状态变量，对应的流动性溢价是一个随机平均回归水平：推论5.6。假设时间范围是有限的，并考虑两个风险规避γ<γ、贴现率δ>0和捐赠波动率为O rnstein-Uhlenbeck动态的战略代理人：dζt=-κζtdt+dNt，dζt=-dζt，ζ=ζ=0，对于Rd值布朗运动N和正定义平均回复矩阵κ∈ 然后，无摩擦平衡返回消失。

具有交易成本的均衡回报率S Ornstein-Uhlenbeck型动力学，其随机平均回归水平为捐赠水平的常数倍：d|∧∧t=∑√ -δIdΣ-1.(γ- γ)Σκ(√ +δId+κ）-1.- (√ -δId）-1κζt- u∧tdt+（γ- γ） ∑dNt，其中 =γ+ γΛ-1∑+δId证明。如推论5.5所示，无摩擦均衡收益为（3.1），摩擦对应物为（5.6），代理1的最优交易率为（5.7）。唯一的变化是targetprocess（目标进程）ξ，在当前上下文中可按如下方式计算：ξT=-√ -δIdZ∞t型√ +δIde-(√+δId）（u-t） E[ζu | Ft]du=-√ -δId(√ +δId）(√ +δId+κ）-1ζt。在这里，我们使用了期望值E【ζu | Ft】=E-κ（u-t） ζtof Ornstein-Uhlenbeck过程和最后等式的初等积分。将其插回（5.7）中，得到˙И∧，1t=-√ -δIdД∧，1t+(√ +δId）(√ +δId+κ）-1ζt.依次插入该（5.6）可得出所断言的Ornstein-Uhlenbeck动力学：d|∧∧t=（γ-γ） ∑（˙И∧，1tdt+dζt）=（γ-γ)Σ-√ -δIdД∧，1t+(√ +δId）(√ +δId+κ）-1ζt- κζtdt+dNt= Σ√ -δIdΣ-1.(γ-γ)Σκ(√ +δId+κ）-1.- (√ -δId）-1κζt- u∧tdt+（γ-γ） ∑dNt。对于单个风险资产（d=1），推论5.6中流动性溢价的平均回归水平可以改写为（γ- γ)Σκ(δ + κ)2(√ +δId+κ）(√ -δId）ζt=2γ- γγ+ γΛκ(κ + δ)1 -κ√ +δId+κ！ζt。由于γ<γ，ζtin的系数此表达式为正，因此流动性Premium的符号取决于代理1的风险敞口ζt。如果ζt>0，均值回归意味着代理1的风险敞口将趋于减少，因此代理将希望收回其在风险资产中的负头寸的一部分。相反，代理人2倾向于出售风险股。