交易成本均衡收益

由于经纪人2更倾向于规避风险，她的销售动机不言而喻，需要通过额外的积极预期回报来实现，以清理市场，符合上述表述的标志。6结论在本文中，我们开发了一个易于处理的风险分担模型，该模型允许研究交易成本如何反映在预期回报中。在一个由异质平均方差投资者填充的连续时间模型中，我们用一个耦合但线性的FBSDE系统来描述唯一平衡。该系统可以用矩阵幂级数来求解，并在许多具体情况下得到完全显式的平衡动力学。如果所有代理人都是同质的，如果资产供应量随时间增长，则会获得正的流动性溢价。对于固定资产供应但异质代理而言，与无摩擦情况相比，流动性溢价的迹象取决于风险厌恶程度更高的代理的交易需求。由于这些人有更强烈的交易动机，因此他们需要相应地补偿其风险承受能力更强的交易对手。非流动性投资组合的惰性也会将自相关性引入相应的均衡预期收益中，即使对于具有独立增量的基本面也是如此。当前模型的一些扩展是进一步研究的有趣方向。一个重要的方向涉及更一般的偏好规格（例如指数而非二次效用）或交易成本（例如比例而非二次）。

这种变化必然会破坏相应最优性条件的线性，但仍可能导致成本限制较小的可处理结果，类似于具有外生价格的模型[42、36、27]。进一步研究的另一个重要方向涉及扩展，即不再假设价格波动是外生的，而是确定为均衡的输出。然而，即使这种模型的最简单版本也必然会导致非线性FBSDE。A线性FBSDE的存在性和唯一性为了确定第4节中的个别最优交易策略和第5节中的均衡回报，本附录给出了耦合但线性FBSDE的s y杆的存在性和唯一性结果：dИt=˙Иtdt，Д=0，t∈ T，（A.1）d˙ДT=dMt+B（ДT- ξt）dt+δ˙Иtdt，t∈ T，（A.2），其中B∈ Rl×l只有正特征值δ≥ 0和ξ∈ Lδ。如果T<∞, （A.2）由终端条件˙ИT=0补充。（A.3）如果T=∞, 我们假设δ>0，并且终端条件被φ，˙φ中隐含的横向条件所取代∈ δ>0时为Lδ。（A.1–A.2）的解决方案是一个三元组（Д，˙Д，M），其中∈ Lδ和M是T上具有有限二阶矩的鞅。我们首先考虑有限时间范围的情况。在这种情况下，线性FBSDE（A.1-A.2）可以使用与[18]中类似的矩阵指数进行求解。为此，我们首先建立了一个技术结果，表明在FBSDE（A.1–A.2）的解中出现的鞅M自动属于Mδ：命题A.1。设T=∞. 如果（Д，˙Д，M）是FBSDE（a.1–a.2）的解决方案，则M∈ Mδ。由于前向分量（A.1）的简并性，如【15】中所述的一般FBSDE理论仅产生局部存在。

然而，下面开发的直接参数允许建立全局存在性，并且还导致以矩阵幂级数的形式显式表示解。证据设（Д，˙Д，M）为FBSDE（a.1–a.2）的解决方案，其中∈ Lδ和M是鞅[0，∞) 具有有限的秒瞬间。修复t∈ (0, ∞). 然后通过零件进行集成-δt˙Дt=˙Д+中兴通讯-δsdMs+中兴通讯-δsB（Дs- ξs）ds。（A.4）设k·kbe为R中的欧几里德范式lk·kmax R上的最大范数l×l. 重新推导（A.4）并依次使用初等不等式（A+b+c）≤ 3（a+b+c）表示a、b、c∈ R、 基本估计kAxk≤√lkAkmaxkxk和Jensen不等式给出中兴通讯-δsdMs≤ 3k˙Иk+e-2δtk˙Иtk+中兴通讯-δs√lkBkmaxkДs- ξskds!≤ 3.k˙Иk+e-δtk˙Иtk+lδkBkmaxZte-δskИs- ξskds. （A.5）最大和欧几里德范数的定义，估计值|[N，N]|≤（[N]+[N]）对于实值局部鞅和N，以及t∈ (0, ∞),E中兴通讯-2δsd【M】s最大值= Emaxi，j∈{1,...,l}中兴通讯-2δsd【Mi，Mj】s≤Emaxi公司∈{1,...,l}中兴通讯-2δsd[米]s+最大值∈{1,...,l}中兴通讯-2δsd【Mj】s= Emaxi公司∈{1,...,l}中兴通讯-2δsd【Mi】s≤ E“lXi=中兴通讯-2δsd[米]s#=E“lXi=1中兴通讯-δsdMis#= E“中兴通讯-δsdMs#. （A.6）自∈ Lδ，存在一个递增序列（tk）k∈N带limk→∞tk=∞ 这样，Limn→∞Ehe公司-δtkk˙Иtkki=0。（A.7）单调收敛，（A.5-A.7）和Д，ξ∈ Lδ依次为Z∞e-2δsd【M】s最大值= 利姆→∞EZtke公司-2δsd【M】s最大值≤ 利姆→∞E“Ztke公司-δsdMs#≤ 3.lk˙Иk+lδkBkmaxEZ∞e-δskИs- ξskds< ∞.因此，M∈ Mδ如所述。定理A.2。假设T=∞, δ>0，且（A.2）中的矩阵B只有正值。设置 = B+δIl. 然后，FBSDE（A.1–A.2）的唯一解决方案由Дt=Zt给出e-(√-δIl)（t-s） \'ξsds，（A.8），其中\'ξt=√ -δIlEZ∞t型√ +δIle-(√+δIl)（s）-t） ξsds英尺. （A.9）证明。

设（Д，˙Д，M）为FBSDE（a.1–a.2）的解决方案，并定义t：=e-δtДt.使用该˙Дt=-δИИt+e-δt˙Дt，d˙Дt=-δ˙ИИtdt+e-δtd˙Дt-δe-δt˙Иtdt（A.10）和FBSDE（A.1-A.2）对于（Д，˙），可以得出（˙И，˙ИД）解出FBSDEdt=˙ИИtdt，˙Д=0，t∈ T，（A.11）d˙ИT=dMt+BИt-ξtdt+δИИtdt，t∈ T，（A.12），其中dMt=e-δtdMtand|ξt=e-δtξt。在矩阵表示法中，该方程可重写为asd（˙Иt，˙ИИt）= Cd▄Mt+C（▄Дt，▄Дt）dt公司- Cξtdt，带C=我l, C类=0 Il 0, C类=B.按部件显示的集成SD（e-电流互感器) = e-CtCdMt- e-CtC？ξtdt，依次-铜Иu˙Иu= e-计算机断层扫描Иt˙Дt+祖特-CsCdMs-祖特-对于t<u<∞. （A.13）乘以（A.13）矩阵C=Il√-1.√ 我l!和设置H（t）=Ce-CtyieldsH（u）Иu˙Иu= H（t）Иt˙Дt+ZutH（s）CdMs-对于t<u<∞. （A.14）通过归纳得出C(-Ct）2n=nn-n个+nt2n，~C(-Ct）2n+1=-n个+nn+1n+！t2n+1，n≥ 现在，指数函数的幂级数可以推导出h（t）=e-√t型√-1e级-√t型√e-√te公司-√t！。与（A.14）一起，可以得出如下结论：√e-√uu+e-√u˙Дu=√e-√tt+e-√t˙ИИt+Zute-√sdMs-祖特-√对于t<u<∞. （A.15）假设∈ Lδ Lδ，（A.10）和√ 大于或等于δ/2（因为B只有非负特征值），则存在递增序列（uk）k∈N带limk→∞英国=+∞ （A.15）的左侧将A.s.收敛到零。此外，由于M∈ 根据位置A.1和ξ计算的Mδ∈ Lδ，鞅收敛定理和单调收敛（以及Jensen不等式）——也使用√ 大于或等于δ/2–意味着对于u→ ∞ （和fortiori沿（英国）k∈N） （A.15）的右侧s向√e-√tt+e-√t˙Иt+Z∞te公司-√sdMs-Z∞te公司-√sBξsds。（A.16）这两个极限一起表明（A.16）消失了。

（A.16）乘以e√t、 重新排列，并采用条件期望（再次使用√ 大于或等于δ/2）我们得到Z∞te公司-√（s）-t） Be公司-δsξsds英尺-√ 现在，（A.10）并重新排列得出˙Дt=EZ∞te公司-√（s）-t） Be公司-δ（s-t） ξsds英尺-√ -δIl最后，因为B与e通勤-√（s）-t） （如B=(√ -δIl)(√ +δIl) 通过引理B.2（a）），可以得出˙Иt=(R)ξt-√ -δIlνt.（A.17）根据常数变化公式，该线性（随机）ODE具有唯一的解（A.8）。如果存在FBSDE（a.1-a.2）的解决方案，则其形式必须为（a.8）。仍需验证（A.8）是否确实解决了FBSDE（A.1-A.2）。为此，我们首先表明∈ Lδ。实际上，用k·kboth表示R中的欧几里德范数l和s光谱标准inRl×l. 由于B的所有特征值都是正的，因此ε>0 s uch√ +δIl大于或等于δ+ε。因此，通过引理B.2（c）和谱范数的定义，可以得出e-(√+δIl)t型≤ e-（δ+ε）t，t∈ [0, ∞).因此，根据（A.9）中“ξ”的定义，B=(√ -δIl)(√ +δIl), 我们得到了Jensen不等式和Fubini定理Z∞e-δtk′ξtkdt≤kBkδ+Z∞e-δtZ∞te公司-（δ+ε）（s-t） E类kξskdsdt≤kBkδ+εZ∞Zseεtdte-（δ+ε）sEkξskds公司≤kBk（δ+ε）Z∞e-δsEkξskds<∞.接下来，我们展示∈ Lδ。与上述观点类似，我们有e-(√-δIl)t型≤ e-εt，t∈ [0, ∞).因此，根据（A.8）中的定义，Jensen不等式和Fu bini定理以及自ξ起∈ Lδ通过上述参数，我们得到Z∞e-δtkИtkdt≤εZ∞e-δtZte-（t-s） E类k′ξskdsdt≤Z∞Z∞东南方-（δ+ε）tdteεsEk′ξskds=（δ+）Z∞e-δsEk′ξskds<∞.根据定义，我们的ν=0。接下来，按部分积分表明˙Д满足ODE（A.17），这产生了˙Д∈ Lδ（因为Д，(R)ξ∈ Lδ）。确定Rl-值平方可积鞅（\'Mt）t∈[0,∞)按“Mt=E”Z∞e-√sBξsds英尺,式中￠Иt：=e-δtИtand￠ξt：=e-δtξtas之前。

将（A.17）乘以矩阵e-(√+δIl)tand使用（A.10）以及 -δIl= 经过重新排列后，B给出e-√t˙Иt=(R)Mt-中兴通讯-√sBξsds-√e-√因此，我们得到-√e-√t˙Ирtdt+e-√td˙ИИt=公吨- e-√tBξtdt-√e-√t˙Иtdt+e-√ttdt。重新排列，乘以e√tand使用它√ an d e√tcommute，它紧随其后的是d˙Иt=e√td？Mt- Bξtdt+ Иtdt。最后，再次考虑（A.10）并将鞅M（具有有限次矩）定义为dmt=e(√+δIl)td'Mt，M='M，我们从（A.8）中获得了确实令人满意的结果（A.1–A.2）。让我们简略地描述一下解决方案的财务解释；有关更多详细信息，请参阅[18]。在个别最优交易策略的背景下（参见Lemm a 4.1），ODE（a.17）描述了最优交易率。它描述了以恒定的相对速度进行交易√ -δIl迈向目标投资组合(√ -δIl)-1’ξt=EZ∞t型√ +δIle-(√+δIl)（s）-t） ξsds英尺.请注意，R∞e-√sBξsds是平方可积的，因为ξ∈ Lδ和√ 大于δ/2。在引理4.1中，这是无摩擦最优交易策略ξ未来值的平均值，使用指数贴现核计算。随着交易成本趋于零，贴现率趋于一致，目标投资组合接近无摩擦优化器的现值，符合[36]的小成本不对称。现在，我们来看看Fine horizon案例。为了满足终端条件˙ИT=0，在一维情况下，定理A.2中的指数需要用适当的双曲函数代替[5]。在目前的多元背景下，如果使用这些双曲线函数来定义定义B.1意义上的相应“主要矩阵函数”，这仍然是正确的。

使其精确的第一步是以下辅助结果，用于 = B+δIl在下面的定理A.4中：引理A.3。允许 ∈ Rl×l. 矩阵值函数g（t）=∞Xn=0（2n）！n（T）- t） 2n（A.18）在R上是二次可微的，导数为˙G（t）=-∞Xn=0（2n+1）！n+1（T- t） 2n+1，并求解以下ODE：¨G（t）=G（t），其中G（t）=Idand˙G（t）=0。（A.19）此外，如果矩阵 只有正特征值，那么，在定义B.1的意义上，G（t）=cosh(√（T- t） ），˙G（t）=-√ 新罕布什尔州(√（T- t） ）；对于δ≥ 0，矩阵G（t）-δ˙G（t）对于任何t都是可逆的∈ [0，T]和，对于任何矩阵范数k·k，supt∈[0，T]G（t）-δ˙G（t）-1.< ∞. （A.20）证明。请注意P∞n=0（2n）！kkn（T- t） 2n<∞ 对于任何矩阵范数k·k，其中G（t）对于每个t都是很好的定义∈ R、 通过逐项两次微分，并以同样的方式估计得到的幂级数，可以很容易地验证G在R上连续两次微分，具有规定的导数，并且是（a.19）的解。现在假设 只有正特征值和dδ≥ 0.然后，前两项附加权利要求源自定义B.1，通过B=(√B） 以及光滑函数cosh和sinh的级数表示。最终声明来自引理B.2（c）和d（d），因为，对于fixedx∈ (0, ∞),输入∈[0，T]x cosh（x（T- t） ）+δx sinh（x（t- t） （）≥ x>0。我们的FBSDE的唯一解现在可以使用引理A.3中的函数G（t）来表征，如下所示：定理A.4。假设T<∞ 矩阵 = B+δIl只有正特征值。然后，具有终端条件（A.3）的FBSDE（A.1-A.2）的唯一解由Дt=Zt给出e-RtsF（u）du？sds，（A.21），其中f（t）=-G（t）-δ˙G（t）-1B˙G（t），（A.22）’ξt=G（t）-δ˙G（t）-1E级ZTt公司G（s）-δ˙G（s）是-δ（s-t） ξsds英尺. （A.23）证明。

设（Д，˙Д）为具有终端条件（a.3）的FBSDE（a.1–a.2）的解，并设置t：=e-δtДt.使用该˙Дt=-δИИt+e-δt˙Дt，d˙Дt=-δ˙ИИtdt+e-δtd˙Дt-δe-δt˙Иtdt（A.24）和FBSDE（A.1–A.2）对于（Д，˙Д）和（A.3），可以得出（˙И，˙ИД）解出FBSDEt=˙Дtdt，˙=0，t∈ [0，T]（A.25）d˙ИT=dMt+BИt-ξtdt+δИИtdt，t∈ [0，T]，（A.26），终端条件˙ИИT=-δИИT.（A.27），此处dMt=e-δtdmt是一个平方可积鞅（因为M是），且|ξt=e-δtξt。在matrixnotation中，该方程可重写为asd（˙Иt，˙ИИt）= Cd▄Mt+C（▄Дt，▄Дt）dt公司- Cξtdt，带C=我l, C类=0 Il 0, C类=B.按部件显示的集成SD（eC（T-t） （￠Дt，˙￠Дt）) = eC（T-t） CdMt- eC（T-t） Cξtdt，依次为ИT˙ДT= eC（T-t）Иt˙Дt+ZTteC（T-s） CdMs-ZTteC（T-s） Cξsds。（A.28）设置H（t）=eC（t-t） 注意h（t）=G（t）--1克（吨）-˙G（t）G（t）,注意，引理A.3很好地定义了反比。对于引理A.3中的函数G（t），可以通过归纳法轻易验证。与（A.28）一起，可以得出T=G（T）T- -1˙G（t）˙Дt-ZTt公司-1˙G（s）dMs+ZTt-1˙G（s）Bξsds，˙ДT=-˙G（t）t+G（t）˙t+ZTtG（s）dMs-ZTtG（s）Bξsds。自˙ИT=-δИИTby（A.27），这反过来又会降低0=δG（t）-˙G（t）Иt+-δ-1˙G（t）+G（t）˙ИИt+ZTt-δ-1˙克（s）+克（s）dMs+ZTtδ-1克（s）- G（s）Bξsds。将此方程式乘以 接受有条件的期望G（t）-δ˙G（t）˙ИИt=EZTt公司G（s）-δ˙G（s）Bξsds英尺+˙G（t）-δG（t）现在，使用（A.24）并重新排列，如下所示G（t）-δ˙G（t）e-δt˙Иt=EZTt公司G（s）-δ˙G（s）是-δsξsds英尺+ -δIl˙G（t）e-δtДt.乘以G（t）-δ˙G（t）（由L emma A.3存在）并使用 -δIl= B、 这导致˙Иt=˙ξt- F（t）Дt。

（A.29）根据常数变化公式，该线性（随机）常微分方程具有唯一解（A.21）。如果存在FBSDE（a.1-a.2）的解决方案，则其形式必须为（a.21）。仍需验证（A.21）是否确实解决了FBSDE（A.1-A.2）。首先，注意\'ξ∈ Lδ由ξ∈ Lδ和估计值（A.20），然后∈ Lδ。此外，根据定义，我们得到了Д=0。接下来，按部分积分表明˙Д满足ODE（A.29），这产生了˙Д∈ Lδ（因为Д，(R)ξ∈ Lδ）和˙ДT=0（因为G（T）=I和˙G（T）=0）。确定Rl-值平方可积鞅（(R)Mt）t∈[0，T]乘以“Mt=E”ZT公司G（s）-δ˙G（s）Bξsds英尺,式中￠Иt：=e-δtИtand￠ξt：=e-δtξtas之前。然后，将（A.29）乘以G（t）-δ˙G（t）和使用（A.24）以及 -δIl= 经过重新排列后，B给出，G（t）-δ˙G（t）˙ИИt=(R)公吨-Zt公司G（s）-δ˙G（s）Bξsds+˙G（t）-δG（t）因此，我们获得˙G（t）-δ¨G（t）˙ИИtdt+G（t）-δ˙G（t）d˙ИИt=d˙Mt-G（t）-δ˙G（t）Bξtdt+˙G（t）-δG（t）˙ИИtdt+¨克（吨）-δ˙G（t）Иtdt。使用该–G（t）=根据ODE（A.19），并考虑到 通过引理B.2（a）使用bothG（t）和˙G（t）进行通勤，如下所示G（t）-δ˙G（t）d˙ИИt=d˙Mt-G（t）-δ˙G（t）Bξtdt+G（t）-δG（t） Иtdt。现在，乘以G（t）-δ˙G（t）（引理A.3中存在）并使用 = B+δIl, 我们获得了=G（t）-δ˙G（t）-1d？Mt+BИt-ξtdt+δИИtdt。最后，再次考虑（A.24）并定义平方可积鞅M bydMt=eδtG（t）-δ˙G（t）-1d'Mt，M='M，我们得出，Дfr om（A.21）确实满足最终条件（A.3）下的FBSDE动力学（A.1-A.2）。让我们在表4.1的背景下，再次对这一结果的财务解释进行简要评论。基本解释与定理A.2中研究的有限层位情况相同。

然而，为了说明交易速度需要消失的终端条件，在（A.29）中的最佳相关交易速度不再是常数。相反，它在这个终端条件和定理A.2中的长期稳定值之间进行插值，即在时间范围较远的情况下接近。类似地，定理A.2中用于计算目标投资组合的指数贴现核在这里被更复杂的版本所取代；比较[5]，在一维情况下进行详细讨论。为了应用定理A.2和A.4来描述定理5.2中的平衡，需要验证出现在那里的矩阵B只有实的、正的特征值，因为这意味着矩阵 := B+δIl具有大于δ/4的实特征值≥ 引理A.5。Let∧∈ Rd×dbe一个对角矩阵，有正项λ，λd>0，∑∈ Rd×da对称正定义矩阵和γ，γN>0，γN=max（γ，…，γN）。然后，矩阵B=γN-γN∧-1∑···γN-γN-1N∧-1Σ... ···...γN-γN∧-1∑···γN-γN-1N∧-1Σ+γΛ-1Σ...0γN-1Λ-1Σ∈ Rd（N-1） ×d（N-1） 只有实的正特征值。证据首先，回想一下，两个相似的矩阵具有相同的特征值。由于矩阵∧-1∑只有正特征值（因为它是两个对称正定义的乘积，参见[40，命题6.1]），因此存在可逆矩阵P∈ Rd×D和a对角矩阵X∈ Rd×D，带正对角线条目u，UD使∧-1∑=P向上-1、现在，定义矩阵Q=第0页。。。0页∈ Rd（N-1） ×d（N-1).直接计算表明，Q与inverseQ是可逆的-1=P-1.0页-1.∈ Rd（N-1） ×d（N-1).其中B与“B”相似：=P-1BP和\'B=γN-γNU··γN-γN-1菜单。。。