基于效用套期保值的未定权益博弈的纳什均衡

在确定这种关系之前，我们回顾了有界索赔指数差异估值的定义和一些动态特性。[]在类似于第2节的设置中对此进行了较为全面的研究，其中Θ与Delbaen等人的交易策略空间Θ完全对应。[]，并对其他可能的交易策略空间进行了比较。由于我们采用了类似的设置，因此当需要时，我们可以使用[31]的一些结果。将未定权益列为∞（FT）并考虑一位愿意在某个时候购买索赔的代理人∈[0，T]，其偏好由指数效用函数uα描述∈, ∞用户体验-e-αx，x∈ R随机捐赠C∈ L∞（英尺）。买方在时间t的差值πα，Ct（H）∈[0，T]是代理人在收到索赔时需要支付的金额，即终端时间T，以便T资本与他在零初始资本的情况下单独交易的最大预期效用一致。换句话说，πα，Ct（H）是使代理人在金融市场上以最佳交易方式购买或不购买索赔的金额。更准确地说∈ L∞andt公司∈ [0，T]，时间T时H的差值πα，Ct（H）由（3.1）esssupθ隐式给出∈ΘEth- e-α（C+RTtθtrsdSs）i=ESSUPθ∈ΘEth- e-α（C+H-πα，Ct（H）+RTtθtrsdSs）i.Stricker[]不需要）和动态规划原理意味着等式（3.1）的左侧几乎肯定不会消失，因此，等式（3.1）的直接重新公式化会产生（3.2）πα，Ct（H）=-α对数esssupθ∈ΘEth- e-αC+H+RTtθTRSDSiesssupθ∈ΘEt- e-αC+RTtθTRSDS.一般而言，差异值取决于外源随机禀赋C，但通过将通过DPC/dP定义的测量值替换为Pc：=exp(-αC）/E[exp(-αC）]，可以将其减少到6 KLEBERT KENTIA和CHRISTOPH K¨UHNcase，而无需随机捐赠。

尤其是Θ和Mefremain在从p变为PC时相同。注意πα，Ct（H）=πα，0t（C+H）- πα，0t（C），表示πα，0t（H）=essinfQ∈MefEQt[H]+αEqthlogzqtzqtzqti- αessinfQ∈MefEQthαlogZQTZQti！！。在下面的命题中，我们陈述了指数差值的一些动态性质。提案3.1。对于α∈(0, ∞) andC公司∈ L∞, （πα，Ct）t∈[0，T]定义映射πα，Ct:L∞（英尺）高7→ πα，Ct（H）∈ L∞（Ft）满足（1）“C\'adl\'ag版本”：ForH∈ L∞,kπα，Ct（H）k∞≤ kHk公司∞, t型∈[0，T]，并且存在一个c\'adl\'agprocessΓhw，对于每个T∈ [0，T]和ΓHτ=-αlog essinfθ∈ΘEQE，Cτhe-α（H+RTτθtrsdSs）i=：πα，Cτ（H），对于τ∈ T、 式中，用PC.（2）“严格的）单调性”替换P后，QE，Cis EMMM来自等式（2.3）：IfH≤ Hthenπα，Cτ（H）≤ πα，Cτ（H）表示所有τ∈ T、 如果附加πα，C（H）=πα，C（H），则H=H。（3）“复制不变性”：πα，CτH+xτ+RTτθtrsds=πα，Cτ（H）+xτ，对于anyH∈L∞, τ ∈ T、 xτ∈ L∞（Fτ），θ∈ Θ.（4） “复制成本保持”：πα，Cτxτ+RTτθtrsds=xτ，对于任意τ∈ T、 xτ∈L∞（Fτ），θ∈ Θ.（5） “局部性质”：πα，Cτ（H∧+H∧C）=∧πα，Cτ（H）+∧Cπα，Cτ（H），对于anyH，H∈L∞, τ ∈ T、 ∧∈ Fτ。（6） “（停止）时间一致性”：πα，Cτ（H）=πα，Cτ（πα，Cσ（H）），对于anyH∈ L∞,τ ∈ Twithσ∈ Tτ。（7） “连续性”：如果是连续的，则对于任何序列（Hn）n∈无边界内部∞概率收敛到某个H∈ L∞作为n→ ∞, 一个哈苏普∈[0，T]|πα，Ct（Hn）- πα，Ct（H）|-→ 0的概率为n→ ∞.和Schweizer[]或是简单的概括。请注意，只有caseC=0必须beC∈ L∞Ppct 2中的严格单调性。，我们使用公式（3.2）的分子中的上确界，见[7]中的定理2.2。以下结果与第7部分相反。在上面提案3.2。LetFbe连续，α∈(0, ∞) andC公司∈ L∞. 让（Hn）n∈Nand（ηn）n∈NBE有界序列inL∞使ηn≤P-a.s.适用于所有N∈ Nandπα，C（Hn+ηn）-πα，C（Hn）-→0，作为n→ ∞.

然后ηn→ 概率为0，如n→ ∞.就我们所知，命题3.2中的结果是新的，并且在定理3.5和引理5.5的证明中构成了至关重要的因素，这是实现定理2.3的主要结果所必需的。我们将证据包括在第6节中。注3.3。让α>0。存在一个具有一系列非负索赔（Hn）n的市场模型∈NL∞这样，P[lim infn→∞Hn公司=∞]>0，但差异值的序列πα，0（Hn）是一致有界的。注释3.3的证明。考虑一个S=1的市场模型，即不存在对冲工具，并采取一些措施∈ FwithP【A】∈(0,1). 对于欧式索赔的非减损序列n：=n1A，n∈ N、 差值πα，0（Hn）满足xp(-απα，0（Hn））=经验(-αn）P[A]+1-P[A]和tusπα，0（Hn）增加到有限常数-ln（1- P【A】/α，因为n趋于完整。博弈未定权益的纳什均衡7在续集中，我们分别用（3.3）πA：=παA，caa和πB：=παB，cb表示agentsandb的指数效用差异估值算子。在差异值方面，游戏等式（2.6）/等式（2.7）的NEP可以描述如下。提案3.4。LetX，Y∈ S∞. A对（τ*, σ*)∈ T×T是非零和对策的NEP。（2.6）/等式（2.7）当且仅当对于所有τ，σ∈ T、 πA- R（τ*, σ*)≥ πA- R（τ*, σ）和πBR（τ*, σ*)≥ πBR（τ，σ*).证据首先注意，根据公式（3.2），claimH的差异值∈ L∞和风险规避参数α∈ (0, ∞) 满意度（3.4）supθ∈ΘEh- e-αC+H+RTθTRSDSi=e-απα，C（H）supθ∈ΘE- e-αC+RTθTRSDS< 因此，将等式（3.4）代入等式后，即可获得所需的等效性。（2.6）和（2.7）αA，αBCA，CBRτ*, σ*R（τ*, σ） ，R（τ，σ*). 该博弈通常是非零和型的，因为在市场不完全的情况下，蕴涵（3.5）πA(-H）≤ πA(-H）==> πB（H）≥ πB（H）一般不成立，对于H，H∈ L∞.

另一方面，在一个完整的市场中，两个参与者的差异估值是复制成本，得出等式（3.5）。命题3.4建立了效用差异估值下最优停止问题的关系，效用差异估值在支付上并不同质。在陈述我们的贡献（定理3.5）之前，让我们讨论一下关于非线性期望下最优停止的现有文献。3.1.非线性最优停止的文献综述及新贡献。除了ElKaroui[]这篇开创性文章中所调查的线性期望下的最优停止的经典理论之外，非线性期望下的最优停止理论通常也得到了Quiewell的发展。后一个方向的研究主要集中于正同质的次线性预期，因此也可以与动态一致风险度量相关联；参见[，，]等。但这些不包括欧洲效用差异。Bayraktar等人[1]研究了美国差异值，解决了布朗过滤环境下凸风险测度下的最优停止问题。通过利用Delbaen等人的凸风险度量的表示，他们认为风险度量可以写成最坏情况下的支付期望加上适当的凸惩罚函数，而凸惩罚函数又依赖于布朗鞅作为随机积分的可预测表示性，该问题可以通过与鲁棒（最坏情况）组合随机控制和最优停止问题类似的方法来解决，参见Karatzas和Zam-firescu[]。在一个方面，我们的假设略弱于[]的假设，因为我们只假设与他们的不同。

在[]中，已经有人指出，Americanclaim的最佳运动时间是由非线性Snell包络线第一次到达支付过程时给出的。我们认为其中的命题2.13是正确的，但我们不认为在其证明中，定理2.10在支付中是正齐次的。另一方面，Bayraktar和Yao[，]通过使用上交定理来解决凸期望的最优停止问题，但不能应用他们的结果。最近，Grigorova et al。[]获得了关于Lipschitz生成器和Payoff过程的最优停止预期的结果，对于通常由布朗运动生成的过滤，Payoff过程只需要是可选的（而不是c\'adl\'ag），估值对应于g为二次增长的g预期。美国指数效用差异估值。证明的关键是来自[]的KLEBERT KENTIA和CHRISTOPH K¨UHNresult的连续性8（参见命题3.1中的属性7）及其反面，这是我们在本文中新推导出来的，参见命题3.2。定理3.5证明中的参数没有使用anup交叉定理，因此也可以应用于更一般的非线性期望。再次证明经典的上交定理表明，每个超鞅（在线性期望下）都承认有理数的有限左极限和右极限（参见Karatzasunder linear Expections with c\'adl\'ag Payoff Process and filtrations，that the惯常条件）（参见Karatzas and Shreve[]附录D）。但是，由于我们不依赖于保证存在右极限过程的上交叉定理，因此我们主张在合理的时间点上对斯内尔包络值进行右极限过程。

目前尚不清楚这一过程是否是连续的，因此我们分析的一个关键部分致力于验证这一点。首先，我们表明，我们的论点依赖于两个地方过滤的连续性：首先，通过差异算子的反向连续性，命题3.2，确定当支付过程第一次满足斯奈尔包络时的最佳停止时间，其次，根据每个停止时间都是可预测的这一事实，证明definedright liminf过程在停止时间上是连续的。对于非线性期望下的超鞅，如果非负随机变量序列的（非线性）期望在序列趋向于正概率集上的点一致性时爆炸，则上交定理成立（参见[]中的假设（H0）及其在证明非线性上交定理2.3中的使用）。对于欧洲索赔，买方的差异值是熵最小化鞅测度（EMMM）下的一个子鞅，因此通常的上交定理保证了c ` adl\'ag版本（参见[]中的命题12和Bion Nadal[]中的定理3）。对于美国人来说，这更为微妙，因为如果错过最佳执行时间，价格可能会下降。实际上，总的来说，美国的πtt∈[]的[0，T]π·（H0）（反例见注3.3），因此妨碍了（非线性）上交定理的直接应用。然而，尽管为了证明定理2.3中GCC的纳什均衡点的存在性，美式差异值的右连续性对于我们来说是足够的，但我们通过在备注3.7中显示美式差异值可以应用来补充定理3.5。以下定理是定理2.3中NEP构造的关键。

它提供了一个正确的连续适应过程的存在性和唯一性，该过程支配着给定的支付过程，并在最佳的停止时间到达该过程。此外，这一独特的过程仅取决于未来的支付过程，该过程仅限于已知其发生的所有事件。这些是关于欧洲差异估值给出的非线性预期的非线性斯内尔包络。定理的证明被归入第6节。定理3.5。Fα∈, ∞C∈ L∞并让支付流程∞. 然后，存在一个（3.6）Vt=esssupτ的右连续自适应过程vw∈Ttπα，Ct（Lτ），所有t的P-a.s∈ [0，T]。VPtime），并具有以下性质：（i）πα，Ct（Vτ）≤ Vt，P-所有t的a.s∈ [0，T]，τ∈ Tt。（ii）如果没有负跳跃，则^τt：=inf{u≥ t | Vu=Lu}是一个[t，t]值的停车时间，V^τt=L^τtP-a.s.和πα，C（L^τt）=supτ∈所有t的Ttπα，C（Lτ）∈ [0，T]。（iii）对于两个支付过程，LwithL=Lon[σ，T]，其中σ∈ T、 一个hasV=Von[σ，T]直到消失，对于相关过程V，V.（iv），如果L=Lσ在[σ，T]上，其中σ∈ T、 那么Vσ=Lσ，P-a.s。。博弈未定权益的纳什均衡9备注3.6。与线性情况一样，美式期权价格一般不是鞅，而只是一个超鞅。这是一个简单的练习，可以证明（i）对所有人都是平等的∈[0，T]和τ∈ Ttif和仅ifLt≤ πα，Ct（LT），P-所有t的a.s∈[0，T]，即这是一个最佳停止时间。备注3.7。在定理3.5的证明中，不需要上交定理。因此，上交定理之后的问题仍然可以用来证明动态值允许有理数的有限左极限和右极限。

差异值可写入SSSUPτ∈Ttπα，Ct（Lτ）=esssupτ∈Tt-α对数esssupθ∈ΘEt-e-αC+Lτ+RTtθTRSDSesssupθ∈ΘEt-e-αC+RTtθTRSDS= -α对数esssup（θ，τ）∈Θ×TtEt-e-αC+Lτ+RTtθtrsdSsesssupθ∈ΘEt-e-αC+RTtθTRSDS.（3.7）让我们证明at：=esssup（θ，τ）∈Θ×TtEth- e-αC+Lτ+RTtθTRSDSisatis fies the supermartingaleAt≥ EtAt+hPt，th∈, t设置Et+hh- e-αC+Lτ+RTt+hθTRSDS我(θ, τ) ∈ Θ×Tt+h是最大稳定值，thusEt[At+h]=Et“esssup（θ，τ）∈Θ×Tt+hEt+h-e-αC+Lτ+RTt+hθTRSDS#= esssup（θ，τ）∈Θ×Tt+hEtEt+h-e-αC+Lτ+RTt+hθTRSDS≤ 在，每年。。由于式（3.7）最后一行中的分母与ATFORL=0一致，因此它也满足超鞅性质。我们得出结论，存在一个完全概率的事件，对于所有∈ R+限值（3.8）lims→ts<t，s∈QESSSSUPτ∈Tsπα，Cs（Lτ）和lims→ts>t，s∈QESSSSUPτ∈Tsπα，Cs（Lτ）存在并且是有限的。这是因为通过应用上交定理（参见第1章中的命题3.14（i）），商大于exp(-α| | L||∞) 以远离零为界。通过式（3.8），可以看出定理3.5证明中的过程式（6.4）具有有限的左极限。与式（6.8）一起，式（3.8）也意味着式（6.4）是向右连续的，直到变光。因此，我们甚至可以得到定理3.5的斯内尔包络过程V是c\'adl\'ag。本节提供了不完全市场均衡背后的一些经济直觉。以下两个例子中描述的现象不可能发生在完全市场中，在完全市场中，无论风险厌恶程度和随机禀赋如何，都会出现不确定性度量。为简单起见，我们考虑S=1的情况，即无需考虑标的资产的交易收益。

支付过程没有界限，但这些例子满足Hamad\'ene和Zhang[]中的假设，其中可以通过直接修改支付过程来考虑捐赠。第一个例子中，均衡是唯一的，说明了作者的最佳停顿时间如何取决于她的随机禀赋。10 KLEBERT KENTIA和CHRISTOPH K¨UHNExample 4.1（捐赠对最佳停车时间的影响）。让我们使用标准布朗运动w.r.t.过滤。考虑带有Payoff ProcessExt=Wt+utandYt=Wt+ut+δ，t的GCC∈[0，T]，u，δ∈ R+。流程X可以解释为一项合同资产的价值，δ可以解释为卖方在提前召回GCC时必须支付的罚款。假设αB/<u<αA/2，0<δ<（αA/2+u）T，cb=0。对于任何σ∈ T、 流程7→ -经验值(-αBR（t，σ））=-经验值-αBWt∧σ-αB（t∧ σ）经验值αBαB- u（t∧ σ) - αBδ1（t>σ）是一个（可选）子鞅，买方的主要策略是在到期时停止。这意味着漂移足以补偿买方对GCC的库存风险。我们现在可以区分两种情况：情况1：CA=0。在这种情况下，卖方必须解决最优停止问题supσ∈TE公司[-exp（αAR（T，σ））]。（4.1）应用测量deP/dP=exp（αAWT）的变化- αAT/2）屈服[-exp（αAR（T，σ））]=E-经验值αAWσ-αAσ经验值αAαA+uσ+αAδ1（σ<T）= -EePhexpαAαA+uσ+αAδ1（σ<T）i、 EePσ依次为σ≡ 0也解决了（4.1），即卖方立即撤回合同。案例2：CA=WT+uT，即卖方持有非交易资产的多头头寸。

因此，她必须解决问题supσ∈TE公司[-经验值(-αA（重量+uT- R（T，σ））]）]。测量值更改后deP/dP=exp(-αAWT- αAT/2），问题读取sc supσ∈TEeP[-exp（αAR（T，σ））]=c supσ∈蒂夫-exp（αA（fWσ- αAσ+uσ+δ1（σ<T）））i，其中fwt：=Wt+αAt，T∈[0，T]是根据Girsanov定理得出的aeP标准布朗运动，c：=exp（αA（αA/2- u）T）。通过αA（u- αA/2）<0，过程t 7→ -经验值αAfWt- αAt+αAut+αAδ1（t<t）是一个子鞅。这就产生了在σ处达到的上确界≡ T、 即，合同在到期时结算。综上所述，在没有捐赠的情况下，卖方立即撤回索赔以降低风险。完善的套期保值工具。因此，她容忍潜在的积极漂移，并在GCC中保持短期地位直至成熟。备注4.2。Anthropelos和ˇZitkovi'c[]（见备注3.17和其中的引理A.7）表明，B提出了一个高达可复制的独特的“相互同意的”欧洲主张：=（αACA- αBCB）/（αA+αB），买方从卖方处购买，从而实现帕累托最优配置。一个直接的后果是，当且仅当αACA- αBCBis在下伏地层中不可复制。交易B？后？，买方和卖方的禀赋分别由αA（CA+CB）/（αA+αB）和αB（CA+CB）/（αA+αB）给出，直至可复制的回报。指数效用的特殊特征是通过恒定的绝对风险规避，风险分享不取决于在代理之间进行任何初始分配之前，代理之间的总捐赠CA+CBA的分配。博弈未定权益11的纳什均衡适用于示例4.1，这表明在案例2中，代理人将交易欧洲债权，而在案例1中，代理人将不交易欧洲债权。