基于效用套期保值的未定权益博弈的纳什均衡

这反映在停止博弈的均衡中，在这种均衡中，合同在案例1中立即取消，而在案例2中则在到期之前取消。在例4.1的情况2中，买方购买的帕累托最优索赔由αAWT/（αA+αB）给出，直至常数。当然，GCC的均衡支付通常不会复制[1]模型中的最优索赔，也就不足为奇了，在该模型中，代理人可以交易任意的欧洲索赔。[]的另一个结果是，如果αACA- αBCBis可复制，则双方不可能签订GCC合同。然而，byX≤ Y、 也就是说，由于提前终止会受到惩罚，这并不一定意味着现有合同将被取消，在唯一鞅测度下使其预期收益最大化。下一个例子表明，博弈的均衡值通常不是唯一的。示例4.3（平衡值不是唯一的）。让我们再来一个标准的布朗运动。考虑payoff过程xt=Wt和yt=Wt+δ，其中0<δ<（αA/2）T，αB>0，ca=CB=0。现在，两个厌恶风险的参与者都有尽早停止的动机，但两个参与者的最佳反应是停止在零。这意味着这两对（0，T）和（T，0）都是NEP，（4.2），但具有不同的值（uA，uB）。（5.5）/（5.6）中的迭代最佳响应导致平衡（0，T）。通过对称性，也可以从卖方的最佳响应开始，这将导致（T，0）。但是，该游戏还具有p（τ）的其他NEP∧ σ>0）=1，这不是从（T，T）开始的上述迭代的结果。均衡基于部分支付罚款δ。这个想法是，玩家“扔硬币”，谁必须先停下来。

但是，因为在下面，我们近似地描述了这样一种行为，它会导致非平凡的NEP。设ε>0足够小，s.t.δ<αA（t- ε） ，（4.3）扩展αAε≤2 exp（αAδ）1+exp（αAδ），和expαBε≤1+经验(-αBδ）。（4.4）首先考虑对τ：=ε1{Wε≥0}+T 1{Wε<0}和σ：=ε1{Wε<0}+T 1{Wε≥0}.（4.5）这意味着随机变量ε用于抛硬币，决定谁必须停在ε处。这对（τ，σ）还不是NEP。也就是说，根据正态分布的尾部概率，与等待时间的线性预期损失相比，其他玩家停止的ε概率非常小。现在，我们将（5.5）/（5.6）中的迭代最佳响应应用于限制在区间[0，ε]且终端支付为Wε+δ{Wε<0}的Topping博弈。直接从定理2.3的证明可以看出，由此产生的极限对，表示为（eτ？，eσ？），是一款改良游戏的NEP。基于这一对，我们定义了[0，T]值的停止时间τ？：=eτ？（eτ？<ε）+ε1（eτ？=ε，Wε≥0）+T 1（eτ？=ε，Wε<0）和σ？：=eσ？（eσ？<ε）+ε1（eσ？=ε，Wε<0）+T 1（eσ？=ε，Wε≥0).eτ？，eσ？τ?, σ?此外，通过（4.3），（τ，σ）是在时间ε开始的相应游戏的NEP，它遵循（τ？，σ？）是原游戏中的NEP。12 KLEBERT KENTIA和CHRISTOPH K¨uhn此外，很容易看出P（τ？=0）=P（σ？=0）=0。事实上，对于买方，可以获得估算UB（τ，σ？）=-E经验值(-αBWσ？∧ε- αBδ1{σ？<τ}）≥ -E经验值(-αBWε- αBδ1{σ？<τ}）≥ -E经验值(-αBWε- αBδ1{Wε<0}）= -E经验值(-αBWε）1+（经验(-αBδ）- 1） 1{Wε<0}≥ -E[经验值(-αBWε）]（1+（exp(-αBδ）- 1） P（Wε<0））=-E经验值αBε（1+（实验(-αBδ））>-1=uB（0，σ？）。（4.6）这里，第一个不等式来自经验的次鞅性质(-αBW）和{Wε<}的第二个不等式 {σ?< τ}. 第三个不等式可以从Girsanov的理论中推导出来，该理论适用于被测量的dP/dP=exp(-αBWε-αBε/2）。在（4.4）中选择ε，严格不等式成立。

（4.6）表示τ≡0不能是对σ的最佳响应？thusP（τ？>0）>0。IfFPPτ？然后，相同的计算yieldP（σ？=0）=0。这里，我们使用thatuA（τ？，0）=-exp（αAδ）byP（τ？=0）=0。这意味着，如果没有关于wε的任何信息，那么停在零并支付全部罚款（或辞职以获得付款）就不是最佳选择。另一方面，从Anthropelos和71zitkovi'c[]的引理A.7可以看出，（4.2）是唯一的帕累托最优NEP。实际上，对于停止时间τ，σ，payoff R（τ，σ）=Wτ∧σ+δ{σ<τ}是确定的，当且仅当ifP（τ=0）=1或p（σ=0，τ>0）=1。但对于非确定性R（τ，σ），引理告诉我们πB（R（τ，σ））+πa(-R（τ，σ））<0。这意味着玩家可能同意卖方向买方支付金额πB（R（τ，σ））- πA(-R（τ，σ）/2作为行使其权利的补偿。与使用（τ，σ）进行游戏相比，这将提高两个玩家的预期效用。定理2.3πA和πB的证明，从公式（3.3）中，定义泛函JA，JB:T×T-→ R byJB（τ，σ）：=πBR（τ，σ）和JA（τ，σ）：=πA- R（τ，σ）.根据命题3.4，游戏等式（2.6）/等式（2.7）的NEP是一对（τ*, σ*) ∈ t满足（5.1）JB（τ*, σ*) ≥ JB（τ，σ*) 和JA（τ*, σ*) ≥ JA（τ*, σ） ，对于所有τ，σ∈ T、 证明一对（τ）的存在性*, σ*) 满足等式（5.1），我们遵循Hamad\'ene和Zhang[]的思想。但是，为了处理差异估值的非线性，我们必须在不同的地方调整线性预期的上限，主要是通过应用命题3.2和定理3.5。为了获得可读性，我们重复[]的主要证明，同时只省略一对一翻译的部分。首先，通过两个停止时间序列（τ2n+1）n构建最佳响应策略∈N、 （τ2n+2）N∈，并表明这两个序列都是非递增的。

最后，我们证明了极限τ*τ2n+1和τ*τ2n+2asn的*, τ*) = （τ）*, σ*) 满足式（5.1）。当然，停止时间序列的单调性是关键，因为否则，最佳响应策略可能会振荡。设τ：=τ：=T。给定τ2n-1，τ2n表示某些∈ N、 我们想要构造τ2n+1如下：考虑支付过程L2n+1∈ S∞定义为t∈ [0，T]by（5.2）L2n+1t：=Xt{T<τ2n}+XT{τ2n=T}+Yτ2n{τ2n<T}{t≥τ2n}。在eqs下。（2.9）至（2.11），定理3.5可应用于2n+1，且最佳停止时间为upτ∈TπB（L2n+1τ）由（5.3）~τ2n+1给出：=inf{T≥ 0：V2n+1t=L2n+1t}=inf{t≥ 0:V2n+1t=Xt}∧ τ2n，对策未定权益的纳什均衡13其中πB-Snell包络V2n+1是唯一的右连续适应过程，满足（5.4）V2n+1t=esssupτ∈TtπBt（L2n+1τ），P-a.s.t∈ [0，T]（等式（5.3）中的第二个等式源自定理3.5（iv））。此外，我们定义了（5.5）τ2n+1：=△τ2n+1{△τ2n+1<τ2n}+τ2n-1{τ2n+1=τ2n}。备注5.1。支付流程2+1被选为“adl”ag。这是在集合{τ=τ2n<T}上L2n+1τ与r（τ，τ2n）不同的价格。因此，目前尚不清楚▄τ2n+1是否是对τ2n的最佳反应策略。此外，取τ2n+1代替τ2n+1。然而，甚至不清楚τ2n+1是一个停止时间，更重要的是，它也是对τ2n的最佳响应策略。给定τ2n，τ2n+1，卖方A的响应τ2n+2以相同的方式定义为（5.6）τ2n+2：=△τ2n+2{△τ2n+2<τ2n+1}+τ2n{△τ2n+2=τ2n+1}，其中△τ2n+2：=inf{t≥0：V2n+2t=L2n+2t}=inf{t≥0:V2n+2t=-Yt}∧τ2n+1，带Payoff流程L2n+2t：=-Xτ2n+1{t≥τ2n+1}- Yt{t<τ2n+1}和πA-Snell包络V2n+2满足V2n+2t=esssupτ∈TtπAt（L2n+2τ），P-a.s.t∈ [0，T]。引理5.2。假设等式。（2.9）至（2.11）。

则（1）对于任何n∈ N、 τnis a停止时间和τN+2≤ τn.（2）在{τn+1=τn}事件上，n∈ N、 对于所有m，其中一个具有τm=T≤ n、 （3）对于任何n∈ N、 {τN<τN+1} {τn+2≤ τn}。证据这些断言与[]中的引理3.1和3.2相同，证明是一对一的。根据定理3.5。这里，我们需要定理3.5的性质（iii）和（ii）。下面的引理表明，τ2n+1、τ2n+2确实是最好的响应。虽然它的证明与[]中引理3.3的证明相似，但为了方便读者，我们在第6节中提供了它，因为许多地方都需要进行调整。引理5.3。假设等式。（2.9）至（2.11）。那么对于任何τ∈ 坦德n∈ N、 认为（5.7）JB（τ，τ2n）≤ JB（τ2n+1，τ2n）和JA（τ2n+1，τ）≤ JA（τ2n+1，τ2n+2）。根据引理5.2（i）的单调性，最佳响应策略具有逐点极限τ*:= 画→∞τ2n+1和τ*:= 画→∞τ2n这当然也是停止时间。证明（τ*, τ*) 是NEP，只需说明取限和应用差值运算符的操作可以互换。后者在以下两个引理中完成，这两个引理在第6节中得到证明，并在定理2.3的证明中使用，我们随后直接提供。引理5.4。假设等式。（2.9）至（2.11）。那么对于任何τ∈ T、 认为（1）JB（τ，τ2n）-→ JB（τ，τ*), 作为n→ ∞.（2） P[τ=τ*< T]=0表示JA（τ2n+1，τ）-→ JA（τ*, τ） ，作为n→ ∞.引理5.5。假设等式。（2.9）至（2.11）。然后，（1）JB（τ2n+1，τ2n）-→ JB（τ*, τ*), 作为n→ ∞.（2） JA（τ2n+1，τ2n+2）-→ JA（τ*, τ*), 作为n→ ∞.我们现在准备对定理2.3.14 KLEBERT KENTIA和定理2.3的CHRISTOPH K¨UHNProof进行证明。通过引理5.3到5.5，我们得到了JB（τ，τ*) ≤ JB（τ*, τ*), 对于所有τ∈ Tand（5.8）JA（τ*, τ) ≤ JA（τ*, τ*), 对于所有τ∈ t满足P[τ=τ*< T]=0。获得（τ*, τ*) 事实上，这是一个NEP，但仍需证明。

（5.8）适用于任意τ∈ T、 为此，让τ∈ 并确定序列（^τn）n∈N Tby^τn：=（τ+n-（1）∧ T{τ=τ*<T}+τ1Ohm\\{τ=τ*<T}，n∈ N、 然后{τN=τ*< T}= 对于任意n∈ N使得式（5.8）给出了j（τ*, ^τn）≤ JA（τ*, τ*) 适用于所有n∈ N、 此外，^τN↓ τ几乎肯定为asn↑ ∞. 有界过程的右连续性t 7→ R（τ*, t） πA（·）的连续性，这意味着ja（τ*, τ)≤ JA（τ*, τ*). 总的来说，我们已经表明（τ*, τ*) ∈ 这是NEP，证明已完成。附录本节包含命题3.2、定理3.5和引理5.3至5.5的证明。命题3.2的证明。在不丧失一般性的情况下，letC=0。根据Mania和Schweizer[31]中的定理13以及其中命题14的证明，我们知道对于任何n∈ N（6.1）πα，0（Hn+ηN）- πα，0（Hn）=EQn[ηn]，forQn~ Pgiven bydQn=Eα（Ln（α）+eLn（α）TdQE=：ZnTdQE，ln（α）和ln（α）为bm O量化宽松-满足（6.2）supn的鞅∈NαLn（α）+eLn（α）BMO（QE）≤αsupn∈NekHn+ηnk∞+ ekHnk公司∞< ∞,定理2.4在[]中的证明，蕴涵（a）==>（b） ，参数p>1只需满足| | M | | BMO<√(√p-1). 因此，应用toM：=αLn（α）+eLn（α）, 使用公式（6.2），可以在n和一个getssupn中均匀地选择p∈NEQEh（ZnT）-p-1i≤ cp，其中cp>0是一个通用常数。然后，H¨older不等式给出了所有n∈ N、 （6.3）EQEh |ηn | pip≤ EQE[|ηn | ZnT]EQEh（ZnT）-p-1ip-1.≤ EQn[-ηn]cp-1便士。由于式（6.1）的LHS趋向于0，式（6.3）意味着ηnCoqe概率收敛于0。因为量化宽松~ P保持不变，断言如下。定理3.5的证明。为了符号的简单性，我们表示π：=πα，C。对于ALL∈ Q∩[0，T]，通过证明a版本vs：=esssupτ∈Tsπs（Lτ）满足VS≥ Lsand用于技术便利设置Vt：=LTfor t>t。定义（6.4）eVt：=lim infs≥t、 s∈Q、 s→电视：=supm∈Ninfs公司∈[吨，吨+1/米]∩QVs，t∈ [0，T]。根据L的正确连续性，我们有≥ 五十、 此外，lett∈[0，T]。

实值mappingeV|Ohm×[0，t]可以写成vt（ω）=1{t}（t）eVt（ω）+1（t<t）supm∈Ninfs公司∈[t，（t+m）∧t]∩QVs（ω）=1{t}（t）eVt（ω）+1（t<t）supm∈Ninfs公司∈Q、 s≤t型[s]-m、 s]（t）Vs（ω）+∞1[秒-m、 s]c（t）.通常情况下，eVtisFt是可测量的。因此，eV|Ohm×[0，t]isFt B（[0，t]）-可测量，即eV明显是渐进可测量的。步骤1：一个有（6.5）π（Vs）=supτ∈所有s的Tsπ（Lτ）∈ Q∩ 博弈未定权益15和（6.6）πT（Vs）的[0，T]纳什均衡≤ Vt，P-所有t，s的a.s∈ Q、 0个≤ t型≤ s≤ T、 实际上，π是时间一致的，严格单调的，连续的，并且由πs（·）的局部性质决定，这些集{πs（Lτ）|τ∈ Ts}是最大稳定的。因此，这些断言遵循线性期望的标准参数中的一对一，参见[]中的引理D.1和命题D.2，其中（D.3）仅在确定性和理性值的停止时间下进行评估。步骤2：让我们证明存在一个集合Ohm∈ F带P[Ohm] = 1使得（6.7）eVt（ω）=lim infs>t，s→TEV（ω），t型∈ [0，T]，ω∈ Ohm.要塞∈ R\\Q，公式（6.7）适用于所有ω∈Ohm. 实际上，对于所有ω∈Ohm andq公司∈ Q、 有一个副定义是EVQ（ω）≤ Vq（ω）和thuslim infs>t，s→TEV（ω）≤ lim infs>t，s∈Q、 s→tVs（ω）=eVt（ω）。另一方面，对于每ε>0和m∈ N、 存在SSM∈ Rwithsm公司∈（t，t+1/m）和VSM（ω）≤ lim infs>t，s→TEV（ω）+ε。埃弗雷姆斯属于aqm∈ Qwithqm∈（t，t+2/m）和Vqm（ω）≤eVsm（ω）+ε。本屈服强度（ω）≤ lim infs>t，s→TEV（ω）+2ε。我们齐心协力，一早到达。（6.7）对于所有ω∈ Ohm 和t∈ R\\Q.现在让t∈ Q、 一个有P-几乎可以肯定，（6.8）supm∈Ninfs公司∈（t，t+m）∩QVs=πt卸荷点法∈Ninfs公司∈（t，t+m）∩QVs≤ 卸荷点法∈Ninfs公司∈（t，t+m）∩Qπt（Vs）≤ Vt，其中，对于第一个不等式，使用单调收敛，第二个不等式由等式保持。(6.6). 在等式（6.8）成立的路径上，EVT=lim infs>t，s→teVsby提出了与非理性点相同的理由。这意味着等式（6.7）。第3步：让我们展示一下evsaties（i）。

我们从确定的停止时间开始，即t，s∈ R≤ t型≤ s≤ Tτ≡ stst<S收敛和等式（6.6），任何u∈ [t，s]∩ Qπu（eVs）=πu卸荷点法∈Ninfv公司∈[秒，秒+1/m]∩QVv≤ 卸荷点法∈Ninfv公司∈[秒，秒+1/m]∩Qπu（Vv）≤ Vu，P-a.s。。通过π·（eVt）的右连续性，这导致（6.9）πt（eVs）≤执行副总裁，P-a.s。。πteVτ≤eVttimeτ∈ Tt。我们首先表明，这适用于[t，t]中有很多值的停止时间。设τ是这样一个停止时间，值为{t，…，tN}，t=t<t<…<然后通过translationvariance，这是命题3.1中属性3的一个特例，一个有πtN-1（eVτ）=πtN-1.NXk=1{τ=tk}eVtk= πtN-1.{τ=tN}eVtN+N-1Xk=1{τ=tk}eVtk。因为{τ=tN}={τ>tN-1} ∈ FtN公司-1，局部性质和等式（6.9）给出πtN-1（eVτ）≤ 1{τ=tN}eVtN-1+N-1Xk=1{τ=tk}eVtk=1{τ≥田纳西州-1} eVtN公司-1+N-2Xk=1{τ=tk}eVtk。使用反向感应墨水=N-, N-, . . ., 我们通过时间一致性得出πt（eVτ）≤{τ≥t} eVtπteVτ≤eVtτTtτnn值停车时间τn递减至τ。根据公式（6.7），这意味着EVτ≤ lim信息→∞eVτn。然后，根据πt（·）的单调性和连续性（注意，这在过滤的连续性假设下成立，见命题3.1），我们得到（6.10）πt（eVτ）≤ πtlim信息→∞eVτn≤ lim信息→∞πt（eVτn）≤执行副总裁，P-a.s。。这意味着EV满足（i）。16 KLEBERT KENTIA和CHRISTOPH K¨UHNStep 4：让我们证明（6.11）π（eVt）=supτ∈所有t的Ttπ（Lτ）∈ [0，T]。事实上，根据公式（6.10），它认为EVT≥ πt（eVτ）≥ 所有τ的πt（Lτ）P-a.s∈ tt这意味着“≥”πTu Ttu≥ t、 因此π（eVt）≤ lim infu公司∈Q、 u型≥t、 u型→tπ（Vu）≤ supτ∈Ttπ（Lτ）。步骤5：确定τεt：=inf{u∈[t，t]∩ Q | Lu≥eVu- ε}. 然后τεt∈ Tt。根据公式（6.11）和T，T∩ QσnπLσn≥ πeVt-/我们有L≤eV和L≤电动汽车- εon[t，τε）∩ Q、 因此，π（Lσn）≤ πeVσn- ε1{σn<τεt}.通过步骤3，保持π（eVσn）≤ π（eVt）。组合：π（eVσn）- πeVσn- ε1{σn<τεt}→0，asn→ ∞.

根据命题3.2，如下（6.12）P[σn<τεt]-→ 0，n→ ∞.此外，还有π（eVσn∧τεt）≥ π（Lσn{σn≤τεt}+eVτεt{τεt<σn}）≥ π（πσn∧τεt（Lσn））=π（Lσn）≥ π（eVt）-n、 （6.13）其中第二个不等式成立，因为Eevτεt=supm∈Ninfs公司∈[τεt，（τεt+m）∧σn]∩QVson{τεt<σn}，P[Vs≥ {σn上的πs（Lσn）≥ s} ，则，s∈ [0，T]∩ Q] π·Lσnwe havevσn∧τt-→eVτεtin概率asn→ ∞. 加上等式（6.13）和π（·）的连续性，这将得到π（eVτεt）≥ π（eVt）。另一方面，Lτεt≥eVτεt- ε，我们得到π（Lτεt）≥ π（eVt）- ε.让τ？t： =supε>0τεt。Sincel没有负跳跃，Lτ？t型≥ limε→0Lτε和τ？这是Tt的最佳停止策略，即π（Lτ？t）=π（eVt）。一个haseVτ？t型≥ Lτ？第3步，π（eVτ？t）≤ π（eVt）。因此，PeVτ？t=Lτ？t型= 1通过π（·）的严格单调性。SinceLu=eVufor someu∈我们认为，[t，τ？）会导致矛盾τ?t=inf{u∈ R | u≥ t、 Lu=eVu}= 1inf{u∈ R | u≥ t、 τ的LueVu}最优性？tyield thateV与式（3.6）P-a.s.的RHS一致。。步骤6：综合起来，我们已经证明EVI是逐步可测量的，并且满足（3.6）和属性（i）、（ii）。现在，我们继续向右连续性。首先，我们证明了EV（本身）沿停车时间是右连续的P-a.s。Letτ∈ Twithτ<Tand（τn）n∈N Twithτn↓ n的τ↑ ∞. 让我们证明P[eVτn-→eVτ]=1。到（6.7）时，仍需证明Plim支持→∞eVτn≤eVτ= 1.（6.14）对于everym∈ N、 我们考虑debutDm：=inf{u>τ| | Lu- Lτ|>/米}∧ T、 根据l的右连续性，一个hasDm>τ。通过过滤的连续性，存在鞅7的连续版本→ E（Dm | Ft），然后将宣布序列（Tm，k）k∈N t由Tm驱动，k：=inf{t>τ| E（Dm | Ft）≤ t+1/k}。我们想用它来表示，对于某些σm，p（τ<σm<Dm）=1∈ TQ。（6.15）根据标准的穷举论证，在setB上构造这样一个σ是有效的：={E（Dm | Fτ）>τ+1/k}∈ Fτ，k∈ N、 OnB，一个有τ<Tm，k<Tm，k+1<Tm，k+2<<Dm。

我们选择s.t.P（B）作为最小整数∩ {bTm，kl+1c/l>Tm，k+1}）≤-kandputσm=bTm，kl+1c/lonB∩ {bTm，kl+1c/升≤ Tm，k+1}。OnB公司∩ {bTm，kl+1c/l>Tm，k+1}，Tm，k+1Tm，k+2无条件概率小于2的游戏未定权益17的灰平衡-（k+1）。根据Borel-Cantelli引理，这种构造导致停止时间σmSatizing（6.15）。在（6.15）中，也存在δm∈ R+\\{0}足够小的s.t.P（Am）≥ 1.- 1/m，其中Am：={σm≥ τ+δm}。在很大程度上，通过σm的构造，索赔vσmshortlyafter timeτ的欧洲差异值与美国的相似。因此，我们可以通过使用Mania和Schweizer[31]中得出的动态欧洲差异价格的正确连续性来显示（6.14）。在下面，我们详细研究了这个想法。让u∈ Q、 关于{τ≤ u≤ σm}，一个hasVu≤ πusupτ≤v≤σmLv∨ Vσm≤ πu（Vσm+2/m）=πu（Vσm）+2/m，P-a.s.，其中第一个不等式使用了以下事实：对于所有σ∈ Tuπu（Lσ）=πu（1{σ≤σm}Lσ+1{σ>σm}πσm（Lσ））≤ πusupu公司≤v≤σmLv∨ Vσm关于{σm}的P-a.s≥ u} ，第二个不等式为（6.15）。因此，对于所有δ∈ （0，δm）eVτn≤ supu公司∈Q、 τ≤u≤τ+δVu≤ supu公司∈Q、 τ≤u≤τ+Δπu（Vσm）+2/m（6.16）P-Am上的a.s∩ {τn<τ+δ}。通过欧洲差异价格的正确连续性，即πt（Vσm）-→ t的πτ（Vσm）P-a.s↓ τ、 （6.17）（6.16）的RHS收敛于πτ（Vσm）+2/mδ↓ 0、此yieldslim supn→∞eVτn≤ πτ（Vσm）+2/m P-a.s.在Am上。（6.18）另一方面，通过σm>τ，一个haseVτ=supk∈Ninfs公司∈[τ，τ+1/k]∩QVs≥ 高级大床房∈Ninfs公司∈[τ，τ+1/k]∩Qπs（Vσm）=πτ（Vσm），P-a.s.，（6.19），其中最后一个等式再次从（6.17）开始。把（6.18）和（6.19）放在一起，我们得出lim支持→∞eVτn≤eVτ+2/米≥ P（上午）≥ 1.- 1/m，m级∈ N、 这意味着（6.14）。BVPEVBVτ=所有τ的Eτ[eVτ]P-a.s∈ T（参见，例如，He等人的定理5.1。[]）。由于evis progressivelymeasurable，eVτ是fτ-可测量的，我们得出所有τ的bvτ=eVτP-a.s∈ T