ABC中的模型规格错误：后果和诊断

关于美赞臣-1/4≤ kθ- θ*k≤ Mj+1n-1/4Pθkη（z）- η（y）k≤ n≤ PθhZn，A（θ*)e′i≤ -aMj公司≤ PθkZnk>aMj8kA（θ*)埃克. M-2κjso t hatZMn-1/4≤kθ- θ*k≤Pθkη（z）- η（y）k≤ nπ（θ）dθ。n-kθ/4JnXj=0M-2κj（Mj+1- Mj）。n-kθ/4JnXj=0M-2κ+1j。n-kθ/4M-2κ+1.（11） 最后如果kθ- θ*k>，kb（θ）- b- Zy公司/√nk公司- (*)≥ Con公司Ohmn足够大时为nand√n（n- (*)) ≤ c+c使pθkη（z）- η（y）k≤ n≤ PθhZn，b（θ）-bi公司≤ -√nC+c′+c+ O（n-κ/4)≤ Pθ（kZnk>Cn1/2kb（θ）- 黑色-1/2）+O（n-κ/4)≤ c（θ）c-κn-κ/2kb（θ）-bkκ+O（n-κ/4).ThereforeZkθ-θ*k≥Pθkη（z）- η（y）k≤ nπ（θ）dθ≤ C-κn-κ/2Zkθ-θ*k≥c（θ）kb（θ）- bkκπ（θ）dθ+Cn-κ/4Zkθ-θ*k≥c（θ）π（θ）dθ（12）最后结合（9），（11），（12）和（10），我们得到如果κ>kθZΘPθkη（z）- η（y）k≤ nπ（θ）dθ=n-kθ/4ZRΦc′kA（θ*)e′k-x个H*x4kA（θ*)e′kdx+o（n-kθ/4），对于所有x=n1/4（θ- θ*) ∈ Rkθ固定，书写πzn，（·）∏zn的密度，，zn的ABC后验分布（θ- θ*),πn1/4，（x）=Φc′kA（θ*)埃克-x个H*x4kA（θ*)e′kRRΦc′kA（θ*)e′k-x个H*x4kA（θ*)e′kdx+o（1）：=qc（x）+o（1）所以πn1/4，-质量控制部= o（1）。我们现在研究的情况是√n（n- (*)) :=√修女→ +∞ 当un=o（1）时，我们证明极限分布是均匀的。利用（8），我们得到了如果B0，n={（θ-θ*)H*(θ -θ*) ≤2un- 400万/√n} ，Mn<un√n到单位pθ（kη（z））- η（y）k≤ n）≤ 1.≥ PθhZn，e′i≤ 2Mn+hZy，e′i-  - kθ-θ*kMn公司≥ PθhZn，e′i≤ 锰/2≥ 1.-厘米-k对于事件{| h  Zy，e′i |上的某些c>0≤ Mn/2}，概率为1。这特别意味着zb0，nPθ（kη（z））- η（y）k≤ n）π（θ）dθ≤ π(θ*)（1+o（1））体积（B0，n）≥ π(θ*)（1+o（1））体积（B0，n）（1-厘米-κn）（13）AlsoVol（B0，n） ukθn（14）Let Kn≥ 4，如果Knun≥ (θ - θ*)H*(θ - θ*) > 2un（1- C）-1+4百万/√n、 那么t在这里存在c′>0，这样√n[联合国- (1 - C）（θ- θ*)H*(θ - θ*)/2] +h▄Zy，e′i-  - kθ-θ*kMn公司≤ -2Mn+hZy，e′i-  - C′Mn≤ -Mnon事件{| hZy，e′>|≤ 锰/2}。

因此写B1，n={Knun≥ ( θ - θ*)H*(θ - θ*) >2un（1- C）-1+4百万/√n} ZB1，nPθ（kη（z））- η（y）k≤ n）π（θ）dθ。M-κnVol（B1，n）。M-κnKkθ/2nVol（B0，n）（15）MoreoverVol{(θ - θ*)H*(θ -θ*) ≤ 2un（1- C）-1+4百万/√n}- 体积（B0，n）。Vol（B0，n）。（16） 如果Knun≤ (θ - θ*)H*(θ -θ*) ≤ 那么√n[联合国- (1 - C）（θ- θ*)H*(θ - θ*)/2] +h▄Zy，e′i-  - kθ-θ*kMn公司≤ -√n（θ- θ*)H*(θ -θ*)当n足够大且存在b>0时，zbc1，n1l（θ-θ*)H*(θ-θ*)≤Pθ（kη（z））- η（y）k≤ n）π（θ）dθ。n-κ/2ZBn（A）1lkθ-θ*k≥b√Knunkθ- θ*k-2κdθ。n-κ/2Z√Ab√Knunrkθ-2κ-1dr（17）由于kθ<2κ，则上述项为k（kθ）阶-2κ）/2n(√修女）-κ/2ukθn K（Kθ-2κ）/2n(√修女）-k/2Vol（B0，n）=o（Vol（B0，n）），如果kθ- θ*k≥ ，类似于以下情况：√修女→ c∈ R、 我们得到（12），这个项是o（Vol（B0，n）），只要n-κ/4=o（ukθn）。自n起-1/4=o（un）后者在κ≥ kθ。结合（13），（1 5），（17），（16）和（12），我们得到ZΘPθ（kη（Z））- η（y）k≤ n）π（θ）dθ-π(θ*)体积（￠B0，n）= op（1）（18）式中B0，n={（θ- θ*)H*(θ - θ*) ≤ 2un}。设x=u-1n（θ- θ*) 固定和xH*x<2，则对于足够大的n xH*x个≤ 2.-400万/(√nun）并使用πu-1n，（x）=π（θ*+ unx | y）ukθnthenπu-1n，（x）=1+op（1）。如果xH*x>2，那么如果>0足够小，n足够大xH*x个≥ 2(1 - C）-1+4百万/(√nun）和πu-1n，（x）=op（1）。这意味着u的ABC后验分布-1n（θ- θ*) 收敛到椭球体{x上的均匀分布H*x个≤ 2} 总的变化。命题1证明。为了证明命题1，我们证明了近似似然pθ锌- Zy公司+√n（b（θ）- （b）≤ n在θ6=0附近达到高峰，因此，浓度在θ附近*= 无法生成0。在定理2的证明中，写Zn=Z=（Z，Z）, 我们可以定义W=Z/kZk和R=kZk/vθ，我们知道W和R是独立的，它们的分布不依赖于θ。特别是R~ χ(2).

现在，设置h=b（θ）- b-Zy公司/√n、 所以Z-Zy公司+√n（b（θ）- （b）-nn=vθR+2√nRvθhW，hi+n（khk- n）≤ 0（19）当且仅当（W）=vθn（hW，hi- khk+n）=vθn°（W）≥ 0，R∈ （r（W），r（W））∩ R+，其中R（W）=√nvθh-hW，你好-p▄（W）i，r（W）=√nvθh-hW，hi+p▄（W）i.注意（W）≤ 如果（W）≥ 0然后| hW，hi |=khk（1+O（n）），给定thatkhk 1关于kZyk事件≤ 对于一些任意大的M。因此如果h-W、 你好≤ 0，然后是h-W、 你好 -khk和（19）中的R没有解决方案。因此，如果且仅如果（19）成立-W、 你好≥ 0,~（W）≥ 0和R∈ （r（W），r（W））。通过对称，我们可以设置W=-W和，在现场h W，hi≥ 0，使用以下事实：~ χ（2），PθZ-Zy公司+√n（b（θ）-（b）≤ nn | W= e-r（W）/2（1）- e-n▄（W）vθ）r（W）∈√nkhk/vθ{1- 2n}，√nkhk/vθ推导Pθ的近似值kZ公司-Zy公司+√n（b（θ）-b） k级≤ nn我们更精确地研究了yr（W）。为了简单起见，我们假设√nn=o（1），因为√nn=O（1）可以类似地处理。ThenPθZ-Zy公司+√n（b（θ）- （b）≤ nn≤ e-nkhk2vθ（1-2n）Pθ~（W）≥ 0≥ e-nkhk2vθPθ~（W）≥ 0考虑θ=r'B和r∈ [-所以r=0对应于θ=θ* ≡ 0，则h=(R)b（r- 1，r+1）+ OP（1/√n） andPθ~（W）≥ 0≤ 2Pθ0≤ 硬件- h/khk，你好≤ n/（2khk）（1+n/khk）≥ 2Pθ0≤ 硬件- h/khk，你好≤ n/（2khk）=n（1+r）(R)bg（（1- r） p2（1+r））1+O（n∨ 1 /√n）其中g（·）是W的密度，W=（W，W）。因此，对于n大的enoughPθZ-Zy公司+√n（b（θ）-（b）≤ nn≤n（1+r）(R)be-n'b（1+r）2vθ（1-3n）×g（(R)b（1- r） p2（1+r））1+O（n∨ 1 /√n）≥n（1+r）(R)be-n'b（1+r）2vθ（1+n）×g（'b（1- r） p2（1+r））1+O（n∨ 1 /√n）Ta ke vr'b='bv（r），使（1+1/4）/v（1/2）≤ 1/（2v（0）），然后对于δ>0足够小，则∏（|θ- θ*| ≤ δ|η（y））=oΠ|θ-\'b/2 |≤ δ|η（y）因为t存在c>0，所以z |θ|≤δe-n（(R)b+θ）2vθπ（θ）dθ≤ e-ncZ |θ-\'b/2|≤δe-n（(R)b+θ）2vθπ（θ）dθ。推论2Proof的证明。

该证明是定理1和|θ=θ结构的结果-^β{η（z）- η（y）}，和￠θ*= θ*- β{b（θ）*) - b} 。因此，我们在这里仅略述一下想法。Ta keδn≥ Mn（n- *) ≥ Mnv公司-1n。假设*> 0和kβk>0。定义Ohmd={y:kη（y）- 黑色≤ δn/u}对于某些u≥ 2（1+kβk）。根据定理1的结果，我们得到了e∏h|θ-~θ*| > δn | yi=∏h{θ：|Дθ-~θ*| > δn}∩ {θ : |θ -θ*| ≤ δn/u}| yi+oP（1）=R |θ-θ*|≤δn/u1lh |￠θ-~θ*| ≥ δniPθ[kη（z）- η（y）k≤ n]d∏（θ）R |θ-θ*|≤δn/上θ[kη（z）- η（y）k≤ n]d∏（θ）+oP（1），其中两个等式后接|θ的后验浓度-θ*| 速率δn>> v-10，n.与定理1相似的步骤yieldDn=Z |θ-θ*|≤δn/上θ[kη（z）- η（y）k≤ n]d∏（θ）&δDn，在[A1]的情况（i）或情况（ii）下。定义事件（δn）=n（z，θ）：{θ：|θ-~θ*| > δn}∩ {θ : |θ -θ*| ≤ δn/u}∩ {z:kη（z）- η（y）k≤ n}表示▄θ-~θ*=θ-θ*+ [^β - β]{b（θ）-b} +β- β]{b- η（y）}+[β- β]{η（z）- b（θ）}+[^β- β]{b（θ）- b（θ*)} + β{b- η（y）}+β{η（z）- b（θ）}+β{b（θ）- b（θ*)}对于y∈ Ohmd、 我们有δn<|Иθ-~θ*| ≤|θ-θ*| + k^β- βkkb（θ）- bk+k^β- βkkb- η（y）k+k^β- βkkη（z）-b（θ）k+k^β- βkkb（θ）- b（θ*)k+kβkkb- η（y）k+kβkkb（θ）- b（θ*)k+kβkkη（z）- b（θ）k≤δn/u+kβkδn/u+o（δn）+（o（δn）+kβk）kη（z）- b（θ）k+oPθ（1），其中最后一个不等式来自k^β- βk=oPθ（1）和浓度|θ- θ*| 速率δn>> v-1n。因此，以u为例≥ 2（1+kβk）并重新排列，得到0<δn2（O（δn）+kβk）<kη（z）- b（θ）k+o（δn）。这意味着pr[S（δn）]=Z{θ：|θ-θ*|≤δn/u}1lh |Иθ-~θ*| > δniPθ[kη（z）- η（y）k≤ n]d∏（θ）≤ZΘPθ[kη（Z）- b（θ）k>c·δn]d∏（θ）。（vnδn）-[A1]第（i）种情况下的κ。经验值(-cvτnδτn）在[A1]的情况（ii）下，回顾Dn和δDand，使用上述方法，结果类似于定理1。B附加计算例如1在本节中，我们将在正文中考虑示例1模拟练习的几个附加方面。

为了完整起见，我们现在回顾一下示例的一般特征。假设dDGP为z，zniid为N（θ，1），但实际DGP为y，yniid为N（θ，σ）。我们使用以下汇总统计数据进行ABC：o样本平均值η（y）=nPni=1yi，o样本方差η（y）=n-1Pni=1（yi-η（y））。我们的先验信念由θ给出~ N（0，25）。对于接受/拒绝ABC（ABC-AR），我们使用N=25000个根据zji生成iid的模拟伪数据集~ N（θj，1）。对于ABC A和局部线性回归平差（ABC Reg），我们将公差设置为模拟距离kη（y）的1%数量-η（zj）k.B.1示例1：ABC-AR和ABC Reg后验比较在本节中，我们使用与正文第1节示例1中进行的实验完全相同的数据，但是，我们现在分析ABC-AR和ABCReg的后验值。为清楚起见，我们简要回顾了本例中使用的蒙特卡罗设计的细节。生成一系列y的“观察”数据集，每个数据集对应不同的σ值。为了在整个实验中隔离σ6=1时发生的模型误判的影响，使用相同的随机数集生成观测数据。实验中的样本量a cro ssn=100。为了进一步隔离误判的影响，在所有实验中使用相同的伪数据实施ABC。第1节中的例子清楚地表明，ABC-AR和ABC-R eg后验者的行为非常不同，这取决于模型误判的程度。不出所料，ABC-AR和ABC Reg后验者本身在模型错误定义下表现出非常不同的行为模式。在图6中，我们绘制了从ABC-AR（图A）和ABC Reg（图B）中获得的p后验密度，这些密度跨越了实验中使用的与σ相关的不同数据集的子集∈ {1, 1.05, 1.10, . . .

, 5} .-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 30.51.52.53.54.5面板A-0.5 0.5 1 1.50.51.52.53.54.5面板B1.41.82.22.63.43.84.24.6图6:ABC-AR和ABC Reg的后验密度在不同模型误判水平上的比较。生成数据的真值为θ=1。后面的颜色是彩色的，因此较深的颜色表示模型误判较少（σ更接近统一），较浅的颜色表示模型误判程度更大（σ值更大）。通过分析图6中的面板A，我们可以看到，无论σ的值如何，ABC-AR后验概率都大致保持在θ=1附近的中心位置。然而，随着σ增加ABC-AR后验概率，观测数据中的额外可变性显著减弱。与ABC-AR相比，随着σ的增加，ABC Reg后验值的平均值（图6的面板B）发生了显著变化，并且ABC Reg后验值的可变性在所有误判水平上保持大致不变。因此，ABC-R eg完全忽略了观测数据的方差随σ增加而增加的事实。图7的结果进一步从视觉上证实了这一发现，图7绘制了实验中使用的σ不同值的ABC-AR和ABC Reg的相应95%可信区间（HPD区间）。图7中的结果表明，随着σ的增加，ABC-AR的可信区间扩大，以适应观测数据中增加的方差，而ABC-R eg的可信区间保持与σ增加大致相同的长度。0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 50.20.40.60.81.21.41.61.8HPD间隔：[.5,5]图7:ABC-AR和ABC Reg的可信间隔（HPD间隔）比较，跨越不同的模型误判水平。生成数据的真值为θ=1。

实线表示ABC-AR的HPD间隔，而虚线表示ABC Reg的HPD间隔。B、 2示例1：备选回归调整在本节中，我们进一步探讨了局部回归调整方法在误认下的行为。特别是，在示例1的定义中，我们将比较ABC-AR和三种不同的回归调整方法的重复采样行为：局部线性回归调整（ABC Reg），第3.2节中描述的拟议局部线性调整方法（ABC RegN），以及Blum和Fran,cois（2010）（ABC-NN）的局部非线性回归调整。对于每种回归调整方法，我们考虑两个版本：一个版本具有Blum和Fran,cois（2010）的异方差调整，另一个版本没有。总之，我们将比较六种不同的回归调整方法，这些方法适用于不同程度的模型错误规范。所有调整方法均使用R包abc进行（Csill'ery等人，2012年）。我们遵循主要论文第3.2节中考虑的蒙特卡罗设计：对于每个蒙特卡罗复制，我们模拟观测数据yi~ N（1，σ），iid，并考虑对应于σ的σ的三个不同值∈ {1, 2, 3}. 对于σ的每个值，我们生成1000个长度为n=100的人工观测数据集。每个ABC过程都依赖于根据zi生成的N=25000个伪数据集~ N（θ，1），iid，对于每种方法，公差选择为模拟距离kη（y）的1%分位数- η（z）k。与正文中一样，局部回归调整过程使用Epanechnikov核。在图8中，我们绘制了不同程序的后验平均值，包括σ值和蒙特卡罗复制值，没有异方差校正，图9中的结果考虑了异方差校正的情况。

虽然图8的结果已经在正文中给出，但我们在这里复制它们以简化比较。该实验的结果表明，在这种重复抽样的情况下，从回归调整程序中获得的点估计量比从ABC-AR中获得的点估计量显示出更大的可变性。此外，局部非线性回归调整似乎没有真正的好处。此外，异方差校正不会显著改变任何局部回归调整方法的行为。事实上，这两组结果在视觉上非常相似。AR RegN Reg NN0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3σ2=1AR RegN Reg NN0.6 0.8 1.0 1.2 1.4σ2=2AR RegN Reg NN0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0σ2=3图8：ABC-AR（AR）、局部线性回归调整（Reg）、建议局部线性回归调整（RegN）和局部非线性回归调整（NN）的后验平均值比较∈ {1, 2, 3}. 回想一下，σ=1对应于校正模型规格。所有绘图均无异常值。AR RegNC RegC NNC0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3σ2=1AR RegNC RegC NNC0.6 0.8 1.0 1.2 1.4σ2=2AR RegNC RegC NNC0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0σ2=3图9:ABC-AR（AR）的后验平均值比较，带异方差校正的局部线性回归调整（RegC），带异方差校正的局部线性回归调整（r egNC），以及对σ的三个单独值进行局部非线性回归平差，并进行异方差校正（NNC）：∈ {1, 2, 3}. 回想一下，σ=1对应于正确的模型规格。

所有结果均无异常值。在蒙特卡罗重复和每个ABC程序中，在表2中，我们给出了主题后验标准差、蒙特卡罗覆盖率、95%后验可信区间的中位数长度，以及2.5%和9.7.5%后验分位数（表示为重复的主题值）。在本实验中，我们比较了e中位数而不是均值，因为异方差校正回归调整方法返回了几个可能会使比较产生偏差的lar ge异常值。表2中的结果表明，在后验变异性方面，如通过标准差测量的，ABC-AR在所有设计中显示出最大的变异性。未经异方差校正的局部线性回归调整（ABC Reg、ABC RegN）的后验标准偏差在整个设计中几乎没有变化，而异方差校正局部线性方法（ABC RegC）的标准偏差实际上随着σ的增加而减少，即随着数据的变率增加。相反，无异方差校正的非线性回归平差（ABC-NN）的后验标准偏差随着σ的增加而增加，然而，校正版本（ABC-NNC）的后验标准偏差在整个设计中是稳定的。正如正文中所讨论的，相对于ABC-AR，局部回归平差具有较小的后验变量，这一事实会导致较小的可信集和错误的精度。

作为直接后果，当σ=2，3时，所有调整程序，无论是否进行异方差校正，都具有较差的蒙特卡罗覆盖率。总的来说，这些结果表明，至少在这种情况下，通过局部线性或局部非线性回归调整获得的结果之间没有显著差异。此外，异方差校正不会改善回归调整的行为，并且可能会加剧这些程序中观察到的覆盖率问题（例如，见表2中ABC RegC的结果）。最后，这些结果表明，我们提出的局部线性回归调整（ABC RegN）相对于其他局部回归调整（有或没有异方差校正）表现良好。表2：不同模型误判水平下正常示例的蒙特卡罗覆盖率（Cov）、可信集长度（Len）和后验标准差（Std）。Cov是95%可信集包含θ=1的百分比geof乘以。Len是蒙特卡罗试验中95%可信集的平均长度。Std是整个蒙特卡罗试验的中间值或标准偏差。