ABC中的模型规格错误：后果和诊断

（2018）和Li和Fearnhead（20 18a，b）研究>0，但允许随n变化，并设置=n。在最近的论文中，作者证明了ABC获得的关于给定θ的信息量取决于：（1）观察到的（分别模拟）总结收敛到明确极限对应物b（分别为b（θ））；（2） 公差变为零的速率；（3） 带b（θ）之间的联系。何时∈ P、 存在一些θ，使得b（θ）=带Fr azier等人（2018）的结果完全描述了ABC后验分布的渐近行为。此外，即使P/∈ P、 只要存在θ∈ Θ使得b=b（θ）。因此，ABC中模型错误定义的有意义的概念是不存在任何θ∈ Θ满足b=b（θ），这正是Marin et al.（2014）定义的模型不相容性。在剩下的时间里，我们说，如果*= infθ∈Θd（b，b（θ））>0（1），注意，当kθ<kη时，这种情况更可能发生。启发性地说，ABC中的误判意味着，在η（z）到b（θ）和η（y）到b的浓度下，通过三角不等式a和定义*d（η（y），η（z））≥ d（b，b（θ））- oPθ（1）- oP（1）≥ *- op（1），对于所有的n=o（1），事件{θ∈ Θ：d（η（y），η（z））≤ n}变得极为罕见，对应于事件{θ∈ Θ：d（η（z），b（θ））>*- o（1）}。因此，对于公差序列n=o（1），一次n<*+ o（1）无论我们从π（θ）生成多少模拟样本，几乎不会选择θ的任何绘图，并且随着n的增加，ABCposterior∏[A |η（y）]将变得不正常。虽然公差序列n=o（1）最终会导致后∏[A |η（y）]表现不良，但其他选择可能会产生表现良好的后∏。

在下一节中，我们展示了满足n的（某些）容差序列→ *, 作为n→ +∞,产生表现良好的ABC后验概率，将后验质量集中在适当定义的伪真值上。2.2错误分类下的ABC后验浓度基于上一节的直觉，在本节和下一节中，我们严格描述了∏[A |η（y）]=ZAPθ[d（η（y），η（z））的渐近行为≤ n]d∏（θ）ZΘPθ[d（η（y），η（Z））≤ n]d∏（θ）当P/∈ P和*> 为此，我们首先定义以下附加符号：对于序列{an}和{bn}，实值，an。BN表示≤ CBC对于某些C>0，an bn表示等效震级，an>>bn表示更大的数量级，符号oP（an）、oP（bn）具有其通常的含义。

除非另有说明，否则所有限值均取n→ +∞.我们维持以下假设。[A0]存在一个唯一的b，即d（η（y），b）=oP（1）和一个正序v0，n→ +∞这样的信息→+∞Pd（η（y），b）≥ v-10，n= 存在一个连续的内射映射b:→ B Rkη和满足ρn（u）的函数ρn（·）→ 0作为n→ +∞ 对于所有u>0，且ρn（u）在u中单调不增加（对于任何给定的n），例如，对于所有θ∈ Θ，Pθ[d（η（z），b（θ））>u]≤ c（θ）ρn（u），ZΘc（θ）d∏（θ）<+∞,其中z~ Pθ，我们假设以下任一情况：（i）序列发展：存在一个正序列vn→ +∞ u，κ>0，使得ρn（u）=v-κnu-κ、 对于u≤ u、 （ii）指数偏差：存在hθ（·）>0，使得Pθ[d（η（z），b（θ））>u]≤ c（θ）e-hθ（uvn），存在m，C>0，使得zΘC（θ）e-hθ（uvn）d∏（θ）≤ Ce公司-m·（uvn）τ，对于u≤ u、 存在一些D>0和M，δ>0，因此，对于所有δ≥ δ>0和M≥ M、 存在Sδ {θ ∈ Θ：d（b（θ），b）- *≤ δ} 其中（i）在[A1]的（i）情况下，D<κandRSδ1.-c（θ）Md∏（θ）&δd.（ii）在[A1]的情况下，RSδ1.- c（θ）e-hθ（M）d∏（θ）和δd。上述假设与Frazier et al.（2018）中给出的假设相似，我们请读者参考该文件中的备注1和2以及示例1，以详细讨论这些假设。在上述假设下，我们得出以下结果。定理1。假设y满足度[A0]的数据生成过程和方程式（1）所适用的数量。还假设满足条件[A1]和条件[A2]↓ *带n≥ *+ 中压-1n+v-10，n，对于足够大的M。

设mn为任意正序，取in fi和δn≥ Mn（n-*), 然后∏[d（b（θ），b）≥ *+ δn |η（y）]=oP（1），（2）只要δn≥ Mnv公司-1nu-D/κn=o（1），在（i）假设[A1]δn的情况下≥ Mnv公司-1n | log（un）| 1/τ=o（1），如果（ii）是假设[A1]。un=n时-(*+ 中压-1n+v-10，n）≥ 我们提醒读者，所有理论结果的证明都包含在附录中。备注1。定理1指出，即使模型规格错误，ABC po steriorConcentrate仍然集中在参数infθ上∈Θd（b（θ），b），假设略大于*. 在Orem 2的更精确框架下，研究后验分布的渐近形状，可以将该条件重新定义为允许略小于*. 然而，我们证明如果*-在正常数下有界，则后验分布不一定是集中度e。使用定理1中的后验集中度，我们得到以下结果。推论1。假设满足定理1的假设并定义θ*∈ Θasθ*= arg infθ∈Θd（b，b（θ）），然后，对于任何δ>0，则∏[d（θ，θ*) > δ|η（y）]=oP（1）。备注2。定理1和推论1证明，在识别条件下，ABC后∏∏[·|η（y）]集中在θ上*因此，Theorem1是Frazier et al.（2018）中定理1对错误模型的扩展。此外，我们注意到上面的定理1类似于定理4。3 Bernton等人（2019年）基于Wasserstein距离的forABC推断。每个结果的有效性都要求mapθ7→ b（θ）是内射的。如果不满足该条件，则可能存在一个连续的值，在该值下d（b（θ），b）=*. 在这种情况下，ABC后验将不再收敛于点质量，而是集中于集合{θ∈ Θ : *= d（b（θ），b）}。备注3。

重要的是要注意伪真值θ*取决于d（·，·）的选择。这意味着基于两个不同度量d（·，·）和▄d（·，·）的ABC将产生两个不同的伪真值，除非通过偶然事件影响{θ∈ Θ：d（b（θ），b）}和inf{θ∈ Θ：~d（b（θ），b）}重合。这与Frazier et al.（20 18）中的后验浓度结果形成鲜明对比，后者表明，在正确的模型规格下，后验∏[·|η（y）]浓度在相同的真值上，无论选择d（·，·）。2.3渐近后验分布的形状在本节中，我们分析了模型误判下ABC后验分布的渐近形状。为简单起见，我们将模拟和观察总结收敛到极限对应项的速率取为相同，即取v0，n=vn，并将其视为距离（η（z），η（y））=kη（z）-η（y）k，其中k·k表示与给定标量乘积h·，·i相关的范数。用Ikη表示（kη×kη）维单位矩阵，并设Φ（B）=PrN（0，Ikη）∈ B,对于Rkη的任何可测子集B。需要以下条件来确定本节的结果。[A0′]假设[A0]满足，且*= d（b（θ*), b） >0，其中θ*= arg infθ∈Θd（b（θ），b）。[A1′]假设[A1]成立，对于某些正定义矩阵∑n（θ*), c> 0，κ>1，δ>0，对于所有kθ- θ*k≤ δ、 Pθ[k∑n（θ*){η（z）- b（θ）}k>u]≤ 铜-k表示所有0<u≤ δvn。【A3】地图θ7→ b（θ）在θ处连续可微两次*还有雅可比θb（θ*)具有全列秩kθ。

kb的Hessian（θ）- bk在θ处评估*, 并用H表示*, 是正定矩阵。【A4】存在一系列（kη×kη）正定义矩阵∑n（θ），因此对于所有M>0的矩阵，存在u>0，其上为| x|≤Msupkθ-θ*k≤u | Pθ（hZn，ei≤ x）- Φ（x）|=o（1），其中Zn=∑n（θ）（η（z）- b（θ））和e=（b（θ*) - b） /千字节（θ*) - bk.【A5】存在Vn趋于完整且u>0，因此对于所有kθ- θ*k≤ u、 函数θ7的序列→ ∑n（θ）v-1N收敛于某个正定义矩阵A（θ），并在θ处等连续*.【A6】π（θ），先验测度∏（θ）的密度，在θ处连续且为正*.允许v0、nand和vnto差异不会极大地改变以下结果。给出的结果仍然有效，但仅适用于两种速率中较慢的速率。[A7]对于Zn=∑n（θ*){η（y）- b} 所有MN都将进入单元kZnk>Mn= o（1）。上述假设与Fr azier等人（2018年）在正确模型规格下推导ABC订单限制形状时使用的假设相似，我们将感兴趣的读者参考论文中的备注3和备注4，以详细讨论这些假设。在a boveassumptions下，我们得到以下结果。定理2。假设[A0′，[A1′]（带κ）≥ kθ、[A2]和[A3]-[A7]是令人满意的。我们得到了以下结果。（i） 如果limnvn（n-*) = 2c，带c∈ R、 然后，对于k·kT V，总变化标准k∏v1/2n，-QckT V=oP（1），其中∏zn，是zn（θ）的ABC后验分布- θ*) 对于任何序列zn>0且Qchas密度qc相对于Rkθ上的Lebesgue测量与qc（x）成比例∝ Φc-hZn，A（θ*)ei*kA（θ*)ek*-x个H*x4kA（θ*)ek*（ii）如果limnvn（n- *) = +∞ un=n时- *= o（1），对于U{kxk≤M} 集合{kxk上的一致测度≤ M} ，k∏u-1n，-U{xH*x个≤2} kT V=oP（1），备注4。

在模型规格正确的情况下，如果太大，这意味着（n- *) >> 1/vn，则ABC-po-sterioris的渐近分布是均匀的，半径为n阶- *. 与正确型号规格的情况相反，如果*> 0和if vn{n- *} → 2c∈ R、 那么极限分布就不再是erGaussian分布了。此外，即使c=0，该结果仍保持不变。备注5。在基于似然的贝叶斯推理中，如果模型被误判，可信集通常不是有效的密度集，但是，得到的后验值仍然是渐近正态的（参见Kleijn和van der Vaart，2012和Muller，2013）。在ABC的情况下，不仅可信集不是有效的置信集，而且ABC后验的渐近形状也不是aussian的。备注6。在实践中*未知，因此无法直接选择。然而，我们注意到，ABC的应用通常是通过在一些预先规定的（且逐渐缩小的）分位数阈值内接受θ的绘制来实现的；i、 e.一个接受模拟图θiif d（η（zi），η（y））小于模拟值d（η（zj），η（y）），j的α-次经验分位数≤ N、 然而，正如Frazier et a l.，2018年所讨论的，ABC方法的两个代表是双重的，即选择δv阶上的α值-kθn，δ小，对应于选择|n- *| . δ1/kηvn和选择αn和Mv-kθn与选择n相关- *& Mvn。我们进一步阐述了第4.1节中两种方法之间的等效性。有趣的是，定理2（附录中提供）的证明证明了如果vn（n-*) → -∞, 尤其是当n=o（1）和*> 0，无需出现∏[·|η（y）]的后验浓度。

我们在下面的简单示例中演示了这种现象。示例2：考虑kθ=1和kη=2的情况。让▄Zy=√n（η（y）- b） 和锌=√n（η（z）-b（θ）），其中▄Zn~ N（0，vθI），对于vθ，θ的一些已知函数，b（θ）=（θ，θ）.此外，假设b=（(R)b，-“”b），其中“”b6=0。在此设置下，当k·k是欧氏范数时，唯一的伪真值为θ*= 然而，根据vθ，近似后验值不必集中在θ上*= 0、以下命题对此进行了总结。提案1。在上面的设置描述中，如果vθ/vθ*= σ（θ），f或vθ*一些已知函数，例如σ是连续的和σ（(R)b/2）≥ 3，如果先验密度为正且连续[-\'b，\'b]，然后∏{|θ- θ*| ≤ δ|η（y）}=oΠ|θ-\'b/2 |≤ δ|η（y）= o（1）。3不规范情况下的局部回归调整3.1后验集中局部回归对ABC的调整发现了对从业者的广泛适用性。然而，当人们愿意接受模型错误定义的想法时，我们警告不要盲目应用局部回归调整。如介绍性示例所示，使用这种特殊的调整可能会导致点估计量的行为与从m算法1获得的结果非常不同，即使在小样本中也是如此。在本节中，我们首先严格描述了模型误判下局部线性回归调整ABC（ABC Reg）的后验浓度。利用这个初始结果，我们将结论推广到局部非线性回归调整方法。为了简单起见，我们只考虑标量θ的情况，然而，我们允许η（y）是多维的。ABC Reg首先使用公差n运行算法1，以获得一组可接受的绘图和摘要{θi，η（zi）}，然后使用线性回归模型调整θ的可接受值。

这样，通过线性回归模型θi=u+β，原始接受值θi与η（y）和η（z）部分相关{η（y）- η（zi）}+νi，其中νide表示模型残差。定义θ=PNi=1θi/N和η=PNi=1η（zi）/N。给定θi，ABC Reg然后根据θi=θi生成调整后的参数图-^β{η（zi）- η（y）}，β=“NNXi=1η（zi）- ηη（zi）- η#-1“NNXi=1η（zi）- ηθi-θ#=dVar-1（η（zi））dCov（η（zi），θi）这个结果可以以更复杂的参数为代价进行扩展，但我们避免使用这种设置，以简化对结果的解释。因此，对于θi~ πθ的后验测度∏θ只不过是∏θ[·|η（y）]的缩放和移位版本。因此，ABC Reg后验值的渐近行为由∏[·|η（y）]、β和{η（y）的行为决定- η（zi）}。下面的结果描述了ABC Reg后验概率∏[·|η（y）]的渐近行为。推论2。假设[A0′、[A1]和[A2]满足且↓ *带n≥ *+ 中压-1n+v-10，n，足够大。此外，假设对于kβk>0的so meβ，k^β- βk=oPθ（1）。定义￠θ*= θ*- β（b（θ*) - b） 。设mn为任意正序列，取in-finity和δn≥Mn（n-*), thene∏[|θ-~θ*| > δ|η（y）]=oP（1），只要δn≥ 中压-1nu-D/κn=o（1），当（i）为消耗δn时≥ 中压-1n | log（un）| 1/τ=o（1），假设（ii）【A1】。un=n时-(*+ 中压-1n+v-10，n）≥ 0、备注7。推论1和推论2的直接结果是，ABC后∏∏[·|η（y）]的质量集中在θ上*= arg infθ∈Θd（b（θ），b），而ABC Reg posteriore∏[·|η（y）]将质量集中在θ上*= θ*- β（b（θ*) -b） 。因此，ABC Reg采用θ的绘图，该绘图在最小化观测和模拟摘要之间的所选距离d（·，·）方面（渐近）最优，并以（线性）方式对其进行扰动，无需保持原始绘图的最优性。

此外，forkβk大，伪真值|θ*, ABC Reg集中在其上，可以很容易地躺在Θ之外。因此，如果模型规格错误，则无法保证ABC Reg返回的图纸在最小化d（·，·）方面是最优的，甚至无法保证ABC Reg返回的值为。备注8。重要的是，推论2的结果和备注7中讨论的现象不限于局部线性回归调整，而是扩展到回归调整的非线性变化。为简洁起见，我们在此仅勾勒出总体思路，并注意到严格的证明遵循与推论2相同的路线，因此省略。对于一些未知函数m（·），考虑非线性回归模型θ=m（η（z））+v。用^m（·）表示未知回归函数的非参数估计量，该函数是使用公认的图{θ}构造的l, η（zl)}l≤从附录endix中获得，我们在g和k分布的c定义中给出了这一后期行为的具体示例。ABC后∏[·|η（y）]。一种非线性回归后处理方法转换接受的θl进入￠θl= θl+^m（η（y））- ^m（η（zl)), 对于l = 1.五十、 （3）在正则条件[A0′、[A1]和[A2]下，如果（非参数）估计量^m（·）收敛到函数m*（·），^m（η）=m*（η） +op（1），在bandb（θ）的邻域内一致*), 然后通过η（y）和η（z）的浓度l), 方程式（3）变为|θl= θl+ {m*（b）- m级*（b（θ*))}+ op（1）=θ*+ {m*（b）- m级*（b（θ*))}+ op（1）。最后一个等式是∏[·|η（y）]向θ的后向浓度*, i、 e.，θl=θ*+ op（1）。因此，只要m*（b）- m级*（b（θ*)) 6=0无非线性回归后处理ABC后集中在一个不同于∏[·|η（y）]的值上，这不影响校正。