寡头垄断动力系统的相空间结构

，3，（62）I围绕该点的qexpansion为thenddt（qnqnqn）=（λn+λn+λn）（qnqnqn）+O（qn+n+n+1）。（63）因此，对于˙Ito为零，λim必须与overN线性相关。由于庞加莱的原因，一般的说法是，当λi是特征值blocks时，情况也是如此。在我们的例子中，这立即导致了严格的结果：定理2。如果系统在原点具有第一个积分分析，则数量f、fand和fm必须与非负整数线性相关。因此，finfnfniare被排除在解析积分之外。对于所有其他点也可以这样做，最直接的是E、EAN和E，对于这些点，我们有以下特征值集-fi，fj-αjfii、 fk公司-αkfi我, （64）i，j，k，，n分别为。这种方法的缺点是必须在每个点上分别进行分析，每次的整数系数集都是不同的。还有积分。达布多项式齐次系统有理积分的分析依赖于所谓的达布多项式F，它由以下性质定义˙F=Xi=0VixiF=：P F，（65）PFF=0，如上所示。如果初始条件是系统在某个集合中启动，则它将在以后的所有时间保持在该集合中。如果辅因子为零，则多项式只是第一个积分。我们将在这里使用的第一个基本事实是，如果系统具有具有相同辅因子的aRR/RRRbe达布多项式。这可以从直接差异中立即看出。其次，任何达布多项式的乘积本身就是达布多项式DτnYk=1Fγkk=nXk=1γkPk！nYk=1Fγki，γk∈ N、 （66）定义，在第一个积分的构造中，任何实γkar都是可接受的，尽管它可能不是有理的，甚至不是代数的。

换言之，如果有足够的达布多项式，因此可以找到（66）中的辅因子消失的数字γk，则可以找到第一个积分。每个相依变量sqi本身就是一个达布多项式，其辅因子fijβijqjfili决定可积性。因为这是三个变量中的三个多项式，所以它们通常几乎是独立的。事实上，经济上可行的完备性并不存在依赖性——其结果适用于任何规定形式的系统。5.1。情况det（β）=0如果发生这种情况-det（β）αα=2-α-α-α+ααα=0，（67）Liβ为零，它有一个空的左特征向量γk，它不是零向量xk=1γkβkj=0，j=1，3.（68）系数γk不能是整数，但在任何情况下，将为正qj定义以下函数：I：=Yj=1qγjj，（69），其辅因子by（66）将为p=Xj=1γjfj+∑k=1βjkqk=Xj=1γjfj。（70）由于这是常数，可以立即对方程˙I=pica进行积分，以得到与时间相关的积分-PtI=常数。（71）另外，可能会出现p=0，因此没有时间依赖性，或者β有两个零特征值，使得两个独立的零向量γkθkexponentially。αi其值不会改变Det（β）=0的条件。由于参数数量众多，其他参数都是可能的，但方程（68）总是可以求解的，例如，在γk=0的一般情况下，以下参数是消失行列式：ei=-bγ+γ+γ+γ+γi2γi，（72）对应的第一个积分isI=e-（fγ+fγ+fγ）tqγqγqγ。（73）在取两边的对数并对时间weconditionfγ+fγ+fγ=γ˙qq+γ˙qq+γ˙qq进行微分之后。（74）需要根据其他两家公司的生产率增长率调整其生产率增长率。

这种关系是对曲线分析施加的动态约束。在恒定增长率的特殊情况下，有一个解Q（t）∝ eft，q（t）∝ eft，q（t）∝ eft。(75)6. 案例det（β）6=0。接下来，我们可以继续讨论一般的、更困难的情况，即当ndet（β）=0时，首先要注意的是，我们系统的任何辅助因子的形式都必须是p=p+Xi=1piqi，（76），因为系统的右侧是二次方的。我们将首先尝试找到所有线性达布多项式f=w+Xi=1wiqi，（77），这些多项式不会简化为常数。计算˙F- Pf和不同单项式的等式为零，给出了wi和pi的多项式方程组：q：wp=0，（78）q：wp+w（p- f） =0，wp+w（p- f） =0，wp+w（p- f） =0，（79）q：w（p+) = 0，w（p+) = 0，w（p+) = 0，w（α+p）+w（α+p）=0，w（α+p）+w（α+p）=0，w（α+p）+w（α+p）=0，（80）在一般情况下，所有都是非零的，这将导致齐次线性系统：α- α- α- 0 α- 0 α- α- 万维网= 0，（81），其非零解要求行列式为零：=（α- )(α- )(α- ) + (α- )(α- )(α- ) = 0。（82）（79）约束FI=p-第一次世界大战i、 （83）WPWPF，其必须相等；orw=1（Fis始终定义为常数因子），p=0，fiwi=i、 WIW解决方案isF=（α- )q+(- α） q，P=f- αq- q- q、 （84）附加约束关闭时=f，α=α。（85）所有其他解（和约束）可通过指数的循环置换获得：1→ 2.→ 3.→ 1.n除了所有线性多项式的乘积外，没有新的二阶或三阶多项式。作者无法继续证明引入一些限制会立即产生线性达布多项式和第一次积分，因此，提出以下猜想1似乎是合理的。参数值由线性多项式生成。detβ不变量setF自身=0。

但现在矩阵β不是奇异的，线性函数形成了基，因此可以完全类比前一节来分解辅因子的线性部分：L=Xipiqi=XiγiLi，γi=Xjpj[β-1] ji。（86）然后函数i：=FYix-γii，（87）具有常数辅因子˙I=p-希菲γi！I=：PI，（88），与之前一样，依赖时间的第一个积分是I=e-PtI。回到系统（7）的简单案例，我们可以考虑所有财务实体，即其成本函数相同和/或市场调整速度相同。6.1. 具有线性或二次成本的相同企业相同企业的前两个子类2.2和2.4实际上可以处理。我们可以找到第一个积分。假设所有αito都相同，且成本函数c（qi）=c+dqi+eqi，c>0，d>0，e>0，（89）参数（17）的形式为f=\'ab =b（b+e）（90）在这种情况下，矩阵β为β=- 1 11  11 1 = -8.b+eb+ 6b+eb- 2 6=0（91），如果b>0，e>0，则b+ee>1。因此，有三个附加的线性达布多项式，以及它们的系数：F=q- q、 P=f- 第2季度- 第2季度- q、 F=q- q、 P=f- q- 第2季度- 2q，F=q- q、 P=f- 第2季度- q- 第2季度。（92）根据第8节的一般处理，我们有三个时间相关积分si=eft/4q（q- q） （qqq）-3/4，I=eft/4q（q- q） （qqq）-3/4，I=eft/4q（q- q） （qqq）-3/4，（93）并且可以从其中两个中消除时间，以产生第一个积分i=q（q- q） q（q- q） ，（94）我们注意到指数的循环排列也会产生第一个积分，但它们都是函数相关的。6.2. 具有不同成本函数二次项的公司这是2.4情形的一个子类，可以称为关于不变子流形和稳定性的“几乎相同”的双α一般结果。参数f和我（17）现在有了fi=a的形式- db，i=b（b+ei）。（95）在这种情况下，矩阵β为β=-1 11 1 1 = -+ (+ + ) - 2.

（96）因为b>0和ei>0，我们有i> 2，因此detβ<0。还有三个额外的达布多项式f=(- 1） q- (- 1） q，P=f- q- q- q、 F=(- 1） q- (- 1） q，P=f- q- q- q、 F=(- 1） q- (- 1） q，P=f- q- q- q、 （97）下列排列i=e-Ptq公司((- 1） q- (- 1） q）q-γq-γq-γ、 （98）式中γi=我- 1 ETβ1.-我, （99）andP=(- （1）(- （1）(- 1） detβf.（100）时间的消去产生i=q的普通第一积分((- 1） q- (- 1） q）q((- 1） q- (- 1） q）。（101）如前所述，每个Darboux多项式定义了一个额外的不变量子流形fi=0，在这种情况下，它是通过原点的平面。事实上，所有这些都不是独立的。其方程为isq=q- 1，q- 1，q- 1., q∈ (0, ∞). （102）纳什均衡恰好位于这条线上，是一个吸引节点。我们甚至可以说，这要归功于I的显式公式和剩余的QQp<Iconst。（98）F→t型→ ∞其他两个。这意味着轨迹被所有˙q=q的不变子流形所吸引f-- 1+- 1+- 1.q= fq（1- 季度/季度*), （103）图4：第一个积分I的水平集= 2.1, = 2.5, = 2.9.q*为整个正象限绘制轨迹。如图4所示，i的水平集是通过解i=C，消除一个原始变量，例如q=C，在任何这样的叶子上也在二维相交的曲面(- 1） qq（1- )q+(- 1+C(- 1） ）q=：q（q，q），（104）并代入原始系统：˙q=h（q，q，q（q，q））˙q=h（q，q，q（q，q））。(105)6.3. 对n维的扩展Darboux多项式和第一个积分的特殊形状表明，对于所有相同（在上述意义上）的企业，都有一系列Darboux n（n- 1） /2多项式Fij=(我- 1） qi公司- (j- 1） qj，Pij=f- 像质计- jqj公司-Xk6=i，jqk。

（106）与之前一样，存在与时间相关的第一个积分iij=e-PtFijYkq-γkijk，（107），其中γkijis是向量γij的第k分量=-[1, . . . , 1, i、 1，1.j、 1，1]β-1，（108），对于所有对（i，j），分量之和是相同的p=f- fXkγkij=fdetβYk(k- 1). （109）功能独立。E、 例如，对于I：=I/I，I=I/I，I=I/I，I=1- + I（1- )我(- 1.（110）最后，因为β<0，所有的轨迹都会随着时间呈指数形式变为零，所以所有的轨迹都会像以前一样通过纳什均衡来接近这条线。结论我们运用动力系统的定性方法研究了寡头垄断模型的相结构。通过探索三家寡头企业的例子，我们分析了模型动力学的复杂性。相空间是有组织的系统简化为垄断和双寡头）和唯一的稳定节点（globalspace.Its inset是相空间的正象限{（q，q，q）：q>，q>，q>}垄断的动力学限制在坐标系的轴上。关于垄断的这一点。从我们对系统的动力学分析中，我们可以得出一般的结论，在一般情况下，纵向包含鞍和节点。它似乎很重要，不能被小扰动破坏。多项式以及与时间相关的守恒量。

这就给出了二次层次上企业差异的一般情况。还讨论了以下关注点：o我们制定了古诺平衡+双寡头的渐近稳定性标准。o古诺平衡是相空间中一般初始条件和模型参数的全局吸引子增长。o由于在成本函数中具有不同二次项的企业中存在第一个积分当存在第一个积分时，它将我们对不变子流形的知识扩展到图4所示的线性情况（平面）之外。此外，它还指出系统中缺乏混沌行为增长率与变量本身之间的关系取决于第一个积分，它提供了可立即观察到的约束条件，可根据数据进行测试。致谢波兰国家科学中心（National Science Centre of Poland）第DEC-2013/09/B/ST1/04130号拨款支持了这项工作。作者感谢Franciszek Humieja的评论和评论。参考文献[1]richesses，Dunot，巴黎，1838年。[2] T.Puu，《寡头垄断：旧的目的——新的手段》。柏林斯普林格，2011年。[3] K.Okuguchi，《寡头垄断模型中的期望和稳定性》。1976年，柏林斯普林格。[4] G.I.Bischi、C.Chiarella、M.Kopel、F.Szidarovszky，《非线性寡头政策》。柏林斯普林格，2010年。[5] 内政部：http://dx.doi.org/10.1007/s00332-003-0565-x.[6] 内政部：http://dx.doi.org/10.1016/j.chaos.2012.10.001.[7] 第361-385页。[8] A.C.L.Chian，《经济动力学的复杂系统方法》，柏林斯普林格出版社，2007年。[9] T.Puu，《复杂寡头垄断动力学》，in:M.Lines（编辑），《经济学中的非线性动力系统》，斯普林格，维也纳，2005年，第165-186页。[10] 计算机模拟58（2）（2002）133–146。[11] 纽约，2001年。[12] W.-B.Zhang，《经济学中的微分方程、分岔和混沌》，新泽西州科学出版社，2005年。